La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero

Hace unas semanas recibía un mail de Dani, un lector de Gaussianos, que me hablaba sobre la posibilidad de publicar en el blog un problema que él me proponía. La naturaleza del mismo me llamó la atención lo suficiente como para publicarlo: ¡era un problema abierto!, es decir, un problema del que todavía no se conoce la solución. Evidentemente en el enunciado no se hacía referencia a esta característica del problema. Simplemente se pedía demostrar un cierto resultado o encontrar un contraejemplo. Podéis ver el problema y los comentarios sobre el mismo haciendo click en este enlace.

La idea era provocar la curiosidad de la gente por el problema sin saber que todavía no se había resuelto, para ver si alguien daba con alguna idea interesante para una posible demostración. Esto, que puede parecer un objetivo inalcanzable, en realidad no era tan descabellado, ya que este problema no es de hace demasiado tiempo, por lo que podría existir algún camino sencillo para llegar a su demostración que todavía no se hubiera explorado.

La cuestión es que el problema se conoce como conjetura de Casas-Alvero y la propuso un matemático español, Eduardo Casas-Alvero, de la Universidad de Barcelona. En los comentarios del artículo podéis ver que hay gente que publica intentos de demostración, pero que por desgracia no llegan a nada, a todos se les encuentra algún pero. Días después de la publicación del problema, hernan descubre el pastel…y me destroza un artículo, en el que tenía pensado contar la naturaleza del problema y dar algún detalle más.

Eduardo Casas-AlveroPero la cosa no podía quedar así, este tema no podía quedar en escribir un comentario diciendo que el problema era una conjetura y dar cuatro datos sobre ella. Por ello me puse en contacto con el matemático que la propuso, Eduardo Casas-Alvero. Y la verdad es que en cierto modo es emocionante hablar con una persona que da nombre a una conjetura tan joven y que ha interesado a tanta gente.

Eduardo se mostró dispuesto a colaborar en todo momento. Lo que yo le pedía era que me hablara sobre el nacimiento de la conjetura (sobre cómo y cuándo surgió), de los avances que se han hecho sobre la misma desde que la propuso y del estado actual de la misma. En los siguientes párrafos podéis ver las respuestas a todas estas cuestiones relatadas por el propio Eduardo Casas-Alvero.

La conjetura de Casas-Alvero

  • La ahora llamada conjetura de Casas-Alvero surgió como pregunta hacia 1998-99. Yo (Eduardo) acababa de obtener unos resultados sobre curvas polares (que luego aparecieron en Journal of Algebra 240(1), 2001) y estaba intentando establecer a partir de ellos un criterio de irreducibilidad para series de potencias en dos variables con coeficientes complejos. En determinado momento necesité usar que un polinomio en una variable que comparte raíces con todas sus derivadas de grado positivo es potencia de uno lineal. Al principio me pareció un hecho que no debía de ser difícil, de modo que lo dejé de lado para dedicarme a lo que parecían ser partes más serias de la demostración del criterio. Con todos los cabos más o menos atados volví al problema en una variable para descubrir que no era nada fácil. Estuve un tiempo intentando diversos tipos de argumentos y todo lo que conseguí fueron varias retorcidas maneras de obtener las fórmulas de Cardano, pero ninguna demostración de lo que quería. Luego empecé a preguntar a los colegas: primero a los de mi universidad, más tarde en congresos y visitas a otras universidades, en mis conferencias… Todo lo que obtuve fueron entretenidas discusiones, pero ningún avance, hasta que Lalo González-Vega (U. de Cantabria) me escuchó la pregunta y junto con Gema M. Díaz-Toca probó que el resultado era cierto para polinomios de grado menor o igual que ocho (Maple conference 2006. Proceedings of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 23-26, 2006, pages 81-98, Waterloo, 2006. Maplesoft, la primera publicación sobre el tema, que yo sepa).

    En 2007, Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Labs, Josef Schicho, y Christiaan van de Woestijne publicaron en Journal of Algebra la demostración del hecho para polinomios cuyo grado es potencia de primo o el doble de potencia de primo; puede verse en http://arxiv.org/abs/math/0605090 . Recientemente (2010) Jan Draisma (Eindhoven) y Johan P. de Jong, han obtenido una demostración más simple que extiende el resultado a polinomios de grado p^n,2p^n, 3p^n y 4p^n, para p primo; han escrito además artículos de divulgación y un curioso applet sobre el problema (que puede verse en esta web).

    Por mi parte he vuelto al problema un par de veces en estos años sin resultados (encontré una demostración preciosa, con polígonos curvilíneos e inversiones del plano, pero totalmente falsa). El criterio de irreduciblidad para series sigue pendiente y no descarto volver a trabajar en él (y en la conjetura si no puedo evitarla) en cuanto tenga algo de tiempo.

Bien, pues como podéis ver seguimos sin solución de la conjetura de Casas-Alvero. Lo que no significa que no podáis encontrarla. Desistir sería lo peor que podríais hacer, nunca se sabe cuándo podemos tener la idea clave que a nadie se le había ocurrido…y si no que se lo digan a Dantzig. No dudéis en comentarnos cualquier avance que hagáis/conozcáis sobre la demostración de esta conjetura.


Esta entrada es mi quinta y última colaboración para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, que por primera vez organizo yo mismo.

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9 comentarios

  1. Trackback | 24 mar, 2011

    Gaussianos: la conjectura de Casas Alvero « Bloc de la Biblioteca de Matemàtiques

  2. Jose | 28 de marzo de 2011 | 19:12

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    Hola,

    Os adjunto un enlace [1] con mi intento de demostrar esta conjetura, seguramente puede haber algún error sobretodo con los indices. A ver que os parece.

    PD: Diamond te envie la demostración por email porque tenia problemas para colgarla aquí con las etiquetas de latex (una parte no se veia) pero al final he subido el pdf a megaupload.

    [1] http://www.megaupload.com/?d=RKIBLYEO

  3. josejuan | 28 de marzo de 2011 | 20:53

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    Genial!, me gusta conocer estas anécdotas y además, si son de primera mano mejor! :D

  4. hernan | 29 de marzo de 2011 | 21:16

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    Me hubiera gustado preguntarle si él (y los colegas que han trabajado fuerte en la cuestión) tienen una posición fuerte tomada, es decir si sospechan que es verdad o que es falsa.

  5. Trackback | 30 mar, 2011

    Carnaval de Matemáticas: Resumen de la Edición 2.2 | Gaussianos

  6. Jose | 30 de marzo de 2011 | 22:59

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    Hola,

    Corrijo dos detalles sobre la demostración (las dos sobre el conjunto C_{n,k}):

    C_{n,k} := \{ x \subseteq \mathbb{N}_{n-1} \cup {0} : |x| = n-k\} donde 0 \leq k < n

    C_{n,0} = \{ \mathbb{N}_{n-1} \cup \{ 0 \} \}

    Para ver si alguien se anima a mirar la demostración os voy a mostrar con un ejemplo de donde sale la idea de la demostración y como se aplica en ese caso concreto:

    P(x) \mapsto  \left( x-a \right)  \left( x-b \right)  \left( x-c \right)   \left( x-d \right)  \left( x-e \right)

    P^{1)} (x) = \left( x-b \right)  \left( x-c \right)  \left( x-d \right)  \left( x-  e \right) + \left( x-a \right)  \left( x-c \right)  \left( x-d   \right)  \left( x-e \right) + \left( x-a \right)  \left( x-b \right)   \left( x-d \right)  \left( x-e \right) + \left( x-a \right)  \left( x  -b \right)  \left( x-c \right)  \left( x-e \right) + \left( x-a   \right)  \left( x-b \right)  \left( x-c \right)  \left( x-d \right)

    P^{2)} (x) = 2\, \left( x-c \right)  \left( x-d \right)  \left( x-e \right) +2\,   \left( x-b \right)  \left( x-d \right)  \left( x-e \right) +2\,   \left( x-b \right)  \left( x-c \right)  \left( x-e \right) +2\,   \left( x-b \right)  \left( x-c \right)  \left( x-d \right) +2\,   \left( x-a \right)  \left( x-d \right)  \left( x-e \right) +2\,   \left( x-a \right)  \left( x-c \right)  \left( x-e \right) +2\,   \left( x-a \right)  \left( x-c \right)  \left( x-d \right) +2\,   \left( x-a \right)  \left( x-b \right)  \left( x-e \right) +2\,   \left( x-a \right)  \left( x-b \right)  \left( x-d \right) +2\,   \left( x-a \right)  \left( x-b \right)  \left( x-c \right)

    P^{3)} (x) = 6\, \left( x-a \right)  \left( x-b \right) +6\, \left( x-b \right)   \left( x-e \right) +6\, \left( x-a \right)  \left( x-c \right) +6\,   \left( x-b \right)  \left( x-c \right) +6\, \left( x-b \right)   \left( x-d \right) +6\, \left( x-a \right)  \left( x-d \right) +6\,   \left( x-c \right)  \left( x-d \right) +6\, \left( x-d \right)   \left( x-e \right) +6\, \left( x-a \right)  \left( x-e \right) +6\,   \left( x-c \right)  \left( x-e \right)

    P^{4)} (x) = -24\,a-24\,b+120\,x-24\,c-24\,d-24\,e

    Una de las cosas que se puede ver rápidamente en este ejemplo es que al derivar siguen saliendo productorios con (x-raiz) pero en cada productorio hay una raiz menos y la derivada esta compuesta por suma de productorios de (x-raiz). Al fijarse un poco más se puede ver que, si numeramos las raices de 0 a 4, los productorios se pueden ver como subconjuntos de 5-k (k indica el orden de la derivada) elementos y además salen todos los conjuntos de 5-k elementos compuestos por números enteros de 0 a 4. De aquí es de donde viene la notación utilizada y esto es lo que intento probar en el lema 2 y un caso concreto de este lema lo pruebo en el lema 1.

    La última idea, que se intenta demostrar en el lema 3, es que si ahoramos igualamos P(w) a 0 (suponiendo w el que cumple  P(w) = 0 , \cdots , P^{k)} (w) =0 con k<5), vemos que una de las raices ha de ser w porque sino no se anula ya que estamos en un dominio, ahora ya tenemos w de multiplicidad 1, por ejemplo, a=w. Despues vamos a  P^{1)} (w) y lo igualamos a 0 y vemos que solo hay un productorio (donde no sale la raiz anterior) que no se anula y aplicando otra vez que estamos en un dominio, obtenemos que w tiene multiplicidad 2 y cogemos b=w. Continuamos así y vemos que todas las raices han de ser w, por tanto, ya tenemos demostrado el lema.

  7. Jose | 31 de marzo de 2011 | 13:34

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    Me acabo de dar cuenta que habia entendido mal el enunciado del problema, pense que decia que todas las derivadas hasta orden n-1 compartian una raiz, pero lo que dice es que f(x) comparte una raiz con cada una de sus derivadas, asi que la demostración que he puesto esta mal.

  8. Eduardo | 2 de abril de 2011 | 13:09

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    Respondiendo a Hernan: sí, mi impresión es que debe ser cierto, y esta impresión parece compartida por bastantes colegas. De todos modos no hay que fiarse: mi primera impresión fue que además de cierto era fácil y ya ves como estamos…

  9. Trackback | 17 oct, 2013

    Gaussianos cumple 5 años de vida - Gaussianos | Gaussianos

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