Integrando por partes like a boss

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La integración por partes

Nunca me gustó la fórmula de la integración por partes. Me refiero a ésta:

\displaystyle{\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du}

Escrita así, siempre me pareció asimétrica e incómoda de aplicar. El caso es que, como casi todos los métodos de resolución de integrales indefinidas, éste es una consecuencia directa de las reglas de derivación. Concretamente de la regla del producto. Veámoslo:

\cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = \cfrac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \cfrac{dv}{dx}

Si ahora reordenamos los términos:

u \cdot \cfrac{dv}{dx} = \cfrac{d}{dx} \left (u \cdot v \right ) - \cfrac{du}{dx} \cdot v

e integramos:

\displaystyle{\int \left( u \cdot \cfrac{dv}{dx} \right) \cdot dx = \int \left( \cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) \right) \cdot dx - \int \left( \cfrac{du}{dx} \cdot v \right) \cdot dx}

Voilà!, recuperamos la fórmula inicial.

El método

Pero, un momento. Si la fórmula de integración por partes no es más que la regla del producto escrita de otra manera… ¿debería ser posible integrar utilizando únicamente derivadas y sus propiedades? La respuesta no sólo es afirmativa, sino que además el proceso es relativamente sencillo. Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos integrar la función f(x) = x \cdot e^{2x}. En lugar de empezar a bautizar variables como u y dv , intentemos buscar una solución a ojo. Busquemos una función que, una vez derivada, nos dé al menos algo parecido a f(x) . Por ejemplo, probemos con \frac{x}{2} \cdot e^{2x} :

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) = x \cdot e^{2x} + \cfrac{1}{2} \cdot e^{2x}

¡Vaya!, ha estado cerca. El segundo término nos está haciendo la puñeta. Despejando f(x) se ve muy claro el problema:

f(x) =  x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) - \cfrac{1}{2} \cdot e^{2x}

Pero… ¡un momento!, el segundo término puede expresarse a ojo como una derivada (o lo que es lo mismo, es una integral inmediata):

-\cfrac{1}{2} \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Insertando esta última expresión en la inmediatamente anterior obtenemos:

f(x) =  x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) + \cfrac{d}{dx} \left( -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Y como la derivación es una operación lineal:

f(x) =  x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Ya tenemos la integral:

\int f(x) \cdot dx =  \int x \cdot e^{2x} \cdot dx = \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} + c

Este método puede parecer retorcido la primera vez que se aplica, pero os aseguro que una vez que uno se acostumbra ya no quiere volver a saber nada de u y dv . Si os animáis a intentarlo, os dejo un ejercicio en el que el proceso debe aplicarse dos veces. Integrar:

f(x) = x^2 \cdot \cos (x)

Una pista, como primer candidato utilizad x^2 \cdot sen(x) . Los pasos por los que deberíais pasar son los siguientes:

x^2 \cdot \cos (x) = \dfrac{d}{dx} \left( x^2 sen(x) \right) - 2x \cdot sen(x)

- 2x \cdot sen(x) = \cfrac{d}{dx} \left( 2x \cdot \cos (x) \right) -2 \cos (x)

-2 \cos (x) = \cfrac{d}{dx} \left( -2 sen(x) + c \right)

Integrar derivando

Recapitulemos. Todo el método descansa sobre el Teorema Fundamental del Cálculo, que hablando pronto y mal nos dice que existe la siguiente relación entre derivada e integral indefinida:

F(x) = \displaystyle{\int f(x) \cdot dx \Rightarrow f(x) = \cfrac{d}{dx} \left( F(x) \right)}

Los casos en los que podemos encontrar directamente una función F(x) se corresponden con las integrales inmediatas. Muchos casos de cambio de variable también son fácilmente abordables desde el punto de vista de la derivada. Por ejemplo, para integrar e^{5x} podemos empezar observando que:

\cfrac{d}{dx} \left( e^{5x} \right) = 5 \cdot e^{5x}

y dado que la derivación es una operación lineal:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{e^{5x}}{5} \right) = e^{5x}

tenemos libertad para sumar una constante arbitraria dentro de la derivada, pues se convertirá en un cero una vez derivada:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{e^{5x}}{5} + c \right) = e^{5x}

y por tanto:

\cfrac{e^{5x}}{5} + c = \int e^{5x} \cdot dx

El caso de las integrales por partes es quizá el más retorcido, pues el proceso implica aplicar una o varias expresiones sucesivas del tipo:

f(x) = \cfrac{d}{dx} \left( F_{parte}(x) \right) + \epsilon(x)

La principal ventaja práctica de abordar de esta manera los problemas de integración es que nos ahorra memorizar las integrales inmediatas y las reglas de integración. Hay otra ventaja un poco más teórica y más oculta, y es que si nos acostumbramos a usarlo, nunca más se nos olvidará el teorema fundamental del cálculo. Os animo a darle una oportunidad.


Y para terminar un poquito de humor. No puedo dejar pasar la oportunidad que me brinda esta colaboración de Don Mostrenco para aconsejaros que veáis el vídeo I integrate by parts. No tiene desperdicio.


Esta entrada participa en la Edición 5.1: Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro Tito Eliatron.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. No creo que sea esperpçentico.
    Es un método menos riguroso en su utilización y por tanto mas intuitivo, pero no por ello menos recomendable.

    Si tengo un problema muy gordo y en base a estos métodos intuitivos los reduzco a 5 mas pequeños he hecho un gran avance y entiendo que este método va por ahí.

    En el primer ejemplo poner x/2(e^(2x)) es un lujo que indica que sabemos la solución, pero probar con xe^(2x) es muy intuitivo y luego dividir por 2 es lógico a la vista del resultado.

    El resultado es el mismo, se integra por partes con la primera ecuación en vez de separar el resultado deseado a un lado

    Para entendernos, calcular b si a=b+c es lo mismo que b=a-c

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  2. Genial. Así me enseñaron la formula de integracion por partes… Y lo reescribo CADA VEZ que la necesito.

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  3. Las integrales ya las resuelven los ordenadores, por ejemplo en http://www.wolframalpha.com Las matemáticas actuales deberían tirar más a detectar estructuras (y expresarlas) cosa que la computación no puede hacer.

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  4. Los ordenadores cometen muchos errores calculando primitivas, tantos como quien los programa.Tantos como los que hay en el 100% de los libros que calculan primitivas.
    Todavía estoy esperando ver un libro sin errores y un programa informático que haga las cosas bien y no cometa a veces errores inadmisibles, en todos los campos de la matemática.

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  5. Supongo que la misma idea se puede usar en la derivación de cocientes

      \displaystyle{   \int \left ( u \cdot \cfrac{dv}{dx} \right ) dx = \int \left ( v \cdot \cfrac{du}{dx} \right )  dx - \int \left ( v^{2} \cdot \cfrac{d}{dx}  \left ( \cfrac{u}{v} \right ) \right ) dx     }

    Con respecto a las integrales y las derivadas por ordenador (a mi me agrada mucho usar emuladores de las HPs 49, 50 e incluso halle uno para ponerlo en mi Android ufa, creo que eso le duplica el valor) son buenisimas herramientas para verificar resultados o hallarlos, pero aun no pueden reemplazar el buen criterio a la hora de seleccionar resultados, al final de cuentas hallar todas las combinaciones posibles de un problema es solo la primera parte luego sigue la parte de ver cuales resultados son verdaderamente importantes/relevantes

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  6. Asi es Cristhian, se llega a la misma formula de la integracion por partes.

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