Comments on: Inradio y semiperímetro http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: M http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11701 M Fri, 28 Aug 2009 16:29:17 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11701 Vaya, vaya, ^DiAmOnD^, gracias por escribirla. Veo que mi desarrollo es similar al tuyo, aunque me lié bastante más. Estuve haciendo dos probaturas antes de llegar al 9 que aparece en tu solución. En principio, necesitaba que una cantidad fuera cuadrada, y probando, pacientemente, con el 1 y el 4 no me salían soluciones. Luego, probando con el 9 llegué a la ecuación $latex 5x^2-4=y^2$. Algo más tarde, imitando cómo se resuelve la ecuación de Pell estándar, vi cómo salía el número áureo y los Fibonacci's por el camino. Y no hay más soluciones que las que involucran a los Fibonacci's de índice impar en la $latex x$. Vaya, vaya, ^DiAmOnD^, gracias por escribirla. Veo que mi desarrollo es similar al tuyo, aunque me lié bastante más. Estuve haciendo dos probaturas antes de llegar al 9 que aparece en tu solución. En principio, necesitaba que una cantidad fuera cuadrada, y probando, pacientemente, con el 1 y el 4 no me salían soluciones. Luego, probando con el 9 llegué a la ecuación 5x^2-4=y^2. Algo más tarde, imitando cómo se resuelve la ecuación de Pell estándar, vi cómo salía el número áureo y los Fibonacci’s por el camino. Y no hay más soluciones que las que involucran a los Fibonacci’s de índice impar en la x.

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11700 ^DiAmOnD^ Fri, 28 Aug 2009 13:18:44 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11700 De acuerdo. Os voy a dejar la prueba que tengo en mi poder tal cual: Sabemos que el área de un triángulo es $latex S=pr=\textstyle{\frac{p^2}{n}}$ y $latex S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, siendo $latex a,b$ y $latex c$ los lados del triángulo. De aquí $latex p^3=n^2(p-a)(p-b)(p-c)$, de donde tomando $latex x=p-a,y=p-b$ y $latex z=p-c$ obtenemos: <p align="center">$latex (x+y+z)^3=n^2xyz$</p> (1) Terminaremos la demostración si mostramos que (1) tiene solución en enteros positivos para todo número natural $latex n$. Asumamos que $latex z=k(x+y)$, para un entero $latex k > 0$. Entonces (1) se convierte en $latex (k+1)^3(x+y)^2=kn^2xy$. Con ello, tomando $latex n=3(k+1)$, llegamos a: <p align="center">$latex (k+1)(x+y)^2=9kxy$</p> (2) Sea ahora $latex t=\textstyle{\frac{x}{y}}$. Entonces (2) tendrá soluciones en enteros positivos si y sólo si $latex (k+1)(t+1)^2=9kt$ tiene solución racional, es decir, si y sólo si su discriminante $latex D=k(5k-4)$ es un cuadrado perfecto. Tomando ahora $latex k=u^2$ conseguimos mostrar que $latex 5u^2-4=y^2$ tiene infinitas soluciones enteras. Pero esta es una clásica ecuación de Pell, cuyas soluciones son los números de Fibonacci $latex u=F{2i+1}$. Esto completa la prueba. Agradeceré todos los comentarios que podáis hacer sobre esta solución. De acuerdo. Os voy a dejar la prueba que tengo en mi poder tal cual:

Sabemos que el área de un triángulo es S=pr=\textstyle{\frac{p^2}{n}} y S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, siendo a,b y c los lados del triángulo. De aquí p^3=n^2(p-a)(p-b)(p-c), de donde tomando x=p-a,y=p-b y z=p-c obtenemos:

(x+y+z)^3=n^2xyz

(1)

Terminaremos la demostración si mostramos que (1) tiene solución en enteros positivos para todo número natural n. Asumamos que z=k(x+y), para un entero k > 0. Entonces (1) se convierte en (k+1)^3(x+y)^2=kn^2xy. Con ello, tomando n=3(k+1), llegamos a:

(k+1)(x+y)^2=9kxy

(2)

Sea ahora t=\textstyle{\frac{x}{y}}. Entonces (2) tendrá soluciones en enteros positivos si y sólo si (k+1)(t+1)^2=9kt tiene solución racional, es decir, si y sólo si su discriminante D=k(5k-4) es un cuadrado perfecto. Tomando ahora k=u^2 conseguimos mostrar que 5u^2-4=y^2 tiene infinitas soluciones enteras. Pero esta es una clásica ecuación de Pell, cuyas soluciones son los números de Fibonacci u=F{2i+1}. Esto completa la prueba.

Agradeceré todos los comentarios que podáis hacer sobre esta solución.

]]> By: M http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11699 M Fri, 28 Aug 2009 12:45:34 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11699 ^DiAmOnD^, como ya ha pasado un tiempo, me preguntaba por la solución "oficial" del problema en cuestión. En particular, si es posible, quería saber si dispones de una solución sencilla y/o escueta. ¿Podrías indicarnos algunos detalles de tu solución? En su momento, no tuve ganas (ni tampoco las tengo ahora) de detallar mis cálculos pues eran numerosos, pero básicamente usé la fórmula de Herón y la relación existente entre el área, el semiperímetro y el inradio. Hasta ahí, todo estándar. Luego empieza el jaleo algebraico hasta llegar a los triángulos explícitos que puse arriba. ^DiAmOnD^, como ya ha pasado un tiempo, me preguntaba por la solución “oficial” del problema en cuestión. En particular, si es posible, quería saber si dispones de una solución sencilla y/o escueta. ¿Podrías indicarnos algunos detalles de tu solución? En su momento, no tuve ganas (ni tampoco las tengo ahora) de detallar mis cálculos pues eran numerosos, pero básicamente usé la fórmula de Herón y la relación existente entre el área, el semiperímetro y el inradio. Hasta ahí, todo estándar. Luego empieza el jaleo algebraico hasta llegar a los triángulos explícitos que puse arriba.

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11698 ^DiAmOnD^ Wed, 19 Aug 2009 13:08:38 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11698 Plas, plas, plas, como siempre brillante :). Plas, plas, plas, como siempre brillante :) .

]]> By: M http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11697 M Wed, 19 Aug 2009 12:27:58 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11697 No había caído en que las soluciones $latex (x_n,y_n)$ de la ecuación $latex 5x^2-4=y^2$ se relacionan precisamente con la sucesión de Fibonacci: $latex x_n=F_{2n-1},\quad y_n=F_{2n-2}+F_{2n}$ para $latex n\geq 1$ (con $latex F_0=0$). No había caído en que las soluciones (x_n,y_n) de la ecuación 5x^2-4=y^2 se relacionan precisamente con la sucesión de Fibonacci:

x_n=F_{2n-1},\quad y_n=F_{2n-2}+F_{2n} para n\geq 1 (con F_0=0).

]]> By: M http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11696 M Wed, 19 Aug 2009 09:48:03 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11696 OK, ahora sí que está claro. Haciendo bastantes cálculos he obtenido los siguientes triángulos $latex a=9x^4+7x^2-2+3x^3y+3xy$ $latex b=9x^4+2x^2+2+3x^3y$ $latex c=9x^2+3xy$ que cumplen $latex \frac{p}{r}=3(1+x^2)$, siempre que $latex (x,y)$ sea cualquier solución natural de la ecuación $latex 5x^2-4=y^2$. Esta ecuación es reducible a la de Pell y por tanto tiene infinitas soluciones. Para $latex x\leq 300$ obtenemos $latex (1,1)$, $latex (2,4)$, $latex (5,11)$, $latex (13, 29)$, $latex (34, 76)$, $latex (89, 199)$ y $latex (233, 521)$. OK, ahora sí que está claro. Haciendo bastantes cálculos he obtenido los siguientes triángulos

a=9x^4+7x^2-2+3x^3y+3xy
b=9x^4+2x^2+2+3x^3y
c=9x^2+3xy

que cumplen \frac{p}{r}=3(1+x^2), siempre que (x,y) sea cualquier solución natural de la ecuación 5x^2-4=y^2. Esta ecuación es reducible a la de Pell y por tanto tiene infinitas soluciones. Para x\leq 300 obtenemos (1,1), (2,4), (5,11), (13, 29), (34, 76), (89, 199) y (233, 521).

]]> By: Bitacoras.com http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11695 Bitacoras.com Tue, 18 Aug 2009 19:44:33 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11695 <strong>Información Bitacoras.com...</strong> Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal: Probar que existen infinitos enteros positivos tales que , siendo y respectivamente el semiperímetro y el “inradio” (es decir, el radio de la circunferencia inscrita) de un triángulo cuyos lad... Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema semanal: Probar que existen infinitos enteros positivos tales que , siendo y respectivamente el semiperímetro y el “inradio” (es decir, el radio de la circunferencia inscrita) de un triángulo cuyos lad…

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11694 ^DiAmOnD^ Tue, 18 Aug 2009 19:42:06 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11694 Creo que por cambiar frases del problema lo he planteado mal. Lo escribo tal cual venía donde lo encontré. <strong>M</strong>, de todas formas lo que comentas de los triángulos $latex (3L,4L,5L)$ acaba dando como resultado un único $latex n$ para todos. El problema pedía probar que existen infinitos $latex n$ cumpliendo la condición. Creo que por cambiar frases del problema lo he planteado mal. Lo escribo tal cual venía donde lo encontré.

M, de todas formas lo que comentas de los triángulos (3L,4L,5L) acaba dando como resultado un único n para todos. El problema pedía probar que existen infinitos n cumpliendo la condición.

]]> By: sive http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11693 sive Tue, 18 Aug 2009 19:20:47 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11693 Yo creo que lo que pide el problema es justo lo que planteas al final <b>M</b>. Yo creo que lo que pide el problema es justo lo que planteas al final M.

]]> By: M http://gaussianos.com/inradio-y-semiperimetro/#comment-11692 M Tue, 18 Aug 2009 14:00:55 +0000 http://gaussianos.com/?p=1662#comment-11692 O he entendido mal, o el problema está mal planteado: si se da un triángulo, los valores de $latex p$ y $latex r$ ya están fijos, con lo cual también lo está el de $latex p/r$. Así que, tal como está planteado el problema, puede que exista un único $latex n$ cumpliendo la condición, o que no exista. Imagino que los tiros van por encontrar infinitos triángulos de lados naturales, tales que el semiperímetro sea múltiplo natural del inradio. En este último caso las posibilidades son muchas... se me ocurre una muy sencilla: los triángulos rectángulos de lados $latex (3L, 4L, 5L)$, con $latex L\geq 1$, que tienen área $latex 6L^2$, $latex p=6L$ y $latex r=L$. Mayor gracia tendría encontrar infinitos triángulos cumpliendo la condición, sin que los lados sean proporcionales, o bien sin que el valor $latex p/r$ sea constante. O he entendido mal, o el problema está mal planteado: si se da un triángulo, los valores de p y r ya están fijos, con lo cual también lo está el de p/r. Así que, tal como está planteado el problema, puede que exista un único n cumpliendo la condición, o que no exista.

Imagino que los tiros van por encontrar infinitos triángulos de lados naturales, tales que el semiperímetro sea múltiplo natural del inradio. En este último caso las posibilidades son muchas… se me ocurre una muy sencilla: los triángulos rectángulos de lados (3L, 4L, 5L), con L\geq 1, que tienen área 6L^2, p=6L y r=L. Mayor gracia tendría encontrar infinitos triángulos cumpliendo la condición, sin que los lados sean proporcionales, o bien sin que el valor p/r sea constante.

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