L OME en Requena – Problema 2

Vamos con el segundo problema planteado en la L Olimpiada Matemática Española celebrada en Requena los pasados días 28 y 29 de marzo.

Dados los números racionales positivos r, q y n tales que

\cfrac{1}{r+qn}+\cfrac{1}{q+rn}=\cfrac{1}{r+q}

demostrar que \sqrt{\frac{n-3}{n+1}} es un número racional.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. Curioso, que siendo en ReQueNa las letras del problema sean r, q, n 🙂

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  2. Curioso, pero q y r se usan habitualmente para cociente y residuo. Si al final resulta que n= m*q + r podría ser casualidad…

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  3. Las variables estan puestas a posta xD. No voy a quitar la intriga porque yo mismo he sufrido este problema y se la solución. Pista:Lee bien el enunciado , no saques conclusiones precipitadas

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  4. Operando en la primera expresión resulta n=1-(r+q)/raiz(rq), n=1+(r+q)/raiz(rq)
    Sustituyendo “n” en la segunda queda (r+q-2raiz(rq))/(r-q), ó (r+q+2raiz(rq))/(r-q)
    Al ser “n” racional, raiz(rq) es racional, entonces la segunda expresión es racional

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  5. Si r=0, se tendría  frac{1}{qn} + frac{1}{q} = frac{1}{q}  , de donde  frac{1}{qn} = 0  (absurdo), luego r neq {0}  .

    Sea t= frac {q}{r} in Q, de donde q=tr y la igualdad queda:
      frac {1} {r+trn} + frac {1} {tr+rn} = frac {1} {r+tr}    , y multiplicando por r:   frac {1} {1+tn} + frac {1} {t+n} = frac {1} {1+t}

    Operando en el primer miembro:     frac {1} {1+tn} + frac {1} {t+n} = frac {t+n+1+tn}{(1+tn)(t+n)} =frac {(n+1)(t+1)}{(1+tn)(t+n)}
    Luego     frac {(n+1)(t+1)}{(1+tn)(t+n)} = frac {1} {1+t}
    Quitando denominadores:
        (n+1)(t+1)^{2} =  (1+tn)(t+n)
    Desarrollando como ecuación en t, nos queda:
        t^{2}-(n^{2}-2n-1)t+ 1= 0
    Para que esta ecuación de segundo grado tenga solución racional, su discriminante ha de ser un cuadrado perfecto en Q. Dicho discriminante es

        (n^{2}-2n-1)^{2}-4=(n^{2}-2n-1)^{2}-2^{2}=(n^{2}-2n-1+2)(n^{2}-2n-1-2)=
        =(n-1)^{2}(n+1)(n-3)
    Dividiendo por   (n-1)^{2}(n+1)^{2}   obtenemos de nuevo un cuadrado perfecto en Q:
        frac{(n-1)^{2}(n+1)(n-3)}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}}=frac{n-3}{n+1}
    De ahí el resultado

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  6. Escribo de nuevo la solución por el lío que he armado con el latex 🙂

    Si r=0, se tendría \frac{1}{qn} + \frac{1}{q} = \frac{1}{q} , de donde \frac{1}{qn} = 0 (absurdo), luego r \neq 0 .

    Sea t= \frac {q}{r} \in Q, de donde q=tr y la igualdad queda:
    \frac {1} {r+trn} + \frac {1} {tr+rn} = \frac {1} {r+tr} , y multiplicando por r: \frac {1} {1+tn} + \frac {1} {t+n} = \frac {1} {1+t}

    Operando en el primer miembro: \frac {1} {1+tn} + \frac {1} {t+n} = \frac {t+n+1+tn}{(1+tn)(t+n)} =\frac {(n+1)(t+1)}{(1+tn)(t+n)}
    Luego \frac {(n+1)(t+1)}{(1+tn)(t+n)} = \frac {1} {1+t}
    Quitando denominadores:
    (n+1)(t+1)^{2} = (1+tn)(t+n)
    Desarrollando como ecuación en t, nos queda:
    t^{2}-(n^{2}-2n-1)t+ 1= 0
    Para que esta ecuación de segundo grado tenga solución racional, su discriminante ha de ser un cuadrado perfecto en Q. Dicho discriminante es
      (n^{2}-2n-1)^{2}-4=(n^{2}-2n-1)^{2}-2^{2}=(n^{2}-2n-1+2)(n^{2}-2n-1-2)=
       =(n-1)^{2}(n+1)(n-3)
    Dividiendo por   (n-1)^{2}(n+1)^{2} obtenemos de nuevo un cuadrado perfecto en Q:
    \frac{(n-1)^{2}(n+1)(n-3)}{(n-1)^{2}(n+1)^{2}}=\frac{n-3}{n+1}
    De ahí el resultado

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  7. Agustín,
    Tu solución me parece muy bonita. Eso sí, parte de la “idea feliz” del cambio de variable a la t=q/r … que sin explicar por qué se hace eso, es decir, de dónde parte la idea de hacer eso pues no me parece muy asequible así en general. Al menos a mi no me pareció muy evidente ese cambio.
    Por otro lado, al final hablas de dividir por (n-1)^2 y por (n+1)^2 y creo que falta decir que eso se puede hacer porque n no puede ser 1 ni -1 (igual que cuando se dice que r no puede ser 0 porque se llega a un absurdo aquí también pero había que decirlo).

    La solución de Sebas me parece más “evidente”… sin idea feliz. Hay que demostrar que una expresión en n es racional, así que el primer paso evidente es calcular n (despejar n en la primera ecuación) para lo cual se resuelve una ecuación de segundo grado con soluciones dependientes de r y q. Se “enchufan” las soluciones en la expresión en n para obtener una expresión en r y q … y se razona por qué eso debe ser siempre racional. A mi me faltó ver que raiz(r*q) debe ser racional (se puede ver en la n despejada), pero prácticamente lo tenía hecho, sin grandes artificios ni inventos exóticos.

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  8. El cambio de variable que utiliza Agustín no me parece ni una idea feliz ni un invento exótico. Es un método habitual para homogeneizar los denominadores en r con lo que convierte una expresión de tres parámetros en otra con solo dos que es más fácil de manejar. Creo que entra en lo que podemos llamar una solución “convencional”. No habrá aclarado que n es distinto de 1 y -1 porque es fácil comprobarlo.

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  9. Lo mismo, expuesto de otra forma:
    Para que sea racional raiz((n-3)/(n+1)), ha de ser cuadrado perfecto n^2-2n-3, o lo que es lo mismo (n-1)^2-4.
    Por lo anteriormente expuesto, n-1=-(r+q)/raiz(rq), n-1=(r+q)/raiz(rq)
    (n-1)^2-4=(r-q)^2/rq, es cuadrado perfecto al serlo “rq”

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  10. Blackruby,
    revisa tus cuentas porque las n de Sebas son las dos n que me han salido a mi y no creo que casualmente estemos los dos equivocados en el mismo punto y tú no. (podría ser pero me parece poco probable)

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  11. Perdón, el error era mío. La solución de Sebas es correcta.

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  12. JJGJJG,

    Explícame eso, por favor.
    Hablas de denominadores en r ¿cuales? Yo veo que los denominadores tienen r y q … de hecho, si intercambias r por q la expresión es la misma… así que eligiendo z=r/q en este caso también valdría (con esto quiero decir que los denominadores en q también serán igual de evidentes ¿no?) … Luego estaría explicar por qué eligir un numerador que sea q si el denominador es r.
    Pero lo que realmente me gustaría saber es por qué es tan evidente, es decir, la regla general… cuándo sabes que haciendo eso pasas de 3 variables a 2 y cuándo no. Es decir, quiero aprender algo que me sirva en general y no para este caso concreto.

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  13. Yo estoy de acuerdo con JJGJJG. El cambio me parece bastante obvio. A simple vista se ve que n depende solamente de la proporción entre q y r y que haciendo ese cambio se simplifica la expresión. Lógicamente, por simetría, el otro cambio vale igual.

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  14. Golvano,
    estaba intrigado.
    Me puede la curiosidad y la intriga… y me preguntaba ¿por qué es tan evidente que n dependerá solamente de q/r o de r/q ?
    Bueno, ya lo he visto pero a priori no me parecía tan evidente.

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  15. Como los tres denominadores son expresiones lineales en q y r dividiendo todos ellos por q o por r solo quedan dos parámetros: n y r/q o q/r.
    Si en todos los denominadores figuraran las mismas potencias para q y para r (q^s y r^t)
    La variable auxiliar sería q^s/r^t o r^t/q^s con el mismo efecto simplificador.

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  16. Acido:
    La idea de que cuando se tienen funciones racionales homogéneas en dos variables (considero n como fija) se puede tomar como parámetro el cociente de ellas no es en absoluto una idea feliz.

    Es cierto que se me olvidó comentar que n no puede ser 1 ni -1, pero dado que ambas son raíces del polinomio que resulta de calcular el discriminante, y que este no puede ser nulo (por ser 4 más un cuadrado) creo que es casi evidente.

    Respecto a lo evidente o no de mi prueba, la diferencia que hay con la otra solución consiste en intentar estudiar las condiciones que han de darse para la hipótesis, en lugar de una búsqueda directa de la solución del problema. Todos los métodos son buenos.

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  17. Perdón por el comentario que hice sobre la demostración de que n \neq-1,1 .

    Lo hice de memoria y confundí un -4 por un +4.

    La demostración real es:
    Si n=1:
     \frac {1} {1+t} + \frac {1} {t+1} = \frac {1} {1+t} \Rightarrow \frac {1}  {1+t} =0 (absurdo)
    Si n=-1:
     \frac {1} {1-t} + \frac {1} {t-1} = \frac {1} {1+t} \Rightarrow \frac {1}  {1+t} =0 (absurdo)

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  18. Hola a todos, sólo quiero deciros que no hace falta comprobar que r es distinto de 0, porque si os leéis bien el enunciado… se establece que r, q, n son racionales positivos.

    Por otro lado no hace falta tampoco aclarar que n no puede ser -1 ni 1, ya que si n = -1 entonces la raíz cuadrada de (n-3)/(n+1) sería infinita (además n debe ser positivo)… y si n = 1 entonces la raíz sería imaginaria… luego n sólo puede ser mayor o igual que 3.

    Algunas soluciones serían…

    n = 3, r = q = cualquier racional positivo,
    n = 7/2, r = 1, q = 4,
    n = 7/2, r = 4, q = 1,

    existen infinitas…

    Enhorabuena por las demostraciones y gracias.

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