La circunferencia de Conway

En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultado preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso del que os voy a mostrar en esta entrada, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.

Partimos de un triángulo cualquiera, como éste:

Ahora desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento cuya longitud sea igual al lado opuesto de dicho vértice. La cosa quedaría tal que así (he añadido colores para que se vea más claramente):

Bien, pues lo que asegura el teorema de Conway es lo siguiente:

Teorema de Conway:

Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia.

Por esta razón se la conoce como circunferencia de Conway. En el siguiente applet de GeoGebra podéis ver esta circunferencia de Conway, y comprobar, moviendo los vértices del triángulo, que esos seis puntos siempre caen en ella:

Bien, vamos a intentar demostrar este resultado. Para ello vamos a utilizar el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia:

Sea P un punto del plano y c una circunferencia que no pasa por P. Supongamos que tomamos dos cuerdas que pasan por P y tal que cada una de ellas corta a la circunferencia en dos puntos, la primera en los puntos A,B y la segunda en los puntos CD. Entonces se cumple que:

\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}

Es decir, el producto de las longitudes de los dos segmentos en los P a cualquier cuerda que pasa por él es constante. Al valor de ese producto se le denomina potencia del punto P respecto de la circunferencia c.

En realidad vamos a utilizar el siguiente resultado, que podría decirse que es el recíproco de éste:

Si dos segmentos AB y CD que se cortan en un punto P verifican que \overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}, entonces los cuatro puntos A,B,C y D están en la misma circunferencia.

Vamos a la demostración:

Fijémonos en el vértice A, en el que se cortan los segmentos IR y FN. Por un lado tenemos que \overline{AI} \cdot \overline{AR} = a(b+c), y por otro también se cumple que \overline{AF} \cdot \overline{AN} = a(b+c). Por tanto tenemos que los puntos I,F,R y N están en la misma circunferencia.

Pero podemos hacer lo mismo con el vértice B y los segmentos FN y KQ, por lo que los puntos F,N,K y Q están en la misma circunferencia.

Con ello obtenemos que los seis puntos I,F,R,N,K y Q están en la misma circunferencia.

Actualización: En este comentario Javier nos avisa de que la demostración está imcompleta. Ignacio Larrosa Cañestro, en este otro comentario, la termina.

Demostración sencilla para un resultado precioso, ¿verdad? Bien, pues la cosa no queda ahí. El centro de esta circunferencia es…bueno, eso os lo dejo a vosotros. Es decir, tenéis que decir qué punto es el centro de la circunferencia de Conway y dar una demostración que avale vuestra propuesta. Espero vuestros comentarios.

¿Por qué se conoce como circunferencia de Conway? Porque fue el propio John Horton Conway quien estrenó un subforo de MathForum proponiendo este mismo problema (aquí nos hablan de ello). Y para honrar este bonito resultado, ¿qué mejor que plasmarlo en una camiseta? ¿Y quién mejor para hacerlo que el propio John Horton Conway? Pues ahí la tenéis, tomada de este post del blog de Tanya Khovanova (lugar por el que supe por primera vez sobre la existencia de este resultado):

Genio y figura el señor Conway, sin duda.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Se trata del incentro de ABC. Efectivamente:

    El centro de la circunferencia de Conway está en el punto de corte de las tres mediatrices de los lados prolongados. Pero los puntos medios de esas prolongaciones no son otros que los puntos de contacto de la circunferencia inscrita, por lo que el punto de corte de esas rectas es el incentro. Ver applet de GeoGebra:

    http://ggbtu.be/m308991

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  2. ¡En efecto, el centro de la circunferencia de Conway es el incentro del triángulo!
    Acabo de hacer la construcción completa en Geogebra. Espectacular.
    ¡Y yo que pensaba que el incentro seguía siendo la solitaria obeja negra, excluída del club de la Recta de Euler! Ahora tiene su propio club.
    ¿Habrá alguna relación esencial entre la recta de Euler y la circunferencia de Conway?

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  3. Pues yo debo estar un poco espeso, porque no entiendo una cosa:
    Que I,F,R,N estén en una circunferencia y que F,N,K,Q estén en otra no implica que las dos sean la misma circunferencia. ¿Por qué no son dos circunferencias que se cortan en F y N? (en total serían tres circunferencias, una por vértice).

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  4. Javier tiene razón, asi en principio solo se ve que hay tres circunferencias que se cortan dos a dos en dos puntos. Pero si te fijas, C, por ejemplo, tiene la misma potencia respecto a las tres. Por tanto, debe ser su centro radical. Pero otro tanto ocurre con A y B, de manera que las tres circunferencias en cuestión tendrían tres centros radicales distintos, lo que es imposible. La única posibilidad es que realmente las tres circunferencias sean la misma.

    De todas formas, si ves que el punto medio de cada segmento ampliado es el punto de contacto de la circunferencia inscrita, ya queda toco aclarado, pues ese punto están a la misma distancia, el radio de la circunferencia inscrita, de tres segmentos que tienen la misma longitud, el perímetro del triángulo. Luego se trta de tres cuerdas de igual longitud de una misma circunferencia con centro en el punto hallado, el incentro de ABC.

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  5. Exacto, el centro de la circunferencia de Conway es el incentro del triángulo inicial.

    DerkCopyleft, pues ahora mismo no sabría decir si hay alguna relación interesante o especial entre la recta de Euler y la circunferencia de Conway. Si alguien lo sabe que lo comente.

    Javier, pues es verdad. Edito ahora mismo el post y añado link al comentario de Ignacio Larrosa Cañestro.

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  6. Si no me he equivocado, el radio Rc de la circunferencia de Conway es

    Rc=raíz(A^2/p^2+p^2), Rc=raíz(r^2+p^2)

    Dos fórmulas sencillas en las que A es la superficie del triángulo, r el radio del círculo inscrito y p su semiperímetro.

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  7. Encontré algunas cosas interesantes, combinando en Geogebra la circunferencia de Conway, la recta y la circunferencia de Euler, y los círculos exinscritos del triángulo de la circunferencia de Conway:

    1. La recta de Euler contiene al centro de la circunferencia de Euler (la de los 9 puntos).

    2. El centro de la circunferencia de Conway es el ortocentro del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo de la circunferencia de Conway. En resumen: el incentro de un triángulo es el ortocentro de otro.

    3. La recta de Euler del triángulo de la circunferencia de Conway se intersecta con la recta de Euler del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo de la circunferencia de Conway, en el circuncentro del triángulo de la circunferencia de Conway.
    Por lo tanto, el circuncentro del triángulo de la circunferencia de Conway pertenece a la recta de Euler del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo de la circunferencia de Conway.

    Que disfruten de esta horrible y espectacular selva geométrica.

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  8. Haciendo un par de mediatrices de tres puntos de dicha circunferencia, no?

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  9. Si aplicamos lo de circunsferencia circunscripta de triángulos el circuncentro es el punto donde intersectan las tres mediatrices de sus lados y es el centro de la circunsferencia, en el caso del triángulo rectángulo este punto es el punto medio de la hipotenusa, entonces en el applet de geogebra si se toma un cateto y hace aproximar a cero su longitud la hipotenusa se transforma en el diámetro de la circunsferencia, luego el centro es el punto medio.

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  10. Si fijamos A y B y variamos C en una elipse cuyos focos sean A y B, el radio de la circunferencia de Conway se mantiene constante?

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  11. Carlos,
    Haciendo como dices, las longitudes de las tres cuerdas que contienen a los lados son constantes, pero no así la distancia de ellas al centro de la circunferencia de Conway, que no es otro que el incentro del triángulo. Por tanto, el radio de la circunferencia de Conway variará.

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  12. Una cosa, Ignacio Larrosa Cañestro. No entiendo de que deduces que la potencia de cada punto a todas las circunferencias es la misma.

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  13. Diego,
    La potencia del punto C respecto a la circunferencia IFRN y FNKQ es la misma, el producto de distancias CK·CQ (con signo -). Exactamente lo mismo que para IKRQ En las tres hay una cuerda (o dos), que están divididas por C en dos segmentos de longitudes c y a+b.

    Por tanto, si las circunferencias son distintas, C debe ser su centro radical. Pero es que lo mismo se puede deducir para A y B, por lo que las tres circunferencias deberían tener tres centros radicales.

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  14. Muchas gracias por la aclaración, me había liado mucho conmigo mismo. Pretendía encontrar una igualdad que me demostrara que la potencia de cada vértice a las circunferencias era la misma (la potencia de A a la cir. = a la de B con la circ.) y obviamente no obtenía nada jajaja. Ya entiendo todo.

    Saludos.

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  15. Justo encontré la presentación de la Circunferencia de Conway. Aquí hago la comprobación con las enseñanzas de Geometría en Preparatoria, a fines de los años 50, de mi maestro, el Arq. Carlos Ramallo, proveniente de Alcalá de Henares y refugiado político en México. Uso la nomenclatura del blog.
    1. Trazar el cuadrilátero FINR; como ayuda nemotécnica, lo relacionaremos con el vértice A porque sus diagonales se unen en ese vértice.
    2. El cuadrilátero es simétrico con respecto a la bisectriz del vértice A.
    3. Los lados FI y NR del cuadrilátero son paralelos.
    4. Como resultado de lo anterior, el lado IN forma con los lados FI y NR dos ángulos internos del cuadrilátero, en I y en N, que son suplementarios o sea, suman 180°.
    5. Por la simetría indicada, el ángulo del punto F es igual al ángulo en el punto I del cuadrilátero.
    6. De lo anterior se deduce que los ángulos opuestos en F y N son suplementarios y se deduce también que el cuadrilátero FINR es inscribible en una circunferencia pues para ello cumple con la condición necesaria y suficiente de que 2 de sus ángulos opuestos sean suplementarios y también se concluye que los puntos F, I, N y R se encuentran en un misma circunferencia.
    7. Por la misma condición de simetría, se define que el centro de la circunferencia se encuentra sobre la bisectriz del vértice A.
    8. Se repite el proceso para los cuadriláteros que relacionemos con los vértices B y C del triángulo definiendo la circunferencia FKNQ con centro sobre la bisectriz del vértice B y la circunferencia IKRQ con centro sobre la bisectriz del vértice C.
    9. Una forma simple de comprobar que las 3 circunferencias son la misma es confirmar que los puntos K y Q se encuentren en la circunferencia FINR.
    10. Para confirmar que el punto K se encuentra en la circunferencia FINR bastará con confirmar que está en la misma circunferencia que 3 de los 4 puntos F, I, N y R ya que cualquier trío con ellos define la circunferencia en la cual se encuentran los 4.
    11. Trazar el cuadrilátero FNKI.
    12. En este nuevo cuadrilátero, el ángulo en el vértice F mide (180°-A)/2 = 90°- A/2.
    13. El ángulo en el vértice K mide (180°-C)/2 del lado de arriba del dibujo y (180°-B)/2 del lado de abajo, lo cual totaliza 180°- B/2 – C/2
    14. Se observa que los ángulos en los vértices F y K son opuestos y suman 180° o sea, son suplementarios por lo cual el cuadrilátero FNKI cumple también con la condición necesaria y suficiente para ser inscribible en una circunferencia la cual solo puede ser la misma que se definió para los puntos F, I, N y R.
    15. Con lo anterior queda comprobado que el punto K se encuentra en la circunferencia FINR.
    16. El proceso se repite para el punto Q con la conclusión que se encuentra en la circunferencia FINR.
    17. Queda con ello confirmado que los 6 puntos quedan en una misma circunferencia.
    18. El centro de esa circunferencia se encuentra en las tres bisectrices o sea en el incentro.

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