Inscribiendo parábolas

Vamos con el problema de esta semana. Aquí os lo dejo:

En un triángulo ABC se inscriben tres parábolas de modo que cada parábola es tangente a dos lados del triángulo en sus vértices, como se puede ver en la figura siguiente:

La intersección de estas parábolas determina tres puntos interiores X, Y y Z. Hallar la razón entre las áreas del triángulo parabólico XYZ y del triángulo original ABC.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

33 Comentarios

  1. En “La cuadratura de la Parábola” de Arquimedes se demuestra que el área de cada uno de los sectores parábolicos, aquí sector es entendido a la manera en que lo entendía Arquimedes, tiene como área \frac{4}{3} del triangulo inscrito que tiene la misma base y altura que dicho sector.

    En el caso considerado, esto es equivalente a decir que el área del sector parábolico es igual a \frac{2}{3} del área del triángulo que inscribe a las parábolas en el enunciado del problema. Y esta característica se cumple para cada una de las parábolas, independiente del lado que forme la base de su sector parábolico.

    Llamemos $Latex A_1$ al área del triángulo que sólo forma parte de un sector parábolico, A_2 al área que forma parte de al menos de 2 sectores parábolicos y A_3 al área del triángulo parábolico. Es evidente que se cumple que:

    A_1 + A_2 + A_3 = A_T

    donde A_T es el área del triangulo original, con un poco más de algebra y considerando las relaciones entre las distintas áreas del problema se puede probar que

    A_1 = A_3

    y

    A_2 + 2A_3 = A_T

    Pero, para poder hallar la relación entre A_3 y A_T necesito relacionar A_3 y A_2 con alguna expresión nueva, pero no encuentro ninguna satisfactoria.

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  2. Es la primera vez que entro en GAUSSIANOS.

    No conozco LaTeX.

    En todo lo que sigue llamaré C a la raiz cuadrada de 3.

    Del enunciado deduzco que la relación buscada es independiente de los ángulos y lados del triángulo de partida.

    Para resolverlo supongo que es un triángulo equilátero de lado unidad con lo que aprovecho el conocimiento de lados, angulos, alturas y simetrías.

    He inscrito un triángulo en el triángulo parabólico del problema.

    Supongo un origen de coordenadas en el vértice inferior izquierdo del triángulo grande que envuelve toda la figura.

    Voy a calcular las coordenadas del vértice superior derecho del triángulo inscrito en el parabólico (lo llamo punto A).

    La ecuación de la parábola de eje vertical, conocidos su vértice (1/2,C/4) y su pendiente en los vértices inferiores del triángulo grande (respectivamente C y -C) resulta ser y = -Cx*2+Cx.

    La ecuación de la recta que une A con el origen es y=cx/3 ya que tiene una pendiente de 30º.

    La intersección de las dos ecuaciones anteriores, resolviendo el sistema, es A(2/3,2C/9).

    De aquí deducimos que el lado del triángulo inscrito en el parabólico es 2(1/3-1/2)=1/3 y la altura del segmento parabólico que queda por encima del triangulito es C/4-2C/9=C/36.

    Como la figura incógnita consta de dicho triangulito y tres segmentos parabólicos podemos calcular su superficie: 3(2/3(1/3*C/36))+C/27)=C/18).

    La relación buscada es, pues, entre C/18 y C/4, es decir, 2/9

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  3. Pido disculpas. He revisado los cálculos y, aunque el proceso es correcto hay un error de operación. La relación buscada, después de corregirlo, resulta ser de 1/6.

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  4. Por las propiedades de las transformaciones afines, basta considerar el caso en que el triángulo es equilátero.

    Consideramos la parábola y=x^2.

    Si P = ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3}{4}) , Q = ( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3}{4}) , R = ( 0, -\dfrac{3}{4}) , PR y QR son 2 tangentes a la parábola y = x^2 y el triángulo PQR es equilátero. (De lado \sqrt{3}, altura 3/2 y área \dfrac{3\sqrt{3}}{4})

    El segmento parabólico cortado por PQ tiene área \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    La ecuación de la linea QR es y = -\sqrt{3} x - \dfrac{3}{4} y la de la altura que pasa por P es y=  \dfrac{x}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{4} . Esta altura corta a la parábola además de en el punto P, en el punto H = (-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}, \dfrac{1}{12}) y la distancia PH = 4/3.

    El punto de la parábola cuya tangente tiene pendiente \dfrac{1}{\sqrt{3}} es F = ( \dfrac{1}{2\sqrt{3}}, \dfrac{1}{12} ) y la distancia de este punto a la recta PH es \dfrac{1}{2\sqrt{3}} .

    Entonces el área del segmento parabólico cortado por PH es \dfrac{4}{9\sqrt{3}}

    Las tres parábolas tangentes a los lados en los vértices dividen al triangulo equilátero en 7 zonas: 3 adyacentes a los lados de área=A, una comun a las 2 parábolas de área=C y otras comunes a 2 parábolas de área=B.

    De lo anterior resulta:
    T = 3A + 3B + C = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}

    A + 2B + C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    B+C = \dfrac{8}{9\sqrt{3}}

    De donde C = \dfrac{15\sqrt{}3}{4\cdot 27} y la relación C/T pedida es, si no me he equivocado en los cálculos, \dfrac{5}{27}

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  5. Buenas, siento decir que no se usar latex y que esto os va a destrozar los ojos teniendo en cuenta que, probablemente, sea la forma mas larga posible para llegar a la solución (suponiendo que sea correcta).

    Utilizando los polinomios de Bernstein se pueden escribir las 3 curvas interiores al triangulo de la siguiente forma:

    c1 = [Ax;Ay]t^2 + [Bx;By](2t(1-t)) + [Cx;Cy](1-t)^2
    c2 = [Ax;Ay]u^2 + [Cx;Cy](2u(1-u)) +[Bx;By](1-u)^2
    c3 = [Bx;By]v^2 + [Ax;Ay](2v(1-v)) + [Cx;Cy](1-v)^2

    donde [Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy] son las coordenadas de los puntos del triangulo ABC, y t,u,v son variables reales pertenecientes al dominio (0,1).

    Resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes a la interseccion de c1 y c2, c2 y c3, c1 y c3, se obtienen los siguientes los valores para t,u,v:
    c1yc2: t= 1/3, u= 1/3
    c2yc3: u= 2/3 ,v= 1/3
    c1yc3: t= 2/3 , v= 2/3

    los puntos de interseccion son, respectivamente:
    X= 1/9[Ax + 4Bx + 4Cx , Ay + 4By + 4Cy]
    Y= 1/9[4Ax + Bx + 4Cx , 4Ay + By + 4Cy]
    Z= 1/9[4Ax + 4Bx + Cx , 4Ay + 4By + Cy]

    Teniendo estos puntos se puede hallar el área del triángulo “cartesiano” inscrito en el triángulo parabólico.

    Las 3 porciones de área restante se pueden obtener, como dice Antonio QD, sabiendo que el area del segmento parabólico que inscribe un triángulo es 4/3 el area de dicho triangulo.

    Estos tres triángulos tendrán vertices en cada uno de los vertices del triángulo parabolico y un tercer vertice formará parte del segmento parabólico correspondiente
    que será cualquier valor de las curvas c1,c2,c3 para un intervalo en t,u,v comprendido entre (1/3,2/3).

    No escribo el resultado de las áreas porque me sale un churro difícil de leer. Supongo que con ese resultado, la solución es incorrecta, o simplemente esperaba un resultado mas “bonito”. En fin, creo que el procedimiento que he seguido si que es correto, aunque muy engorroso.

    Así que espero que alguien lo haga y así pueda comprobar mi solución.

    Un saludo y, otra vez, siento que os dejéis los ojos intentando leerlo.

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  6. fede, por casualidad ¿no habrás dado matemáticas en FP Romero Vargas de Jerez? ¿o te estoy confundiendo con otra persona?

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  7. Fede, seria posible de subir un grafico de la demostracion, es uqe me pegue una perdida

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  8. La figura está hecha con GeoGebra.

    Lo curioso del problema es que las relaciones entre las áreas son las mismas para cualquier triángulo, puesto que hay una transformación afín que tranforma ese triángulo en un triángulo equilátero, y las transformaciones afines conservan las relaciones entre áreas, la incidencia y las parábolas.

    Por tanto en cualquier triángulo las áreas “B” son iguales entre sí, lo mismo que las áreas “A”, y si el área del triángulo es 81, A=5, B=17, C=15.

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  9. Con respecto a la figura del enunciado, hay muchas otras propiedades de interés:

    – cada parábola divide en dos partes iguales a la mediana correspondiente;

    – cada parábola divide al triángulo en dos partes de igual área;

    – el segmento que une los puntos medios de los lados es tangente, en su vértice, a la correspondiente parábola tangente;

    – las parábolas se cortan dos a dos en puntos sobre las respectivas medianas, y el correspondiente punto divide a la mediana en relación 1:8;

    – las medianas y las parábolas dividen al triángulo en 18 regiones: 12 de ellas delimitadas por dos segmentos y un arco de parábola (en particular, 6 de ellos dan lugar al triángulo parabólico del problema), y otras 6 regiones determinadas por un segmento y dos arcos de parábola. Las regiones delimitadas por un único arco de parábola están en relación 5:162 respecto al triángulo original, mientras que las regiones delimitadas por dos arcos de parábolas están en relación 17:162.

    En particular, vemos entonces que también se verifica que el área del triángulo parabólico coincide con el área total encerrada por los lados del triángulo y los arcos de parábola (y están en relación 5:27).

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  10. Barbaridad al canto en la segunda propiedad anterior: quise decir que cada parábola divide a al triángulo en dos partes, una con el doble de área que la otra.

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  11. Otras propiedades de la figura del enunciado:
    Si desde un vértice trazamos las 3 rectas que pasan por los puntos de intersección de dos parábolas, una de las rectas es la mediana y las otras dividen al lado opuesto en la razón 1:4 y 4:1

    Si desde un vértice trazamos las 3 rectas que pasan por los puntos de tangencia de las parábolas con los segmentos entre los puntos medios del triángulo, una de las rectas es la mediana y las otras dividen al lado opuesto en la razón 1:2 y 2:1

    El eje de una parábola que sea tangente al triángulo en dos vértices es paralelo a la mediana que pasa por el otro vértice.

    La propiedad de que el punto de interseción de dos parábolas divide a la mediana en la razón 1:8 también se puede expresar diciendo que la homotecia H_{G,-1/3} transforma los vértices del triángulo en los puntos de intersección de las parábolas.

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  12. Otra propiedad:
    Las tangentes a las parábolas en los puntos de intersección de las parábolas en el interior del triángulo son paralelas a las medianas y cortan a los lados del triángulo en la razón 1:2.

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  13. Sobre las tangentes a las parábolas en los puntos de intersección que menciono en el último comentario sucede además que el segmento de la tangente situado en el interior del triángulo es 2/3 de la longitud de la mediana paralela, y es cortado en razón 1:2 por el punto de tangencia con la parábola.

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  14. Genial, fede! ¿Quién iba a pensar de antemano en tantas y tan interesantes propiedades? ¡Mira que han dado juego las medianas!

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  15. Fede ha dicho: “Por las propiedades de las transformaciones afines, basta considerar el caso en que el triángulo es equilátero…”
    Por favor, ¿Cómo se demuestra eso?
    Creo que hasta que esto se aclare, el problema no estará resuelto. 🙂
    Por cierto, nosotros lo habíamos hecho también así, pero con el triángulo (0,0);(1,0) y (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})

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  16. Pastrana, podemos convertir un triángulo cualquiera en un triángulo equilátero mediante una transvección seguida de una dilatación en una dirección.

    La transvección conserva las áreas y la dilatación multiplica las áreas por un mismo factor.
    Por tanto al aplicar las dos transformaciones se conserva la razón entre las áreas.

    Por otro lado esas transformaciones convierten las parábolas en parábolas, porque son lineales y no alteran el grado de las curvas algebraicas (por tanto transforman cónicas en cónicas) y transforman los puntos (proyectivos) del infinito en puntos del infinito y por tanto una cónica que pase por un solo punto del infinito, o sea una parábola, se transforma en una parábola.

    Como también se conservan el paralelismo y las razones entre segmentos paralelos, se cumplen en la figura del post las otras propiedades que se mencionan en los comentarios, por el hecho de cumplirse en el triángulo equilátero.

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  17. A mí inicialmente me pasó lo mismo que a Pastrana, si bien no en cuanto a las relaciones entre superfícies, sí en cuanto a la conservación de las propiedades de la curva (pues no olvidemos que transformamos el triángulo no las curvas, éstas las sacamos después del triángulo). Lo que en cierta medida me convenció fué la propiedad de linealidad que relaciona el área de un arco de parábola con uno de sus triángulo incritos (en el arco de parábola) y el hecho de que la transformación convierte parábolas en parábolas (pero por la construcción de la curva).

    Ahora Fede, lo has dejado mucho más claro.

    ¡Gracias!

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  18. p = \sqrt{ \frac{1}{\frac{1}{P^2}+ \frac{1}{(2nr)^2} } } se obtiene sin más que rellenar las longitudes de los lados en el dibujo y usar la definición de seno y tangente.
    Por otra parte, de la relación \frac{p}{P} = \sqrt{1- (\frac{p}{2nr})^2 } y del hecho geométrico obvio de que p \leq 2\pi r siempre obtenemos \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p}{2nr} =0 que demuestra el límite pedido.

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  19. Dani, obrigado!

    Este problemazito foi publicado hoje, no meu blogue “problemas | teoremas”, com o título “Polígonos regulares com n lados inscritos e circunscritos num círculo: relação de perímetros”

    (URL: http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/02/27/poligonos-regulares-com-n-lados-inscritos-e-circunscritos-em-um-circulo-relacao-de-perimetros/ ).

    E é de nível básico (9.º ano) ou, quando muito, secundário (12.º ano), o que não é o caso dos problemas propostos e resolvidos aqui, em Gaussianos.

    A fonte de inspiração foi a 3.ª edição do seguinte livro francês, de F. G.-M., 1917 (com 735 páginas e 3.ª edição de Maison Alfred Mame et Fils, Tours e J. de Gigord, Paris):

    Cours de Gómetrie Élémentaire, par F. G.-M.

    pp. 160-161.

    Se não se importar agradecia que visitasse o meu blogue e colocasse lá a sua resposta (solução, resolução). Obrigado.

    Tem lá um problema (fácil) sobre um integral impróprio:

    Demonstre (prove) ou infirme (prove o contrário): o integral

    \displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}

    é convergente.

    (URL: http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/02/25/problema-sobre-um-integral-improprio-an-improper-integral-problem/ ).

    Américo Tavares

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  20. Si me dices cómo se usa el LaTeX en tu blog estaré encantado de escribir la respuesta. 🙂

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  21. Dani, como em qualquer blogue standard do WordPress, basta escrever latex a seguir ao primeiro $ .

    Explicação 🙂

    Por exemplo, para escrever

    \dfrac{p}{q}

    em vez de escrever só $\dfrac{p}{q}$, escrevo

    latex \dfrac{p}{q} [aqui faltam os dois $ $, o inicial e o final].

    Nota importante: nos comentários, não aceita o alinhamento (justificação ou justify) ao centro ou à direita; assim sendo, os parágrafos vão aparecerer sempre alinhados à esquerda.

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  22. Dani,

    Esqueci-me de dizer que o meu blogue não permite “Vista Previa”, por ser do tipo normal (standard) como os gratuitos (grátis) do WordPress.

    Mas se houver problemas no LaTeX, eu edito, e corrijo.

    Obrigado pelo interesse.

    PS. Malandro! 🙂 Vi agora aqui $ latex código-latex-que-quieras-insertar $ (sem os dois espaços).

    Américo

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  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana. Aquí os lo dejo: En un triángulo…

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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