L OME en Requena – Problema 6

Sexto y último problema de la L Olimpiada Matemática Española celebrada en Requena los días 28 y 29 de marzo de 2014:

Se tienen 60 puntos en el interior de un disco unidad (es decir, un círculo de radio 1 y su circunferencia frontera). Demostrar que existe un punto V de la frontera del disco tal que la suma de las distancias de V a los 60 puntos es menor o igual que 80.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. No dispongo de mucho tiempo pero por comenzar: puede ser que la situación límite sean los vértices de un polígono regular de 60 lados, inscrito en la circunferencia del disco.
    La suma de las distancias de un vértice fijo de un polígono regular de n lados a los vértices restantes es:
    2/tan(pi/(2n)) = 2/tan(pi/120) = 76.3769 < 80

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  2. Totalmente de acuerdo con “elchen”.
    En cualquier distribución no simétrica de los puntos existirá un punto del perímetro que hace la suma de distancias mínima, luego moviendo alguno de ellos podremos aumentar la suma.
    Por otro lado, la manera de conseguir el máximo para dicha suma consiste en alejarlos lo más posible entre ellos y esto se consigue llevándolos todos al perímetro.

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  3. Una duda, si el punto V pertenece a la circunferencia del perímetro pero no forma parte del polígono regular, ¿la suma de distancias no sería mayor?.

    Un ejemplo gráfico sencillo podría ser para un cuadrado y siendo V el punto de la circunferencia en la mitad entre dos vértices del cuadrado consecutivos.

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  4. Sí, Ensnnet, pero tú buscas el punto con la suma menor, que coincide con uno de los puntos.

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  5. Mmonchi, tiene razón “ensnnet”, la suma máxima se obtiene calculando la suma de distancias desde el punto de la circunferencia que equidista de dos vértices consecutivos del polígono regular inscrito de 60 lados.
    Esta suma equivale a sumar 4*sen(k*PI/60 + PI/120) desde k=0 hasta k=30 que vale algo más que lo calculado por “elchen”, concretamente 76,4031 y, por tanto sigue siendo menor que 80.

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  6. “puede ser que la situación límite sean los vértices de un polígono regular de 60 lados”,
    estoy de acuerdo, pero se puede demostrar?

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  7. JJGJJG, yo creo que buscamos la suma mínima, no la máxima. Si coloco los 60 puntos juntos en el borde, colocando V con ellos la suma de distancias es 0, y colocando V en el lado opuesto la suma es 120. Esta distribución es válida, porque 0<80.

    La solución de ennsnet es mayor que la de elchen, pero como los dos son menores que 80 ambas valen; pero si una fuera mayor y la otra menor que 80, seguiría siendo válida porque hay un V que cumple la condición. Por eso creo que es más interesante buscar la suma mínima que la máxima para cada distribución.

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  8. Mmonchi, lo que yo entiendo que pide el enunciado es demostrar que, para cualquier distribución de puntos, se puede encontrar al menos un punto del perímetro cumple que la suma de distancias es igual o menor que 80.
    Resulta muy fácil encontrar soluciones concretas como la simple que tu apuntas de juntar todos los puntos en uno solo del interior o del perímetro.
    Para cualquier distribución de los 60 puntos hay una suma de distancias MÍNIMA.
    Lo que hay que demostrar es que el MÁXIMO valor que puede alcanzar esa suma MÍNIMA es igual o menor que 80.
    Dicho de otro modo, la solución pasa por demostrar que no existe NINGUNA configuración de los 60 puntos cuya suma de distancias a CUALQUIER punto de la circunferencia sea superior a 80.
    El polígono regular de 60 vértices inscrito tiene TODAS esas sumas comprendidas entre 76,3769 y 76,4031 y no parece posible encontrar una configuración peor que dé para TODAS las sumas más de 80, lo que demostraría que el enunciado es erróneo.

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  9. JJGJJG, no se si me lio, pero esto es indemostrable:
    “Dicho de otro modo, la solución pasa por demostrar que no existe NINGUNA configuración de los 60 puntos cuya suma de distancias a CUALQUIER punto de la circunferencia sea superior a 80.”

    Pon todos los puntos superpuestos en un punto de la cirunferencia,
    la suma de las distancias al punto diamentralmente opuesto es 120 (>80)…

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  10. rtomas, reconozco que no sé expresar bien con palabras la idea que quiero transmitir.

    “Dicho de otro modo, la solución pasa por demostrar que no existe NINGUNA configuración de los 60 puntos cuya suma de distancias a CUALQUIER punto de la circunferencia sea superior a 80.”

    Quiero decir con CUALQUIER punto “cualquiera que elijas”. En tu caso, si elijo el punto donde has colocado los 60 la suma es 0.

    Ponme un ejemplo en el que probando con CUALQUIERA DE TODOS los puntos del perímetro siempre te salga una suma mayor que 80, no solo desde algunos elegidos “ad hoc”. Si no existe una disposición como esa quedará demostrado el enunciado. Y yo creo que el repetido polígono regular inscrito nos da la forma más desfavorable de distribuir los puntos para que la suma MÍNIMA sea MÁXIMA y, a pesar de ello, no llega a valer 80.

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  11. Acá el mayor inconveniente es el enunciado. No sabemos dónde están ubicados estos 60 puntos por lo cual debemos suponerlos “en cualquier lugar” y abordar todos los casos. Es evidente que si están esos 60 puntos muy juntos y cercanos al perímetro y también muy cerca del punto V, se cumplirá lo que se pide, pues a menor distancias entre esos puntos la suma total tiende a 0. El otro caso donde V se encuentran diametralmente opuestos a los 60 puntos , las suma tiende a 120. Por tanto no existe un punto V que cumpla lo que se pide para cualquier distribución de puntos.

    Abordando de otra manera, podría considerar esos 60 puntos (tan juntos que tienden a ser un solo punto) como un único punto M , y de esta manera puedo ubicar a V en el perímetro y a M a una distancia máxima de 8/6 cm para que se cumpla.

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  12. Buenas , siento deciros que si hubieras argumentado el razonamiento del perimetro de un poligono regular como distancia máxima no creo que os lo hubieran aceptado . Aqui hay una que se ve más claro:

    Inscribamos un triangulo equilatero en la circunferencia e intentemos demostrar que dado cualquier punto que coloquemos en el disco , la distancia a los 3 vertices es menor o igual a 4.Si esto se cumpliese,sumamos por separado las distancias de cada vertice a los 60 puntos. Entonces esa suma seria igual a 60×4=240 y como son 3 los sumandos sumados alguno de ellos es menor o igual a 240/3=80.

    Para demostrar ese lema , con un poco de coordenadas vemos que los lados del triangulo miden sqrt { 3 } . Ahora marquemos el simetrico de el centro respecto a un lado , es sabido que se encuentra en la circunferencia. Por lo tanto en ese punto simetrico a el centro , la suma de las distancias a los 2 vertices cercanos es 2.Pues bien, trazamos una elipse conn focos los 2 vertices de manera que pasa por el centro y por su simetrico. Así pues esa elipse se sale parcialmente y cubre parte de la circunferencia inicial , los puntos dentro de ella cumpliran que la suma de las distancias a los 2 vertices es menor o igual a 2. Ahora trazamos una circunferencia desde el otro vertice con radio 2 . Esta claro que entre esa circunferencia y la elipse cubren toda la circunferencia y se cumple el lema propuesto ya que los puntos dentro de la circunferencia grande hacen que la suma sea menor o igual a 2 a un vertice y la elipse menor o igual a 2 para los 2 restantes

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  13. Supongo que lo que quieres decir es que los puntos de la elipse lo cumplen y entre las tres posibles elipses se cubre toda la circunferencia original.

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  14. Golvano. Si , las tres elipses cubren la circunferencia y ya se puede clasificar bien los puntos

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  15. Buenas, no sé si ya esto se habrá especificado en los comentarios (no quiero leerlos para no enterarme por si ya alguien resolvió el problema), pero hay cosas que no me quedan un poco claras. ¿Con “disco” se refieren a dos círculos concéntricos? ¿Cuál es el que tiene radio 1? ¿Un punto de la “frontera” es un punto de la circunferencia del círculo grande?

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