L OME en Requena – Problema 1

Los pasados días 28 y 29 de marzo de 2014 se celebró en Requena la L Olimpiada Matemática Española. A partir de hoy os iré dejando propuestos, a razón de uno por semana, los seis problemas que se plantearon en dicha competición. Como siempre, os pido que si conocéis la solución de los mismos por haberla consultado en otro sitio dejéis un tiempo antes de responder para que los demás puedan intentar resolver los problemas. Muchas gracias.

Ahí va el primer problema:

¿Es posible disponer sobre una circunferencia los números 0, 1, 2,…,9 de tal manera que la suma de tres números sucesivos cualesquiera sea, como mucho, a) 13, b) 14, c) 15?

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Como la suma de 0-9 es 45 y cada número aparece en tres sumas, el total es 135.
    Para las 10 sumas distintas sale una media de 13,5, luego el caso a) queda descartado porque la suma máxima admisible sería 130.

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  2. El caso b) se elimina considerando casos teniendo en cuenta que 7, 8 y 9 tienen que estar separados por dos números siempre.

    El caso c) es posible;)

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  3. Una forma más fácil de eliminar el caso b, (y te cargas el caso a también de paso) es considerando que, en particular, la suma, si separamos en tres bloques los números, sin considerar el 0, tiene que ser menor o igual a 39 en el caso a) o 42 en el caso b) pero la suma de estos números es la suma del 1 al 9, la cual da 45.

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  4. Apartamos el 0 de la cadena de 10 numeros . Quedan 9 que suman 45 , los separamos en grupos de 3 y tiene que haber necesariamente uno que sume 15. ( Esto prueba el a y b )

    El c si es posible , sean aqui las dos combinaciones posibles:

    1) 0.9.5.1.8.4.3.2.7.6
    2)3.8.1.5.9.0.6.7.2.4

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  5. Martin,
    dices que esas son LAS dos combinaciones posibles, dando a entender que sólo hay 2, que son las únicas, pero si no me he equivocado (y lo he revisado) encontré otra que es diferente:

    3) 7.2.4.9.0.6.8.1.5.3

    La cual no es imagen especular de las dos anteriores (ni mucho menos una mera rotación, claro está).

    Nótese que mi solución (3) es similar a la 2 tuya permutando las secuencias 724 y 815 (y rotando un lugar).

    Nótese que 1) y 2) son casi imágenes especulares, excepto el intercambio del 4 y 3 consecutivos.

    Así que miré si en la mía también se podían generar, digamos, mutaciones válidas y encontré estás otras dos:

    4) permutando el 4 y el 2:

    7.4.2.9.0.6.8.1.5.3

    5) permutando el 5 y el 3:

    7.2.4.9.0.6.8.1.3.5

    (no se pueden permutar ambos porque entonces entran en conflicto con el 7: 5+7+4 = 16 … nos saldríamos)

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  6. Acido , lo siento , ese las es una errata. Es verdad que existen más ejemplo , es un buen ejercicio ver cuales son todas

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  7. ¿Se podría dar la solución con un algoritmo de computación? ¿Seria valida?

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  8. Respondiendo a trevol, obviamente una solución con un algoritmo de computación nunca es válida en este tipo de pruebas; el objetivo de la olimpiada de matemáticas es que sean los participantes los que lleguen a la solución por ellos mismos, y de hecho no se permiten usar calculadoras precisamente porque no hacen falta, lo que se necesita es ingenio y práctica para saber abordar estos problemas. Este en concreto resultó sencillo, lo hizo mucha gente porque también era por así decirlo el problema “fácil”… Además para dar una prueba de la imposibilidad de a) y b) de poco te serviría, y para el c) bueno… no era difícil encontrar “a mano” una configuración probable…

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  9. Uno , si que es verdad que fue el que más gente hizo pero uno tarda hasta encontrarle el enfoque adecuado, ahi es donde la gente con más practica y talento consigue los problemas 3 o 6 y en este caso el 5 también me parece poco más que imposible . No se si habrás visto el problema 6 , no se mucho de algoritmos y computación pero seguro que un ordenador te lo podria solucionar

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