La conjetura de Catalan
Como todos sabemos 23=8 y 32=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamente pequeños no encontramos ninguno. Pero siempre podría darse una situación así para números más grandes.
En 1844 el matemático belga Eugène Charles Catalan conjeturó que no es posible encontrar otro ejemplo como el comentado al principio. Esta conjetura, denominada conjetura de Catalan, puede formularse de la siguiente forma:
La ecuación xa-yb=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única solución la siguiente: x=3, y=2, a=2, b=3
Pero ya sabemos lo que pasa con las conjeturas, que hasta que no se demuestran no puede saberse si son ciertas (ya vimos que, por ejemplo, la conjetura de Polya y la conjetura de Euler resultaron falsas mientras que el último teorema de Fermat resultó cierto). Y para saberlo debemos encontrar una demostración de la misma o un contraejemplo que la refute.
¿Existe alguna demostración de la conjetura o algún contraejemplo que nos diga que es falsa? La respuesta es sí. Y la conjetura resultó…¡¡cierta!!. El matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu la demostró en 2002, por lo que la conjetura pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.
Y para terminar comentar que Catalan no sólo es famoso por su conjetura. Sus trabajos versan sobre fracciones continuas, geometría descriptiva, teoría de números y combinatoria. Entre todos esos trabajos podemos destacar los números de Catalan y los poliedros de Catalan.
Fuentes:
- Eugène Charles Catalan (Wikipedia)
- Conjetura de Catalan (Wikipedia)
- Mihăilescu’s Theorem (Wikipedia Inglés)
- Números de Catalan (Wikipedia)
- Poliedros de Catalan
Naka Cristo - 8 de Febrero de 2007 10:41
2^1-1^1=1
anonimo - 8 de Febrero de 2007 11:44
En general, hay solucion para todo x-y=1, a=1 y b=1, no?
Supongo que lo que realmente tiene solucion unica es “La ecuación x^a-y^b=1, para x,y>0; a,b>1″
Jose - 8 de Febrero de 2007 13:41
Creo que la condición de la ecuación es x,y,a,b > 1 o tendremos infinitas soluciones cuando a=b=1.
Elmasoriginal - 8 de Febrero de 2007 14:48
jajajaja,bueno pues ya tenemos contraejemplo,que curiosidad :P,ahora decidme donde esta el problema en el contraejemplo de naka cristo porque yo no lo veo.¿Me habre perdido algo?
creo que tienen que ser mayores que uno,porque sino 3^1-2^1 tambien da y asi con todas…
Elmasoriginal - 8 de Febrero de 2007 14:51
Enlace de Mihăilescu’s Theorem (Wikipedia Inglés):
That is to say, Mihăilescu’s theorem states that the only solution in the natural numbers of
x^a − y^b = 1
for x, a, y, b > 1 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
a y b deben ser mayores que uno…
^DiAmOnD^ - 8 de Febrero de 2007 23:54
Cierto, es mayor que 1. Ya está arreglado. Gracias
meneame.net - 9 de Febrero de 2007 0:41
La conjetura de Catalan…
[c&p] Como todos sabemos 2³=8 y 3²=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamen…
geraldo - 4 de Mayo de 2007 19:17
Eu consegui uma demonstração muito simples para a conjectura de catalan
Agustín Morales - 10 de Mayo de 2007 3:53
Geraldo ¿Puedes decirnos álgo sobre esa solución?