La conjetura de Andrica, o qué distancia hay entre dos números primos consecutivos

Quien más quien menos sabe que existen infinitos números primos, y quien no lo sepa…debería saberlo. Por aquí hemos visto varias demostraciones sobre este hecho (la de Euclides, usando números de Fermat, la topológica, la de juan Pablo…), pero una de las que más me gustan es la que prueba la divergencia de la serie de los inversos de los números primos.

Bien, hay infinitos, pero ¿qué distancia hay entre ellos? Más concretamente, ¿qué se puede decir de la distancia entre dos números primos consecutivos? Pues, además de no ser un número fijo (evidentemente), la intuición nos dice que dicha distancia crece (aunque no de forma monótona) conforme los números primos son cada vez más grandes. De hecho podemos encontrar “huecos” entre dos primos consecutivos cuya longitud sea cualquier número natural. Esto podría reforzar la creencia de que dos primos consecutivos tienden a estar tremendamente lejos, pero hay conjeturas interesantes que sugieren que la distancia no es tanta. Una de ellas es la conjetura de Andrica.

dorin AndricaDorin Andrica es un profesor de la Facultad de Matemáticas y Ciencias de la Computación de la Babes-Bolyai University de Rumanía (nació en 1956) que en 1986 publicó el artículo Note on a conjecture in prime number theory (Studia-Math, 31, fasc. 4, 1986, 44-48) donde exponía la que hoy se conoce como conjetura de Andrica, relacionada con lo que en inglés se conoce como prime gap (hueco entre dos primos consecutivos). Dicha conjetura dice lo siguiente:

Si p_n representa el n-ésimo número primo, entonces se tiene que

\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n} < 1, \; \forall n \in \mathbb{N}[/latex]  </blockquote>  Como ocurre para otras muchas conjeturas, hay evidencias empíricas bastante fuertes que apuntan a que la conjetura es cierta, pero ya hemos visto por aquí que <a href="http://gaussianos.com/una-creencia-no-es-una-demostracion/">una creencia no es una demostración</a>. De todas maneras es interesante comentar que se ha comprobado que la conjetura es cierta al menos para un valor de n igual a [latex]1,4 \cdot 10^{18}.

(“Diferencias de Andrica” para los 200 primeros números primos. Fuente: Wikipedia.)

Como se puede ver en el gráfico, para los 200 primeros números primos la diferencia entre las raíces cuadradas de cada pareja de ellos consecutivos es menor que 1. Ahora, ¿continuará pasando esto conforme los números primos son mayores? Teniendo en cuenta que a medida que vamos avanzando los números primos son más escasos, por lo que en teoría hay más distancia entre cada dos consecutivos, no está tan claro que estas “diferencias de Andrica” sigan siendo siempre menores que 1…pero en la práctica parece que sí es así. Trasteando hace unos días con Mathematica obtuve algunos datos interesantes que os muestro ahora.

Lo que me planteé fue cuántas “diferencias de Andrica” son menores que 0,5 entre los 100000 primeros números primos. Para ello utilicé el siguiente código (mejorable, seguro):

Do[If[N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]] > 0.5,
Print[{N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]], Prime[n + 1],
n + 1}]], {n, 1, 100000}]

Con él estamos diciendo a Mathematica que nos calcule las “diferencias de Andrica” de los 100000 primeros números primos, y que si en algún caso esa diferencia es mayor que 0,5 nos muestre el valor de dicha diferencia, los números primos que forman la pareja que la genera y el lugar que ocupa el mayor de ellos en la lista ordenada de números primos de menor a mayor. Lo que obtuve es que hay solamente 6 parejas en las que la diferencia es mayor que 0,5 entre los 100000 primeros números primos. Son éstas:

{0.504017,5,3,3}
{0.670873,11,7,5}
{0.517554,17,13,7}
{0.589333,29,23,10}
{0.514998,37,31,12}
{0.639282,127,113,31}

Como ejemplo, para que todo quede claro, la última línea anterior nos indica que la “diferencia de Andrica” entre el número primo número 31, que es el 127, y el 30, que es el 113, es aproximadamente 0,639282. Podéis comprobar que, efectivamente, se tiene que

\sqrt{127}-\sqrt{113} \approx 0,639282

Esto está bien, pero los 100000 primeros números primos pueden quedarse cortos, por lo que quizás interesaba dar un paso más. Por ello me fui a números más grandes, concretamente de 100000 a 1000000…


Recuerdo que no me refiero a los enteros positivos entre 100000 y 1000000, sino a los números primos que ocuparían esas posiciones si los ordenamos todos de menor a mayor. Por ejemplo, el número primo que ocuparía la posición 200000 es el 2750159.


…y probé con la misma diferencia, 0,5. Es decir, utilicé el código siguiente:

Do[If[N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]] > 0.5,
Print[{N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]], Prime[n + 1],
Prime[n], n + 1}]], {n, 100000, 1000000}]

¿Qué ocurrió? Pues que no obtuve ningún resultado. Es decir, ninguna pareja de números primos consecutivos entre esos dos valores de la lista ordenada de los mismos presenta una “diferencia de Andrica” mayor que 0,5. Uhmmm, interesante. ¿Y si bajamos esa diferencia? Probé con 0,3, con 0,2, con 0,1…y nada, ningún resultado. Con 0,05 sí aparecen parejas, concretamente estas cuatro:

{0.0507868,1349651,1349533,103521}
{0.0566515,1357333,1357201,104072}
{0.0528087,1562051,1561919,118506}
{0.0521851,2010881,2010733,149690}

Y si continuamos las diferencias siguen bajando sin parar, podéis comprobarlo vosotros mismos.

Estos resultados no hacen más que darnos aún más razones para reafirmarnos en la idea de que la conjetura de Andrica es cierta…pero por desgracia son solamente resultados parciales, datos de casos concretos, ni mucho menos una demostración. Quien consiga ponerle el cascabel al gato de Andrica seguro que será famoso de por vida.


Fuentes y enlaces relacionados:

¿Conocéis algún avance interesante en la resolución de esta conjetura? Cualquier cosa ya sabéis, a los comentarios.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. Al comentario “Teniendo en cuenta que a medida que vamos avanzando los números primos son más escasos, por lo que en teoría hay más distancia entre cada dos consecutivos” se contrapone que (cambio la desigualdad para buscar un contraejemplo):

    sqr(p(n+1)) – sqr(p(n)) > 1 => sqr(p(n+1)) > sqr(p(n)) + 1, y elevando al cuadrado al ser ambos mayores que 1 se mantiene la desigualdad.

    p(n+1) > p(n) + 2sqr(p(n) + 1, y tambien hay un crecimiento de la segunda parte segun avanzamos hacia números grandes muy importante 2sqr(p(n)) +1.

    Si no, será muy fácil

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  2. Me he dejado de escribir:
    p(n+1) – p(n) > 2sqr(p(n)) + 1

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  3. En la serie armónica tenemos la fórmula que nos dice que H(n) – log(n) tiende a Gamma cuando n tiende a infinito.
    En la de los inversos de los primos intuyo que la fórmula equivalente podría parecerse a la siguiente: P(n) – log(log(n)) tiende a log(1 + gamma) cuando n tiende a infinito.
    Mediante una simple hoja de cálculo he comprobado que para los treinta mil primeros primos la diferencia entre 1/p(1) + 1/p(2) + 1/p(3)+… + 1/p(n) y log(log(n)) decrece paulatinamente acercándose, por encima, a log(1 + gamma).
    ¿Alguien podría comprobar, mediante un programa de ordenador si sigue cumpliéndose para valores mayores de n?
    En cualquier caso, estoy convencido de que existe un k > 0,5 que satisface la expresión P(n) – log(log(n)) tiende a k para n tendiendo a infinito.
    Sería interesante confirmar el valor de k, tanto si es el que yo intuyo, como si es otro menor que él.

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  4. JJGJJG, te confirmo que esa diferencia parece que tiende a log(1+gamma). Lo he hecho con SAGE y he tomado los 300.000 primeros primos. No puedo tomar muchos más porque el programa colapsa si lo intento.

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  5. En primer lugar, quería agradecer a gaussianos por sus artículos. Te considero un altruista de las Matemáticas. Me gustaría tener más tiempo para leer el blog con detenimiento…

    Dicho esto, la conjetura me parece muy interesante a la vez que sutil.

    Si no he entendido mal:
    Dado M>0 existe n\in\mathbb{N} tal que p_{n+1}-p_n>M, sin embargo \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1. Leído rápido, lo que uno piensa (al menos yo) es: Imposible! la función f:[0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x} es monótona creciente y no acotada! Pero teniendo en cuenta que el crecimiento de la función es decreciente (f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}) y si suponemos la conjetura cierta, intuitivamente se deduce que para conseguir un intervalo en \mathbb{N} ''grande'' sin números primos, el extremo inferior de dicho intervalo ha de ser muy muy muy grande (del estilo m!). Por tanto, yo consideraría que la distancia entre los dos primos debe ser muy grande, pero eso sí ambos deben ser aún más grandes.

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  6. No se si ha quedado clara mi última frase de mi comentario, lo que quería dar a entender es que la frase del artículo:

    “pero hay conjeturas interesantes que sugieren que la distancia no es tanta. Una de ellas es la conjetura de Andrica´´

    no es cierta. La conjetura no sugiere que la distancia no es tanta, lo que sugiere es que nos tendremos que desplazar mucho a la derecha para conseguir un intervalo sin números primos.

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  7. Qué tal si tratamos de demostrar, o refutar, la siguiente conjetura:

    “Siendo n un número entero positivo cualquiera, si tomamos una sucesión cualquiera de n números enteros consecutivos mayores que n^2 y menores que (n+1)^2, entonces al menos uno de esos n números es primo.”

    Esta conjetura se me ocurrió hace un par de años cuando analizaba la conjetura de Legendre.

    Si la mencionada conjetura es cierta, entonces también son ciertas las siguientes conjeturas:

    – Conjetura de Legendre
    – Conjetura de Brocard
    – Conjetura de Andrica

    Y (si la mencionada conjetura es cierta) también se demuestra que para todo entero positivo n el intervalo [n,n+2\left\lfloor{\sqrt n}\right\rfloor-1] contiene al menos un primo.

    Lo anterior es bastante fácil de demostrar, y eso es lo que hago en un pequeño trabajo de mi autoría que está disponible en http://vixra.org/pdf/1208.0022v1.pdf.

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  8. [De hecho podemos encontrar “huecos” entre dos primos consecutivos cuya longitud sea cualquier número natural. ]
    Entre cual par de primos hay 2 huecos?

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  9. Aunque no sea una demostración voy a exponer un argumento muy explícito a favor de la conjetura:
    Expresémosla así: raíz(P(n+1))<raíz(P(n)) +1 y elevemos al cuadrado

    P(n+1)<(raíz(p(n))+1)^2

    Elegimos un número elevado para P(n), por ejemplo 10^12 necesitamos probar que P(n+1)<(10^6+1)^2

    Según el teorema de Gauss sobre los números primos el número de primos menores que 10^12 que es, aproximadamente 10^12/log(10^12) y el número de primos menores que (10^6 +1)^2 es (10^6+1)^2/log(10^6+1)^2.

    La diferencia entre ambos valores es alrededor de 70000, es decir, cabe esperar que entre 10^12 y 10^12+2×10^6+1 haya unos 70000 primos.

    Resulta difícil creer que no haya ninguno para que la conjetura resulte falsa.

    Recomiendo la consulta en Wikipedia de "conjetura de Cramér" y, en el mismo artículo, la de Cramér-Granville, mucho más restrictivas que la del profesor Andrica.

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  10. LeoDamLop, entre 3 y 5 por ejemplo hay 2 “huecos”. A estos números se les llama números primos gemelos.

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  11. [LeoDamLop, entre 3 y 5 por ejemplo hay 2 “huecos”. A estos números se les llama números primos gemelos.]
    No.
    Solo hay un Hueco el 4.
    No hay dos primos consecutivos con dos huecos entre ellos, ya que uno seria par ¡

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  12. “P(n) – log(log(n)) tiende a log(1 + gamma)”

    JJGJJG, ¿es eso cierto? ¿dónde puedo encontrar una demostración?

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  13. Una cosa es:

    “…podemos encontrar series de numeros compuestos consecutivos de cualquier longitud”

    y otra

    ” podemos encontrar “huecos” entre dos primos consecutivos cuya longitud sea cualquier número natural.”

    El 2 es un número natural, y esa cantidad de huecos entre primos no existe.

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  14. Vale, tienes razón LeoDamLop, quizás no es exacto lo que dice esa frase ya que no hay huecos de longitud 2. Pero lo importante de esto de los huecos, que no se te olvide, es que se pueden encontrar series de compuestos consecutivos de cualquier longitud, como bien has dicho tú mismo. Que los pequeños detalles sin importancia no nos impidan ver lo realmente trascendente.

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  15. JJGJJG, creo que has confundido durante tu razonamiento el primo n-esimo con el propio numero primo, es decir, el primo P(n) es el primero numero ‘n’ en una lista de numeros primos, y el primo P(n+1) es el siguiente primo.
    Como se observa en muchas ocasiones, es incluso posible que simplemente haya una diferencia de 2 entre dos primos consecutivos.
    Cuando dices que la diferencia entre el 10^12 y el (10^6+1)^2 es de 70.000 números primos, creo que confundes el propio número con la posición del número primo.
    Piensa que se trata de números primos consecutivos, sin embargo, cuanto más crece ‘n’ parecería que más números primos debería haber entre dos primos consecutivos… ¿cómo? ¿entre dos primos consecutivos hay 70.000 números primos? pues eso, 🙂

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  16. Cartesiano Caotico, quizás mi redacción no es excesivamente precisa pero el razonamiento es perfectamente válido.

    Como digo al principio la conjetura de Andrica se puede escribir de esta forma raíz(p(n+1))<raíz(p(n) +1.

    Si elevo al cuadrado ambos miembros la desigualdad permanece ya que ambos miembros son reales y mayores que 1. Es decir p(n+1)<(raíz(p(n))+1)^2.

    En mi ejemplo elijo para p(n) un primo cuyo valor esté próximo a 10^12, no el primo que ocupe el lugar 10^12 en la lista de primos.

    El número de primos menores que p(n) entonces será del orden de 10^12/(log(10^12)) o sea unos 36191206825.

    Según la conjetura p(n+1) deberá ser menor que (raíz(p/n)+1)^2 es decir menor que (raíz(10^12)+1)^2 o sea menor que (10^6+1)^2.

    El número de primos menores que (10^6+1)^2 es alrededor de (10^6+1)^2/log((10^6+1)^2) que son alrededor de 36191276590.

    Esto quiere decir que entre el valor de p(n+1) que invalidaría la conjetura de Andrica (haciendo que el primer miembro de la desigualdad no sea menor que el segundo) y el del p(n) supuesto cabe esperar que haya unos 70000 primos luego es dificilísimo que no haya ninguno.

    Lo único que pretende mi razonamiento es, mediante un ejemplo numérico, demostrar la alta improbabilidad de que la conjetura sea falsa de una forma fácilmente inteligible.

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  17. Para “a”:
    Gracias por la referencia al segundo teorema de Mertens que no conocía.
    En él se relaciona el límite de la suma de los inversos de todos los primos menores que n con el doble logaritmo de n y la contante de Mertens.

    En mi conjetura “JJGJJG | 11 de October de 2012 | 21:33” yo relaciono el límite de la suma de los inversos de los n primeros primos con el doble logaritmo de n y el logaritmo de (1+ la constante gamma). Aunque no la he demostrado sí ha sido testeada por mí con los 30000 primeros primos y por “GOB | 11 de October de 2012 | 22:22” hasta los 300000 primos.

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  18. JJGJJG, por un lado tienes razón, había entendido al revés lo que decías.
    Me doy cuenta de que lo que quieres decir es que para todo primo, encontraré el siguiente mucho antes de incumplir la conjetura, y para el ejemplo que das podría encontrar 70.000 primos antes de incumplirla.

    Sin embargo, hay un fallo, la aproximación n/ln(n) para el número de primos menores que n, es tan sólo una aproximación, y al nivel que la quieres usar es muy mala aproximación.

    No puedo calcular para 10^12, pero según la wikipedia (http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo) para 10^10 el error cometido es de 20.758.029 respecto a 455.052.511, y tu cálculo nos diria que el número de primos entre 10^10 y (10^5+1)^2 sería de 8308.

    Es decir, decimos que supuestamente podriamos encontrar 8308 números primos antes de salirnos de la conjetura, pero… ¿con ese error de 20 millones de números primos …? parece que no llegamos a ninguna conclusión válida no? Realmente habría que acotar el error, pero a mi me parece que crece más rápido el error que el número de primos, eso sería otro estudio.

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  19. Cartesiano Caotico, no pretendo que mi razonamiento sea una prueba de nada, sino mostrar lo difícil que parece que la conjetura de Andrica sea falsa.
    Puntualicemos un poco tu último comentario. En la entrada de la WIKI que me indicas puedes comprobar que el error relativo del número de primos desciende claramente:
    Para 10^3 es del 13,7%
    Para 10^4 es de 11.6%
    Para 10^5 es de 9,4%
    Para 10^6 es de 7,8%
    Para 10^7 es de 6,6%
    Para 10^8 es de 5,8%
    Para 10^9 es de 5,1%
    Y para 10^19 es de 4,6%
    Eso quiere decir que, tanto mis 70000 como tus 8300 podrían reducirse en un 5% sin que eso afecte al hecho de que “PARECE MUY RARO QUE NO HAYA NINGÚN PRIMO EN UN INTERVALO EN EL QUE UNA FÓRMULA BASTANTE AFINADA NOS PERMITE ESPERAR QUE HAY VARIOS MILES”.
    Por otro lado en el artículo en el que hacemos nuestros comentarios se dice que la conjetura está COMPROBADA COMO CIERTA HASTA 1,4X10^18.
    Por encima de 1.4×10*18 los primos que deberían no existir para invalidar la conjetura está por encima de 50.000.000. Creo que sí se puede sacar alguna conclusión válida aunque, por supuesto, no equivalga a una demostración.

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  20. pues tiene que ser verdad no ? 😀 quiero decir teniendo en cuenta el teorema del numero primo  p_{n}=nlog(n)

    que para n grandes la diferencia puede ser aproximada por la derivada entonces

     sqrt{p_{n+1}}- sqrt{sqrt{p_{n}} = frac{d}{dn} sqrt{n}log^{1/2}(n)

    que tiende a 0 cuando  n to infty

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  21. Soy consciente de que este hilo es de hace ya unos cuantos meses pero
    al leer los comentarios he visto algo que “se dice mal aunque nos entendemos”,
    me refiero a los comentarios de “LeoDamLop”, “Imanol Pérez”, “Eder Contreras”
    y la aclaración de “gaussianos” en relación con la desafortunada frase del
    principio del artículo (y cito literalmente):

    “podemos encontrar “huecos” entre dos primos consecutivos cuya longitud sea cualquier número natural”

    que obviamente es errónea, porque si definimos “hueco” entre primos consecutivos
    como el concepto de “prime gap”, entonces el “hueco” es la distancia o diferencia
    entre dos primos consecutivos y ese “hueco” no puede ser cualquier número natural,
    sólo puede ser cualquier natural PAR, a excepción evidentemente del “hueco” entre
    los dos primeros primos ya que: 3-2=1. Es trivial que todos los primos son impares
    menos el 2 y la diferencia de dos impares es siempre par.
    De esta forma es fácil ver que dos primos gemelos tienen un “hueco” igual a 2,
    y hay una conjetura también muy interesante que plantea si existen infinitos
    primos gemelos lo que equivale a plantear si existen infinitos términos iguales a 2
    en la sucesión de “prime gap”.
    Este tema me apasiona porque es el objeto de mi tesis doctoral: el estudio y
    propiedades de la sucesión “prime gap”.
    Gracias a todos.
    Q.E.D.

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  22. Parece ser que en toda terna pitagórica fundamental (TPF para abreviar) hay dos números impares donde al menos uno de ellos es primo. Si esto es demostrable, entonces tenemos que al menos hay algunos primos de la forma p = (a^2+b^2)^{1/2} o p = (a^2-b^2)^{1/2}. La pregunta que me hago es esta, salvo el 2, los demás primos tendrán la misma forma?

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  23. No soy matemático, pero pensándolo un poco esa conjetura es el resultado de algo que ya se sabía. Que los números primos crecen mucho mas despacio que, por ejemplo, la sucesión {n^2}, donde sqrt((n+1)^2)-sqrt(n^2)=1. Como consecuencia, toda sucesión de termino general {An} , (restringiremos ” toda sucesión” a las positivas y estrictamente crecientes), que “crezca” mas despacio que que {n^2}, se va a cumplir que sqrt((An+1)^2)-sqrt(An^2)<1 que es el caso de los números primos. Si nos vamos a series, sabemos que la serie {1/n^2} converge, sin embargo la serie reciproca de los numeros primos, No, que nos dice que n^2 tiende mas rápido al infinito que los numeros primos. Esta, en mi opinión, no es ni de lejos una demostración, pero es lo primero que se me ocurrió leyendo la conjetura. Si estoy en un error, por favor, que me lo hagáis saber.

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