La conjetura de Gilbreath: cuando un matemático juega con los números primos…

puede pasar cualquier cosa.

Me imagino al señor Norman Gilbreath en un momento de aburrimiento comenzando a escribir números en un papel, cual Ulam en una conferencia. Éste último los dispuso por casualidad en forma de espiral y encontró curiosos patrones marcando los números primos en dicha espiral; Gilbreath colocó los números primos en línea recta y, quién sabe por qué (bueno, algo se sabe, lo veréis más adelante), comenzó a restarlos…¿Qué consiguió?

La conjetura de Gilbreath

Norman Gilbraeth

Pongámonos en situación. Corría el año 1958 cuando Norman Gilbreath presentó a la comunidad matemática su conjetura. Pero antes de exponerla vamos a motivarla un poco.

Supongamos que ponemos en orden unos cuantos números primos consecutivos comenzando por el 2, por ejemplo estos:

2, 3, 5, 7, 11

Restemos ahora cada dos números consecutivos, escribiendo los resultados en valor absoluto:

1, 2, 2, 4

Realizando la misma operación hasta obtener un único número obtenemos la siguiente tabla:

\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 \\ \hline 1 & 2 & 2 & 4 &  \\ 1 & 0 & 2 & & \\ 1 & 2 & & & \\ 1 & & & & \end{array}

¿Qué tienen en común todas las filas obtenidas? Pues que todas ellas comienzan con el número 1. ¿Casualidad? Probemos con una lista de números más larga, comenzando siempre por el 2:

\begin{array}{cccccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 \\ \hline 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & & \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & & & \\ 1 & 2 & 0 & 0 & & & & \\ 1 & 2 & 0 & & & & & \\ 1 & 2 & & & & & & \\ 1 & & & & & & & \end{array}

Vaya, igual que antes. ¿Será siempre así? Esto mismo es lo que conjeturó Gilbreath, que si escribimos la sucesión de números primos completa y después construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de números consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1. En notación matemática podríamos definirla de la siguiente forma:

Conjetura de Gilbreath

Sea \{p_n \}, para n \ge 1, la sucesión ordenada de números primos, y sea

d_n=p_{n+1}-p_n

Para cada k \ge 1, sea

d_n^k=|d_{n+1}^{k-1}-d_n^{k-1}|

La conjetura de Gilbreath asegura que para todo k se tiene que d_1^k=1.

Que es exactamente ampliar al caso general lo que hemos comentado en los casos particulares.

¿Qué se sabe sobre dicha conjetura? Pues además de que Paul Erdös pensaba que era cierta, pero que se tardaría unos 200 años en resolverla…básicamente nada. Bueno, se sabe lo mismo que de otras conjeturas famosas, como la de Goldbach, que se cumple para valores muy grandes (hasta el año 1993 se había comprobado que era cierta para k \le 3,4 \cdot 10^{11}), pero poco más.

¿De dónde salió esta conjetura?

Y ahora la pregunta obligada: de dónde salió una conjetura como ésta? Pues de una de las aspiraciones más antiguas y a la vez más ambiciosas de los matemáticos de toda la historia: encontrar una forma de generar números primos. Vamos a intentar explicar qué tiene que ver esto de la conjetura con generación de números primos.

Para comenzar, es interesante comentar que a Gilbreath le gustaba más su conjetura expresada de otra forma, que vamos a explicar con un ejemplo:

Partimos de la secuencia de números primos 2, 3, 5, 7, 11 y vamos formando filas debajo de ellos obtenidas de restar los valores absolutos de cada número y el de su izquierda. Para estos números la tabla quedaría de la siguiente manera:

\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 4 \\ & & 1 & 0 & 2 \\ & & & -1 & 2 \\ & & & & 1 \end{array}

Como decíamos antes, el objetivo de Gilbreath era encontrar alguna forma de generar números primos. Para ello comenzó a estudiar las diferencias entre primos como hemos descrito anteriormente, notando que éstas daban normalmente resultado pequeños. Pero también observó que si estudiaba la situación como acabamos de comentar, con las diferencias entre los valores absolutos, los resultados era aún más pequeños. Pero vio un par de cosas más: que si iba guardando los signos entonces podía volver hacia atrás sin problemas y que todas las filas construidas a partir de la primera comenzaban con +1 ó -1 (cada uno de ellos quedando debajo de un número primo si se colocan los números como hemos visto en la última tabla escrita).

Con todo esto Gilbreath aseguraba lo siguiente: si toda fila debajo de la inicial comenzaba con +1 ó -1 y además podía generar el patrón de signos de cada una de ellas, entonces podía generar los números primos. La lástima es que no podía generar dicho patrón de signos, por lo que nuestro gozo en un pozo. Pero no estaba todo perdido, al menos manteníamos una condición necesaria para que un número fuera primo…si la conjetura de Gilbreath es cierta, claro. Es decir:

Si la conjetura de Gilbreath es cierta, entonces se cumple que para que un número entero positivo sea primo es necesario que todas las filas de números obtenidas a partir de la secuencia de primos que acaba en él comiencen por +1 ó -1.

No es mucho, la verdad, pero bueno, no seré yo quien le quite mérito a este tipo de planteamientos o quien pretenda ponerle paredes al avance de las matemáticas restándole importancia a conjeturas como ésta.


Extra: Para quienes os lo estáis preguntado os puedo decir que sí, este Norman Gilbreath es el mismo Norman Gilbreath del principio de Gilbreath de magia con cartas que podéis ver explicado aquí junto con otros trucos.


Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Supongamos que escribimos una serie sucesiva de primos , pero en algún lugar intercalamos un compuesto impar entre dos de ellos.
    Si la conjetura de Gilbreath es cierta, se seguirá cumpliendo con compuestos intercalados. En la primera forma siguen las sucesiones empezando por 1 y en la segunda forma por +1 o -1.
    Salvo en el caso 2,3 los gaps entre primos son siempre pares y parece que las diferencias entre esos pares acaban reduciéndose hasta llegar a una secuencia de ceros y doses.
    Al introducir un compuesto impar reducimos los gaps con sus contiguos con lo que “aceleramos” el proceso de llegar a los doses y los ceros.
    Entiendo que si se demostrara la conjetura también se habría demostrado su validez para el caso de compuestos intercalados.
    Esto creo que dificultaría su supuesta utilidad posterior como herramienta generadora de primos.
    Personalmente creo que jamás se encontrará la “fórmula mágica” para generar la serie de números primos.

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  2. JJGJJG

    En general estoy de acuerdo con tu comentario. Solo por rigor la frase:

    Entiendo que si se demostrara la conjetura también se habría demostrado su validez para el caso de compuestos intercalados.

    se te ha olvidado indicar impar (que sí lo mencionas antes)

    El par de pruebas que he hecho intercalando pares me han terminado en 0.

    Se me ocurre (que aún no probado) que si intercalo 2 pares es posible que termine en 1. Voy a mirarlo

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  3. Intercalando 2 impares compuesto también me sale 1

    2 3 5 7 9 11 13 15 17
    1 2 2 2 2 2 2 2
    1 0 0 0 0 0 0
    1 0 0 0 0 0
    1 0 0 0 0
    1 0 0 0
    1 0 0
    1 0
    1

    Intercalando 2 pares también me ha termado en 1 en esta única prueba,

    2 3 5 7 8 11 13 16 17
    1 2 2 1 3 2 3 1
    1 0 1 2 1 1 2
    1 1 1 1 0 1
    0 0 0 1 1
    0 0 1 0
    0 1 1
    1 0
    1

    Mientreas que con uno solo

    2 3 5 7 8 11 13 17
    1 2 2 1 3 2 4
    1 0 1 2 1 2
    1 1 1 1 1
    0 0 0 0
    0 0 0
    0 0
    0

    termina en 0 (en las 3 pruebas que he hecho)

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  4. Efectivamente mi comentario quería referirse a impares compuestos exclusivamente.

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  5. El razonamiento se apoya en que todas las diferencias, excepto la primera sean pares.

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  6. ¿Y para qué puede servir al final tener una ecuación que nos dé si un número es primo o no? Le encuentro poca utilidad, si no es para temas de criptografía y cosas así…

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  7. Qué aburridas son las matemáticas. Necesarias y vitales y todo lo que queráis. Pero aburridas.

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  8. David, que le encuentres poca utilidad no quiere decir que no la tenga, obviamente. Como bien dices, la principal utilidad práctica sería la criptografía, más concretamente la inutilización de los principales sistemas criptográficos actuales, con todo lo que eso implica: ¿Tienes o has usado alguna vez un teléfono móvil para llamar o enviar mensajes? ¿Una tarjeta de crédito? ¿Has usado un cajero automático alguna vez para sacar dinero? ¿Tienes una cuenta bancaria? ¿Te pagan la nómina por transferencia? ¿Has presentado la declaración de la renta por internet alguna vez? Etc. Y esto es solo lo que se me ocurre en este momento.

    Casi todas las transacciones seguras en el mundo actual se basan en criptografía de clave pública, la cual a su vez se basa en la inmensa dificultad de factorizar números primos muy grandes (por ejemplo, el sistema RSA). Si multiplicas un número primo muy grande por otro número primo muy grande obtienes un número compuesto aún mayor que sólo tendrá dos factores, los cuales son muy difíciles de encontrar si no se conocen. (Para que os hagáis una idea, con toda la potencia de cálculo de los mayores ordenadores existentes actualmente en el mundo, se tardaría años y años en factorizar uno de esos números gigantes…). Pero si alguien descubre la fórmula que nos dé todos los números primos, se podría construir rápidamente una tabla con los números necesarios y la factorización se volvería un problema trivial: las claves se romperían en segundos.

    Conclusión práctica, el que encuentre la fórmula y la publique se hará famoso, se volverá INMENSAMENTE rico, y de paso habrá reventado todos los principales sistemas criptográficos del mundo, con lo que habría que cambiarlo y reinventarlo todo desde el principio: sería el caos para la seguridad en Internet y para todos los sistemas bancarios del mundo. Y si encuentras la fórmula pero no la publicas… bueno, también te harías inmensamente rico, obviamente.

    Habría más implicaciones, pero esa es la más práctica.

    Ah, y coche: has generalizado diciendo que son aburridas sin especificar “para mí” en tu mensaje, o sea, que son aburridas siempre, para todo el mundo, lo cual es absolutamente falso. Si no te gusta el chocolate, a mí me encanta, pero no hay nada de malo en ello. Simplemente a ti no te gusta, y ya está. Pero si dices “el chocolate es asqueroso”, esa sería una afirmación falsa.

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  9. Alucinante, no pensaba que los números primos encerraran semejante universo de posibilidades. Me encantó el artículo!

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  10. Hola! Primera vez que participo en Gaussianos. Saludos desde Argentina! Bueno, en realidad me llama la atención cómo me parece tan evidente que tanto en esta conjetura como en la de los números prácticos, es muy evidente que ocurrirá esto del 1 en las filas. Si uno empieza una cadena con un número par, para continuar encadenando todos impares, SIEMPRE quedará el 1 en las diferencias, dado que las diferencias entre los números de la cadena son pares en todos los casos, salvo el primero. Lo mismo sucede si uno pone como primer elemento un impar, y continúa la secuencia con todos pares… Digamos que es hermoso verlo, pero al mismo tiempo es trivial, es la propia naturaleza de los números. Es como el caso de los múltiplos de 9, que la suma de sus dígitos dará siempre 9, llevándolo a 1 cifra. Sin embargo, en esta conjetura se da un paso hacia algo muy interesante de analizar en los primos, como son el caso de los primos gemelos…
    Gracias por la atención y pura vida!!

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