La caja de Euler

Según la Wikipedia:

Un ortoedro o cuboide es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedros son prismas rectangulares rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Vulgarmente se los denomina cajas de zapatos o simplemente cajas. Las caras opuestas de un ortoedro son iguales entre sí:

Ortoedro

Una caja de Euler (Euler Brick en inglés) es un cuboide que cumple que sus tres lados y las tres diagonales de sus caras son números enteros. La más pequeña conocida fue descubierta por Paul Halcke en 1719 y es la que cumple que las longitudes de sus lados son (240,117,44) y las longitudes de las diagonales de sus caras son (267,244,125). Otras soluciones, dadas aquí por las longitudes de sus lados, son: (275,252,240), (693,480,140), (720,132,85) y (792,231,160). Se conocen soluciones paramétricas que nos dan siempre cajas de Euler (del estilo a la que publicamos hace tiempo sobre las ternas pitagóricas), pero no las dan todas. Otra propiedad que cumplen es que si tenemos una caja de Euler de lados (a,b,c), el cuboide de lados (bc,ac,ab) también es una caja de Euler.

Un cuboide perfecto (también llamada caja perfecta) es una caja de Euler que cumple que la longitud de su diagonal espacial es también un número entero (D en la imagen):

Diagonal espacial de un ortoedro

Como hemos visto antes encontrar cajas de Euler es posible y además sencillo a partir de una dada. Pero el problema del cuboide perfecto es un problema no resuelto en Matemáticas. Es decir: nadie ha encontrado ningún cuboide perfecto ni ha conseguido demostrar que no existen. Lo máximo que se ha conseguido es encontrar alguna de las propiedades que deben cumplir las longitudes de sus lados o cuboides “semiperfectos”, es decir, cuboides que aún teniendo diagonal espacial de longitud entera no cumplen alguna de las propiedades de las cajas de Euler. Por ejemplo, (672,153,104) tiene lados y diagonal espacial enteras, pero la diagonal de una de sus caras no lo es.

Así que ya tenemos otro reto más: encontrar un cuboide perfecto o demostrar que no es posible encontrarlo.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

48 Comentarios

  1. La diagonal espacial es:
    D² = a² + b² + c²

    Las diagonales de las caras:
    x² = a² + b²
    y² = a² + c²
    z² = b² + c²

    por tanto tenemos que:
    D² = x² + c² = y² + b² = z² + a²

    Sumando estas tres formas de representar D², obtenemos:

    3D² = x² + y² + z² + a² + b² + c² =
    = x² + y² + z² + D²

    es decir: 2D² = x² + y² + z²
    de modo que, si no me he equivocado, la suma de los cuadrados de las diagonales debe ser un número par.

    Como P² = 2k si y sólo si P = 2k’, y P² = 2k+1 si y sólo si P = 2k’+1 tenemos que:
    O bien todas las diagonales son números pares, o bien hay dos diagonales impares.

    Seguiremos informando 😀

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  2. Si tenemos en cuenta que:
    x = sqrt(a² + b²)
    y = sqrt(a² + c²)
    z = sqrt(b² + c²)

    entonces como x,y,z son enteros:
    [sqrt(a² + b²) + sqrt(a² + c²)]
    es entero.

    “Sacando” el a² de las dos raíces:
    a[sqrt(1 + b²/a²) + sqrt(1 + c²/a²)]
    también debe ser entero…

    Aquí tengo la duda de si la suma de esas dos raíces tiene que ser necesariamente un número entero… lo que sí tengo claro es que debe ser racional.

    Elevando al cuadrado dicha suma llegamos a la expresión:
    2 +
    + [(b² + c²)/a²] +
    + (1/a²)sqrt[a²a² + a²b² + a²c² + b²c²]

    De donde podemos sacar la siguiente conclusión:
    sqrt[a²D² + b²c²] = K es un número entero.
    Por tanto (aD, bc, K) es una terna pitagórica.

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  3. Vaya, ahora tengo mis dudas… ¿existe algún número entero cuya raíz sea un número racional no entero? En mi afirmación anterior supuse que NO existe tal número…

    Si la afirmación anterior es cierta, tendríamos que:
    (bD, ac, K’) y (cD, ab, K”) también son ternas pitagóricas.

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  4. Parece que hoy no pasa nadie por aquí… snif snif.

    A ver, me he dado cuenta de una cosa muy curiosa… como decía en el primer comentario:

    La diagonal espacial es:
    D² = a² + b² + c²

    Las diagonales de las caras:
    x² = a² + b²
    y² = a² + c²
    z² = b² + c²

    por tanto tenemos que:
    D² = x² + c² = y² + b² = z² + a²

    Sumando estas tres formas de representar D², obtenemos:

    3D² = x² + y² + z² + a² + b² + c² =
    = x² + y² + z² + D²

    es decir: 2D² = x² + y² + z²

    Ahora veamos que:
    2D² = (a² + b²)² + (a² + c²)² + (b² + c²)² =
    = (desarrollando) =
    = 2[(a^4) + (b^4) + (c^4) + a²b² + a²c² + b²c²]

    por tanto:
    D² = (a^4) + (b^4) + (c^4) + a²b² + a²c² + b²c²
    teniendo en cuenta que también:
    D² = a² + b² + c²
    entonces
    (a^4) + (b^4) + (c^4) + a²b² + a²c² + b²c²= a² + b² + c²

    Esto último es imposible, por lo que no existe una diagonal con dichas propiedades.
    ¿Me he equivocado en algo? ¿o he demostrado que no existen las cajas perfectas? (Es decir, ¿dónde está mi error? xD)

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  5. Vaya mimetist, te veo activo con el tema. Ahora no me da tiempo a echarle un ojo al tema, luego si tengo un rato lo miro. Y a ver si pasa alguien más por aquí hoy y continúa con tu razonamiento.

    Por cierto, sería un punto que hubieras demostrado el tema 😀

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  6. Bueno, siento ser yo quien te diga que no has descubierto el teorema…:)
    El error esta en el paso

    >

    Pues tu en la ecuacion 2D² = x² + y² + z² has sustituido x= a² + b², y= a² + c², z= b² + c².
    Pero esas ecuaciones no eran correctas, las correctas eran
    x² = a² + b²
    y² = a² + c²
    z² = b² + c²

    Salud!

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  7. Por si sirve de algo:
    D^2=a^2+b^2+c^2

    si a, b, c es una terna pitagórica (2pq,p^2-q^2,p^2+q^2) entonces
    D^2=4p^2q^2+…
    D^2= 2(p^4+q^4+2p^2q^2)
    D^2= 2*(p^2+q^2)^2 y esto es imposible

    Tambien es conocido como el problema del ladrillo.

    Un saludo
    Ap2

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  8. ap2, no veo tu razonamiento. Si los lados de la caja son a, b y c … no existe ningún motivo por el cual los tres lados tengan que formar una terna pitagórica entre ellos.

    Para obtener un cuboide perfecto, las ternas son entre dos lados y una diagonal superficial (cualquier combinación entre ellas que forme un triángulo) y además también tiene que ser ternas pitagóricas la combinación diagonal-espacial, diagonal-superficial, lado

    De hecho, es fácil demostrar que si a,b,c (los lados de la caja) forman una terna pitagórica, entonces la diagonal espacial es un número irracional (la diagonal espacial sería la hipotenúsa de un triángulo rectángulo isósceles, lo que imposibilita que los tres lados sean racionales)

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  9. mimetist, he estado pensando sobre tu planteamiento y aunque he avanzado en algunos aspectos, he sido incapaz de llegar a alguna contradicción que refute la existencia del cuboide perfecto. De hecho, he podido demostrar que es imposible demostrarlo basándonos en la condición par-impar de sus aristas y sus diagonales.

    Aunque lo que he hecho no sirve para el objetivo del problema (demostrar que es imposible tal cuboide perfecto) lo publicaré por si te sirve de algo:

    1ª Cuestión:
    «O bien todas las diagonales son números pares, o bien hay dos diagonales impares» también puede ser expuesto como «O bien todos los lados son números pares, o bien hay dos lados impares»
    La demostración parte de las ecuaciones
    x² = a² + b²
    y² = a² + c²
    z² = b² + c²
    Que al combinarlas con D² = a² + b² + c² obtenemos:
    D² = x² + c²
    D² = y² + b²
    D² = z² + c²

    Donde vemos que
    x=par sí y solo si c=par
    y=par sí y solo si b=par
    z=par sí y solo si a=par

    De donde deducimos que:
    «todas las diagonales pares» implica «todos los lados pares»,
    y «dos diagonales impares» implica «dos lados impares»

    2ª cuestión:
    Si existe un cuboide perfecto con todos sus lados pares, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior con dos lados impares. La demostración es algo engorrosa (muchos pasos fáciles) pero aún así la publicaré si tú estás interesado en ella.

    La combinación de ambas cuestiones nos llevan a lo siguiente:
    Si demostramos que es imposible que exista un ortoedro perfecto con uno de sus lados par y sus otros dos lados impares … entonces habremos demostrado que es imposible que exista algún ortoedro perfecto.

    Pero, tal y como dije al principio, creo haber demostrado por construcción que es imposible encontrar inconsistencias (que es imposible demostrar por reducción al absurdo) en un hipotético ortoedro perfecto basándonos única y exclusivamente en la dualidad par-impar de sus aristas y sus diagonales. Por lo que te desaconsejo que sigas por esa línea de razonamiento si no añades alguna otra cuestión (diferente al par-impar) que te permita encontrar inconsistencias.

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  10. Muy interesante, Nexus7. Por supuesto estoy interesado en esa demostración, seguramente los demás también agradecerán que la publiques… pero si es muy muy larga nos conformamos con que nos indiques el camino 🙂

    Mi planteamiento en realidad era una pseudo-improvisación para ver por dónde atacar el problema… me pareció curioso el dato de las diagonales pares o impares (luego comprobé que en Wikipedia también daban ese dato).

    Quizá una buena forma de seguir investigando sea la relación de las ternas:
    (aD, bc, K), (bD, ac, K’) y (cD, ab, K”)
    donde K, K’ y K” son números enteros.

    En este otro post de Gaussianos vimos cómo construir todas las ternas pitagóricas primitivas… ahí me he quedado atascado 🙂

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  11. Veamos otra cosilla curiosa que se me ha ocurrido:
    Según el post de las ternas pitagóricas, una terna (r s t) = (2pq, p²-q², p²+q²)
    es decir: r = 2pq
    donde p y q son enteros primos entre sí con p mayor que q.

    Sabemos que, según la notación de mis comentarios anteriores, (a, b, x), (a, c, y), (b, c, z) son ternas pitagóricas. No podemos afirmar con seguridad que, por ejemplo, a = 2pq porque esas ternas no tienen porqué estar “ordenadas”, pero sabemos que las diagonales x,y,z son siempre el último término: p²+q²

    Entonces según esas ternas (que son ciertas por hipótesis), tenemos simultáneamente estos tres casos:
    1) a=2k O b=2k
    2) a=2k O c=2k
    3) b=2k O c=2k
    (las k indican cualquier número, evidentemente no el mismo en cada caso).

    Supongamos que a no es par, entonces:
    Por (1), b es par y por (2), c es par.
    Análogamente para los casos de “b impar” y “c impar”…

    Por lo que si la demostración que ha dejado en el aire Nexus7 es cierta, no existen las cajas perfectas 😀

    Nexus7 dijo:
    2ª cuestión:
    Si existe un cuboide perfecto con todos sus lados pares, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior con dos lados impares. La demostración es algo engorrosa (muchos pasos fáciles) pero aún así la publicaré si tú estás interesado en ella.

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  12. No sé si me ha quedado tan claro como debería… básicamente he demostrado (salvo error) que si un lado es impar, los otros dos son necesariamente pares por las propiedades de las ternas pitagóricas.

    Lo cual entraría en contradicción con los tres resultados siguientes:

    (1)”O bien todas las diagonales son pares, o bien hay dos diagonales impares”. (demostrado en el primer comentario)

    (2)”«todas las diagonales pares» implica «todos los lados pares», y «dos diagonales impares» implica «dos lados impares»

    (3)”Si existe un cuboide perfecto con todos sus lados pares, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior con dos lados impares.

    Espero que ahora haya quedado más claro…
    Qué ilu!! a ver cuánto tardamos en encontrar el error!! jaja.

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  13. mimetist, la primera cuestión que puse contiene un error. No es de razonamiento, sino que surge como consecuencia de haber malinterpretado tu demostración sobre la paridad de las diagonales. En tu demostración afirmas (correctamente) que 2D² es par, pero yo lo malinterpreté y en mi razonamiento presupuse (erróneamente) que D² era par y que por lo tanto D también era par.

    Lo que yo dije:
    Partimos de: x² = a² + b²; y² = a² + c²; z² = b² + c²
    Que al combinarlas con D² = a² + b² + c² obtenemos:
    D² = x² + c²; D² = y² + b²; D² = z² + a²
    Donde vemos que
    x=par sí y solo si c=par
    y=par sí y solo si b=par
    z=par sí y solo si a=par

    Es erróneo porque ahí he presupuesto (erróneamente) que D² es par. Si ocurriera que D es impar entonces tendríamos que:
    x=par sí y solo si c=impar
    y=par sí y solo si b=impar
    z=par sí y solo si a=impar

    Y este error:
    a.- Invalida lo que yo llamé «cuestión 1» (lo que tú ahora has llamado (2)”)
    b.- Altera la cuestión 2 (lo que tú has llamado (3)”) que ahora debe ser enunciada como
    ”Si existe un cuboide perfecto con todos sus lados pares, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior con al menos uno de sus lados impar.”

    —————————

    Por otro lado, y teniendo en cuenta la nueva situación, creo tener un papel delante de mis ojos donde he demostrado que no existe el cuboide perfecto, por lo que debo deducir que existe algún error en mi demostración que ahora no soy capaz de descubrir. Así que … me voy a dormir y seguro que mañana por la mañana veré el error

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  14. Bueno, lo prometido es deuda. Que sus tres lados sean pares es un caso particular del caso más genérico en el que los tres lados tengan un m.c.d. (máximo común divisor) mayor que 1 (si los tres son pares, entonces m.c.d.=2k), por lo que expondré la demostración para cualquier mcd.

    Teorema: «Si existe un cuboide perfecto de lados a,b,c tal que m.c.d.(a,b,c)>1, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior tal que m.c.d.(a’,b’,c’)=1»

    Llamaré d al máximo común divisor de (a,b,c)
    Con geometría es fácil pues una vez construído el cuboide perfecto a escala 1cm:1 solo precisaría decir que cambiamos a escala 1cm:d. Los triángulos rectángulos seguirán siendo triángulos rectángulos, y el hecho de que d sea divisor de a, b y c nos garantiza que tras el cambio todas las aristas y diagonales seguirán siendo números enteros (y por lo tanto formarán ternas pitagóricas) porque con anterioridad al cambio de escala todas ellas eran múltiplos de d.

    Pero supongo que preferirás de forma aritmética. Como la demostración es engorrosa, emplearé lemas para intentar realizar una demostración lo más simplificada posible.

    ———————–
    ———————–

    Sea x,y,z una terna pitagórica
    Sea d el máximo común divisor de x,y,z

    Lema1: Si d>1, entonces x/d, y/d, z/d también es una terna pitagórica.
    Lema2: Si d es el mcd de dos de ellos, entonces también lo es de los tres (si x,y son múltiplos de d, entonces z también es múltiplo de d)

    No entraré (a menos que alguien esté interesado en debatirlo) a demostrar estos dos lemas, creo que sobra y basta con afirmar que son las primeras afirmaciones de los preliminares del método analítico de la página de las ternas y triángulos pitagóricos de este mismo blog.

    «Si existe un cuboide perfecto de lados a,b,c tal que d=m.c.d.(a,b,c)>1, … existen a’,b’,c’ pertenecientes a N tales que a/d=a’, b/d=b’, c/d=d’

    [(a,b) múltiplos de d] implica (lema2) [X es múltiplo de d] implica [Existe X’ \in N tal que X/d=X’]

    Lo anterior se repite para (b,c) y (ac) donde obtenemos que Y y Z también son múltiplos de d y que Y/d, Z/d son números enteros. Luego se repite con (X,c) o (Y,b) o (Z,a) (con una cualquiera es suficiente) y obtenemos que D también es múltiplo de d y que D/d es un entero.

    [Como (a,b,X) es una terna pitagórica] implica (lema1) [(a/d,b/d,Z/d)=(a’,b’,X’) también es una terna pitagórica.

    Este paso se repite para las otras 5 ternas pitagóricas del supuesto cuboide perfecto, por lo que demostramos que las 6 ternas del nuevo cuboide también son ternas pitagóricas. Y esto último implica que el nuevo cuboide también es un cuboide perfecto.

    Como este mensaje se ha hecho muy largo, luego pondré otras nuevas consideraciones sobre tu idea de pares e impares.

    entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior tal que m.c.d.(a’,b’,c’)=1»

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  15. Donde pone:
    [Como (a,b,X) es una terna pitagórica] implica (lema1) [(a/d,b/d,Z/d)=(a’,b’,X’) también es una terna pitagórica.

    Debería poner:
    [Como (a,b,X) es una terna pitagórica] implica (lema1) [(a/d,b/d,X/d)=(a’,b’,X’) también es una terna pitagórica.

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  16. A ver, a:

    a2+b2=c2

    podemos escribirlo como:

    (a,b,c)2p2+(a,b,c)2q2=(a,b,c)2r2 (siendo a=(a,b,c)p, b=(a,b,c)q, c=(a,b,c)r)

    Luego de simplificar se obtiene la terna pitagórica con mcd=1 entre sus componentes. Extendiendo el pensamiento se debe obtener una terna q responda a una caja de Euler con mcd=1 entre sus elementos.

    Me parece q es una demostración un poco mas simple y “visual” de lo posteado por Nexus7

    Igual en gral. se q mi pensamiento va a sonar poco pincha globo, pero creo q la probabilidad de resolver una conjetura de un genio como euler, y q muchos otros genios en muchos años no la resolvieron, es casi nula. Creo q uno antes debería pasar muchos años leyendo y estudiando antes de poder avanzar en el tema, sobre todo investigando en los nuevos campos de la matemática ya q seguramente con las herramientas q unos domina ya se trato de resolver dicho problema.

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  17. Yo personalmente sé que resolver esta cuestión es prácticamente imposible; de hecho, cuando creí haberlo hecho supe inmediatamente que estaba equivocado y que debía irme a dormir. Pero existen tres cuestiones muy importantes que me llevan a “intentarlo”.

    1ª Me parece divertido. He disfrutado mucho llegando a la conclusión que si existe algún cuboide perfecto, entonces existe un cuboide cuya diagonal espacial es impar, tiene dos diagonales impares y otra par, y tiene dos lados pares y otro impar. Y aplicando el razonamiento del negando niego, si se puede demostrar que esa combinación es imposible entonces se habrá demostrado que no existe el cuboide perfecto.

    2ª El miedo escénico, el mitificar a los sabios precedentes ha sido históricamente uno de los dos peores enemigos de la ciencia. Y no me refiero solamente a la involución medieval y su mitificación de los clásicos, sino a etapas mucho más recientes.

    3ª Además de la inteligencia, está la fuerza bruta. Euler no disponía de un ordenador tan potente como los nuestros; en menos de un minuto tú o yo podemos generar todas las ternas para un p menor de 20.000, y si hemos sabido analizar meticulosamente las propiedades entre las diferentes ternas, podemos agruparlas y ordenarlas en fracciones de segundo todas las veces que nos dé la gana.

    El objetivo de la vida no es la meta, es el camino. Y yo he caminado tres días muy agradables analizando las propiedades de las 6 ternas.

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  18. Otra manera de verlo:

    Demostrar que no existe un cuboide perfecto es equivalente a demostrar lo siguiente:

    “Es imposible encontrar 3 triángulos rectángulos con la misma hipotenusa, y que además todos los lados sean enteros”

    o

    “Es imposible encontrar seis números enteros diferentes tal que A^2+B^2=C^2+D^2=E^2+F^2”

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  19. Las ternas no tienene que ser ternas primitivas. Partiendo de tres ternas cualquiera (3,4,5; 5,12,13; 8,15,17) podemos obtener un contraejemplo a tu proposición.

    mínimo común múltiplo de (5,13,17)= 1020. Por lo tanto 1.020 es la hipotenusa de tres triángulos rectángulos donde todos los lados son enteros.

    (3*12*17)²+(4*12*17)² = (5*5*17)²+(12*5*17)² = (8*5*13)²+(15*5*13)²

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  20. Perdón, al postear se me fue la hoya y utilicé 12 en algunos sitios donde debería haber utilizado el 13.

    mínimo común múltiplo de (5,13,17)= 1105. Por lo tanto 1.105 es la hipotenusa de tres triángulos rectángulos donde todos los lados son enteros.

    (3*13*17)²+(4*12*17)² = (5*5*17)²+(12*5*17)² = (8*5*13)²+(15*5*13)²

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  21. Sabía yo que esto pasaría…

    se me olvidó añadir que A y B, C y D, E y F tienen que ser coprimos entre sí…

    sorry

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  22. Bueno, pues mi mejor argumento es un ejemplo:
    1073, 264, 1105
    943, 576, 1105
    817, 744, 1105

    (¿se nota mucho que he empleado la fuerza bruta y todavía no he encontrado un ejemplo de cuboide perfecto?)

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  23. Gracias por el contraejemplo…

    otro camino menos por el que seguir jeje

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  24. He simplificado el dibujo de “lo que hay que encontrar”.

    Para empezar “diseccionamos” la caja perfecta dividiéndola usando el plano que contiene a D y a X. Eso nos deja con una “Rampa perfecta” que podemos “desdoblar” en un mismo plano así: Rampa perfecta

    A partir de la rampa (montada) podemos “recortarla” siguiendo el plano que contiene a D y a Y, de ese modo nos quedará una pirámide cuya base es un rectángulo de lados c,b con diagonal Z. Dicha pirámide podemos dividirla de nuevo, esta vez usando el plano que contiene D y “a”, obteniendo las siguientes figuras: Imagen Aquí.

    Espero que os sean de ayuda los dibujillos, los acabo de hacer para la ocasión, ;).

    Un dato curioso sobre esas figuras es que todas las áreas de las caras son números enteros. Ambas figuras comparten dos caras (aDz) y (bzc), las otras son necesariamente diferentes dos a dos (ninguna de ellas es igual a otra). La altura de ambas figuras (y por tanto de la pirámide) es “a”.

    He supuesto que “a mayor que b mayor que c” para intentar relacionar las diagonales, fácilmente se ve que “D mayor que X mayor que Y mayor que Z” (ésto ayuda a hacerse una idea de las proporciones para los dibujos).

    Por otro lado he supuesto “b=a-r” y “c=a-s” para relacionarlo todo con “a”… llego a lo siguiente:

    x² = 2a² – 2ar + r²
    y² = 2a² – 2as + s²
    z² = 2a² – 2a(r+s) + r² + s²
    D² = 3a² – 2a(r+s) + r² + s²

    Con esas ecuaciones ver el problema de la “paridad” es sencillísimo. Los únicos factores que varían son “r” y “s”, uno de ellos es par y otro impar (o todos los lados tendrían el mismo signo, lo que es imposible para la caja “primitiva” que buscamos).

    A través de la “disección” de la Rampa podemos ver que el problema se reduce a lo siguiente:
    “Encontrar un número natural c tal que pueda formar ternas pitagóricas con tres números a, b, x, que forman entre sí una terna pitagórica”.

    A través del modelo de la pirámide aún no he conseguido una “simplificación” del problema. Podríamos intentar relacionar las áreas de las caras con el volumen… yo no lo he conseguido.

    Lo que sí he hecho ha sido lo siguiente. Supongamos que sabemos cuál es el parámetro par (me refiero a los parámetros “r” y “s”). Imaginemos que el parámetro par es r, por ejemplo. Entonces tenemos que:

    Sea r=2k
    x² = 2a² – 2ar + r² = 2a² – 4ak + 4k²
    = 2[a² – 2ak + 2k²] = 2[(a-k)² + k²] = x²

    (1/2)x² = (a-k)² + k²
    (1/2)x² – k² = (a-k)²
    sqrt((1/2)x² – k²) + k = a
    a = k + sqrt((1/2)(x² + r))

    lo que nos dejaría con:
    b = sqrt((1/2)(x² + r))

    Si suponemos que “s” es par, obtenemos un caso análogo que nos lleva a:
    a = k + sqrt((1/2)(y² + s))
    c = sqrt((1/2)(y² + s))

    Sin embargo, obtener algo similar para “r” (o “s”) impar me ha sido imposible. Si a alguien se le ocurre cómo, éste sería el primer paso para obtener los valores de todos los lados y diagonales en función SÓLO de los parámetros “r” y “s”, es decir, de las diferencias entre los lados. Eso complicará mucho las ecuaciones, pero simplificará la búsqueda: de 6 a sólo 2 números naturales.

    Aún he ido por más caminos, para buscar extrañas relaciones, pero ninguna significativa… algunos datos curiosos sobre la base de la pirámide… pero me estoy alargando tanto que me da vergüenza seguir!!!

    Luego esto no se lo lee nadie xD

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  25. Ups, pequeña errata en las últimas ecuaciones. Quería decir:

    b = sqrt((1/2)(x² + r)) – k
    c = sqrt((1/2)(y² + s)) – k

    (donde esas k son, respectivamente: r/2 y s/2)

    Salu2! 🙂

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  26. Me encanta el interés que habéis mostrado por el tema. Si yo tuviera tiempo me uniría, pero es que estoy muy pillado ahora con los exámenes de mis alumnos.

    mimetist dale caña, yo me leo todos los comentarios con atención y seguro que hay mucha más gente que también lo hace.

    Seguid así, sería un exitazo llegar a algo en un problema abierto como éste.

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  27. Pues ya que las aportaciones no caen en saco roto …

    Aunque lo parezca, la cuestión no trata de números enteros sino de números racionales.
    Teorema1 Si existe un cuboide con aristas y diagonales racionales, entonces existe un cuboide semejante al anterior con todas sus aristas y diagonales enteros
    La demostración es trivial, se calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de todos los denominadores y se multiplican todos los lados y diagonales por dicho número; como todo racional multiplicado por un múltiplo de su denominador es un entero … todos los lados y diagonales del nuevo cuboide serán números enteros.
    p/q * (q*k) = p*q*k /q = p*k

    Teorema2: si el seno, coseno y tangente de uno de los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo son números racionales, entonces existe un triángulo pitagórico semejante al anterior. (si dos son racionales, entonces los tres son racionales).
    La demostración parte de la definición de seno (cateto opuesto/hipotenusa), coseno (cateto adyacente/hipotenusa) y tangente (cateto opuesto/adyacente) donde obtenemos que si dos de las funciones ofrecen resultados racionales entonces los tres lados también son racionales, combinado con teorema1 que dice que si los tres son racionales entonces existe un triángulo semejante con sus tres lados enteros.

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  28. Esa es una de las cosas curiosas que había deducido de la “estructura” de la base de la pirámide… el seno y el coseno de cada ángulo debe ser racional.

    Además sabemos que los ángulos no pueden ser iguales por contradicción con poder formar triángulos pitagóricos:
    (Demostración)
    x² = k² + k² = 2k²
    x = k*sqrt(2)
    sqrt(2) = x/k
    lo que es imposible para x,k racionales.

    Por tanto, como los dos ángulos no son iguales, uno de ellos es menor… por tanto el valor máximo del ángulo pequeño es PI/4.

    Llamemos los ángulos de la siguiente manera:
    A = ax [el formado por los segmentos a,x]
    B = ay
    C = bz
    E = Dx
    F = Dy
    Esos 5 ángulos son todos menores que PI/4 considerando las propiedades de cada segmento: “D mayor que x mayor que y mayor que z” y “a mayor que b mayor que c” (no podemos afirmar que “z mayor que a”, o al menos yo no lo veo nada claro… así que no podemos saber cuál de los dos ángulos aD o zD es más pequeño).

    En cualquier caso con esos cinco ángulos podemos determinar completamente la pirámide y por tanto la caja perfecta. Además tenemos las siguientes igualdades:

    senA = senF
    senB = senC = senE

    Como nos estamos moviendo en un intervalo en el que no se pueden repetir valores del seno y el coseno salvo que los ángulos sean iguales, tenemos que:

    senA = senF implica A=F
    senB = senC = senE implica B=C=E

    Si no me he equivocado en nada, estaríamos hablando de triángulos semejantes (si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, entonces tienen los tres ángulos iguales).
    De modo que, salvo error (todo esto casi lo he improvisado durante el comentario), son semejantes entre sí los triángulos:
    abx == Dby
    ayc == zbc == Dcx

    Si todo ésto es cierto (cosa que me sorprende demasiado), entonces los lados de los triángulos se pueden calcular multiplicando los lados de uno por la razón de semejanza de otro.

    Voy a meditar sobre el tema, he debido cometer algún error, porque se ve demasiado cerca una demostración… demasiado sencillo 😛

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  29. Ups, ya he visto el error.
    No es cierto que senA = senF, sino xsenA = DsenF

    Ay, qué poco dura la felicidad…

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  30. teorema:no exsiste el cuboide perfecto.
    demostracion:
    supongamos que existe al menos un cuboide perfecto entonces podemos tener las relaciones entre enteros:
    d^2=a^2+b^2+c^2 sii 2d^2=a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2=m^2+n^2+p^2..(hp)
    como (a,b,m),(a,c,n),(b,c,p) son ternas pitagoricas entonces m^2,n^2,p^2 son imapares
    en (hp) par=impar(absurdo)
    por lo tanto no existe el cuboide perfecto.
    discipulodegauss.

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  31. no entiendo porqué m^2,n^2,p^2 deben ser imapares. Una será par y las otras dos impares.

    Las ternas deben ser pitagóricas, pero no tienen porqué ser ternas pitagorias primitivas (6,8,10 es una terna pitagorica -no primitiva- y no es forzoso que la diagonal sea impar)

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  32. cuando el bachillerato escuche hablar de la caja de euler pero nunca habia leido todabia sobre ella. quusiera que me mandara muhca mas informacion a mi correo, ya que me intereso demaciado

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  33. Me ha parecido interesante el tema, vamos que me
    he puesto ha echar números y creo obtuve un plantemiento interesante para el problema de la caja de Euler que podría extrapolarse para el cuboide perfecto.

    Pondré un resumencillo:

    Buscamos un cubo que cumpla:

    a^2 + b^2 = x^2
    a^2 + c^2 = y^2
    b^2 + c^2 = z^2 …Cuadrados perfectos

    Y supondré siempre a>b>c

    Un cuadrado perfecto se puede poner de la
    forma (akí E significa sumatorio):

    (n)E n = n*n = n^2

    (Sería sumatorio i=1,..,n de n)…

    sigo en el siguiente post

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  34. .. a ver, empezemos por la expresion

    a^2 + b^2 = x^2

    (a)Ea + (b)Eb = (x)Ex

    (a)E[a+b] + (a+1 .. b)Eb = (x)Ex

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  35. opps bueno sigo.

    mi x^2 estará entre a^2 y (a+b)^2

    Ahora veamos los cuadrados perfectos:

    1
    2*2=2+2=4
    3*3=3+3+3=9
    4*4=4+4+4+4=16

    Un entero n y el siguiente tienen cuadrados
    que se diferencian en

    (2*(n+1)-1)

    Entonces puedo escribir la expresión anterior:

    (a)Ea + (n’)E[2*(a+i)-1]=a^2 + b^2

    Que simplificando y generalizando a las otras me lleva a

    (n’)E[2*(a+i)-1]=b^2
    (n”)E[2*(a+i)-1]=c^2
    (n”’)E[2*(b+i)-1]=c^2

    Que serían las ecuaciones a resolver para el problema de Euler.

    En el siguiente post añado algunas cosas útiles que saqué

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  36. pude avanzar un poco operando para sumar las series, esto es:

    (n’)E[2*(a+i)-1]= … =(2a-1)*(n’)+(n’)(1+n’)

    Que al final me deja el sistema de la forma

    n'(2a+n’)=b^2
    n”(2a+n”)=c^2
    n”'(2a+n”’)=c^2

    Hasta donde llegué, se llegá a la misma expresión de forma mucho más rápida planteando la cosa así:

    a^2 + b^2 = (a+n’)^2
    a^2 + c^2 = (a+n”)^2
    b^2 + c^2 = (b+n”’)^2 .. y operar un poco

    con n’,n”,n”’ enteros

    es decir que x^2 …etc son cuadrados perfectos n’ .. etc ordenes mayores que a …

    Esto confirma que el planteamiento anterior es correcto.

    No pude seguir analíticamente y llegar a la solución parametrica que en ppio existe pero me pereció que esta via en buena para intentar genralizar el problema al cuboide perfecto y complementar a los comentarios anteriores para intentar atacar el problema.

    Si hice una programa numérico para ver si el planteamiento estaba bien y efectivamente saca los resultados teóricos de Halcke y demás y creo se puede generalizar al cuboide aunque supongo ya estará hecho ….

    Saludos y disculpen la forma de poner los sumatorios pero no se me ocurrió otra

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  37. Por favor alguien puede ayudarme con la demostración matemática de cómo se llegó a obtener la solución de la caja de euler, en la que las diagonales de las caras son números enteros

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  38. hola DiAmOnD encontre una solucion parametrica a la caja perfecta y pido tu permiso para postearlo,espero tu pronta respuesta.

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  39. Bueno tal vez este loco de tanto pensar e intentos frustrados y ya no diferencio bien las cosas por eso os dejare las magnitudes del primer cuboide perfecto que halle para que os comprobais y espero tu respuesta.
    a=18063674500.
    b=26927216640.
    c=19702603900.

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  40. discipulodegauss, ¿lo has comprobado? Porque a mí no me dan números enteros. Yo he probado con la diagonal de una de las caras y con la diagonal espacial y no salen números enteros. Échale un ojo.

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  41. sabes no confio en estos aparatos lo hare manualmente y te aviso.

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  42. ouw al hacer cumplir la ultima condicion dejo de cumplirse la penultima ahi esta el error …..pero basta por ahora y perdonen por la falsa.

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  1. meneame.net - La caja de Euler... [c&p] Una caja de Euler (Euler Brick en inglés) es un cuboide que cumple que…
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