Integral trigonométrica

Hoy os traigo un problema que nos envió Gerard hace ya bastante tiempo. Ahí va:

Demostrar que:

\displaystyle{\int_0^{2 \pi} (\cos{(x)})^{2n} \; dx=\cfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} \cdot 2 \pi}

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Sea

    I(2n) = Int(cos^(2n)(x), x, 0, 2 pi) = I(2n – 2) – Int(sen^2(x)cos^(2n-2)(x), x, 0, 2 pi)

    Hagamos ésta última integral por partes, haciendo:

    u = sen(x) ===> du = cos(x)dx

    cos^(2n-2)(x)(-sen(x))dx = dv ===> v = cos^(2n-1)(x)/(2n-1)

    Entonces,

    – Int(sen^2(x)cos^(2n-2)(x), x) = Int(sen(x)cos^(2n-2)(x)(-sen(x)), x)

    = sen(x)cos^(2n-1)(x)/(2n-1) – Int(cos^(2n-1)(x)/(2n-1) cos(x), x)

    Pero al evaluar el término integrado en 0 y 2pi, nos da 0, por lo que queda

    I(2n) = I(2n-2) – I(2n)/(2n-1) ===>

    (2n/(2n – 1))I(2n) = I(2n-2)

    I(2n) = ((2n-1)/(2n))I(2n-2) = ((2n-1)(2n-3)…3·1)/((2n)(2n-2)…4·2))I(0)

    Pero I(0) = Int(1, x, 0, 2pi) = 2pi

    lo que completa la demostración.

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  2. Primero notese que la funcion coseno elevada a un exponente par tiene periodo \pi . Luego, siendo la primer integral I_{2n}, escribamos la siguiente igualdad.

    I_{2n} = 2 \int\limits_0^\pi  {\cos^{2n}(x)} dx = 2 J_{2n}

    Integrando por partes con v = \cos^{2n-1}(x) y\cos(x) dx = du se tiene que

    J_{2n} = \frac{2n-1}{2n}J_{2n-2}

    Luego, siempre que se eliga un numero natural n como exponente se tendra que la integral del segundo termino sera J_{0} , que es claramente igual a \pi

    Viendo la relacion de recurrencia entre las integrales vemos que

    J_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \dots\frac{7}{6} \frac{5}{4}\frac{3}{2} J_{0} y como J_{0} = \pi entonces

    I_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2} \dots \frac{7}{6}\frac{5}{4}\frac{3}{2} 2\pi = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}2\pi

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  3. Creo que he utilizado similar camino que Ignacio:
    I(2n)=Int (cos^(2n)(x),x,0.2pi)=4Int(cos^(2n)(x),x,0,pi/2)
    Int(cos^(2n)(x),x,0,pi/2)=Int(cos^(2n-1)(x)*cos(x),x,0,pi/2) que por partes queda en función de una integral de tipo I(2n-2), procediendo de igual forma hasta Int(cos^2(x))
    Llegando a 4[(2n-1)/(2n)*(2n-3)/(2n-2)*(2n-5)/(2n-4)*…1/2]pi/4
    Si si… la proxima vez LaTeX

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  4. También puede ser realizada utilizando números complejos para llevar la integral a una integral sobre la circunferencia unidad. Luego se usa el teorema de los residuos para calcularla, y el resultado se sigue inmediatamente…

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  5. Veo que mi razonamiento practicamente coincide con la primera aportación de Pedro T.
    El largo tiempo que he necesitado para teclear mi nota y colgarla (a ciertas horas tengo problemas de ADSL) veo que él se me ha adelantado y superado en mucho con su exposición y …LaTeX
    Saludos

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  6. ¡Vaya! menuda alegría me acabas de dar, mis herrumbrosos engranajes funcionan de vez en cuando (aunque éste no era difícil como algunos últimos).

    XD XD

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  7. josejuan, ¿la sustitucion que haces no es la del cosenohiperbolico?

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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