Jerarquía de las operaciones y “el síndrome del paréntesis invisible”

El orden en el que deben realizarse las operaciones aritméticas básicas (jerarquía de las operaciones, prioridad de las operaciones) es algo que todos debemos tener claro. Cuando una expresión aritmética involucra sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones el orden en el que debemos realizar las operaciones es

[Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas]

Esto significa que primero debemos resolver las operaciones que aparezcan entre paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones (en el orden que queramos) y después las sumas y las restas (también en el orden que queramos. Si dentro de unos paréntesis aparecen otras operaciones se sigue la misma jerarquía.

Vale, ¿entonces por qué la expresión 6/2(2+1) da dos resultados distintos en función del orden en el que hagamos las operaciones? (recordemos que si no aparece ningún símbolo entre dos expresiones es como si estuviéramos poniendo una multiplicación):

  • 6/2(2+1)=6/2(3)=[Primero la división]=3(3)=[Ahora la multiplicación]=9
  • 6/2(2+1)=6/2(3)=[Primero la multiplicación]=6/6=[Ahora la división]=1


Viene todo esto por la siguiente imagen, que Leonel envió anoche al mail del blog (que, hablando de todo un poco, no es la primera vez que veo):

(Tomada de aquí.)

Evidentemente, la respuesta correcta es 9. Y en principio nadie debería tener dudas sobre ello, pero en la práctica no es así. Si buscamos en Google 6/2(2+1) podemos encontrar desde foros donde se debate sobre el tema como vídeos de youtube donde se explica el asunto.

Vamos a realizar las operaciones correctamente. La expresión anterior es la siguiente, escribiendo la primera parte en forma de fracción:

\cfrac{6}{2} \; (2+1)

Si resolvemos el paréntesis

\cfrac{6}{2} \; (3)

vemos claramente el error que se cometía en el segundo caso (el que daba 1 como resultado). No podemos multiplicar 2 por 3, ya que uno está en un denominador y otro en un numerador. O multiplicamos 6 por 3 y luego dividimos el resultado entre 2 o dividimos 6 entre 2 y luego multiplicamos el resultado por 3, obteniendo en los dos casos 9, el resultado correcto.

Bien, ¿entonces la imagen está trucada? Pues no, parece que no está trucada. Yo mismo he probado en mi CASIO fx-82MS (sí, la que usé para enseñaros sus funciones ocultas) y obtengo el mismo resultado:

Ahora, si ponemos un símbolo de multiplicación entre el 2 y el paréntesis obtenemos el resultado correcto:

Pero, como hemos dicho antes, esto no debería ocurrir, ya que no poner nada es lo mismo que multiplicar, al igual que poner un punto, una x o un *. ¿Por qué ocurre? Pues entiendo que porque esta CASIO interpreta que si no ponemos nada entre dos expresiones es como si esa multiplicación tuviera preferencia sobre el resto de multiplicaciones o divisiones que pudiera haber junto a ellas, como si esa multiplicación estuviera entre paréntesis, con lo que la expresión inicial sería 6/(2(2+1)), cuyo resultado sí que es 1. A esto es a lo que yo he llamado el síndrome del paréntesis invisible, y aunque puede hacer cierta gracia en realidad no tiene ninguna. Suponer que hay paréntesis donde en realidad no los hay en un error demasiado frecuente como para que una marca como CASIO, y una calculadora tan utilizada como la fx-82MS, ayuden a que se extienda. Sí, demasiado frecuente, cada día más. Cada vez es más habitual encontrarse a alumnos en últimos cursos de instituto o primeros cursos de universidad que fallan en esto de la jerarquía de las operaciones o que se “inventan” paréntesis donde no los hay, y creo que interpretaciones como las que hace esta CASIO no son de mucha ayuda para intentar solucionar este grave problema. Si la Texas Instruments de la imagen da el resultado correcto, la calculadora de Google también y Wolfram|Alpha también, ¿por qué no puede hacerlo también esta CASIO?

Sería interesante que quien tenga una calculadora CASIO de otro modelo, o una calculadora de otra marca, probara con esta expresión para ver cómo de frecuente es este síndrome del paréntesis invisible. Si alguien lo hace le agradecería que dejara un comentario con marca y modelo de calculadora y el resultado que da.


Sí, posiblemente este tema es muy básico para lo que solemos tratar en este blog, pero algo así de vez en cuando no viene mal. Si no intentamos evitar que la gente se líe con cosas sencillas no podemos aspirar a que se interesen por cosas algo más complicadas.


Segunda aportación a la edición 3,1415926535 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión acoge @monzonete en su blog La aventura de la ciencia.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

177 Comentarios

  1. Curiosamente tengo una casio fx-82ES y el problema no sucede, da 9 como tendria que dar.

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    • Hola.
      Esta semana he adquirido la nueva calculadora casio fx 991 sp x.
      Y todo bien hasta que me he equivocado en un examen por culpa de la calculadora.
      Me explico :

      La operacion matemática tan sencilla como esta:
      2 – (10 x 2) / 6 me dió como resultado – 1.3333, cuándo lo correcto es – 3
      Pues esto te puede hacer suspender un ejercicio ya que esta calculadora tiene prioridad de cálculo.
      Ya se que en el manual avisa de ello, pero NO.
      No puede ser que con la tecnología y adelantos que hay hoy en dia, tengamos que ir con cuidado a la hora
      de entrar una operación matemática.
      Si, ya se que tengo que poner paréntesis al final y principio :
      (2 – (10 x 2)) / 6

      Pero cuando pasa el tiempo y vas con prisas no te acuerdas.
      Señores de Casio… VAYA METEDURA DE PATA PARA UNA CALCULADORA
      QUE QUIERE SER UN TOPE DE GAMA.

      La voy a vender ya que se que me pasará otra vez.

      Saludos

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      • Perdona, pero me parece que la calculadora dio bien la respuesta, primero se hace el parentesis, luego la resta separa los terminos por lo tanto queda 2-3.3333.. que da -1.3333..

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      • Hola
        Yo creo que la respuesta correcta es -1,3333 tu calculadora te lo dice bien, para que de -3 efectivamente necesitas los parentesis.

        primero se operan los parentesis y tenemos 2-20/6 acontinuación divisiones y queda 2- 3,3333 con lo que el resultado final es -1,33333

        saludos

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        • si es verdad yo lo he comprobado con mi calculadora y me da exactamente le que te da a ti

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      • El 6 divide el paréntesis (10 x 2) no al primer término 2, entonces, usted no le dio la información correctamente
        (2 – (10 x 2))/6 = 3.
        En este caso es innecesarii pedirle que haga el paréntesis (10 x 2) que es 20. En fn, esta operación no requier calculadora, mas rápido lo hace en la cabeza. Practique, no es dificil.

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    • Me gusta mucho utilizar la aplicación “RealCalc+” en mi smartphone. Hice el ejercicio introduciendo la secuencia 6÷2 (2+1) y el resultado que me arroja es 9.
      Desafortunadamente, RealCalc+ no deja ver la secuencia de introducción de datos cuando la digitas.

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  2. Aprovecho esta entrada para hacer una petición: que los matemáticos no hablen de multiplicaciones y divisiones y de sumas y restas, si no de multiplicaciones y suma siempre. Hace tiempo que vengo detectando que a los universitarios les cuesta entender que la división es una multiplicación y la resta una suma. Y que también se acabe eso de… Y esto pasa para aquí dividiendo, y esto para aquí restando… ¡No! Es procedimiento es multiplicar o sumar toda la expresión por lo mismo y se mantiene la igualdad o se procede con la desigualdad como corresponda… Y creo sinceramente que con este tipo de aclaraciones se solucionarían muchos problemas con los paréntesis, con las fracciones y con otras cosas.

    En cuanto a la entrada. Yo tuve una calculadora que ni siquiera mostraba los paréntesis y para acordarte de como estabas construyendo una expresión larga telita… Yo creo que si realmente hay una opción con un x y otra sin nada está bien hecho como está, para eso están las instrucciones :) De hecho, si nos ponemos serios entonces y comentamos que no poner nada es multiplicar, el aspa de la multiplicación debería ser sustituida por un punto del tipo ·. Pero las calculadoras tienen un número limitado de teclas y de símbolos y sus fabricantes se reservan el derecho a elegir la manera de hacer las cosas que consideren más oportunas. Personalmente opino que está bien como lo hicieron, ya que si tuviéramos que poner paréntesis en el denominador para indicar la operación (2x(2+1)) sería bastante engorroso, y más si la expresión es más larga.

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  3. Mi CASIO fx-115MS también da como resultado 1.

    Yo a veces uso más paréntesis de los necesarios para asegurarme que soy yo el que establece la prioridad y no la calculadora. Pensaba que era una manía inútil pero ahora que veo esto quizás pudo nacer de obtener algún resultado erróneo con este mismo fallo.

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  4. Tengo varias CASIO y se ve que han tardado en tenerlo claro:
    En una fx-570MS_ la expresión da 1.
    En la fx-570ES (más moderna) el resultado es 9.
    En la financiera FC-V también da 9.

    Mi opinión es que, en cada momento, casi todas las CASIO científicas que se fabrican llevan el mismo chip de cálculo y, de un modelo a otro, varían las opciones de lo que hace cada tecla y documentan en el manual dichas opciones solo, aunque el chip permita otras. Tiene que ver con la llamada economía de escala. Lo hacen muchos fabricantes, recuerdo en mi época de trato con los grandes ordenadores que, a veces, cuando querías hacer ina ampliación a modelo superior venía el técnico y únicamente cambiaba una conexión en el interior.
    En algún momento CASIO decidió corregir el defecto y las calculadoras posteriores ya no lo tienen.
    He tenido varias TI y varias HP científicas y en ninguna he detectado el defecto.

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  5. Mi vieja Casio fx-4500P dice que el resultado es 1.

    Personalmente, me he llevado varias sorpresas desagradables a causa de este comportamiento, así que actualmente pongo paréntesis por todas partes, para estar seguro.

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  6. Podéis apuntarme en el club de los que ponen paréntesis de sobra. Además de calculadoras en programación cada lenguaje de programación suele tener su peculiaridad, sobre todo en operaciones lógicas.

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  7. Parece claro el patrón: las CASIO que se “apellidan” MS (y otros modelos viejos), fallan; las ES, no.

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  8. “Cada vez es más habitual encontrarse a alumnos en últimos cursos de instituto o primeros cursos de universidad que fallan en esto de la jerarquía de las operaciones o que se “inventan” paréntesis donde no los hay”.

    Pues algunos licenciados también: tuve un jefe que, con su título de matemático bajo el brazo, un día me preguntó por qué a su hija le decían en el instituto que un producto de varias fracciones daba un resultado distinto del que él pensaba.

    Por supuesto, el resultado bueno era el del instituto. Con lo de que da igual el orden de las multiplicaciones y divisiones, el tío se inventó un par de paréntesis donde no existían para que la expresión se simplificara por unos cuantos sitios.

    Es lamentable que esto pase a estos niveles, aunque pueda ser en un número residual (que habría que ver si realmente es residual) de casos.

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  9. Este fallo me recuerda a otro que tiene Excel y que ya comenté en otro post.

    Si se introduce [=-5^2] en una celda, da como resultado 25.

    Sin embargo [=-(5^2)] lo calcula bien y da -25.

    Y lo más curioso, si ponemos algo delante del signo [-], por ejemplo un cero [=0-5^2], lo calcula correctamente y da -25.

    Para Excel no es lo mismo b-a^2 que -a^2+b.

    Entiendo que el fallo es que en el segundo caso, eleva al cuadrado también el signo [-]. Si yo quisiera que lo hiciera, escribiria (-a)^2+b.

    Esto obliga al usuario a estar pendiente del orden de los elementos al escribir una ecuación.

    Por cierto también ocurre en OpenOffice, imagino que por mantener la compatibilidad con Excel.

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  10. Hombre, yo me encontrado alguna transparencia en clase que lo escribe así (en ingeniería). De hecho me atrevería a decir que es incluso relativamente habitual.

    Yo siempre lo he visto como una forma rápida y muy poco rigurosa de traducir fracciones del tipo \frac{3}{2+1} a una sola línea en medios tipo powerpoint (y sí, soy consciente de que la forma rigurosa solo añade dos paréntesis, pero la dejadez de los profesores de ingeniería con la notación a veces es sorprendente). Alguna vez me ha dejado dudando sobre la fórmula en cuestión; y además en una calculadora es un error mucho más grave, porque produce ambigüedad al operar con ella.

    En ese sentido, pensándolo ahora, sí que me pasó alguna vez en los lejanos comienzos que un código (en Matlab o algún lenguaje de programación) me fallase porque sin pretenderlo “esperase” que tomase expresiones de ese tipo de la forma errónea que comentas, aún a pesar de que siempre he sido consciente de que la interpretación correcta es la que es.

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  11. Vale, mi primer intento de escribir con latex ha fallado. A ver ahora: {3 \over 2+1}

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  12. Ignacius, en mi humilde opinión eso de la excel no es ningún fallo. Es símplemente lo que tiene que ser.
    -5 es un valor
    0-5 es una operación de suma
    por lo tanto: -5*X es (-5)*(X)
    y por lo tanto 0-5*x es (0)-((5)*(X))

    EXCEL FUNCIONA CORRECTAMENTE

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  13. además la elevación a potencia (^) tiene mayor precedencia que la suma (+)

    y por la misma razón: -5^2 es (-5)^(2)
    y por la misma razón: 0-5^2 es (0)-((5)^(2))

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  14. Hombre, yo creo que no se puede poner puertas al campo. Restar y dividir son operaciones que responden a conceptos naturales en nuestra aritmetica diaria. Es logico pensar, que precisamente por ser comunes, tengan un nombre concreto. Si hay alumnos universitarios que no comprenden que la resta de dos numeros naturales se puede expresar como la suma de dos enteros, creo que el problema no es que lo llamemos resta, sino la educacion del universitario.

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  15. yo tengo una casio fx-350ES
    y me dio el resultado de la calculadora texas instruments (o sea 9)
    escribiendo la operacion de la misma manera

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  16. En realidad el fallo no es por un síndrome de paréntesis invisible, es que parece ser que hay una “norma” más, que en algunos sitios/ámbitos/software/escuelas se usa, aunque no es lo normal:

    (NE) Cuando hay una multiplicación sin símbolos, esta tiene preferencia respecto el resto de operaciones.

    Así por ejemplo 6x/6x sería usando la norma (NE) igual a 1, pero sin seguir dicha norma sería x^2.

    Sobre este tipo de operaciones se habló hace un año o 2 mucho en internet, se puede ver buscando en google 48/2(9+3)

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  17. No me expliqué bien :) No digo que no tengan nombre ni que no se hagan de manera natural, si no que cuando se tienen los conocimientos suficientes que se hable de las matemáticas ya de manera más general. Por ejemplo, en Bachillerato, a mi juicio, no se debería decir al despeja la y de la ecuación 2y=x “pasamos el dos dividiendo”, si no que se debería decir “multiplicamos toda la expresión por 1/2”. Esto lo digo porque siempre que explico matrices y cómo se debe despejar un sistema matricial multiplicando por la derecha y por la izquierda recurro a una ecuación de este tipo y digo que en realidad se está multiplicando toda la expresión por el inverso de dos. Y que en matrices se hace igual, pero teniendo en cuenta el lado por el que se multiplica. La cara de estupefacción que pone la mayoría cuando digo eso de “multiplicamos toda la expresión por 1/2” es digna de ver.

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  18. Clon de Casio chino Starmovil SS-529, con mucha clase (ojo, que tiene integrales y complejos, cosa fina). Da 1.

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  19. Hola PolinoX

    El problema con Excel es que NO considera lo mismo b-a^2 que -a^2+b. Lo cual es grave.

    Por eso en las fórmulas que empiezan en negativo, me veo obligado a añadir, un 0 (cero) delante, para que haga bién los cálculos.

    Este fallo no lo tiene Visual Basic de Microsoft, ni en Wolfram-Alfa de Mathematica, ni Maxima, etc. Por lo que yo se, el error solo está en las hojas de cálculo compatibles con Excel.

    Como bién decía Josemi en el otro post: http://gaussianos.com/fail-en-microsoft-mathematics-4-0/ El menos de hacer un numero negativo, es prioritario respecto al operador de potenciacion, el operador de potenciacion es asociativo por la derecha (!).

    La prueba más facil es escribir -5^2 en Excel, que da erroneamente 25.
    Si lo haces por ejemplo en Google -5^2, como era de esperar da -25.

    Saludos.

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  20. Entonces 6/2a, con a = 2+1=3 no sería 6/6 ?

    Es decir no hay que leer numerador: 6, denominador 2a, en dicho caso?

    Estoy desconcertado.

    Mientras que con la expresión donde seis medios aparece escrito en forma vertical no me queda ninguna duda y

    además

    http ://www.wolframalpha.com/input/?i=6%2F2%282%2B1%29

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  21. Apreciado amigo Diamond, gracias a su post he descubierto que, a pesar de ser riguroso en mi razonamiento, de creer que yo estaba aplicando las operaciones con la precedencia correcta, esto no era cierto a cabalidad. Luego de aprobar los cursos trimestrales de Matemática Pura en la Universidad (Álagebra I, Geometría I, Geometría II) y todos los contenidos de mi carrera de Ingeniería de la Computación, además de dictar clases particulares desde los 15 años de edad, hoy a los 28, ejerciendo docencia en Matemática Preuniversitaria, noto que yo debía depurar este aspecto. Me siento apenado y avergonzado, se que no he incurrido en este error, porque procuro ser lo más límpido al enseñár, y como comenté yo habría escrito o el seis medios de forma vertical o el 6 entre dos con el signo ÷, y en ese caso no habría errado, pero tal como estaba al principio erré.

    Mi pregunta a usted como docente es: sería adecuado comentarles a mis estudiantes lo interesante de esto en la práctica y lo que me pasó a mí (que fue justo lo que dicen aquí http://productforums.google.com/forum/#!topic/websearch/kZkTv_WTSxA, sólo que con el símbolo ÷ para mí no hay confusión de que da 9)?

    Mi objetivo, mejorar la enseñanza, ya que me encuentro humildemente en ese cargo, así mejorar mi formación. Estaré atento a sus comentarios.

    Un abrazo!

    PD: tanto me desconcertó que publiqué en mi face el artículo a ver si a alguno de mis colegas o licenciados en matemáticas conocidos les dio uno, o si les dio 1 y me lo decían…

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  22. Por algun motivo yo siempre habia creido que no poner signo de multiplicación en la calculadora daba error (no un resultado erroneo sino un mensaje de error) y por eso siempre pongo todos los signos y nuca me he encontrado con nada parecido.

    En mis calculadoras:
    CASIO fx-9750G PLUS –> 1
    CASIO fx-82ES –> 9

    @ingnacius: “El menos de hacer un numero negativo, es prioritario respecto al operador de potenciacion” significa que -5^2 = (-5)^2 al igual que “el producto es prioritario respecto a la suma” significa que 2+3*4 = 2+(3*4).

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  23. Aprovecho la ocasión para comentar que una vez lo interpreté 10^{3^{2}} como 1000 (10 a la 3) al cuadrado; y no como 10 a la 6, que es lo correcto.

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  24. Yo lo explico igual desde 1º de ESO cuando iniciamos el Álgebra.
    Siempre les digo que en las ecuaciones podemos sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por un número sin que las soluciones cambien.
    No sé quien se inventó la operación de “pasar”.
    Por cierto, me parece que esto sólo ocurre aquí. Los alumnos que he tenido procedentes de otros países (como Alemania,Reino Unido, Bélgica,…) recurren a la primera forma, sumando o restando en los dos miembros.
    Otra cosa, los resultados mejoran y cometen menos errores al despejar.

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  25. Un comentario al post.
    Al inicio de éste comentas el orden de las operaciones e indicas que:
    “Esto significa que primero debemos resolver las operaciones que aparezcan entre paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones (en el orden que queramos)”

    Si no me equivoco las multiplicaciones y divisiones se deben de realizar de izquierda a derecha (en el orden que aparecen), un ejemplo:

    8:4:2 = 2:2 = 1 (realizada de izquierda a derecha)

    8:4:2 = 8:2 = 4 (realizada en el orden que he querido)

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  26. Antonio, seguramente seas informático. No se deben confundir las reglas de un lenguaje de programación con las convenciones usadas en matématicas, aunque casi siempre coincidan.

    En informática sí es como dices, cuando dos operadores tienen la misma precedencia, entonces, en casi todos los lenguajes, se deben evaluar el orden en que están escritas y no en un orden cualquiera.

    Pero esto es así porque hay una buena razón para ello. En informática es frecuente que un operador sea una llamada a una función (es decir su valor devuelto), y si hay varias llamadas a función en una línea de código a veces es relevante el orden en que van a ser llamadas. De este modo sabemos, y podemos controlar, precisamente eso.

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  27. Etoy de acuerdo con Antonio, los productos y divisiones deben realizarse de izquierda a derecha, asocian por la izquierda, al igual que las sumas y restas. El orden no pouede ser arbitrario, porque se obtienen resultados distintos. El problema es que la diferencia y la división no gozan de la, no siempre valorada debidanmente, propiedad asociativa. El menos “unario” que se utiliza para expresar números negativos, debe tener la misma prioridad que el menos binario y el más; lo contrario conduciría a resultados tan chocantes como -5^2 + 5 = 30 y 5 – 5^2 = -20.

    Las potencias, por el contrario, asocian por la derecha. Eso en la escritura en línea no se entiende demasiado bien, pero cuando se expresan como superíndices es de lo más natural. De esta manera, 2^3^2 = 2^(3^2) = 2^9 = 512, mientras que (2^3)^2 = 8^2 = 64. otra vez el problema es la no asociatividad de la exponenciación.

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  28. De eso nada, en matemáticas (y de matemáticas va este blog) tanto las sumas con las restas, como las multiplicaciones con las divisiones se pueden evaluar en cualquier orden, porque el resultado es siempre el mismo.

    Por ejemplo, la siguiente operación:

    \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}

    Podemos multiplicar por los números del numerador y dividir por los del denominador, en el orden en que queramos, y el resultado siempre será el mismo.

    Pero claro, técnicamente, colocar una línea de fracción en una línea de caracteres, es imposible, así que lo sustituimos por el signo / (o peor aún, por el signo :, o el odioso ÷ ), y aquí es donde comienzan las confusiones, porque puede no quedar claro donde acaba el denominador.

    El convenio más natural, es suponer que el denominador tiene un único operando, a menos que se encierre entre paréntesis. Es el convenio que usan las calculadores corregidas, o el mismo latex, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

    \frac ab : \frac ab

    \frac abc : \frac abc

    \frac a{bc} : \frac a{bc}

    Es decir, es el mismo convenio que se usa en la exponenciación, nadie se plantea dónde acaba el el exponente en, por ejemplo, la expresión x^2+1.

    Pero vamos, esto toca a las matemáticas de forma tangencial, es un problema técnico.

    Supongo que podría ser defendible usar otro convenio para agrupar operandos cuando nos vemos obligados a escribir las expresiones así. Pero de ahí, a decir que el orden entre multiplicaciones y divisiones (o sumas y restas), importa, hay un trecho, alienta confusiones, y pone de manifiesto que no se tienen los conceptos claros.

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  29. Sive: por supuesto que si tienes escrita la fórmula en una notación bidimensional, no hay ningún problema con los productos cocientes. pero cuando se ponen en una sola línea, utilizando un solo simbolo para la línea de fracción, se pierde la información de agrupamiento que aportaba esta en el formato bidimensional. Debe suplirse entonces con paréntesis. Y en ausencia de estos, hay que definir una regla, de lo contrario el resultado es ambiguo:

    ¿12/6/2 = 2/2 = 1 ó 12/6/2 = 12/3 = 4?

    Por cierto el mismo problema se encuentran los alumnos con frecuencia utilizando el formato bidimensional cuando escriben las líneas de fracción sin diferenciarlas con claridad y/o colocar el signo igual a la altura debida.

    Otro tanto les ocurre (a los alumnos poco experimentados, luego generalmente no) con las diferencias:

    ¿12 – 6 – 2 = 6 – 2 = 4 ó 12 – 6 – 2 = 12 – 4 = 8?

    En ausencia de paréntesis, como norma general, deben evaluarse de izquierda a derecha. La alternativa es entrar en la distinción entre el “- unario” y el “- binario”, no siempre sencillo de entender.

    El problema radica en la no asociatividad de la diferencia y la división. Por supuesto, si sustituimos la diferencia por la suma con el opuesto y la división por el producto con el inverso, el problema desaparece, puesto que suma y producto si que son operaciones asociativas.

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  30. Antonio lo de pasar claramente es algo mecánico, efectivamente lo que tu dices es lo correcto, lo que se hace en Reino Unido etc. lamentablemente en ciertos países, debo decir, como el mío, se recuerre a “pasar” uno explica sumemos el mismo número a ambos lados y se mantiene la igualdad y esas cosas y los alumnos se “estancan” o es que uno no les tiene paciencia.

    Muchísimas gracias por tu comentario, muy importante.

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  31. wachino, claro que es 10 a la 9, vaya lapsus terrible el mío, que hice 3 a la 2 seis y no 9.

    Disculpen todos el agravio… y gracias a usted por observarlo.

    Lo que quería decir es que en un momento no me acordaba de si primero resolver el 3 a la 2 (9) y colocárselo como exponente a 10; o en vez de eso, resolver 10 a la 3 (1000), y al resultado elevarlo a la 2.

    Saludos (y disculpen lo malo – my brain is not reliable, that’s why I try to use axioms always first -).

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  32. Por cierto Antonio, usando su reflexión de despejar usando propiedados y no la mecánica de “pasar”…

    Si decimos 6/2(2+1) = v

    mi problema era leer que el numerador era 6 y el denominador 2(2+1), en cuyo caso, yo, sin pasar:

    multiplicando a ambos lados por 2(2+1):

    6 = v(2(2+1))
    6 = v(2*3)
    6 = v(6)
    v = 1

    El problema (error) es que al leer, numerador 6 y todo el denominador 2(2+1) en el miembro izquierdo no estaba respetando la jerarquía de las operaciones como debe ser…

    Por alguna razon, para mi no queda duda en

    6 ÷ 2(2+1) = v

    y aki si veo que 6 es numerador, 2 es denominador y luego hay que multiplicar por (2+1), o sea aquí no me cabe duda de que el ÷ no puede capturar al 2 y al (2+1), y por ende v = 9

    Pero me impactó terriblemente que tuve esa duda hasta hoy que leí el post, y yo perfectamente habría dicho lo mismo que EvilKarmaAngel en http://productforums.google.com/forum/#!topic/websearch/kZkTv_WTSxA

    y de no ver este post viviría con el error todavía

    eso me ha consternado hoy, y me tiene desconcertado

    Saludos.

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  33. Al hacer el analizador lexicográfico en un lenguaje de programación puedes elegir si leer las notaciones aritméticas de izquierda a derecha o viceversa. Normalmente eliges el mismo orden convencional occidental de lectura. Además existen notaciones informáticas para la aritmética que impiden esta ambigüedad (signos precediendo los operadores, por ejemplo y que sus reglas exigen un orden de lectura).
    No creo que haya más lío que la ambigüedad de la expresión y el orden en que eliges hacerlo (o fuerzas hacerlo por cualquier motivo, por ejemplo “así se hace en matemáticas”).
    Es una expresión ambigua que se resuelve usando la precedencia posicional con la que estamos acostumbrados a leer (al menos los occidentales, no así los judíos, por ejemplo). Elevar eso a “regla matemática” es otro cantar, yo lo diría así: “por usos y costumbres culturales aceptadas globalmente” el resultado correcto es 9.

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  34. En respuesta al articulo expongo que mi calculadora CASIO también tiene el mismo defecto:

    6/2(2+1) = 1

    6/2*(2+1) = 9

    El modelo es : CASIO fx-350WA

    Concuerdo con el comentario de Vallejo al respecto del Análisis Lexicográfico. Pero ahondando más aun en los términos deberíamos hablar del Análisis Sintáctico que es responsable de la gramática que genera (reconoce) cadenas de números operaciones aritméticas. Este se sirve de al Analizador Léxico para obtener los tokens , que en este caso son de dos tipos : números enteros y operaciones aritméticas.
    Es hay donde esta el germen del problema obteniendo la gramática que reconoce la CASIO podremos analizar las causas y la solución.

    NOTA : un gramática tiene el aspecto así

    S → x | y | z | S + S | S – S | S *S | S/S | (S)

    que genera por ejemplo la cadena : (x + y) *x – z *y / (x + x)

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  35. Sobre el manejo de un aparato, una vez alguien me dijo:
    “No des todo por supuesto, y recuerda que HQLEPM (*).”

    Tengo una Casio fx-6500G que ejecuta correctamente las operaciones:
    6÷2(2+1) da como resultado 1, y
    6÷2×(2+1) da como resultado 9
    La explicación de ello está en el manual.

    En el manual se describen dos tipos (formas) de indicar la multiplicación: una la normal con el signo ×, y otra la “multiplicación abreviada” sin poner ningún signo cuando se multiplica DELANTE de π, un valor de memoria, una función o paréntesis.
    [He resaltado la palabra delante con mayúsculas para destacar que sólo funciona así, es decir, que si pones (2+1)2 da error: “Syn ERROR” (error de sintaxis)]

    En el orden de prioridad de cálculo (pag. 13) dice:
    «Esta unidad se basa en la denominada lógica algebraica real para calcular las fórmulas con el siguiente orden de prioridad:
    (…)
    4. Formato de multiplicación abreviado antes de π o memoria.
    (…)
    6.Formato de multiplicación abreviado antes de las funciones tipo B o de paréntesis.
    7. ÷, ×
    (…)»
    Las funciones se dividen en dos grupos. Las de tipo A, las cuales se entran despues del argumento, y las del tipo B, las cuales se entran antes que el argumento.
    La ejecución se lleva a cavo de izquierda a derecha, salvo cuando se usan funciones de la misma prioridad, una a continuación de otra, que se ejecutan de derecha a izquierda.

    Conclusión: la mayoría de la gente no se lee el (puñetero) manual.

    Notas: (*) HQLEPM = Hay Que Leer El Puñetero Manual

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  36. ¡Vaya! Parece que hay diferencias de opinión sobre el orden en que realizamos operaciones del tipo

    24:5:3
    Y eso que esto es un blog de Matemáticas. ¿Cuál puede ser la solución para no cometer errores?
    Lleguemos a un acuerdo. Adoptemos el criterio de que si las operaciones son del mismo “rango” (sumas y restas, multiplicaciones y divisiones) las haremos de izquierda a derecha, el orden natural de lectura.
    Problema solucionado.

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  37. A los comentarios (no me pongo a buscar cuales) que piden, que hay que simplificar los términos y conceptos matemáticos les diría que si se explicaran debidamente no habría los problemas que dicen que hay con estudiantes de nivel universitario que no saben/entienden la forma de simplificar una ecuación. El problema no son los alumnos, sino los malos profesores que les han tocado en etapas anteriores. Claro que, para un profesor universitario tener que reeducar a sus alumnos y corregir los malos vicios adquiridos puede ser un trabajo añadido y retrasar en la evolución de “su” materia, pero si no lo corrige, sus alumnos nunca llegarán a dominar dicha materia por muy rápido que avance con el temario. Y si el temario avanza sin asentar bien las bases el fracaso será aún mayor. Para eso no hacen falta profesores, basta con que se lean el libro o los apuntes, y el que entienda bien y a los demás que les den.

    Espero que lo anterior se entienda más como un consejo, que como una crítica, y que nadie se haya sentido ofendido por ello. No es esa mi intención.

    Para aclarar mi postura os cuento mi experiencia en 1º de la facultad (empresariales). Nos tocó un profesor de matemáticas que se dió cuenta que el nivel medio era bastante bajo. En vez de dar por supuesto que ya sabíamos (o que teníamos que saber) resolver límites o conocer las equivalencias trigonométricas, etc., siguiendo el temario previsto, y según aparecían los conceptos en los que la gente andaba(mos) mal, nos fue dando un repaso casi desde cero de todo lo que debíamos haber aprendido en el bachiller. Al principio el curso parecia avanzar muy lentamente, pero creo recordar que prácticamente toda la clase dominaba lo que se había dado. Al final del curso viendo que no iba a poder completar el temario aceleró el ritmo y algunos temas se pasaron sin apenas explicación (esto se hace así y punto). Pero la base ya estaba formada.

    En los cursos siguientes con los típicos temas de “esto es de 1º”, no tuve ningún problema ni carencia que no se pudiera solucionar consultando algún libro o los apuntes de algún compañero de años anteriores. Ya había aprendido el idioma, quiero decir, el lenguaje matemático. Y creo que de eso se trata, de que la gente aprenda, o se le enseñe bien un lenguage (tanto el matemático como los idiomas hablados).

    Y no me enrollo más, porque, relacionando ambos conceptos de lenguage, y haciendo un símil con los discurso de algunos políticos junta-palabras, que está claro que hablan en un determinado idioma, porque las palabras que utilizan se reconocen y conocen, pero que no hay quién entienda lo que dicen, por incoherente, nos daría para otro tema ….

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  38. Si a mí me dicen hallar el resuldado de 6/2(2+1), yo no sabría que resultado dar.
    Si interpreto al signo / como una división, entonces debo dividir 6 entre el resultado de 2(2+1), ya que la división como operación binaria que es necesita de dos operandos, siendo el dividendo el que esta a la izquierda del signo / y el divisor lo que se encuentra a la derecha del signo /. En este caso mi resultado sería 1, ya que 6/2(2+1) = 6/2×3 = 6/6 = 1.
    Pero si me dicen que el signo / indica una fracción me encuentro con otro problema de interpretación, sería 6/2 solamente o 6/2(2+1). Es decir puedo interpretar que el denominador sólo sea el 2, o sea todo el producto después de todo allí no indica como debo tomarlo. Es más, seguramente yo tomaría toda la expresión 2(2+1) como denominador ya que no hay ningún separador que me indique lo contrario.
    En el caso de la división no encuentro ambigüedad, en tanto operación binaria la forma de presentarme el problema no deja lugar a dudas.
    En cuanto al caso de tomarlo como fracción y luego hacer la operación que ésta representa, me sentiría más inclinado a hacer la segunda opción, que me llevaría también al resultado de 1.
    Cuando yo doy a mis alumnos problemas como estos, escribo (6/2)(2+1) y allí no hay modo de error si quiero que obtengan el 9.

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  39. O sea romeo, que para usted, 6 ÷ 2(2+1) es 1?

    Y de ser así, dónde quedaría la ley de prioridad de operaciones que expone Diomond? Acaso estamos en presencia de dos leyes en MAtemática que chocan, según usted?

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  40. Yo de hecho, amigo romeo tenía el error de ver 6/2(2+1) como fracción donde el numerador era 6 y todo el denominador era 2(2+1), porque veía el 2(2+1) como 2a y entonces la fracción era numerador 6, denominador 2a, antes de leer este blog yo estaba en ese estatus.

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  41. La Casio fx-991ES PLUS que es un modelo muy nuevo da como resultado 1

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  42. La ley válida en todo terreno es que los paréntesis preceden a las multiplicaciones y divisiones y éstas a las sumas y restas.

    Ahora bien, sinuhe las cosas no las hice mal.
    Fijese que 6 ÷ 2(2+1), es una división, por lo tanto necesito de dividendo y divisor.
    Dividendo = 6.
    Divisor = 2(2+1).
    Resuelvo primero 2(2+1) = 2×3 (primero el paréntesis en el dividendo), luego 2×3= 6 (luego la multiplicación en el dividendo).
    Finalmente la operación dominante que es 6 ÷ 6 = 1.
    No se ha roto nada de lo que pide la matemática y ya ha sido probado varias veces.
    Saludos Sinuhe.

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  43. Pero 6/2(2+1) sin más especificaciones lleva a tener que hacer 6/2×3 = 6/6 = 1.
    Muchos de los posteadores anteriores no tienen en cuenta que escribir mal lo que se quiere expresar necesariamente lleva a ambigüedades y esto no tiene nada que ver con el tema de la precedencia de las operaciones. La precedencia necesita de la correcta escritura.

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  44. Gracias por su comentario romeo.

    Qué diría usted a lo que exponer romeo, Diamond, si es tan amable?

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  45. Yo sin más especificaciones, entiendo que:

    6 ÷ 2(2+1) = 3 (2+1) = 3*3 = 9

    pues a igualdad de rango en la operación, las aplico de izquierda a derecha. ¿Por que dices que el divisor es 2(2+1)? Y lo que si que esta claro es que el orden en que se efectuan las operaciones importa. Otra cosa, y esto ya si que es un tecnicismo, es que las calculadoras distingan entre la multiplicación explícita, con signo ‘*’ o el que sea, y la multiplicación sin signo.

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  46. Romero, Sinuhé, lo siento pero no estoy de acuerdo. Si nos encontramos escrito 6/2(2+1) debemos interpretar

    \cfrac{6}{2} \; (2+1)

    por lo que el resultado sería 9. Para interpretar lo que dice Romeo es obligatorio que el producto 2(2+1) aparezca entre paréntesis.

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  47. Interesante, me hiciste acordar de una materia que curse en el profesorado y una de sus unidades era justamente el tema de las formas de escritura en las calculadoras.

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  48. Digo que el divisor es 2(2+1) porque es todo lo que está a la derecha del signo de la operació ÷.
    Aunque también puede pensarse toda esa cuenta como
    6×1/2×(2+1), una multiplicación de tres factores, y como toda multiplicación podemos asociarla, por ejemplo (6×1/2)×(2+1)en cuyo caso nos da 9.
    Seguiré teniendo cuidado de donde poner los paréntesis cuando doy las cuentas a los chicos/as y en mi caso personal pasaré todo a multiplicación o sumas, como mencionaron más arriba, es lo mejor para evitar ambigüedades.

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  49. Mi primer profesor de álgebra me grabó a fuego esta frase:

    LOS PARÉNTESIS SON FÁCILES DE PONER, SEGUROS Y GRATUITOS

    ¿Por qué regatearlos? A la menor duda, paréntesis. Así se evitan todas la ambigüedades posibles. Si están bien puestos, por muchos que pongamos no estropearemos el resultado.

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  50. ¿Hay alguna forma de zanjar en modo definitivo el asunto propuesto en este post?

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  51. Sinuhé, siguiendo el enlace [Assuming “12/6/2” is referring to math] da el resultado correcto, 1, que se obtiene evaluando de izquierda a derecha.

    Yo creo que la wikipedia en inglés es bastante ilustrativa:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations

    Creo que menciona todo lo que se ha tratado por aquí, y yo suscribo lo que dice al 100%. La versión española:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_evaluaci%C3%B3n

    es una traducción regularcilla de solo una pequeña parte.

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  52. Creo que como dice Antonio, hacemos de izquiera a derecha si las operaciones tienen la misma precedencia y como dice JGJG metamos paréntesis sin escamotearlos para impedir las ambigüedades. Sería un buen criterio.

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  53. Ignacio, la información de wikipedia, qué tan fiable es? a kiénes citan ellos??

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  54. Tomaré como conocimiento oficial sobre prioridad en las operaciones lo expuesto acá por Diamond.

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  55. Hola!
    He leido tu post completo, me parece muy bueno. Pero tengo algo que comentarte que desde mi punto de vista si lo que quieres es que 6/2(2+1)=9 deberian existir unos parentesis asi: (6/2)(2+1), ademas las calculadoras casio tienen una forma de arreglar el problema a mi parecer no tengo una de ellas a la mano hay un simbolo para determinar que es una fraccion (parece una “L”) entonces escrito asi 6L2(2+1) debe dar 9.

    Saludos!!

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  56. Yo creo que el problema no son los paréntesis sino que, para CASIO, el operador faltante (* producto) es de prioridad superior al resto.

    Si, como dice JJGJJG, no hay que escamotear paréntesis, ¿por qué escamotear el símbolo del producto?

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  57. La jerarquía en las operaciones es un convenio, me costó trabajo admitirlo pero es así. Perfectamente podría haberse elegido hacer primero la suma en a+bc. Para mí el enunciado a/b(c+d) no tiene sentido y me tienen que aclarar con paréntesis a qué se refieren. Deberíamos intentar seguir unas normas claras y sin ambigüedades, como es un convenio, éste debería hacerse claro y entendible y que sea de aplicación universal. No me gusta el enfoque que dan algunos de que esto es así por que tiene que ser así, hay que explicarle a los alumnos las normas establecidas y no engañarlos, hay que decirles que es un convenio como circular por la derecha con el coche.

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  58. Sinuhé:

    La información de la wikipedia es tan fiable como el conjunto de gente que se decide a intervenir en su redacción. Este artículo en concreto, en la wikipedia inglesa (http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations) está muy completo y bastante bien, a mi modo de ver, dejando aparte el rollo de las reglas nemotécnicas.

    Evidentemente, la interpretación de una operación escrita es cuestión de convenio. Como dice Paco Moya, no hay mayor problema en interpretar que 3+2*5 = 5*5 = 25, si quien lo escribe y quien lo lee lo interpreta de la misma forma. Haríamos así prioritaria la suma y para indicar que debe efectuarse primero el producto deberíamos poner 3+(2*5) = 3+10 = 13.

    Pero el convenio generalmente aceptado es que el producto es prioritario respecto de la suma. El problema con las calculadoras es que utilizan convenios distintos, que sin embargo probablemente están especificados en sus respectivos manuales. En particular, la super-prioridad del producto ímplicito, que está (o estaba) más extendida de lo que hubiera pensado, especialmente al parecer en Física. Y eso que yo estudié Físicas y utilizamos varios de los libros de Landau … (ver artículo citado de la wikipedia).

    No obstante, pienso que el _convenio_más_extendido_ y más útil es que las potencias y raíces tienen prioridad sobre los productos y divisiones, y estos sobre las sumas y restas, y que dentro del mismo nivel de prioridad deben realizarse las operaciones en el orden de lectura, de izquierda a derecha. Excepto … las potencias, con mayor prioridad que los productos y cocientes, que deben evaluarse de derecha a izquierda (lo que tiene su explicación en la forma usual de escribirlos en dos dimensiones como superíndices, y superíndices del superíndice.

    Y olvidarse de ‘- unarios’ y diferencias entre productos implícitos y explícitos.

    Esta jerarquía de prioridades encaja muy bien con el hecho de que cada operación es distributiva con respecto a las del nivel inmediatamente inferior, con las debidas cautelas para exponentes no enteros.

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  59. Las jerarquías de las operaciones no se ponen en duda, se realizan primero las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas, sólo puede alterar la jerarquía el paréntesis, el corchete y la llave.
    Así por ejemplo
    3(a+b) me indica que haga primero la suma y luego la multiplicación.
    Pero 3a+3b me dice que primero haga las multiplicaciones y luego la suma.

    El asunto con 6/2(2+1), no es la jerarquía, sino como entender que debe jerarquizarse, debido a usos de la calculadora. Y visto de esta forma se puede uno confundir. Eso es todo.
    Nadie que tenga dos dedos de frente para la matemática le va a pifiar a la norma establecidad de realizar las operaciones. Lo que tiene que quedar bien claro siempre es evitar la confusión.
    Por esta razón yo uso paréntesis cuando quiero dejar en claro algo, y nadie en el mundo de la matemática podrá objetarme eso a menos que estén mal puestos los paréntesis.

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  60. Diamond, disculpe si mi pregunta ya ha sido contestada en todo este debate, pero me gustaría que pudiera contestarla cuando tuviera tiempo…

    Mi pregunta:


    Si digo que 6/2(2+1) es 6/2(3), voy bien?

    ok

    ahora si digo que 6/2(3) = 6/2*3, voy bien, no?

    ok, además…

    6/2*3 = 6 ÷ 2 * 3, ok?

    bien… tengo tres operaciones, división y multiplicación.

    De acuerdo con [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas],

    no sabría que efectuar primero: el ÷ o el *, a menos que en tales casos, se aclare que se efectúa de izquierda a derecha, cosa que no se desprende de [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas]

    Entonces, si sólo uso [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas], es ambuguo, porque son válidos

    3*3 {efectuando primero el ÷}

    y también es válido 6 ÷ 6 {efectuando primero el *}

    PERO, si además de [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas], uso leer de izquierda a derecha, entonces sin duda, la forma de efectuar será primero
    ÷ y luego, *, dando 3*3, que es 9, pero eso si, además de [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas], uso lo de leer de izquierda a derecha, no es verdad?

    Qué hay de malo en mi razonamiento?

    Saludos y gracias de antemano.

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  61. Si, como sostengo desde hace tiempo, la regla de izquierda a derecha deshace por completo las ambigüedades. Pero también es cierto que es demasiado estricta, se puede obtener el mismo resultado de otras formas. El problema es el mismo que con las sumas/restas: podemos alterar el orden, siempre que no desliguemos el signo ‘-‘ del número al que precede. En particular se pueden sumar todos los positivos y negativos cada uno por su lado, y restar los resultados.

    Entonces para las cadenas de productos/divisiones, las reglas son las mismas: se pueden multiplicar entre si los números precedidos por un ‘*’, o por nada, y también entre si los precedidos por ‘/’, manteniendo el signo correspondiente delante del producto resultante. Esto es equivalente a reemplazar cada divisor por su inverso como factor. Y evidentemente, si se escribe todo como una fracción, no hay ninguna duda.

    Esto que para un ‘experto’ parece obvio, a los alumnos hasta 3º de ESO y posiblemente para algunos más, les causa muchas dificultades. Es casi imposible conseguir que simplifiquen factores en un cociente. Generalmente multiplican todo el numerador y todo el denominador, para luego simplificar el resultado. Si supuieran lo que es el factorial y se les pidiese calcular 30!/28! muchos no acabarían en un mes …

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  62. Por cierto, la expresión bidimensional

    \frac{6}{2}\;(2+1)

    no genera dudas, cierto?

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  63. Que las calculadoras deberían mapear su notación posfija, o la que sea…, a la inequívoca notación de composición de funciones

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  64. ¿Os acordáis de la calculadora QAMA (Quick Approximate Mental Arithmetic)?
    Los que se adiestren utilizándola no correrán riesgos cuando utilicen una calculadora convencional en sus cálculos habituales.

    Aparte de esto, si nos decidiéramos a escribir las expresiones como 6/(2(2+1)) o 6/(2*(2+1)) o (6/2)(2+1) o incluso (6/2)*(2+1)no correríamos tampoco ninguno.

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  65. Ok, yo no he cuestionado la jerarquía de las operaciones ni de los paréntesis, corchetes o llaves.

    Digo, que para que dé 6/2 y eso multiplicado por (2+1)

    en vez de 6 entre 2(2+1)

    sin que haya duda alguna de qué orden escoger, luego de haber aplicado dicha jerarquía de operaciones

    hay que imponer la lectura de izquierda a derecha para las operaciones, como criterio adicional a la jerarquía de las mismas, no es verdad?

    alguien objeta lo que digo?

    Saludos, y gracias de antemano.

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  66. Siento decir que en el post Diamond sustenta, que al tener la operación / y la operación del paréntesis que está en 2(2+1) y elegir primero /, se argumenta a wolfram a google calculator y ya, pero obviamente estos dos deben escoger un orden, más allá de la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas].

    Entonces el argumento de que

    6/2(2+1) = 3(2+1) NO es la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas] sino la lectura izquierda derecha, ya que la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas] nos hace llevar

    6/2(2+1) a 6/2*3

    y ahora quedan división y multiplicación

    si solamente nos ceñimos a la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas]

    serían válidos tanto:

    (6/2)*3

    como

    6/(2*3)

    no es verdad?

    teniendo la ya comentada antes por otros, ambigüedad

    pero si además de la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas] usamos el criterio leer de izquierda a derecha, entonces entre la división y la multiplicaciñon, que tienen el mismo peso por [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas], escogemos primero la división y, entonces sí quedaría como única respuesta

    (6/2)*3 que es 3*3, lo cual da 9

    o me equivoco amigo Diamond??

    y si es así, en qué me he equivocado acá??

    Saludos respetuosamente.

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  67. Este post suyo y el anterior de similar contenido, me dejan contento. Es una prueba más de la ambigüedad si sólo nos ceñimos a la jerarquía de las operaciones.
    Y esta ambigüedad se mantiene aún cuando queremos usar la multiplicación por el inverso, ya que
    6÷2×3 entendido como (6÷2)×3 = 6×(1/2)×3 = 9. Y
    6÷2×3 entendido como 6÷(2×3) = 6×(1/(2×3)) = 1.

    Pero no estoy de acuerdo con usted sinuhe que no se desprenda la regla de izquierda a derecha de la conocida jerarquía. Porque el orden de lectura es siempre de izquierda a derecha, pero los paréntesis marcan que hay a la derecha y que hay a la izquierda.
    Usted y yo estamos en común de acuerdo que surge la ambigüedad, mientras que la mayoría no ve tan ambigüedad, realmente los envidio, porque tienen un problema menos que resolver.

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  68. Bien, sigo con la intriga…

    6/2(2+1) = 6 ÷ 2(2+1)= 6 ÷ 2(3) = 6 ÷ 2 * 3 ?

    Entonces QUÉ hace que se efectúe primero el ÷, antes que el *, porque no basta con la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas], habría que aplicar, además, la lectura de izquierda a derecha, es o no, Diamond?

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  69. Romeo estoy leyendo su post… dice usted que la lectura de izquierda a derecha esta dada tácitamente? entonces lo que he querido decir más bien es que ante una serie de operadores, la jerarquía [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas] me mantendría el ÷ y el * con el mismo peso, pero entonces, leyendo de izquierda a derecha y entendiendo la ambigüedad por el mismo peso, al efectuar los paréntesis, y eliminar la ambigüedad, la escogencia de qué operador a aplicar sería de izquierda a derecha, lo cual impondría la parentización,

    (6 ÷ 2) * 3

    ya no sólo se trata de leer de izquierda a derecha, sino de parentizar de izquierda a derecha o de interpretar que ante dos operadores de igual peso en la jerarquía [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas], necesariamente

    6 ÷ 2 * 3 =
    (6 ÷ 2) * 3

    eso “parece ser” lo que tienen claro Diamond y los demás partidarios de efectuar

    6 ÷ 2 * 3 como (6 ÷ 2) * 3, exponiendo que no hay lugar a duda

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  70. Luego me puse a pensar en esto, si en 6÷2×3 no hay paréntesis, entonces podemos hacer 6×3÷2 = 18÷2 = 9, que es lo mismo que 6÷2×3 = 3×3 = 9. Y aquí se da claramente aquello de que multiplicación y división están al mismo nivel y es indistinto la forma en que se hagan las operaciones.
    En ese caso no hay ambigüedad alguna. Dado que 6÷2(2+1), teniendo que si entre dos números en los que no hay signo dichos números se multiplican, entonces 6÷2×(2+1) = 6×(2+1)÷2 = 9.
    Debo decir entonces que diamond y compañía tenían razón.
    Menos mal que no apostamos nada, sino ya estaría pagando.
    ¡Felicitaciones a los antiambigüedad!

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  71. Interesante artículo y siempre que puedo reflexiono sobre este tema con los chavales. Para empezar, creo que las calculadoras pueden ser muy útiles si se saben manejar, pero pueden resultar muy dañinas si no se comprende bien lo que se está haciendo. Por eso, es preferible ,tal y como ya he leído en algún comentario, abusar de paréntesis y evitar errores de interpretación como el protagonista de esta entrada. Y tampoco cuesta nada recordar que a igualdad jerárquica en las operaciones, se debe comenzar por la de la izquierda.

    Un saludo.

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  72. Yo vi una materia llamada Lógica Simbólica, en la cual me bajaban puntos si usaba paréntesis innecesarios…

    Mi preguntas es, siendo eficientes en el uso de paréntesis (sin usar paréntesis que no hagan falta), y sin que haya dudas en la operación final, basta con la prioridad [Paréntesis][Multiplicaciones,Divisiones][Sumas,Restas]?

    Porque, si entiendo bien, es el único argumento expuesto en este post.

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  73. Vamos a acabar discutiendo sobre el sexo de los ángeles.
    ¿Son innecesarios los paréntesis que sirven para eliminar toda posible ambigüedad?

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  74. Este tema lleva atormentándome desde que era niño. Ahora mismo en casa tengo una hp30S y una CASIO fx-115MS y ambas resuelven 6/2(2+1)=1

    Respecto a poner más paréntesis para escribir \frac{6}{2(2+1)} yo le pongo paréntesis siempre. Sin embrago para escribir \frac{6}{2}(2+1) lo que hago es escribir \frac{6}{2} como racional con la tecla a^{b/c} de esa forma ambas calculadoras que tengo en casa me muestran el resultado correcto, 1.

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  75. Buena esa, el sexo de los ángeles, eso no es Leon Tolstoi??

    Los paréntesis que evitan ambigüedad pues claro que no son innecesarios, por eso, ese es el punto, hay o no hay ambigüedad en lo planteado en este post, y por qué?

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  76. Cuando hablo de evitar ambigüedades me refiero a las ambigüedades “subjetivas”. El hecho de que este post tenga más de ochenta comentarios que barajan varias opiniones diferentes para una única y sencilla expresión demuestra que, a veces, hay gente que no termina de tenerlo claro incluso entre los enseñantes. No es lo mismo escribir la expresión en un papel o una pizarra que introducirla en una calculadora. Por eso sería útil recomendar a los alumnos añadir, a veces, algún paréntesis para evitar riesgos.
    No creo que nadie pueda decir que las expresiones (6/2)*(2+1)=9 o 6/(2*(2+1))=1 son matemáticamente incorrectas.

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  77. Lo confirmo… Y me parece algo inquietante la verdad. Parece mentira que CASIO caiga en un error tan gordo :/

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  78. Es una fraccion. En la Casio fx-82MS tienes que poner el signo de fraccion (a b/c) y no el de division despues del 6. Entonces asi da 9. Porque la de Texas Instruments toma el signo / como fraccion.

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  79. Gañan, la solucion es uno es numerador 6 denominador 2(2+1) para que fuera como tu pones tensria k poner un x entre el 2 y el parentesis

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  80. Yo lo veo así. 6/2*(1+2)… Puede ser expresado así: (6/1)*{1/[2*(1+2)]}=6/[2*(1+2)]=6/(2*3)=1; sin embargo, también lo podemos expresar de este otro modo: (6/1)*(1/2)*(1+2)=(6/2)*(1+2)=3*3=9. Este último modo de expresarlo me parece el más correcto ya que lo hemos reducido todo a un producto, teniendo sólo una multiplicación con tres factores bien aislados y definidos. Así, teniendo la propiedad conmutativa, es indiferente si escribimos (6/1)*(1/2)*(1+2) ó (1+2)*(6/1)*(1/2) o el orden que queramos. El resultado será el mismo.

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  81. Wow que polemica!! a mi parecer es 1 Yo veo esto igual a A/B=C donde A=6, B=2(2+1) y C= resultado que es 1 , es mi opinión

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  82. Tenemos claro que (1+2) es un factor; si tomamos a 6 independientemente es 6/1 y si tomamos a 2 con independencia del (1+2) y del 6, algo más difícil ya que el 2 divide al 6, tenemos 1/2. 6/2=(6/1)*(1/2). Sólo queda añadir el otro factor que de momento hemos dejado de lado, (1+2). Se trata de descomponer la expresión inicial a una más simple que no dé lugar a equívocos. No hay que multiplicar entes sin necesidad.

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  83. “Suponer que hay paréntesis donde en realidad no los hay en un error demasiado frecuente como para que una marca como CASIO, y una calculadora tan utilizada como la fx-82MS, ayuden a que se extienda.”

    En realidad CASIO no está suponiendo nada, es un error de software que evidentemente no les ha calentado mucho.

    La calculadora no acepta la multiplicación implícita, el hecho que en ese caso lo haga con máxima prioridad y también con variables ( A(1+2) , (1+2)A , 2A , AB ) no significa que los ingenieros de CASIO no sepan matemáticas sino que probablemente algunos provengan de Microsoft 😉 . Ya que operaciones como (1+2)3 o A2 dan el esperado Syntax Error.

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  84. Mi calculadora Casio fx 7400GII a pesar de ser graficadora sigue dando por resultado 1
    es triste algo así.

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  85. Evidentemente si suscita polemica pero no deberia, desde el inicio estan mal ingresadas en la calculadora, porque asi como estan obviamente saldra mal, para que el resultado sea correcto se debe ingresar (6/2)(2+1)=9 ya que si no sabes colocar correctamente los parentesis el resultado sera erroneo.

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  86. Bueno, el problema para resolver 6/2(2+1) es más sencillo si se usan letras.

    Si x=2+1
    La operación es 6/2(x), la cual claramente se interpreta como 6/2 veces x.
    y por lo tanto al resolver la operación el resultado es 9

    El error:

    El error consiste en decir que si x=2+1, la operación a resolver es 6/2x porque al remover los paréntesis que evidentemente están ahí por alguna razón diferente a confundir a quien resuelve la operación, la interpretación cambia completamente y el resultado erróneo por su aparente lógica resulta ser 1.

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  87. Hola Diamond

    Lo que pasa amigo, es que con todo respeto, la argumentación escrita acá no permite concluir que necesariamente deba ejecutarse primero el la división de 6 entre 2 y luego la multiplicación por (2+1). Sincermente la precedencia deja esto ambiguo… En ningún lado dice que se deba hacer de izquierda a derecha ante igual prioridad de operaciones, eso es solo una de las posibles escogencias. Qué regla dice que no se pueda hacer de derecha a izquierda al tener una división y una multiplicación (misma prioridad). Luego, es como dice Johanna.

    El hecho de que la calculadora o wolfram hayan resuelto 1 y no 9 es porque escogieron la propuesta dicha por usted, dado que hay que parsear la expresión, y luego tokenizar el input, para dar el resultado, es un asunto de escogencia.

    Espero mi “opinión” se reciba como eso, y en ningún caso ofensiva, y la gente de informática pueda opinar. Y lo que es más importante, los partidarios del resultado 1, me digan paso a paso por qué necesariamente la lectura es (6/2)*(2+1), es decir:

    usando prioridades, citando dónde dice que hay que leer de derecha a izquierda, etc.

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  88. Sinuhé, parece que dices que yo he comentado que el resultado correcto es 1. ¿Me puedes decir dónde aparece eso? Gracias.

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  89. Tal cual amigo Diamond, le he citado al contrario de lo que usted ha dicho. Me disculpo por ello, ante su persona y ante los demás, acá. Ha sido un despiste de lectura de mi parte.

    ¡Saludos!

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  90. Sinuhé, ningún problema hombre. Es que estaba viendo que habías interpretado erróneamente mis palabras y tenía que comentártelo :).

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  91. Primero Parentesis, Luego muLtiplicacion Y deSpues Division, Y Recuerdden Q No Es Excel, Asi Q No Es Ley Ir De Izq A derecha

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  92. tengo una CASIO fx-82MS

    Muy cierto que da 1, interesante artículo pero bueno por tener ya un poco de tiempo en uso de esta y ser estudiante de ingeniería sabemos que hay que aportar paréntesis extras “(6/2)(2+1)=9 pero es verdadero que en un principio si me trajo problemas eso porque en muchas operaciones el resultado mental no coincidía con el de la calculadora.

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  93. Alguien me puede explicar sobre el siguiente tema esque no entiendo nada… El tema es
    Operaciones Aritméticas con operaciones de procedencia jerárquica

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  94. Saludos, amigo Diamond

    ¿Había leído esta entrada?

    Está en inglés, es la más completa que he encontrado en cuanto a orden de operaciones.

    Fíjese donde dice “Exceptions to the standard”, específicamente:

    “However, there are examples, including in published literature, where implied multiplication is interpreted as having higher precedence than division, so that 1/2x equals 1/(2x), not (1/2)x. For example, the manuscript submission instructions for the Physical Review journals state that multiplication is of higher precedence than division with a slash,[5] and this is also the convention observed in prominent physics textbooks such as the Course of Theoretical Physics by Landau and Lifshitz and the Feynman Lectures on Physics.”

    Pero, para que pueda leerlo en su contexto, copio el link completo, a continuación:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations

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  95. Hola:
    Tengo una calculadora Kursten CB-172
    Y me pasa lo mismo que en la casio:
    6/2(2+1)=1
    6/2*(2+1)=9

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  96. Pues en la calculadora de alta precisión Speedcrunch (app de linux), lo que sucede es que la calculadora te advierte de “expresión inválida”.
    Supongo que entiende que falta información para poder concluir.
    Si luego le añadimos el símbolo de multiplicar delante del paréntesis, entonces sí devuelve 9 como resultado.

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  97. Estoy impactada al ver este tipo de cosas tan interesantes y tan apabullantes no se que decir la verdad creo que nada de las matemáticas esta escrito que cosa tan más increíble, no se al usar calculadoras creí que no podía tener fallas y oh sorpresa!!!! WOW…no se que decir atónita la verdad

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  98. con este primer diplomado que estoy tomando en este momento,me ha servido para darme cuenta de las debilidades para poder fortalecerlas así como un retroceso a lo que yo pase en cierto tiempo y que ahora que de nueva cuenta se presenta no recordaba, mas sin embargo me agrada.

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  99. En lo personal, este curso me esta sirviendo demasiado, devido a que en mi caso me aparece SINTAX ERROR, pero ahora después de haber leído cada uno de los consejos y estrategias que aportan brillantes matemáticos, me resuelve varias de mis dudas.

    La verdad coincido con el comentario de varios comentarios cuando mencionan que se quedan sorprendidos por cada uno de los resultados y procedimientos que se realizan.

    Como conclución puedo opinar que seguire practicando para no batallar y poder hacer una clase de diez en donde mis alumnos comprendan esta parte y les guste hacer operaciones de este tipo.

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  100. Me encanta este diplomado, la verdad tenía mucho tiempo que no me sentía como universitaria. Respecto a que las jerarquías de operaciones no se ponen en duda, ya me quedó muy claro:
    Primero se realizan las potencias y raíces.
    Segundo las multiplicaciones y divisiones
    y despues las sumas y restas.
    Solamente se altera la jerarquía cuando existe el paréntesis, el corchete y la llave

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  101. Me encanta el DIPLOMADO DE MATEMÁTICAS, tenía mucho que no me sentía universitaria. Aprendí la forma de resolver algunas operaciones utilizando la jerarquía de las operaciones.
    Gracias, porque esto me ayuda a trabajar mejor en mi grupo.

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  102. Es padre tener esas experiencias de la secundaria y reafirmar que los que bien se aprende no se olvida, es mejor cuando a alguein le interesa un tema y se refleja en los resultados que pueden arrojar ante las actividades. Apesar que los temas en general son elevados para la primaria se pueden adecuar a ella.

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  103. Los temas que revisamos nos permiten desarrollar y mantener los aprendizajes que hemos desarrollado a lo largo de nuestra formación, en su momento todos pasamos por un proceso para desarrollar nuestro aprendizaje y es importante ponernos en el lugar de los niños para conocer un poco más sobre cómo aprenden y la lógica con la que resuelven las encomiendas asignadas.

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  104. Los contenidos y temas que hemos abordado no permiten mantener y desarrollar el aprendizaje que generamos a lo largo de nuestra formación. Debemos aceptar que todos en su momento pasamos por un proceso para lograr un mejor desarrollo, es por esa razón que en ocasiones los niños aprende de una manera y tienen su lógica, por ello también debemos conocer su pensamiento.

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  105. Me agrada estar en el “Diplomado en Matemáticas” ya que aprendo de mis maestros y compañeros, tenía mucho tiempo de no ser alumna en curso, diplomado, etc. Deseo alcanzar mi propósito de terminarlo.

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  106. Importante retomar los conceptos de la jerarquía de las operaciones porque se necesita tener un verdadero domino del tema. Hay mucho que estudiar y repasar.

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  107. Es muy interesante estar en este Diplomado de Matematicas, por que te recuerda que el uso de la calculadora pareciera sencilla de usar, pero a su ves es compleja si no se tiene el conocimiento necesario del funcionamiento de esta.

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  108. Me agrada tener la oportunidad de estar en el diplomado en matemáticas ya que el en esta sesión virtual me dí cuenta que el uso de calculadora aparenta ser sencillo pero tiene sus particularidades!

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  109. Es importante saber muy bien el uso de la calculadora que creemos que es muy sencilla pero al realizar las operaciones que se nos presenten entramos en la jerarquia de las operaciones .

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  110. El error no es de la calculadora, es del usuario, la notación fraccional debe declararse con la tecla de fracciones no como una división, no es lo mismo / a ÷, en otras calculadoras que no usan una tecla especifica para notación fraccional y muestran / al dividir puede usarse este como tal pero en este modelo en especial no, para eso tienes la tecla que dice [ab/c] la cadena de teclas correctas debía ser [6][ab/c][2][(][1][+][2][)][=] y esto es lo que pasa cuando alguien no lee el manual

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  111. Nuyel, esa es la respuesta al dilema de los modelos de las calculadoras!

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  112. Recuerdo largas discusiones entre dos amigos. Acaloradas por decir más y poniendo argumentos apoyando cada cual su punto… lo curioso de todo ello, es que ambos tenían la misma opinión, y aún así seguían discutiendo ¿discutiendo? sobre dicho tema, quizá cada cual vanagloriándose de sustentar su punto (el mismo de ambos) de mejor manera…

    ¿Para que discutir si todos apoyamos lo mismo?
    Por si acaso, y siguiendo lo mismo que dijo JJGJJG, acá les dejo algunos paréntesis…

    (((((((((((((((((((((((((((())))))))))))))))))))))))))))))

    y por si les hacen falta, acá hay corchetes también y problema resuelto…

    [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

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  113. Yo no tengo ninguna calculadora, pero utilizando mi entendimiento, y considerando que no soy experto en el área de exactas, creo hay un error y el resultado correcto debería ser 2.5 porque:
    6/2(2+1) Empezaríamos con una multiplicación que es 2×2=4, luego la división 6/4=1.5, finalmente la suma: 1.5+1=2.5.

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  114. OMG David! Creo que acabas de iniciar un montón de comentarios acerca de tu método para resolver la operación… Y ocurre que es indiscutible que la prioridad la tiene el paréntesis, por lo tanto primero sumas 2+1=3…

    Luego, resuelves la operación que se representa como a/b(c).

    En este orden de ideas, a=6, b=2 y c=3

    Entonces resolvemos 6/2=3

    Y finalmente 3*3=9

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  115. Perdón, yo nomás andaba aquí de metiche, ni siquiera he acabado el bachillerato.

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  116. hmm… Bueno David, disfruta de las vacaciones y aprovecha el colegio que esos años que son los mejores. Las matemáticas no son difíciles si entiendes las reglas básicas… Como cuando aprendes un idioma o como cuando aprendes cualquier cosa… No tiene mucho misterio una vez entiendes la lógica, la curiosidad hace que hagas preguntas que te llevan a nuevas respuestas y siempre es interesante aprender algo nuevo.

    Que tengas un buen día.

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  117. Que pena por llegar tarde al post, pero lo que vi que puso IGNACIO me ha dejado completamente sorprendido, -5^2 nunca da -25 puesto que el numero 5 le estas diciendo que es negativo, claramente hay un error de comprensión -5^2 es lo mismo que tener -5x -5 = 25 todo por la ley de los signos, lo que pasa aquí es que el sistema al no ver los parentesis indicados el excel toma como número negativo el 5 por eso le da positivo, que pasa con las calculadoras, creo que ellas tienen un pequeño error y es que si no le indicas que (-5)^2=25 el tomara por ley de jerarquia de operaciones 5^2 y luego le antepone el número negativo por lo cuál da -25, entonces claramente es un error del mismo usuario al usar las calculadoras y no comprender los números negativos elevados a la potencia que dice todo número negativo elevado a la potencia par da positivo es decir que -a^2 = x y todo numero negativo elevado a la potencia impar da negativo es decir que -a^3= -x, espero haber aclarado la duda

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  118. Ahora si habiendo comentado con el tema de IGNACIO comento sobre el post creado, otro error de conceptos la calculadora no esta mal está perfectamente bn y cuando se habla que 6/2(2+1) no estas diciendo que toda la expresión está siendo multiplicada por (2+1) sino que le estas diciendo que el 2 esta afectando la operación de (2+1) teniendo en cuenta ese concepto se puede aclarar lo siguiente; 6/2(2+1) = 6/2(3) primero ahora como el 2 afecta el 3 la calculadora lo toma y lo realiza quedando 6/6=1 es muy diferente ahora si le dices a la calculadora (6/2)(2+1) o como le dijiste 6/2x(2+1) ya que ahí si lo toma como tu dices primero suma 6/2×3 y como ya el 2 no afecta al 3 pues entonces divide 6/2=3 y por último multiplica 3×3= 9 entonces no es error de la calculadora sino de comprender conceptos matematicos para que no se cometan estos tipos de errores, no siendo mas saludos

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  119. En la calculadora CASIO fx-82MS, no sólo al escribir la operación 6:2*(2+1) da la respuesta correcta, tambien si se expresa de manera distinta 6/2(2+1) = 9

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  120. Si es muy facil…soy hay que leerse el manual de la casio y comprobar que tiene preferencia sobre qué al hacer operaciones….no todas las calculadoras eran iguales….cualquiera que tenga una casio fx880 o hp49g sabe la diferencia….

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  121. Hola tengo una casio fx-82TL y el resultado de operar 6/2(2+1) también da 1 😛

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  122. en la operación 20+20 x 20-20 no tiene ningún paréntesis según yo al no existir el paréntesis la operación se hace de corrido pero quisiera que me sacaran de la duda se los agradeceria mucho !!!

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  123. Tengo una duda, tal vez parezca estúpida y puede que lo sea pero me gustaría que me ayudaras a minimizar mi ignorancia, si tengo la siguiente operación:

    3-9+5+3×7-8+6=?

    ¿Cuál es resultado?
    Es decir, si no se pone ningún () ¿se sigue aplicando la jerarquía de operaciones?

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  124. la forma correcta de escribir la operacion para que de 9 en la casio es presionar la tecla de fraccion en lugar de presionar el simbolo de divicion
    6 ab/c 2(2+1)=9
    sino lo hacemos simplemente se interpreta como 6 sobre el producto de 2(2+1)
    es decir que el error no es de la calculadora si no del usuario

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  125. La mía es CASIO fx-270W PLUS, tiene 15 años que la compré y funciona correctamente, no ha tenido fallas

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  126. Efectivamente en vez de colocar el signo de la división, hay que teclear el de fracción antes, o también poniendo seis entre dos pero entre paréntesis.

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  127. La verdad yo casi no utilizo calculadoras en las escuelas donde estudie me enseñaron bien y además siempre fui una alumna muy dedicada en el estudio así que casi no las necesito solo en ocasiones para acortar camino, no tengo calculadora propia pero he usado las CASIO en cientificas y me gustaban mucho creo que la jerarquía de operaciones es fácil de llevar a cabo cuando uno memoriza el orden en el que se deben de realizar aunque hemos escuchado mil veces que la memorización es mala en lo personal la utilizo y me sirve en demasía obvio tengo razonamiento del porque de la jerarquía pero al final estas son reglas que han ido estableciendo los estudiosos de las matemáticas.

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  128. A mi me dio 9 la hice en una calculadora CASIO que me prestaron y efectivamente me da 9….ooohhh

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  129. Con sido con el compañero Víctor en poner adecuadamente los signos, en las calculadoras así como realizar la operación en la forma correcta comenzando por los corchetes o paréntesis y terminando por sumas o restas. creo que al igual que la tecnología los profesores debemos actualizarnos, y reflexionar sobre la importancia de dar a conocer las matemáticas desde pequeños; para que estas no solo sean memorísticas sino también logren ser reflexivas.

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  130. 6÷2(2+1) tienes que colocar en vez de ÷ un / con la tecla a b/c en la fx 85.

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  131. Que curioso por que en mi casio fx-82ES PLUS sale 1 ocea el problema sea prolongado mucho 😮

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  132. Como puedo resolver una operación asi?

    {[2(23-10)]-12=

    3{2[(12-4)➗4(10➗5)]-6}=

    3[(2(12-4➗10-8)-6)]=

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  133. Yo aun tengo una duda, entiendo que primero se resuleve lo de dentro de los parentesis.
    Pero, porque cuando dices que vas a escribir la operacion como fraccion, la fraccion correcta es: (6/2)(2+1) en lugar de 6/(2(2+1) ). Entiendo lo que dices de que no puedes multiplicar por el denominador. El caso es, si la persona que realiza el calculo escribio la operacion de forma ambigua ¿como sabes cual fraccion es la que en realidad se quiere resolver?
    En otras palabras como sabes que la diagonal de la division solo alcanza al numero inmediato y no al resto de la expresion. Ademas multiplicacion y division tienen la misma jerarquia…
    acaso lo hiciste asi porque como leemos de izqueirda a derecha?

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  134. Pues a mi entender la respuesta correcta es 1 .
    Les explico: este problema supuestamente es de respuesta ambigua
    O sea puedes escoger 2 caminos: 6/(2*3) igual 1 o( 6/2)*3 igual 9
    Como no hay paréntesis el problema solo dice 6/2*3 segun la regla de prioridades
    la multiplicación y la división tienen igual prioridad al igual que la suma y la resta
    esto significa que 4*3*2 si lo haces 2*3*4 seguirá dando el mismo resultado o 3-2mas5
    Es lo mismo que -2mas5mas3.
    Por lo tanto volviendo al problema original existen dos operaciones de igual prioridad el 6
    Que divide al 2 y el 2 que multiplica al 3. la unica fraccion que cumplecon estos requisitos
    es 6/(2*3) de la otra forma planteas que el 3 divide al 2 y eso no es lo que te dice
    el problema original. El kid del problema: el 6 y el 3 no tienen que multiplicarse pero el 3 y el
    2 si porque te lo indica claramente el problema original. Y de esta forma puedes dividir primero
    Quedandote 3/3 o multiplicación primero quedandote 6/6 indicando las dos vias (1). Saludos

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  135. Para 8/4/2 se cumple lo mismo queda 8*2/4 y se cumplen que el 8
    divide al 4 yel 4 se divide con el2 siempre dando como resultado 4.
    Si te dio 1 fue porque despejando hiciste 8/(4*2) igual a 8/8 igual 1
    O sea multiplicaste el 4 *2 diferente a lo que te dice el problema original.
    Planteen la ecuacion y despejen y se darán cuenta. Saludos

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  136. Estoy impresionado por la cantidad de comentarios, la verdad que tengo los huevos llenos.

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  137. Por notación científica debe dar 9, creo que las calculadoras que fallan no utilizan la Notación Polaca Inversa.

    Expresion infija: 6/2(2+1)
    Expresion postfija: 6 2 / 2 1 + *
    Resultado: 9

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  138. Está mal planteado el resultado, el paréntesis sólo afecta al 2.
    No es seis medios por uno mas tres, es la división de 6 entre el producto de dos con la suma de uno y dos.

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  139. x es el numero
    2x es el doble del numero
    2/2x es dividir 2 entre en doble de x, si x= 3, entonces 2/2(3)= 2/6

    2/2*x es (2/2)*x = 1x
    si no fuera así se cae el Álgebra y el Valor Numérico de la misma.

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  140. Me parece que ambas calculadoras están mal: deberían dar ERROR SINTÁCTICO. Multiplicar sin símbolo no es algo estándar, es algo “de la calle” por así decirlo, y por eso hay varias reglas.

    Y una de las reglas más extendidas es una norma muy práctica: si no hay operación entre dos elementos, hay una multiplicación con precedencia sobre otras operaciones, hay un paréntesis invisible. Por ejemplo, en el famoso todo sobre 2a de la raíz de binomio.

    Y no es incorrecta ya que no colisionaría con lo estándar.

    Por otra parte, en el ámbito académico la multiplicación puede tener precedencia sobre la división. http://d22izw7byeupn1.cloudfront.net/files/styleguide-pr.pdf

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  141. Mi casio fx-115ms me da uno si expreso la operacion como una division entre el 6 y el 2 multiplicandolo por la suma dentro del parentesis sin embargo si lo pongo como una fraccion 6/2 mi calculadora da 9 , eh pensado que quizas se pasa por el forro la gerarquia y multiplica 2 por 3 antes de dividir… extraño pero en definitiva si expreso la divicion como una fraccion desaparece el conflicto

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  142. Es porque una usa una gramatica libre del conexto LR1 y la otra una LL1

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  143. Yo también hice la prueba con mi casio fx-570 y el resultado es 1. Cae en el “síndrome de paréntesis invisibles”. Yo siempre recomiendo usar los paréntesis, de manera correcta, así evitamos este tipo de errores.

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  144. Para mí no esta mal que sea 1. Quizas porque use este tipo de calculadoras toda la vida y entiendo el mecanismo. Al no haber un operador de multiplicacion, el parentesis multiplica a lo anterior, que es el denominador.

    Funciona asi: Cada vez que pones un * se agrega una multiplicacion en el numerador, y con el / en el denominador (o se multiplica por 1/ lo que pones).

    No se si se entiende, pero bueno, yo la entiendo a mi calculadora.

    De cualquier forma, no cuesta nada escribir bien la expresion.

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  145. Me hace acordar el año pasado cuando en facultad una profesora me vio con el excel colocando un montón de paréntesis, me decía que era al pedo. Hice colegio industrial y siempre puse muchos paréntesis o bien ir haciendo la cuenta en orden.

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  146. La calculadora Sharp EL-531W, para 6/2(2+1) da resultado 1
    mi pregunta es, ¿sera que solo en este tipo de operaciones o entoras?

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