Integral con condiciones

Os dejo el problema de esta semana. A ver quién nos da alguna solución:

Calcular la siguiente integral indefinida:

\displaystyle{\int x \; arcsen(x) \; dx}

utilizando solamente integrales inmediatas e integración por partes

Repito, utilizando solamente integrales inmediatas e integración por partes. Bueno, y cualquier otra transformación que no use ningún otro método de integración. Por ejemplo, no se permite usar cambios de variable.

A ver qué tal se os da.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Integrando por partes: I=\displaystyle{\int x \; arcsen(x) \; dx}=\frac{x^2}{2}arcsen(x)-\frac{1}{2}\displaystyle{\int}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx.

    Sea I_1=\displaystyle{\int}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx. De nuevo integrando por partes:

    I_1=-x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle{\int}\sqrt{1-x^2}dx=-x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle{\int}\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-x\sqrt{1-x^2}+arcsin(x)-I_1.

    De aquí que I_1=-\dfrac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\dfrac{1}{2}arcsin(x), y entonces I=\dfrac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+\dfrac{2x^2-1}{4}arcsin(x).

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  2. @Américo,

    claramente los catetos (no base) tienen una pendiente de -1 luego los ángulos inferiores miden 45º (o Pi/4) (se ve porque el triángulo es proporcional al formado por los centros de los círculos).

    Si la base es el eje de abcisas y tu eje rojo el de ordenadas:

    el cateto derecho pasa por (por ejemplo) el punto ( r cos 45º, r ( 3 + sin 45º ) ) pues todos los catetos son tangentes a los círculos.

    Igual hay una forma no analítica que obtenga directamente una proporción entre el radio y el triángulo…

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  3. Vaya, supongo que después de “M” ya no tiene mucho sentido que me dedique a poner exactamente lo mismo 😉

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  4. Por poner la solución analítica completa, la ecuación de la recta indicada es:

    x=r\cos \frac{\pi }{4}+t
    y=r(3+\sin \frac{\pi }{4})-t

    Haciendo y=0 tenemos:

    t_{y=0}=r\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}+3\right)

    Y en dicho valor del parámetro el valor en las abcisas es:

    x(t_{y=0})=\allowbreak r\left( \sqrt{2}+3\right)

    Como la mitad de la base es igual a la altura, la superfície del triángulo es:

    S(r)=r^{2}\left( 6\sqrt{2}+11\right)

    Como piden que se cumpla:

    S(r)=1=r^{2}\left( 6\sqrt{2}+11\right)

    Resulta que dicho radio debe ser:

    r_{S=1}=\allowbreak \frac{3-\sqrt{2}}{7}=\allowbreak 0.226\,54

    Digo…

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  5. Vaya, realmente a veces nos resulta mas fácil matar moscas a cañonazos, porque geometricamente es directo.

    Sea el triángulo (ver imagen), entonces:

    s=2r\sin \frac{\pi }{4}\vspace{1pt}

    por tanto el área buscada es

    \allowbreak A=r^{2}\left( \sqrt{2}+3\right) ^{2}

    y al hacerla igual a 1 nos da un radio de

    r=\frac{3-\sqrt{2}}{7}

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  6. Hola a todos. Hablando de integrales, quisiera hacerles una pregunta. ¿Existe alguna función integrable en todo su dominio que no sea derivable en NINGÚN punto del mismo?

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  7. @Nim,

    si tu integral es de Riemann probablemente la respuesta sea no, porque habitualmente se exige para la integrabilidad Riemann que la función sea derivable salvo quizás en algunos puntos (aunque realmente no es eso lo que exige la integral de Riemann por eso digo “probablemente”, porque quizás haya alguna función que cumpla el requisito de Riemann y no sea derivable, aunque mi ignorancia me dice que no…).

    Si tu integral es de Lebesgue, ya puedes dar por seguro que sí, porque puedes integrar por ejemplo la función “f(x) = 1 si x es racional y 0 si es real” y obviamente no es derivable en ningún abierto.

    Otras integrales… pues habrá que ver su definición…

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  8. Perdón, ¿pero acaso la función de Weierstrass no sería un ejemplo de lo que digo? Si esta función es continua en todo su dominio y no derivable en ningún punto, de todas formas sí debería ser integrable, puesto que “Toda función continua es integrable.” ¿O acaso no es así?

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  9. La función de Weierstrass si es diferenciable en algunos puntos (ver aquí).

    De todos modos, cambié “derivable” por “continua” en el requisito de Riemann (me dejé llevar por tu proposición), por lo que se amplía el tipo de funciones (la de Weierstrass efectivamente sería un buen ejemplo) en la integral de Riemann.

    Obviando los puntos diferenciables, faltaría de ver es si existe su integral Riemann.

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  10. Ops! ¿y porqué se llaman igual?, ¿y porqué se parecen tanto?

    Por otra parte, me queda la duda, ¿se pueden integrar los términos de la serie infinita?:

    a) Sí
    b) No
    c) Riemann no, Lebesgue si.

    ¡Gracias!

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