La conjetura de Catalan

Como todos sabemos 23=8 y 32=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamente pequeños no encontramos ninguno. Pero siempre podría darse una situación así para números más grandes.

En 1844 el matemático belga Eugène Charles Catalan conjeturó que no es posible encontrar otro ejemplo como el comentado al principio. Esta conjetura, denominada conjetura de Catalan, puede formularse de la siguiente forma:

La ecuación xa-yb=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única solución la siguiente: x=3, y=2, a=2, b=3

Pero ya sabemos lo que pasa con las conjeturas, que hasta que no se demuestran no puede saberse si son ciertas (ya vimos que, por ejemplo, la conjetura de Polya y la conjetura de Euler resultaron falsas mientras que el último teorema de Fermat resultó cierto). Y para saberlo debemos encontrar una demostración de la misma o un contraejemplo que la refute.

¿Existe alguna demostración de la conjetura o algún contraejemplo que nos diga que es falsa? La respuesta es sí. Y la conjetura resultó…¡¡cierta!!. El matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu la demostró en 2002, por lo que la conjetura pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.

Y para terminar comentar que Catalan no sólo es famoso por su conjetura. Sus trabajos versan sobre fracciones continuas, geometría descriptiva, teoría de números y combinatoria. Entre todos esos trabajos podemos destacar los números de Catalan y los poliedros de Catalan.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. En general, hay solucion para todo x-y=1, a=1 y b=1, no?

    Supongo que lo que realmente tiene solucion unica es “La ecuación x^a-y^b=1, para x,y>0; a,b>1”

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  2. Creo que la condición de la ecuación es x,y,a,b > 1 o tendremos infinitas soluciones cuando a=b=1.

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  3. jajajaja,bueno pues ya tenemos contraejemplo,que curiosidad :P,ahora decidme donde esta el problema en el contraejemplo de naka cristo porque yo no lo veo.¿Me habre perdido algo?

    creo que tienen que ser mayores que uno,porque sino 3^1-2^1 tambien da y asi con todas…

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  4. Enlace de Mihăilescu’s Theorem (Wikipedia Inglés):
    That is to say, Mihăilescu’s theorem states that the only solution in the natural numbers of

    x^a − y^b = 1

    for x, a, y, b > 1 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

    a y b deben ser mayores que uno…

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  5. Eu consegui uma demonstração muito simples para a conjectura de catalan

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  1. meneame.net - La conjetura de Catalan... [c&p] Como todos sabemos 2³=8 y 3²=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales…

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