Joseph Bertrand: un postulado para la eternidad

Joseph BertrandJoseph Louis François Bertrand fue un matemático francés del siglo XIX que nació en París el 11 de marzo de 1822 y murió en la misma ciudad el 5 de abril de 1900. Sus trabajos se centraron principalmente en teoría de números, geometría diferencial, teoría de la probabilidad, economía y termodinámica.

Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.

Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.

Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:

  • Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
  • Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
  • Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
  • Notas sobre teoría de probabilidad.

Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:

  • Traité d’arithmetique
  • Traité élémentaire d’algèbre

dirigidos a alumnos de secundaria, y:

  • Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
  • Thermodynamique
  • Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité

para alumnos de niveles superiores.

Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:

Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?

En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.

Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:

Joseph BertrandPero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n[/latex]. </blockquote>  Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.   En realidad esta es la versión <em>débil</em> del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo [latex]n número natural mayor que 3 existe un número primo p tal que n < p < 2n-2[/latex], aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.

Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…

Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Me gusta leer biografías de matemáticos, gracias por esta entrada.

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  2. – Hay una prueba condicional del postulado de Bertrand dando por cierta la conjetura de Goldbach. ¿Alguien se anima a escribirla?

    Conjetura de Goldbach: Todo entero par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos primos.

    – Hizó falta mencionar que J. Bertrand comprobó de manera empírica la validez de su postulado para los naturales en el rango [1,3000000].

    – La prueba de Erdös del postulado de Bertrand es el tema central del primer artículo que se le recuerda a Erdös. Dicho artículo puede ser ubicado aquí. El artículo surge en uno de los primeros años de universidad de Erdös y dió lugar en esa época a una curiosa copla que condensa de modo bastante sublime la naturaleza del postulado:


    Chebyshev said it,
    but I will say it again:
    there is always a prime
    between n and 2n.

    Saludos.

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  3. falta una “r” ^DiAmOnD^. en la parte de:

    Tuvo que SE(R) Chebychev quien,… .

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  4. Muy buena historia 🙂

    Un detalle. He estudiado ecuaciones en derivadas parciales, pero no me suena de ahí el nombre de Duhamel. De donde sí me suena es de las ley de Hooke-Duhamel, que es la ley de los muelles pero comoplementado con la dilatación debida al calor. Claro que fue en el proyecto de fin de carrera; ni siquiera en clase lo explicaron.

    Salud!

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  5. omalaled, Duhamel da nombre a una parte de la solución de un tipo de ecuación de ondas. Yo no recuerdo si lo estudié en mi carrera, pero ahora dando clases particulares sí lo he visto.

    Recuerda que es en ecuaciones en derivadas parciales. Si sólo viste ecuaciones diferenciales ordinarias no te sonará Duhamel :).

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  6. Muy buena entrada. Me ha parecido llamativo el hecho que comenta J.H.S. de que la conjetura de Goldbach implica el Postulado de Bertrand. No lo conocía. Además es sencillo de probar:

    Supongamos cierta la conjetura de Goldbach y consideremos n\geq 3 (para n=2 está claro). Podemos tomar dos primos p_1\leq p_2 tales que 2n=p_1+p_2 y n\leq p_2<2n. Si n fuese compuesto entonces ya tendríamos n<p_2<2n.

    Si n es primo, entonces n+1 es compuesto y ponemos 2(n+1)=q_1+q_2, con q_1\leq q_2 y n+1\leq q_2<2n+2. Pero resulta que q_2 no puede ser 2n-1 (pues implica q_1=1) ni 2n (ya que este último es compuesto). Luego tendríamos un primo q_2 cumpliendo n+1<q_2<2n.

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  7. Lo que no entiendo es por qué se llama “postulado” de Bertrand. ¿No debería ser “conjetura” de Bertrand? Para mí un postulado es un sinónimo de axioma…

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  8. @M: Muy buena, hombre… Gracias por poner atención a mis comentarios.
    @Antonio: Excelente pregunta, señor. La explicación es simple: se le denomina postulado de Bertrand porque J. Bertrand lo dió por cierto y de hecho llegó a emplearlo en sus investigaciones en Teoría de Grupos. Esto lo leí en un célebre libro de LeVeque. De hecho, LeVeque agrega que dada la evidencia empírica la hiṕotesis propuesta por Bertrand fue bastante conservadora. Una palabra clave en este rubro es la de primo-de-tipo-Ramanujan.

    Otro punto que es importante recalcar es una generalización al postulado de Bertrand probada por Erdös en un trabajo de 1934:

    Si n>k entonces el conjunto {n,n+1,…,n+k-1} tiene un elemento con un divisor primo mayor que k.

    ¿Puede alguien deducir el postulado de Bertrand a partir de dicho resultado?

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  9. Otra cosa:

    Hay que notar que el método de prueba de Chebyshev arroja resultados más fuertes que el mero postulado de Bertrand.

    Para mayor información al respecto les recomiendo el libro de E. Aparicio de Teoría de Números. El mismo Aparicio presentó en su trabajo de tesis (de licenciatura?) una mejora interesante a los resultados obtenidos por Chebyshev.

    Saludos.

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