La cadena de Pappus

Introducción

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Pappus de Alejandría dice en el libro IV de su Colección Matemática:

En algunas obras antiguas aparece la siguiente proposición:
Dados tres semicírculos tangentes entre sí, inscribamos en el espacio comprendido entre sus arcos, que se llama arbelos, tantos círculos como se quiera tangentes entre sí y a los semicírculos, como los descritos en la figura.
Digo que la perpendicular a la base trazada desde el centro del primer círculo inscrito es igual al diámetro de ese círculo, que la trazada desde el segundo círculo es doble del diámetro del círculo, que la trazada desde el tercero es el triple, e inscribiendo así infinitos círculos, las sucesivas perpendiculares son múltiplos de los respectivos diámetros según números consecutivos…

Aunque Pappus dice que es resultado es antiguo, hoy se denomina cadena de Pappus a la secuencia de círculos así inscritos.

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A continuación Pappus demuestra esa proposición y además demuestra que, en el caso de que la cadena no comienze con una semicircunferencia del arbelos, sino con un círculo tangente a dos semicircunferencias tangentes interiormente entre si y a la linea que une sus centros, las distancias de los centros a la línea base son sucesivos múltiplos impares de los radios de cada círculo.

Llamaremos cadena par de Pappus a la primera cadena y cadena impar de Pappus a esta segunda. A las dos semicircunferencias que son tangentes a todos los círculos de la cadena las llamaremos semicircunferencias circunscritas a la cadena.

La distancia a la perpendicular a la base por el origen

Sean c_2, c_4, c_6, \ldots los círculos de una cadena par de Pappus y c_1, c_3, c_5, \ldots los de una cadena impar.
Sea c_0 el círculo de diámetro BC y c_{-n} el simétrico de c_n respecto a la base.

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Sean C_n el centro de c_n, T_n el punto de tangencia de c_{n-1} y c_{n+1}, E_n y I_n los puntos de tangencia de las semicircunferencias circunscritas con c_n, y U_{n+1} y D_{n-1} los extremos superior e inferior del diámetro de c_n perpendicular a la base.

Entonces los 5 puntos A D_nT_n C_nU_n están en una recta para cualquier n.

Cada uno de los haces de líneas AC_i, AE_i, AI_i, \ \ i \in \mathbb{Z} corta a las perpendiculares a la base en una serie de puntos equidistantes.

La distancia de C_n a la perpendicular AY es igual al radio de c_n multiplicado por una misma constante d para todos los círculos de la cadena, d = \frac{AB+AC}{BC}.


La circunferencia de los puntos de tangencia

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Los puntos de tangencia de dos círculos consecutivos de una cadena de Pappus están en una circunferencia cuyo diámetro es la media armónica de los diámetros de las semicircunferencias circunscritas a la cadena.

Las tangentes a los círculos de la cadena en esos puntos de tangencia pasan por el centro de esa circunferencia.

La elipse de los centros

Los centros de los círculos de una cadena de Pappus están en una elipse cuyos focos son los centros de las semicircunferencias circunscritas a la cadena y cuyo eje mayor es la media aritmética de los diámetros de esas semicircunferencias.

Esto es consecuencia de que la linea que une los centros de dos circunferencias tangentes entre sí pasa por el punto de tangencia. En la figura aparece la demostración al desmarcar la casilla.


Las cadenas de Pappus y la serie armónica

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Sean C_n, T_n, E_n, I_n   \ \ n \in \mathbb{Z} definidos como antes.

Sea k el doble del producto de los diámetros de las semicircunferencias circunscritas a la cadena dividido entre su diferencia, k = 2AB \cdot AC/BC.

Sobre la perpendicular a la base por el extremo A, final de la cadena, tomamos un punto K a una distancia k de A.

Designamos con K/n los puntos situados sobre esa perpendicular a una distancia igual a k/n de A.

Las tangentes exteriores comunes a c_n y c_m se cortan en K/(m+n), que por tanto es el centro de la homotecia directa que transforma c_n en c_m y entonces también las rectas C_nC_m se cortan en ese punto. E_nE_m, I_nI_m, T_nT_m también se cortan en K/(m+n).

Las tangentes a c_n en E_n y I_n se cortan en K/2n y la distancia de K/2n a E_n y I_n es k/2n.

Demostraciones

No menos curioso que los resultados anteriores es lo visualmente inmediato de su demostración a partir de las propiedades de la inversión respecto a una circunferencia en el plano.

Si invertimos la cadena de Pappus respecto a una una circunferencia (verde en la figura siguiente) con centro A, las dos circunferencias circunscritas a la cadena se transforman en dos rectas perpendiculares a la base, y la cadena de Pappus se transforma en una columna de círculos tangentes a esas dos rectas y entre sí.

Las proposiciones de Pappus son evidentes al hacer la circunferencia de inversión ortogonal a c_n, y el resto de proposiciones anteriores también resultan claras, utilizando una circunferencia de inversión de radio arbitrario.

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Para la parte cuantitativa, escribimos H(A,B;C,D) si (A,B;C,D) es una cuaterna armónica o conjunto armónico de puntos. Si i(X) es la imagen de X en la inversión, recordamos que i(i(X)) = X y que H(A,B;C,D) implica H(i(A),i(B);i(C),i(D)) para puntos A,B,C,D situados en una recta que pase por el centro de la inversión.

Como H(i(B),i(C);E,\infty), H(B,C;i(E),A) y por tanto Ai(E) es media armónica de AC, AB.

Como H(A,A_2;E,\infty), también H(\infty ,i(A_2);i(E),A) y i(A_2) es el punto medio de Ai(E).

La distancia entre los puntos de la escala dibujada en la perpendicular a la base por A es el radio de los círculos que son imagen de los de la cadena, y esa serie de puntos equidistantes es transformada mediante la inversión en una serie armónica de puntos.

Si el radio de la circunferencia de inversión es 1, el diámetro de los círculos imagen será \frac {1}{AC} - \frac{1}{AB} = \frac{CB}{AC\cdot AB}, y el doble de su inverso \frac{2AC\cdot AB}{CB} será la distancia de A al inverso del primer punto de la serie de puntos equidistantes.


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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Wow, alucinante post: detallado, diáfano y accesible. Geniales los gráficos. Muy buen “insight”.

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  2. Maelstrom, nuestro amigo fede es un crack con estas cosas. Sus posts son auténticas maravillas en lo que se refiere al contenido y a lo visual. Echa un ojo por el blog, ya que hay unas cuantas colaboraciones suyas que son dignas de ver.

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