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La belleza del binomio

El binomio de Newton¹ es tan bello como la Venus de Milo. Lo que hay es poca gente que se dé cuenta de ello.

Fernando Pessoa

Creo que Fernando Pessoa tiene razón. Con la identidad de Euler probablemente pase lo mismo, igual que con otras fórmulas e identidades matemáticas. ¿Qué otros ejemplos significativos se os ocurren?

¹: Recuerdo la fórmula del binomio de Newton:

$\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{r=0}^n {n \choose r} a^{n-r} b^r}$

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Abril de 2008 en Citas matemáticas

19 comentarios

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LordHASH - 16 de Abril de 2008 9:56

Clase de Matemáticas II (Variable compleja) en primero de carrera, y de repente, llegamos a la identidad de Euler, y el profesor de repente suelta: “Fijaros que expresión más bonita”, y se queda tan ancho. Es verdad que la identidad es genial, pero el tio por poco se pone a llorar y todo.

Un saludo!!!
Tito Eliatron - 16 de Abril de 2008 9:59

Es que en ella están presentes los 5 números más importantes: $e^{i\pi}-1=0$

De hecho hace unas semanas que estuve en Alemania donde se está celebrando el “Jahr der MAthematik” (año de las matemáticas) y en el escaparate de una pastelería vi una tarta en la que estaba escrita la identidad de Euler. Lástima de haber me dejado la cámara y de tener un móvil chungo.
fede - 16 de Abril de 2008 10:04

No parece proporcionada la comparación. Si yo fuese la diosa me enfadaría. (Por cierto, hay una errata, falta el coeficiente binomial).
Tito Eliatron - 16 de Abril de 2008 10:29

Y en la fórmula que yo he escrito tb hay una errata: $e^{i\pi}+1=0$

Y por cierto, encontré una foto de la tarta:

Aquí la Foto
ÓsQar - 16 de Abril de 2008 10:39

LordHASH: …en primero de carrera, … el profesor de repente suelta: “Fijaros que expresión más bonita”, y se queda tan ancho.

Pues sí que se debió quedar ancho. Digo yo que aún siendo profesor de matemáticas, debería saber hablar castellano correctamente y decir “Fijaos” en vez de “Fijaros”. ¡Pobre imperativo!
Domingo HA - 16 de Abril de 2008 11:12

En cuanto a lo que ha comentado fede, Gian Carlo Rota era de la opinión de que la belleza de la matemática sólo surge ante los ojos de quien la hace. ¿Estamos de acuerdo?
Guillermobox - 16 de Abril de 2008 11:22

Es muy bonita la frase y el post, pero ¿no le falta un término combinacional a la fórmula que pusiste del binomio?

O quizás estamos hablando de cosas distintas, que yo para recordar cosas voy un tanto mal.

Por otra parte, felicidades por el blog!!
Raskolnikov - 16 de Abril de 2008 12:17

Un apunte, ¿en la fórmula que has puesto cada término no debería ir multiplicado por el combinado $n \choose r$ .?
^DiAmOnD^ - 16 de Abril de 2008 12:50

Cierto cierto, vaya tela, qué errores tan tontos algunas veces.

Ya debe estar arreglado.
Asier - 16 de Abril de 2008 13:40

…ya para terminar de dejarlo bien podrías sustituir la $k$ por la $r$ ?
^DiAmOnD^ - 16 de Abril de 2008 14:12

Madre de dios, cuando la cabeza no quiere no hay manera. Ya está solucionado.

Gracias
senodepí - 16 de Abril de 2008 14:24

en versión original:

O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
Domingo - 16 de Abril de 2008 14:56

Con respecto a lo que comentaba Domingo HA, creo que lo que dice dice Gian Carlo Rota es bastante plausible, aunque quería matizar. Pienso que para apreciar la belleza matemática hay que tener una “sensibilidad especial”, del mismo modo que ocurre con el arte, pero no hace falta llegar a ser matemático para apreciarla, al igual que no hace falta ser escultor para apreciar la belleza de la Venus de Milo. Aunque eso sí, la sensibilidad matemática es bastante más sutil y difícil de percibir. ¿qué pensáis?
Toro Sentado - 16 de Abril de 2008 17:44

Yo estoy totalmente de acuerdo con la frase del principio y con Domingo. Con Gian Carlo no tanto, se puede apreciar mucho la belleza de un teorema sin haberlo hecho.
Para mi esta belleza se capta cuando entiendes la idea de un problema, o intuyes las consecuencias que tiene o si el resultado de un problema es contraintuitivo, o cuando cosas que parecían no tener ninguna relación de repente aparecen ligadas.
Otros ejemplos de fórmulas bellas:
la fórmula de Moivre, el problema de Basilea, el desarrollo en series de potencias del número e, o de las funciones trigonométricas, las propiedades del número áureo y de la serie de Fibonacci…
Lola - 16 de Abril de 2008 19:37

Yo pondría, sin duda, la suma de los 1/n^2… O es simple hecho de que Q sea numerable. Con las dos cosas me quedé con la boca abierta en la carrera.
Jose - 16 de Abril de 2008 20:46

Yo soy más de las ecuaciones de Maxwell :p
Domingo H.A. - 16 de Abril de 2008 23:24

una identidad que particularmente me encanta (y de la que ya se ha comentado algo en alguna ocasión) es la que tiene que ver con las sumas de Gauss:

Si $z=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ ,

$1+z+z^4+z^9+z^{16}+z^{25}+\ldots+z^{(n-1)^2}=\cfrac{1-i^n}{1-i}\cdot\sqrt{n}$

y que se resolvió en http://gaussianos.com/suma-de-potencias-complejas/ para el caso n=11. Los casos particulares se resuelven con la misma idea. Pero determinar el signo de la raíz cuadrada en general (en los casos $n=\pm 1$ $(mod\; 4)$ ) es bastante complicado.

A pesar de la pinta de inocente que tiene el problema, la prueba más sencilla que conozco hace uso de un poco de análisis de Fourier. Una prueba con miras más amplias usa el concepto de caracteres de Dirichlet. Pero ambas pruebas requieren un largo recorrido.

La verdad es que me gustaría saber si algún lector/comentarista del blog conoce alguna referencia donde se indique alguna demostración más elemental del valor de las sumas cuadráticas de Gauss (si es que la hay).
Luis Alberto A. L. (Beto) - 19 de Abril de 2008 8:31

ok
Mmonchi - 24 de Abril de 2008 23:59

¿Qué tal la fórmula del producto de Euler?
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2}}=\prod_p\frac{p^{2}}{p^{2}-1}=\frac{\pi^{2}}{6}}$
Relacionar los naturales con los primos con una fórmula tan simple es genial.

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