Integral con condiciones

Os dejo el problema de esta semana. A ver quién nos da alguna solución:

Calcular la siguiente integral indefinida:

$\displaystyle{\int x \; arcsen(x) \; dx}$

utilizando solamente integrales inmediatas e integración por partes

Repito, utilizando solamente integrales inmediatas e integración por partes. Bueno, y cualquier otra transformación que no use ningún otro método de integración. Por ejemplo, no se permite usar cambios de variable.

A ver qué tal se os da.

20 comentarios

M | 21 de September de 2010 | 10:57

Integrando por partes: $I=\displaystyle{\int x \; arcsen(x) \; dx}=\frac{x^2}{2}arcsen(x)-\frac{1}{2}\displaystyle{\int}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ .

Sea $I_1=\displaystyle{\int}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ . De nuevo integrando por partes:

$I_1=-x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle{\int}\sqrt{1-x^2}dx=-x\sqrt{1-x^2}+\displaystyle{\int}\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-x\sqrt{1-x^2}+arcsin(x)-I_1.$

De aquí que $I_1=-\dfrac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\dfrac{1}{2}arcsin(x)$ , y entonces $I=\dfrac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+\dfrac{2x^2-1}{4}arcsin(x)$ .
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Américo Tavares | 21 de September de 2010 | 14:30

M, o Senhor é uma máquina! A título de laracha só acrescento que falta a constante de integração.

Querendo, convido-o a resolver o seguinte problema, do meu blogue:

“Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determine-o no caso do triângulo medir 1 m².”

Figura: http://problemasteoremas.files.wordpress.com/2010/09/triangulo4circulos.jpg?w=400&h=226

É o último problema de pdmpom20100913
gaussianos | 21 de September de 2010 | 14:55

Plas plas M. Qué poquito rato ha durado…:)
josejuan | 21 de September de 2010 | 21:17

@Américo,

claramente los catetos (no base) tienen una pendiente de -1 luego los ángulos inferiores miden 45º (o Pi/4) (se ve porque el triángulo es proporcional al formado por los centros de los círculos).

Si la base es el eje de abcisas y tu eje rojo el de ordenadas:

el cateto derecho pasa por (por ejemplo) el punto ( r cos 45º, r ( 3 + sin 45º ) ) pues todos los catetos son tangentes a los círculos.

Igual hay una forma no analítica que obtenga directamente una proporción entre el radio y el triángulo…
Gerard | 22 de September de 2010 | 00:04

Vaya, supongo que después de “M” ya no tiene mucho sentido que me dedique a poner exactamente lo mismo
Cristobal | 22 de September de 2010 | 08:36

s
josejuan | 22 de September de 2010 | 10:35

Por poner la solución analítica completa, la ecuación de la recta indicada es:

$x=r\cos \frac{\pi }{4}+t$
$y=r(3+\sin \frac{\pi }{4})-t$

Haciendo $y=0$ tenemos:

$t_{y=0}=r\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}+3\right)$

Y en dicho valor del parámetro el valor en las abcisas es:

$x(t_{y=0})=\allowbreak r\left( \sqrt{2}+3\right)$

Como la mitad de la base es igual a la altura, la superfície del triángulo es:

$S(r)=r^{2}\left( 6\sqrt{2}+11\right)$

Como piden que se cumpla:

$S(r)=1=r^{2}\left( 6\sqrt{2}+11\right)$

Resulta que dicho radio debe ser:

$r_{S=1}=\allowbreak \frac{3-\sqrt{2}}{7}=\allowbreak 0.226\,54$

Digo…
Américo Tavares | 22 de September de 2010 | 10:48

Josejuan

Obrigado pela sua solução: com esta já tenho três, todas com a mesma resposta.

Se quiser pode escrever a sua solução nos comentários a este meu post

http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/09/12/problema-do-mes-problem-of-the-month-6/
josejuan | 22 de September de 2010 | 16:54

Vaya, realmente a veces nos resulta mas fácil matar moscas a cañonazos, porque geometricamente es directo.

Sea el triángulo (ver imagen), entonces:

$s=2r\sin \frac{\pi }{4}\vspace{1pt}$

por tanto el área buscada es

$\allowbreak A=r^{2}\left( \sqrt{2}+3\right) ^{2}$

y al hacerla igual a $1$ nos da un radio de

$r=\frac{3-\sqrt{2}}{7}$
Américo Tavares | 22 de September de 2010 | 19:09

@josejuan 16:54

Esta última é a mais simples de todas.
Dani | 22 de September de 2010 | 20:34

Grande M.
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Tweets that mention Integral con condiciones | Gaussianos -- Topsy.com
Nim | 25 de September de 2010 | 23:00

Hola a todos. Hablando de integrales, quisiera hacerles una pregunta. ¿Existe alguna función integrable en todo su dominio que no sea derivable en NINGÚN punto del mismo?
josejuan | 25 de September de 2010 | 23:11

@Nim,

si tu integral es de Riemann probablemente la respuesta sea no, porque habitualmente se exige para la integrabilidad Riemann que la función sea derivable salvo quizás en algunos puntos (aunque realmente no es eso lo que exige la integral de Riemann por eso digo “probablemente”, porque quizás haya alguna función que cumpla el requisito de Riemann y no sea derivable, aunque mi ignorancia me dice que no…).

Si tu integral es de Lebesgue, ya puedes dar por seguro que sí, porque puedes integrar por ejemplo la función “f(x) = 1 si x es racional y 0 si es real” y obviamente no es derivable en ningún abierto.

Otras integrales… pues habrá que ver su definición…
Nim | 25 de September de 2010 | 23:25

Perdón, ¿pero acaso la función de Weierstrass no sería un ejemplo de lo que digo? Si esta función es continua en todo su dominio y no derivable en ningún punto, de todas formas sí debería ser integrable, puesto que “Toda función continua es integrable.” ¿O acaso no es así?
josejuan | 25 de September de 2010 | 23:59

La función de Weierstrass si es diferenciable en algunos puntos (ver aquí).

De todos modos, cambié “derivable” por “continua” en el requisito de Riemann (me dejé llevar por tu proposición), por lo que se amplía el tipo de funciones (la de Weierstrass efectivamente sería un buen ejemplo) en la integral de Riemann.

Obviando los puntos diferenciables, faltaría de ver es si existe su integral Riemann.
M | 26 de September de 2010 | 12:33

josejuan, me da Nim se refiere a la siguiente función de Weiertrass: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Weierstrass

Hace un tiempo se dieron en gaussianos otros ejemplos de funciones continuas en toda la recta (y por tanto integrables en compactos) y no derivables en ningún punto (ver http://gaussianos.com/funciones-extranas/ y los comentarios).
josejuan | 26 de September de 2010 | 16:39

Ops! ¿y porqué se llaman igual?, ¿y porqué se parecen tanto?

Por otra parte, me queda la duda, ¿se pueden integrar los términos de la serie infinita?:

a) Sí
b) No
c) Riemann no, Lebesgue si.

¡Gracias!
John Ortiz | 27 de September de 2010 | 05:15

Miremos la respuesta en W|A:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x+arcsin%28x%29+dx