Integral trigonométrica

Hoy os traigo un problema que nos envió Gerard hace ya bastante tiempo. Ahí va:

Demostrar que:

$\displaystyle{\int_0^{2 \pi} (\cos{(x)})^{2n} \; dx=\cfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} \cdot 2 \pi}$

A por él.

12 comentarios

Trackback | 3 Oct, 2011

Bitacoras.com
Ignacio Larrosa Cañestro | 3 de October de 2011 | 20:05

Sea

I(2n) = Int(cos^(2n)(x), x, 0, 2 pi) = I(2n – 2) – Int(sen^2(x)cos^(2n-2)(x), x, 0, 2 pi)

Hagamos ésta última integral por partes, haciendo:

u = sen(x) ===> du = cos(x)dx

cos^(2n-2)(x)(-sen(x))dx = dv ===> v = cos^(2n-1)(x)/(2n-1)

Entonces,

- Int(sen^2(x)cos^(2n-2)(x), x) = Int(sen(x)cos^(2n-2)(x)(-sen(x)), x)

= sen(x)cos^(2n-1)(x)/(2n-1) – Int(cos^(2n-1)(x)/(2n-1) cos(x), x)

Pero al evaluar el término integrado en 0 y 2pi, nos da 0, por lo que queda

I(2n) = I(2n-2) – I(2n)/(2n-1) ===>

(2n/(2n – 1))I(2n) = I(2n-2)

I(2n) = ((2n-1)/(2n))I(2n-2) = ((2n-1)(2n-3)…3·1)/((2n)(2n-2)…4·2))I(0)

Pero I(0) = Int(1, x, 0, 2pi) = 2pi

lo que completa la demostración.
Pedro T. | 3 de October de 2011 | 20:19

Primero notese que la funcion coseno elevada a un exponente par tiene periodo $\pi$ . Luego, siendo la primer integral $I_{2n}$ , escribamos la siguiente igualdad.

$I_{2n} = 2 \int\limits_0^\pi {\cos^{2n}(x)} dx = 2 J_{2n}$

Integrando por partes con $v = \cos^{2n-1}(x)$ y $\cos(x) dx = du$ se tiene que

$J_{2n} = \frac{2n-1}{2n}J_{2n-2}$

Luego, siempre que se eliga un numero natural $n$ como exponente se tendra que la integral del segundo termino sera $J_{0}$ , que es claramente igual a $\pi$

Viendo la relacion de recurrencia entre las integrales vemos que

$J_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \dots\frac{7}{6} \frac{5}{4}\frac{3}{2} J_{0}$ y como $J_{0} = \pi$ entonces

$I_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \dots \frac{7}{6}\frac{5}{4}\frac{3}{2} 2\pi = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}2\pi$
Sebas | 3 de October de 2011 | 20:34

Creo que he utilizado similar camino que Ignacio:
I(2n)=Int (cos^(2n)(x),x,0.2pi)=4Int(cos^(2n)(x),x,0,pi/2)
Int(cos^(2n)(x),x,0,pi/2)=Int(cos^(2n-1)(x)*cos(x),x,0,pi/2) que por partes queda en función de una integral de tipo I(2n-2), procediendo de igual forma hasta Int(cos^2(x))
Llegando a 4[(2n-1)/(2n)*(2n-3)/(2n-2)*(2n-5)/(2n-4)*...1/2]pi/4
Si si… la proxima vez LaTeX
Pedro T. | 3 de October de 2011 | 21:20

Va de nuevo el comentario anterior

Las integrales son

$\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}dx} = \frac{{\left( {2n} \right)!!}}{{\left( {2n - 1} \right)!!}}$

y

$\int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{n + 1}}}}} = \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{\left( {2n} \right)!!}}\frac{\pi }{2}$
HM2P33 | 3 de October de 2011 | 22:01

También puede ser realizada utilizando números complejos para llevar la integral a una integral sobre la circunferencia unidad. Luego se usa el teorema de los residuos para calcularla, y el resultado se sigue inmediatamente…
Sebas | 3 de October de 2011 | 22:07

Veo que mi razonamiento practicamente coincide con la primera aportación de Pedro T.
El largo tiempo que he necesitado para teclear mi nota y colgarla (a ciertas horas tengo problemas de ADSL) veo que él se me ha adelantado y superado en mucho con su exposición y …LaTeX
Saludos
josejuan | 4 de October de 2011 | 09:05

¿Qué hay mal del siguiente razonamiento?

$\int_{0}^{2\pi }(\cos (x))^{2n}dx=\int_{0}^{2\pi }\left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right) ^{2n}dx=2^{-2n}\int_{0}^{2\pi }\sum_{k=0}^{2n}\frac{(2n)!}{k!(2n-k)!}e^{2(n-k)ix}dx=2^{-2n}\frac{(2n)!}{n!n!}2\pi$

(porque no me cuadra el resultado…)
Ignacio Larrosa Cañestro | 4 de October de 2011 | 10:21

No hay nada incorrecto, está perfecto:

2^(-2n)(2n)!/(n!n!) 2pi = 2^(-2n)(2^n*n!(2n-1)!!)/(n!n!) 2pi =

= (2n-1)!!/(2^n*n!) 2pi = (2n-1)!!/(2n)!! 2pi
josejuan | 4 de October de 2011 | 10:28

¡Vaya! menuda alegría me acabas de dar, mis herrumbrosos engranajes funcionan de vez en cuando (aunque éste no era difícil como algunos últimos).

XD XD
dudoso | 24 de October de 2011 | 20:35

josejuan, ¿la sustitucion que haces no es la del cosenohiperbolico?
josejuan | 25 de October de 2011 | 08:32

#dudoso, que yo sepa no (cosine).