Invertir es girar y reflejar

No, no vamos a hablar de inversiones en el sentido económico del término (no está la situación para ello), sino de inversas de funciones. Si, de esas inversas de tinte un tanto místico a veces. De esas que en algunas ocasiones existen y en otras no, de esas que nos indican cómo desandar el camino recorrido con nuestra función inicial. En definitiva, de esas que, cuando existen, producen la función identidad al componerlas con la inicial. Sí, he dicho componer, eso que en muchos lugares es conocido (lamentable, bajo mi punto de vista) con las palabras gof y fog por bastantes alumnos y que algunos profesores han ayudado a popularizar.

Y en concreto vamos a dedicarle unos párrafos a la representación gráfica de la inversa de una función. Porque siempre se le ha dado protagonismo a la gráfica de la función, pero no a la de su inversa (sí, la inversa, si existe, es otra función, y por tanto se podría representar como se hace con la inicial, pero ése es otro tema). Porque ha sido la gran olvidada. Y porque es muy bonita la relación que mantiene la gráfica de una función con la gráfica de su inversa.

Pero comencemos por el principio. ¿Cómo se define la inversa de una función? ¿Cuándo existe? Veamos:

Dada una función f definida en un conjunto A \in \mathbb{R}, y cuya imagen es B \in \mathbb{R}, se define la inversa de f, que llamaremos f^{-1}, como la única función (si existe) que cumple que

\begin{matrix} (f^{-1} \circ f)(x)=x, \; \forall x \in A \\ \\ (f \circ f^{-1})(y)=y, \; \forall y \in B \end{matrix}

Es decir, la inversa (si existe) de una función es otra función que cumple que al componerla con la primera nos da la función identidad. Vamos, que la inversa de f es una función que anula el efecto que la propia f ejerce sobre un valor x, obteniéndose entonces el propio valor x cuando se las aplica de manera consecutiva.

Sería magnífico que siempre existiera inversa, pero por desgracia no es así:

Existe la inversa de una función f si dicha función es biyectiva entre el conjunto de definición A y su imagen, B=f(A).

Esta condición, que significa que debe haber una correspondencia 1 a 1 entre A y f(A), no se cumple siempre. Por ejemplo, la función f(x)=x^2 está definida en todo \mathbb{R} y su imagen es el intervalo [0, \infty ), pero no hay una correspondencia biunívoca entre esos dos conjuntos mediante f (por ejemplo, los valores -2 y 2 tienen la misma imagen, 4).

Pongámonos en el caso de que nuestra función sí tiene inversa. ¿Cómo se calcula? Pues muy sencillo: intercambiamos los papeles de x e y en la función inicial y después despejamos y.

Veamos un ejemplo. Vamos a calcular la función inversa de

f(x)=\cfrac{1}{x-2}

Tomamos y=\frac{1}{x-2}, intercambiamos los papeles de x e y, quedando x=\frac{1}{y-2}, y despejamos y, obteniendo la función inversa:

f^{-1}(x)=\cfrac{1}{x}+2

Visto ya todo esto, pasemos a las gráficas (os había dicho que esta entrada iba de gráficas, ¿verdad?). Bien, veamos cuál es la gráfica de la función f (una parte nada más, como es evidente):

Y veamos la gráfica de f^{-1}:

Como podéis ver, el dominio de la primera pasa a ser la imagen de la segunda, y la imagen de la primera se convierte en el dominio de la segunda. También hay cambio de papeles en las asíntotas: la que era horizontal para la primera pasa a ser vertical para la segunda, y la que era vertical para la primera ahora es horizontal en la segunda.

¿Veis alguna relación entre ellas? ¿Algo que se parezca? ¿Algo que permita identificarlas como las gráficas de dos funciones inversas? Una ayuda: girad 90^\circ la gráfica de f en el sentido contrario al de las agujas del reloj y después reflejad el resultado en un espejo (es decir, aplicad una simetría respecto del eje Y). ¿Qué queda? Veamos:

Ahora veámosla junto a la gráfica de f:

Efectivamente, son la misma representación gráfica. Curioso, ¿verdad? Veamos otro ejemplo. Vamos a tomar la función f(x)=tg(x). Esta función trigonométrica no es biyectiva, por lo que no tiene una inversa, digamos, global. Lo que sí podemos hacer es quedarnos con un subconjunto de su dominio para el cual dicha función sí sea biyectiva. Por ejemplo, vamos a tomar en este caso el conjunto [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} ]. En ese conjunto, la gráfica de la tangente es la siguiente:

Podéis observar que tiene dos asíntotas verticales en los dos extremos de dicho intervalo.

La inversa de la tangente en ese intervalo es la función arctg(x), arcotangente de x. La gráfica de ésta es la que podéis ver a continuación:

¿Veis ahora la relación? Hagamos lo mismo, giremos la gráfica de la arcotangente 90^\circ en sentido antihorario y después reflejemos el resultado en un espejo:

Y ahora comparemos con la inicial de la tangente:

La misma, como habíamos dicho.

Os animo a que probéis con más funciones. Trabajad con ellas, manchaos las manos sin ningún miedo. Es la mejor forma de aprender.

¿Por qué ocurre esto? Pues porque por la propia definición de función inversa se tiene que las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la recta y=x. Es decir, si nosotros tomamos la gráfica de una función y la aplicamos una simetría respecto de dicha recta lo que nos queda es la gráfica de la inversa. ¿Y qué es aplicar una simetría respecto de la recta y=x? Pues, precisamente, girar y reflejar.


Espero que entradas como ésta os gusten a todo, pero especialmente espero que motiven a todos los lectores que en los próximos días van a afrontar exámenes de asignaturas en cuyos contenidos se encuentran los conceptos tratados aquí (bueno, y a los demás también, cómo no). Espero que se os den muy bien a todos.


Actualización: Añado el applet de GeoGebra que Ignacio Larrosa realizó sobre las gráficas de una función y su inversa, y que podéis encontrar en este enlace. Magnífico:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. No es más fácil, como dices al final, simplemente calcular la simetría respecto de la recta y=x?

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  2. Arenvs, sí, es posible, pero encanta lo de girar y reflejar. A mis alumnos les llama más la atención que lo de la simetría respecto de la recta y=x :).

    Ignacio, muchas gracias, lo guardo y lo añado a la entrada ahora mismo 🙂

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  3. Me parece más sencillo calcular la inversa de una función inyectiva asi:
    Se dibuja la gráfica de f –esta puede ser ya conocida o si se quiere “grosso modo”-observando la gráfica se ve si la función es inyectiva o no; ó también en que conjuntos la restricción es inyectiva. Claramente si alguna recta horizontal corta a la gráfica de una función en más de un punto la función no es inyectiva, y si las rectas horizontales cortan a la gráfica solo en un punto esta es inyectiva.
    Supongamos pues que f es inyetiva. Calculamos la imagen de f , Imf es la proyección de la gráfica de f sobre el eje Y, y Domf^(-1) =Imf
    A continuación calculamos la inversa f^(-1) como función de la variable x utilizando la identidad
    f(f^(-1) (x))=x , xϵ Domf^(-1)
    En el ejemplo que has puesto has dibujado la gráfica de f, observando el dibujo se demuestra que f es inyectiva,-las rectas horizontales cortan a la gráfica de f en un solo punto-, Imf=R-{0}, luego Domf^(-1)= R-{0}
    Si f(x)=1/(x-2), xϵR-{2}, entonces f(f^(-1) (x) )=x , xϵ R-{0}, es decir, 1/(f^(-1) (x)-2)=x, xϵ R-{0}, despejando f^(-1) (x), obtenemos f^(-1) (x)=1/x+2, xϵ R-{0}.
    Otro ejemplo consideremos la función tangente hiperbólica, thx=shx/chx=(e^2x-1)/(e^2x+1), xϵR, f es inyectiva e Imth=(-1,1)-compruébese-; entonces su inversa llamada argumento tangente hipérbolica argth, está definida en el intervalo (-1,1). Calculemos argth como función de la variable x, (e^2argthx-1)/(e^2argthx+1)=th(argthx)=x,xϵ(-1,1), de aquí, xe^2argthx+x=e^2argthx-1,agrupando, (1-x) e^2argthx=1+x, e^2argthx=(1+x)/(1-x), de donde, 2argthx=log(1+x)/(1-x),argthx=1/2 log (1+x)/(1-x), xϵ(-1,1). Observar que (1+x)/(1-x)>0, sii, xϵ(-1,1), por si había alguna duda. Nota, para mi log es el logaritmo natural.

    También la la gráfica de f^(-1) es más sencillo dibujarla así:
    Supungamos f inyectiva, G_f 〖={(x,f(x));xϵDomf)},G〗_(f^(-1) )={(y, f^(-1) (y)); yϵDom f^(-1)}; y como Domf^(-1)=Imf={f(x);xϵDomf}, resulta que ,G_(f^(-1) )={(f(x), f^(-1) (f(x)); xϵDomf }={(f(x),x); xϵDomf }. Es decir
    〖 G〗_f 〖={(x,f(x));xϵDomf)},G〗_(f^(-1) )={(f(x),x); xϵDomf }
    como los puntos (x,f(x)) y (f(x),x) son simétricos respecto respecto de la bisectriz y=x, pues dicha recta es perpendicular al segmento que une dichos puntos y lo es en su punto medio, se deduce que G_(f ) y G_(f^(-1) ) son simétricas respecto de la bisectriz y=x.
    Por último dibujamos la gráfica de f^(-1) haciendo el dibujo simétrico respecto de la bisectriz y=x del dibujo de la gráfica de f.

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  4. pero GRAFICAMENTE la funcion inversa siempre SIEMPRE va a existir , basta con ‘dibujarla’ y luego reflejarla a traves de la recta (cada punto) y =x 🙂

    es que a mi una vez me rechazaron un ‘paper’ aludiendo a que la formula implicita (inversa) en la que habia dado la solucion NO existia porque ‘no estamos seguros de que se pueda invertir’ a lo que le respondi yo que SIEMPRE se podria invertir graficamente

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  5. Jose Javier, todas las gráficas se pueden invertir, pero no todas las funciones tienen inversa en el conjunto de los reales (o en su dominio). Al invertir la gráfica siempre obtienes otra gráfica, pero puede que esta ultima no cumpla con la condición de función (esto es, que cada elemento del dominio tenga una y solo una imagen).

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  6. Yo diría que el teorema de la función inversa dice más o menos algo así como que toda función continua en x_0, derivable en un entorno de x_0 y tal que f'(x_0) =/= 0, tiene una inversa local en un entorno de x_0.

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  7. jose javier garcia, si la gráfica que te queda no es una función entonces la inversa no existe, como te ha dicho Santiago.

    Ignacio Larrosa, muy oportuno tu comentario :).

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  8. José Javier García : Sólo podemos hablar de función inversa f^-1 cuando la función f es 1 a 1 entre Domf e Imf, no nos compliquemos la vida, y seamos rigurosos. Y lo de invertir gráficas como tu lo llamas no consiste en hallar la función inversa ni mucho menos.
    Ocurre muchas veces como por ejemplo con las funciones circulares que la función no tiene inversa pero si, si nos restringimos a ciertos intervalos; cada restricción te da una función inyectiva y por lo tanto, cada restricción te da una inversa.
    Asi por ejemplo la función seno puedes restringirla a cada uno de los intervalos donde es estrictamente monótona y en cada uno de ellos tiene una inversa, de esta forma obtienes infinitas inversas una para cada restricción, y por lo tanto infinitas gráficas.
    Si tu “inviertes” gráficamente la gráfica de la función seno en todo su dominio R, obtienes las infinitas gráficas anteriores, pero no la gráfica de una función inversa.
    Pero de todas ellas la única que nos interesa, es la inversa de la restricción del seno al intervalo [-Pi/2 ,Pi/2] y su inversa arcoseno definida en [-1,1]. Las inversas de la restricción del seno a otros intervalos donde es estrictamente monótona por ejemplo en el intervalo [Pi/2 , 3Pi/2] no tienen interés, en la práctica nos basta con la primera.
    Lo mismo pasa con el resto de funciones circulares o la función cosenohiperbólico.

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  9. Pequeña errata: No estoy seguro de que lo hallan reportado ya, pero cuando dáis la definición de la función inversa ponés: A ∈ ℝ y B ∈ ℝ. Pero debería ser A ⊆ ℝ y B ⊆ ℝ.

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  10. Una opinión : Es habitual entre la comunidad matemática pensar que el dibujo de una gráfica es el último y más importante del los objetivos del estudio de una función, asi como dar las ecuaciones paramétricas o ecuaciones polares de curvas y dibujarlas.
    Mi experiencia me dice que eso no es cierto, lo más importante son las propiedades de una función y hay que desmenuzarla para no olvidarnos de ninguna propiedad, por lo tanto no valen los esbozos, salvo para resolver algunos problemas concretos que luego comentaré. Si se dibuja la gráfica de una función y es importante es porque asi en un dibujo tenemos resumidas todas las propiedades de la función, mirando el dibujo sabemos su dominio e imagen, los cortes con los ejes, simetrias, paridad, periodicidad, continuidad y puntos de discontinuidad, signo de la función, clasificación de las discontinuidades, asíntotas verticales, límites en el infinito, asintotas horizontales y oblicuas, cortes con las asíntotas y posición relativa, Domf’, derivadas infinitas, derivadas laterales, puntos críticos, signo de f’, intervalos de monotonía, extremos relativos, puntos de tangente horizontal y vertical, puntos cuspidales, Domf”, signo de f”, intervalos de concavidad, puntos de inflexión, ecuación de la tangente en los puntos de inflexión y posición relativa, acotación, extremos absolutos. También nos ayuda a calcular imágenes de conjuntos,imágenes inversas, extremos absolutos y…., para esto último incluso basta con un esbozo de la gráfica.
    En el caso de una función inyectiva o de su restricción a un intervalo donde es inyectiva, esto también se ve en la gráfica, es decir, la gráfica nos dice si una función es inyectiva o los intervalos donde lo es; al dibujar la gráfica de su inversa por simetría respecto de la bisectriz y=x, nos permite observando la gráfica obtenida conocer todas las propiedades de la función inversa y ver que esta hereda propiedades de la función f, como la monotonia, simetrias respecto del origen.
    Estoy muy de acuerdo con que los dibujos no valen para hacer demostraciones, pero ayudan a descubrir propiedades para luego demostrarlas, y en la práctica docente y por la falta de tiempo que tenemos con los programas este puede ser un camino de demostración, para ganar tiempo. Pensar en lo fácil que es demostrar el Teorema de Bolzano de la continuidad con un dibujo, el tiempo que se gana, y el alumno no pone pegas. Perdemos rigor, pero este ya lo aplicamos en otros contextos, creo en el rigor y pienso que las matemática sin rigor no son matemáticas.
    En el caso de curvas en el plano o espacio, se parte de ecuaciones paramétricas o ecuaciones polares y se dibuja y a veces se hace mucho hincapie en esto, por mi experiencia lo que de verdad importa al matemático aplicado es el recíproco, partimos de curvas cuya trayectoria conocemos : cónicas, epicicloides, cardioides, hipocicloides, astroides, cicloides, evolvente de la circunferencia, tactriz, espirales, hélices,….otras se deducen mediante ecuaciones diferenciales como la catenaria, y lo que nos interesa son sus ecuaciones paramétricas o ecuaciones polares, para su aplicación a la estática o la dinámica.
    Lo mismo digo en el caso de superficies en el espacio.
    Una aclaración : Si pensamos podemos demostrar o al menos convencernos aunque la demostración es trivial, que a la gráfica de una función las rectas verticales no la pueden cortar en más de un punto y que esto es necesario y suficiente para que un dibujo en el plano o espacio sea la gráfica de una función de una o dos variables. Por lo tanto las cónicas salvo la parábola de eje paralelo al eje Y no son gráficas de funciones, si lo son su mitad superior e inferior, como tampoco lo son todas las curvas que he citado anteriormente salvo la cicloide. Por la misma razón no son gráficas de funciones de dos variables las cuádricas excepto los paraboloides, si lo son la mitad superior e inferior de las otras cuadricas

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  11. Este método no funciona por ejemplo con un seno. ¿Por qué? Claramente es los ceros influyen, pero no se dice nada de esto en el artículo.

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  12. Pero sigue sin ser así incluso en ese intervalo, porque si sin(0)=0, la inversa tiende a infinito en 0, y por mucho que giremos y reflejemos no vamos a obtener un infinito en x=0. Es más, si giramos con un eje de giro que pasa por x=0, el valor de la inversa seguirá siendo 0. ¿Esto como se explica o qué hago yo mal?

    http://www.onlinefunctiongrapher.com/?f=sin(x)|1%2Fsin(x)&xMin=-3.057237742952778&xMax=3.0004666219545086&yMin=-3.1958359431619825&yMax=2.8618684217453043

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  13. Vale ya está, ahora lo entiendo :). No hace falta más aclaración.

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  14. David: Considera la gráfica del seno restringida al intervalo [-Pi/2 , Pi/2], dibuja el rectángulo limitado por las rectas y=1, y=-1, x=-Pi/2, x=Pi/2. Observarás que en dicho rectángulo la gráfica del seno pasa por el origen O, es impar luego simétrica respecto del origen, es continua, negativa en [-Pi/2 , 0) y positiva en (0, Pi/2]. Como es continua en el intervalo [-Pi/2 , Pi/2] derivable en (-Pi/2 , Pi/2) con derivada positiva implica que dicha restricción es estrictamente creciente en el intervalo [-Pi/2 , Pi/2] luego inyectiva en dicho intervalo, tiene un mínimo absoluto en -Pi/2 y el valor del mínimo es -1, tiene un máximo absoluto en Pi/2 y el valor del máximo es 1 en ambos extremos absolutos la tangente es horizontal. Estudiando la derivada segunda vemos que la gráfica del seno en el intervalo [-Pi/2 , Pi/2], en cóncava hacia arriba en el intervalo [-Pi/2 , 0] y cóncava hacia abajo en el intervalo [0, Pi/2], (convexa o cóncava como tu lo entiendas), luego tiene un punto de inflexión en el origen O, la recta tangente en el punto de inflexión es la recta de ecuación y=x, la gráfica del seno queda por encima de dicha bisectriz en el intervalo [-Pi/2 , 0) y por debajo en el intervalo (0, Pi/2] . Dibuja la gráfica de esta restricción, observarás que la proyección de esta gráfica sobre el eje Y es el intervalo [-1,1], luego la imagen de la restricción del seno al intervalo [-Pi/2 , Pi/2] es el intervalo [-1,1]. Asi pues dicha restricción es 1-a-1 y su imagen es el intervalo [-1, 1], luego tiene inversa llamada arcoseno definida en el intervalo [-1,1] y cuya imagen es el intervalo [-Pi/2 , Pi/2], verificando sen(arcsenx)=x en [-1,1], y arcsen(senx)=x en [-Pi/2 , Pi/2] (cuidado, esta última identidad fuera de este intervalo es falsa, observa que estamos considerando el seno restringido al intervalo [-Pi/2 , Pi/2] luego fuera de este intervalo pueden ocurrir otras cosas y de hecho ocurren). Vamos a dibujar la gráfica del arcoseno, dibuja sobre el dibujo anterior el rectángulo limitado por las rectas de ecuación y=Pi/2, y=-Pi/2, x=-1 y x=1 (utiliza la misma escala), los dos rectángulos dibujados se cortan en los puntos de coordenadas (1,1) y (-1,-1) que están sobre la bisectriz y=x. Con un color distinto al que has dibujado el seno haz el dibujo simétrico de la restricción del seno que estamos considerando respecto de la bisectriz y=x, observaràs que obtienes un dibujo continuo que pasa por los puntos de coordenadas (-1,-Pi/2), (0,0) y (1,Pi/2) que es simétrico respecto del origen O, negativo en [-1,0) y positivo en [0,1), es estrictamente creciente, tiene tangentes verticales en los puntos de coordenadas (-1,-Pi/2) y (1,Pi/2) por lo que la función arcoseno tiene derivadas infinitas en -1 y 1, tiene un mínimo absoluto en -1 y el valor del mínimo es -Pi/2, tiene un máximo absoluto en 1 y el valor del máximo es Pi/2 en ambos extremos absolutos la tangente es vertical. Es cóncava hacia abajo en [-1,0] y cóncava hacia arriba en [0,1] luego tiene un punto de inflexión en el origen O, la recta tangente en el punto de inflexión es la bisectriz y=x y la gráfica del arcoseno queda por debajo de dicha bisectriz en el intervalo [-1,0) y por encima en el intervalo (0,1]. El dibujo te ha tenido que quedar perfecto. Observa que el arcoseno ha heredado dos propiedades: la simetría respecto del origen y la misma monotonía, esto ocurre siempre entre una función inyectiva y su inversa, bueno, la simetría si la hay.

    Te propongo unas cosas por ejemplo considera la función x–>x^n , n par , dicha función es par luego no es inyectiva, si consideramos su restricción al intervalo [0, +infinito), es estrictamente creciente luego es inyectiva y su imagen es el intervalo [0, +infinito), su inversa es la función x–>raíz n-ésima de x, con dominio e imagen el intervalo [0, +infinito), dibújalas verás que ambas pasan por el origen O, se cortan en el punto de coordenadas (1,1), ambas son estrictamente crecientes ( tiene que ser así), ambas tienen un mínimo absouto en 0, la primera tiene tangente horizontal en O y la segunda tangente vertical en O y por lo tanto derivada infinita (por la derecha) en 0. Además la (raíz n-ésima de x)^n =x y la raiz n-ésima de (x^n) = x en [0, +infinito).
    Aquí hay que tener otra vez cuidado como lo hemos tenido que tener antes con el seno, la raíz n-ésima de (x^n)= IxI si x varía en R, I.I es la función valor absoluto, compruébalo y no lo olvides si no quieres cometer muchos errores en el futuro.

    Consideremos ahora la función x–>x^n , n impar, dicha función es estrictamente creciente en R luego inyectiva y su imagen es R, su inversa es la función x–>raíz n-ésima de x, con dominio e imagen es R. Dibújalas verás que ambas pasan por el origen, sus fráficas son simétricas respecto del origen y son estrictamente crecientes (como tiene que ser), la primera tiene tangente horizontal en el origen y la segunda vertical luego con derivada infinita en el 0. Además la (raíz n-ésima de x)^n =x y la raiz n-ésima de (x^n) = x en R, ahora no hay que tener ningún cuidado.

    Un buen ejercicio es dibujar la gráfica de la función raiz cúbica de (2x^2 – x^3), aquí no vamos a hablar de inversas, tiene una asíntota oblícua de ecuación y=-x+2/3, tiene un mínimo relativo en el origen O que a la vez es un punto cuspidal, en el 0 dicha función tiene derivadas laterales infinitas y distintas (para que haya tangente vertical las dos derivadas laterales deberían ser iguales), tiene un máximo relativo en 4/3 con tangente horizontal y un punto de inflexión en 2 con tangente vertical. Una vez dibujada esta gráfica no se nos puede resistir ninguna.

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