La conjetura de Goldbach

Aunque en internet se puede encontrar mucha información sobre este tema y en Gaussianos ha sido nombrado alguna vez, todavía no tenía artículo propio. Hoy es el día.


Introducción

Seguro que a muchos de vosotros os ha ocurrido que ha aparecido en vuestra cabeza alguna posible relación entre números naturales que no sabíais si era cierta o no, si había sido estudiada ya o era totalmente nueva. A veces esto ocurre porque nos paramos a pensar a partir de algún resultado obtenido o al desarrollo de algún problema que consultamos; otras la propiedad surge de pronto, sin previo aviso, sin motivo aparente.

Por desgracia la mayoría de las veces la relación entre números que se nos ocurre está estudiada ya, por lo que se sabe si es cierta o no. Pero hay ocasiones en las que no ocurre ninguna de estas dos cosas, es decir, hemos encontrado una relación entre números que no se ha estudiado con anterioridad, por lo que no se sabe nada sobre la certeza o falsedad de la misma.

Bajo mi punto de vista esa es la forma en la que surgen las conjeturas en matemáticas. Todas ellas son resultados que quien formula cree ciertos, aunque no tiene una demostración formal del mismo. Para algunas se desveló su resultado con cierta facilidad, otras exigieron más esfuerzo y en otros casos todavía no sabemos nada, ni hacia un lado ni hacia el otro. La conjetura de Goldbach es una de ellas.

La conjetura de Goldbach

Comienzo de la carta de Goldbach a EulerEl resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una carta (que podéis ver aquí) enviada a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Enunciado enormemente sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones (por ejemplo, el UTF), nos llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):

  • 4=2+2
  • 6=3+3
  • 10=3+7
  • 20=7+13
  • 30=7+23
  • 100=3+97
  • 1000=3+997
  • 1000000=17+999983

En esta página podemos obtener la representación de un número par como suma de dos números primos simplemente introduciendo el mismo (no he encontrado qué límite de cifras tiene el programa).

El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni refutar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración formal totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ningún contraejemplo (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).

En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que 10^{18}. Es decir, se sabe con total seguridad que todo números par menor que un 1 seguido de 18 ceros puede escribirse como suma de dos números primos. Pero ya sabemos que eso no nos sirve como demostración (recuerdo el artículo sobre la conjetura de Polya, donde también se comentaba algo de la conjetura de Goldbach). Utilizando la tecnología podremos continuar con las comprobaciones, aumentaremos la cantidad de números pares comprobados, pero no podremos concluir que el resultado es cierto (no podemos llegar al final de los números). Sí podríamos determinar que la conjetura es falsa si se encontrara un contraejemplo con este método, pero según los expertos es poco probable que este hecho ocurra.

Y es poco probable por una razón muy sencilla: se cree firmemente que la conjetura es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello? Pues sí, uno muy simple: cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números. Por tanto mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos. No nos sirve de demostración, pero puede servirnos de idea para enfocar nuestros estudios sobre el tema.

Si hemos dicho que sería más acertado llamar conjetura fuerte a este resultado será por algo, ¿no? Pues sí. La razón es que hay otra conjetura de Goldbach, denominada débil, que dice lo siguiente:

Todo número impar mayor que 7 puede escribirse como suma de 3 números primos impares.

Esta conjetura tampoco está resuelta, pero se ha avanzado mucho en su demostración. En la actualidad (hasta donde sé), se ha conseguido demostrar que para todo número impar mayor que 10^{1346} la conjetura es cierta. Por tanto sólo tendríamos que comprobar número a número que todo impar menor que 10^{1346} puede ponerse como suma de 3 números primos impares. El problema es que esa cota todavía es demasiado grande para nuestra tecnología. Tendremos que esperar algún avance de la misma o que se pueda rebajar formalmente ese número.

Para terminar os comento que para darle algo más de interés al tema se sabe que esta conjetura está relacionada en cierta forma tanto con la conjetura de los primos gemelos (aquí podéis consultar un artículo sobre el tema) y la hipótesis de Riemann. No podía ser de otra forma con un resultado como éste.

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96 comentarios

  1. Tito Eliatron | 16 de marzo de 2009 | 11:14

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    Para la Conjetura débil, según Terry Tao en su conferencia en Sevilla (2ª parte del resumen de su conferencia) en 1998, Saouter comprobó que también es cierto si n<10^{20}, con lo que nos quitamos unos cuantos primos a comprobar ;-)

  2. Francisco Jose Menchen Caballero | 16 de marzo de 2009 | 14:29

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    Hola Gausssianos,

    Esta es una de las hípótesis clasicas por demostrar. Efectivamente esta intimamente relacionada con los numeros primos. Lo de que sea improbable para números aún mayores no esta nada claro. Según probaron Hardy y Littlewood los numeros primos cambian su personalidad a distancias inimaginables para nuestra capacidad, el número de ellos esta siempre por debajo del logaritmo integral hasta donde se habia comprobado (y Gauss creía que sólo quedaba demostrarlo). Ellos probaron que el número de números primos (función pi) cruza esa función y la sobrepasa para un número al menos 10^10^512 (un número completamente fuera d enuestro alcance actual) y a partir de ahí no queda claro si va alternando o ya queda por encima. Por la relación entre este dato, la hipótesis de Riemann yo no apostaría nada hasta que no se demuestre, aunque 10^18 parezca lo suficientemente grande. ¿habrá algún número “fundamental” en matemáticas relacionado con los números primos pero tan grande que no lo hayamos ni intuido hasta ahora?

    Un saludo

    Francisco Menchen

  3. Omar-P | 16 de marzo de 2009 | 14:43

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    También me parece interesante la siguiente conjetura, relacionada con la de Goldbach:
    “Todo número mayor que 3 tiene al menos 2 primos equidistantes”

    Por ejemplo:
    4 = (3+5)/2
    5 = (3+7)/2
    6 = (5+7)/2
    7 = (3+11)/2
    8 = (5+11)/2
    9 = (7+11)/2

    Su representación es:
    . . . . . 3 4 5
    . . . . 3 . 5 . 7
    . . . . . 5 6 7 . .
    . . 3 . . . 7 . . . 11
    . . . 5 . . 8 . . 11. .
    . . . . 7 . 9 . 11. . . .

    ¿Existe alguna referencia sobre ella?

  4. Toro Sentado | 16 de marzo de 2009 | 16:29

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    Lo que comenta Omar-P me parece la misma conjetura fuerte de Goldbach pero expresada de otra forma.

    La conjetura de Goldbach es una de mis favoritas. Más que nada es que no se ve por donde abordar el problema. Sería muy interesante que alguien que conozca el tema nos hablara un poco de los métodos que se han usado para demostrar la conjetura.

    En el libro “La matemática: su contenido, métodos y significado” de Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y otros, Tomo 2, Alianza Universidad, hay un método de Vinogradov basado en una integral de funciones exponenciales con el que se demuestra que todo número impar suficientemente grande puede ser expresado como suma de tres primos. La demostración es complicadilla y hay saltos en la demostración que no acabo de entender, pero es una buena muestra de como usar métodos analíticos para problemas con números naturales.

    Saludos a todos

  5. Omar-P | 16 de marzo de 2009 | 16:40

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    Parece ser la misma conjetura, pero ¿Hay una demostración de que es la misma?

  6. Sebastián Martín Ruiz | 16 de marzo de 2009 | 16:50

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    Es esta página me publicaron una equivalencia que obtuve para la conjetura de Goldbach. Quien la pruebe habrá probado la conjetura.
    http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_033.htm

  7. Toro Sentado | 16 de marzo de 2009 | 19:35

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    Bueno, si pasas multiplicando el dos de cada igualdad al otro lado queda que cada número par mayor que 3 es la suma (como mínimo) de 2 primos.
    Naturalmente, añadiendo a la lista el caso 2=(2+2)/2, si se permite que se repita el mismo número en la suma, o 2=(1+3)/2 si se diera por válido que 1 fuera primo, aunque esto último me parece que no está en general aceptado. De todos modos hay mucha discusión al respecto:
    http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html

    No se si me he perdido algún detalle, o no acabo de entender lo que intentas decir, pero veo sencillo que son la misma conjetura.

    Saludos

  8. luigi | 16 de marzo de 2009 | 19:47

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    alguien me puede señalar si es correcto o incorrecto decir que en la siguiente transformacion està implicado el concepto de homeomorfismo(s)?

    \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, e^{-i2 \pi xt}\, dt \, \qquad\mbox{para} \, -2\pi\leqslant\,x \leqslant\,2\pi

  9. Omar-P | 16 de marzo de 2009 | 20:00

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    Gracias Toro Sentado,
    A principios del siglo 20 todavía se consideraba que el 1 era primo porque es un número divisible por si mismo y por la unidad. Pero ese criterio fue abandonado. La definición moderna de los números primos podemos resumirla en que son los números que tienen 2 divisores. Entonces el 1 no es primo pues solo tiene 1 divisor.
    El conjunto formado por el 1 y los números primos se llama conjunto de los números no compuestos (Non-composite numbers).
    Saludos.

  10. Francisco Jose Menchen Caballero | 16 de marzo de 2009 | 20:25

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    ¿Habeis leido el libro “El tío Petros y la Conjetura de Goldbach”, es una novela de Apostolos Doxiadis sobre la vida de un chico cuyo tío dedicó su toda vida a intentar resolver esta conjetura.

    Para Toro Sentado, es cierto y además Vinogradov demostró que “casi todos” los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1)… curioso ese casi en matemáticas en el sentido de probable estadísticamente, ¿eso vale en matematicas?

    Un abrazo

    Fran

  11. Gustavo | 16 de marzo de 2009 | 23:12

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    Omar-P y el resto:
    yo también he gastado muchas horas buscando referencias a los “primos equidistantes” y no pude encontrar nada. Consulté a algunos “doctores” en matemática y tampoco me supieron referenciar literatura sobre el tema.
    Lo que me extraña es que esta propiedad no sea mencionada al hablar de la Conjetura de Golbach, principalmente en escritos de divulgación: para el lego es más atractivo hablar de “primos equidistantes” que de “Conjetura Fuerte de Golbach”
    Bien, tal vez estos comentarios sean los primeros en aparecer en Google al buscar “primos equidistantes”

  12. Gustavo | 16 de marzo de 2009 | 23:15

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    el pez por la boca muere: terminé de hacer el comentario, busco en Google y encuentro 6520 resultados con “números primos equidistantes”

  13. Omar-P | 16 de marzo de 2009 | 23:54

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    Creo que no son tantas Gustavo, me parece que tu has buscado en Google pero ingresando las 3 palabras sueltas. Por eso aparecen 6520. En cambio si las pones entre comillas sólo aparece una página. Probando con dos palabras, “primos equidistantes”, aparecen 31 páginas.

  14. KiPHoX | 17 de marzo de 2009 | 00:36

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    Primero felicidades por la página, la conocí por unos compañeros de la facultad de matemáticas y la visitó a diario.

    Leyendo la entrada me he percatado de que si suponemos cierta la conjetura fuerte de Goldbach entonces la conjetura débil de Goldbach es consecuencía directa de ésta.
    Es decir, para cualquier número impar m=2n+1 con n un número natural, 2n-2 es par, por lo que suponiendo cierta la conjetura fuerte de Goldbach, podemos expresarlo como suma de 2 números primos p y q.
    Tendríamos así que 2n-2= p + q, y en consecuencia 2n+1=p+q+3, por lo que podríamos expresar cualquier número impar como suma de 3 números primos.

    Es una tontería, pero no había visto nada al respecto y me hacía ilusión comentar algo.

  15. Sive | 17 de marzo de 2009 | 07:01

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    El que no haya referencias a los “primos equidistantes” es perfectamente explicable, ya que no aporta nada nuevo a la conjetura de Goldbach… como ya ha dicho Toro Sentado, se trata de la misma conjetura. La doble implicación es evidente, muy fácil de demostrar.

    Otra cuestión, sobre la que no tengo una opinión definida, es si se trata de un enfoque mejor o peor que el habitual en la conjetura de Goldbach.

  16. Omar-P | 17 de marzo de 2009 | 14:20

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    Con respecto al enunciado de la conjetura de los primos equidistantes vemos que el mismo no discrimina entre números pares e impares, ya que se refiere a “todo número mayor que 3″. Además, la palabra “equidistante” aporta un concepto de simetría que en la conjetura de Goldbach no aparece en forma explícita.

  17. Sive | 17 de marzo de 2009 | 16:41

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    Ah, ya veo cual es el problema para esa doble implicación. En la conjetura de los primos equidistantes no se puede considerar que un número primos equidista de si mismo por la izquierda y por la derecha… no sé si me explico.

    En tal caso la conjetura de los primos equidistantes es más fuerte que la conjetura de Goldbach, porque de ser cierta, entonces cualquier número par mayor que 6 se podría expresar como suma de dos números primos diferentes.

    De todos modos a mí me suena que está demostrado que cualquier primo mayor que 3 equidista de otros dos primos. De ser así, la conjetura de Goldbach y la de los primos equidistantes, serían la misma cosa.

  18. Omar-P | 17 de marzo de 2009 | 17:05

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    No entendí del todo lo quieres decir Sive aunque si coincido en que parece más fuerte. Resulta claro que si se probara la conjetura de los primos equidistantes quedaría probada también la conjetura de Goldbach, pero en el caso inverso ¿Ocurriría lo mismo?

  19. Sive | 17 de marzo de 2009 | 17:24

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    Es que tengo la manía de irme a las conclusiones directamente (eso me pasa por leer a Poe).

    Te respondo a esa pregunta, Omar-P y de paso aclaro el mensaje anterior.

    Si la conjetura de Goldbach fuera correcta, entonces cualquier número par n se podría expresar como suma de p1 y p2, ambos primos. Si expresamos n como 2x, tendríamos que:

    2x = p_1 + p_2
    x = (p_1 + p_2)/2

    Es decir, que cualquier número natural mayor que 2, se puede expresar como la media aritmética de dos primos, o lo que es lo mismo, equidista de dos primos p1 y p2.

    Ese fue mi razonamiento inicial, y di por sentada la doble implicación, y que por tanto eran conjeturas equivalentes.

    No me di cuenta de que p1 podría ser igual a p2, entonces no se cumple la conjetura de los primos equidistantes (a no ser que se considere válido que un primo equidiste de sí mismo).

    Pero dado que p1 y p2 han de ser primos, este caso particular sólo se puede dar cuando x es primo, así que si se demuestra que todo número primo mayor que 3 equidista de otros dos primos, se demuestra también que las conjeturas de Goldbach y los primos equidistantes, son equivalentes.

    Y el caso es que me suena que eso es un hecho demostrado, llevo un rato buscando referencias, pero nada.

  20. Omar-P | 17 de marzo de 2009 | 17:31

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    Gracias Sive, es muy interesante lo que comentas. Por otra parte está claro que cuando hablamos del par del primos (p,q) que equista de n, no debe considerarse el caso en que p,q y n sean el mismo número.

  21. Omar-P | 17 de marzo de 2009 | 18:07

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    Veamos otra conjetura relacionada:
    “Todo número mayor que 1 tiene al menos un par de números no compuestos equidistantes”.

    Por ejemplo:
    2 = (1+3)/2
    3 = (1+5)/2
    4 = (3+5)/2
    5 = (3+7)/2

    Su representación es:
    . . . 1 2 3
    . . 1 . 3 . 5
    . . . 3 4 5 . .
    . . 3 . 5 . 7 . .

  22. Tobar | 17 de marzo de 2009 | 23:34

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    luigi, es homeomorfismos si se cumple que
    * f es una biyección
    * f es continua
    * f^{-1}\,\! (la inversa de f) es continua.

    f: R → S1, f(x) = exp(2πix)

    es un recubrimiento del círculo y homeomorfismo local, pero no homeomorfismo pues no es inyectivo.

  23. otro | 18 de marzo de 2009 | 10:10

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    Una vez se demuestre (si se consigue demostrar) la conjetura de Goldbach, quedaría saber si dado k \in \mathbb{N} existe un N \in \mathbb{N} tal que todo número par mayor o igual que N se puede expresar como suma de dos números primos en al menos k formas, ¿no?

  24. Sive | 18 de marzo de 2009 | 17:17

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    A mi me parece una generalización factible, otro. Sería interesante hacer alguna cosilla por ordenador que calcule por fuerza bruta el valor probable de N, para los valores pequeños de k.

  25. otro | 18 de marzo de 2009 | 22:13

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    Sive, pero si aún no se ha demostrado para k=1, N=4 (que sería la conjetura de Goldbach)…

  26. Jonas Castillo Toloza | 19 de marzo de 2009 | 00:03

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    Hola Gaussianos
    Que tal esto!

    2n = suma de dos nùmeros primos
    3n = suma de tres nùmeros primos
    4n = suma de cuatro nùmeros primos
    5n = suma de cinco nùmeros primo

    Esto es lo que yo creo es “La Conjetura General de Goldbach”:

    Si n, k son dos nùmeros enteros mayores que 1, entonces nk es expresable como la suma de n nùmeros primos.

    Saludos.
    [email protected]

  27. Sive | 19 de marzo de 2009 | 07:25

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    Ya otro pero a veces es más fácil dar con la clave de un problema, si tienes una imagen más amplia. Imagina que se encuentra una pauta en el crecimiento de N, podría ser una buena pista.

  28. Trackback | 19 mar, 2009

    La matemática es para… | Gaussianos

  29. Sive | 19 de marzo de 2009 | 22:28

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    Volviendo a lo de los primos equidistantes, no he podido encontrar referencias acerca de si está probada para los números primos… pero si he visto un trabajo, dedicado a la conjetura de Goldbach, en la que parece que se da por probado que a partir de 10 si un número es el doble de un primo p, existe una suma diferente de p+p que satisface la conjetura de Goldbach.

    De estar fundada, significaría que la conjetura de los primos equidistantes estaría probada para los números primos. Lamentablemente no he encontrado referencias en ese trabajo a la demostración de ese ¿hecho?.

  30. Bruto | 19 de marzo de 2009 | 22:59

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    Hace unos pocos años un profesor de instituto, español, aseguraba que habia demostrado esta conjetura. Algo puso incluso en internet. Le perdí el rastro pero tras leeros me imagino que finalmente debía haber algun error en la demostracion. Pues se habia tirado unos años con ello, ha debido dejarle hundido…

  31. Sive | 20 de marzo de 2009 | 08:48

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    Yo creo que casi todos los aficionados a las matemáticas tenemos una buena colección de “demostraciones” maravillosas que resultaron tener un error. O de demostraciones que ya estaban demostradas desde hacía años y años.

    Algunos también nos hemos obsesionado durante meses con un problema abierto concreto. A mí me pasó con el del logaritmo discreto con base prima, porque estaba convencido (y aún lo estoy) de que los algoritmos de criptogafía asimétrica basados en la factorización, son más fuertes que los que se basan en el problema del logaritmo discreto.

  32. antonio | 20 de marzo de 2009 | 21:18

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    Hay algo que me da curiosidad desde hace tiempo. Las posibles sumas de números solo se pueden sacar de la combinación par-par; impar-impar o par-impar. Si las posibilidades son tres y en dos de ellas el número será par ¿no deberian ser dos tercios de los números pares y el tercio restante impar?

  33. Sive | 20 de marzo de 2009 | 21:55

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    antonio si tras un razonamiento llegas a una conclusión que sabes que es errónea puedes hacer dos cosas:

    – Escribir un libro llamado “Crítica a la razón pura”, hablando de las contradicciones a las que se llega a veces usando correctamente la razón. Con un poco de suerte ganarás fama mundial, y un sitio en la historia.

    – Dar por hecho que hay un error en tu razonamiento, y buscarlo.

    Dado que para la primera opción ya se te adelantaron, sólo te queda la segunda.

    Creo que es mejor para tí dejar que tú mismo busques el error.

    Por ejemplo, puedes empezar elijiendo al azar los pares de números con una moneda (cara = par, cruz = impar).

  34. Andor | 20 de marzo de 2009 | 21:58

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    Creo que para este caso habría que tener en cuenta la combinación impar-par, con lo que serían 4. No es lo mismo par-impar que impar-par, porque suponiendo que cada número natural tiene las mismas posibilidades de aparecer puede ocurrir lo siguiente:

    1º caso: el primero es par.
    2º caso: el primero es impar.

    Después se vuelve a buscar otro número y tenemos otras dos posibilidades por cada una de las anteriores:

    1º caso: primero par, segundo par.
    2º caso: primero par, segundo impar.
    3º caso: primero impar, segundo par.
    4º caso: primero impar, segundo impar.

    Al hacer la suma de los números de los casos 1º y 4º sale par, y en los casos 2º y 3º impar, con lo que sigue habiendo un 50% de posibilidades para cada tipo de número.
    De todas formas esta demostración supone que existe igual posibilidad de que, al buscar un número aleatorio, aparezca par o impar, con lo que creo que es una tautología. La demostración “buena” pasaría por conceptos de Teoría de Conjuntos, y por su “complejidad” prefiero dejarla para otro día. De todas formas creo que es de una lógica aplastante que exista mismo número de pares que de impares (ni más ni menos que infinitos).

  35. Ramon | 21 de marzo de 2009 | 04:53

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    Hay una parte del artículo que no entiendo.

    “se cree firmemente que la conjetura es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello? Pues sí, uno muy simple: cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números. Por tanto mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos.”

    Estoy de acuerdo en que cuanto mayor es el número mas probable es que se cumpla la conjetura, pero si, por poner un ejemplo inventado, 10^20 tiene un 99% de probabilidades de cumplir, y 10^20+2 tiene un 99,1%, la probabilidad de que ambos cumplan la conjetura es inferior a 99%, si hacemos lo mismo con todos los números primos, no acabaría siendo muy poco probable que se cumpla?

  36. Ramon | 21 de marzo de 2009 | 04:55

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    Perdón, en la penúltima linea quería decir hacer lo mismo con todos los números pares.

  37. raquel | 22 de marzo de 2009 | 13:01

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    Hola!
    Gracias a este artículo he podido hacer un trabajo del instituto :)
    Me han puesto un 9!
    Gracias!! :)

  38. ^DiAmOnD^ | 22 de marzo de 2009 | 21:13

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    Raquel, me alegro mucho de que este artículo te haya ayudado a sacar tan buena nota en tu trabajo. Enhorabuena :).

  39. María | 23 de marzo de 2009 | 00:03

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    Genial la entrada, ^DiAmOnD^

    No conocía esta página, pero gracias a San Taylor me apareció Gaussianos en el buscador…así que una visitante más a partir de ahora :]

    Salud, matemáticos!

  40. ^DiAmOnD^ | 23 de marzo de 2009 | 03:21

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    Me alegro de que te haya gustado el blog María. Espero verte por aquí a partir de ahora.

    Si eres nueva lectora igual te interesa echarle un ojo al archivo del blog. Después de casi 3 años hay muchas cosas para poder ver :).

  41. raquel | 29 de marzo de 2009 | 13:51

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    :)

  42. raquel | 29 de marzo de 2009 | 13:52

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    aquí tenéis a una visitante más
    :)
    gracias!

  43. Youlisbeth mendoza | 29 de marzo de 2009 | 21:39

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    Guao son unos matematicos espectaculares todos(as) yo lei el tio Petros y la conjetura de goldbach, por medio de esta pagina pude aclarar varias dudas. soy una estudiante y son mi ejemplo a seguir….

  44. Youlisbeth mendoza | 29 de marzo de 2009 | 21:41

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    en especial tu Omar-P

  45. Omar-P | 29 de marzo de 2009 | 22:14

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    Youlisbeth mendoza, en la pestaña “Archivo” encontrarás muchos otros temas de matemática que se han visto en Gaussianos. Te recomiendo que leas en especial los comentarios escritos por M, (Domingo H.A.), Fede, Asier, Tito Eliatron y DiAmOnD. Saludos.

  46. pehuencura | 21 de abril de 2009 | 06:05

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    Me encanta la conjetura de Golbach, y tengo algo hecho al respecto, pero no me animo a publicarlo, creo que debe tener algún error, porque no puede ser que nadie se haya dado cuenta antes de eso, siendo tan sencillo.
    ¿Existe alguna forma de hacer revisar antes un trabajo, sin que te lo roben, si llegara a estar bien?

  47. gaussianos | 25 de abril de 2009 | 17:31

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    Bueno, creo que ya es suficiente.

    Voy a borrar todos los comentarios que hay en este post a partir del primero de Marcos (espero que no os molestéis Andor y Omar).

    Marcos, ya te he dicho por mail lo que tenía que decirte. Si quieres continuar la comunicación con Gaussianos hazlo por esa vía.

    Y ya de paso pido perdón a todos los lectores de Gaussianos por no haber cortado de raíz esto antes y por haberme involucrado en la historia de la manera que lo he hecho. Intentaré que no vuelva a pasar.

  48. Omar-P | 25 de abril de 2009 | 17:51

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    Por mi parte no hay problema. Debo aclarar que en estos casos siempre interpreto los agravios como proyecciones (Puedes borrar este comentario también, DiAmOnD). Gracias.

  49. gaussianos | 25 de abril de 2009 | 17:56

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    De acuerdo Omar.

    Prefiero que dejemos ya este tema, como dije en uno de los comentarios borrados no es la primera vez que ocurre y la verdad es que termina cansando.

    M, gracias por abrirme los ojos, aunque haya sido con un comentario en otro post :).

  50. M | 25 de abril de 2009 | 18:33

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    Por cierto, el próximo jueves en Barcelona hay una conferencia titulada “Goldbach y las sumas infinitas”, a cargo del profesor Carlos Sánchez Fernández, autor de varios libros de divulgación. En particular, acaba de publicar el libro “Goldbach. Una conjetura indomable”. No puedo opinar sobre el mismo porque no ha caído en mis manos aún, pero conociendo las otras publicaciones de Carlos Sánchez Fernández debe tener muy buena pinta.

  51. Andor | 25 de abril de 2009 | 21:36

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    Por mi tampoco hay problema. Perdón por la tardanza, se está yendo la luz cada dos por tres en mi barrio.

  52. Samuel | 20 de mayo de 2009 | 19:43

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    No me he podido detener a leer los comentarios por lo que no se si alguien lo ha comentado:
    Se pueden repetir los primos.
    Todos los números primos excepto el 2 son impares.
    Todo número impar se puede expresar como 2n+1, o sea:
    2+2+2+2+2+2+2+2…(n veces) +1
    n=int(primo/2)
    En el caso de que no consideremos 1 como primo habría que cambiar n por n-1, y el +1 por +3.
    Espero respuestas.

  53. Dani | 20 de mayo de 2009 | 22:33

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    “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de DOS números primos.”

  54. Samuel | 20 de mayo de 2009 | 22:43

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    ¿Pero cómo se puede demostrar formalmente?

  55. Trackback | 21 may, 2009

    Al filo del abismo | Gaussianos

  56. anonimo | 26 de julio de 2009 | 16:08

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    la conjetura de golbach es muy peculiar mirar:
    5+3=8
    5×8=40 3×8=24
    40+24=64
    8^2=64

  57. anonimo | 26 de julio de 2009 | 16:09

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    y asi con cualquier numero

  58. Toro Rosso | 26 de julio de 2009 | 17:03

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    p(p+q)+q(p+q)=(p+q)^2, y p+q siempre es par si p,q son primos impares

  59. Trackback | 27 jul, 2009

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  60. Trackback | 10 dic, 2009

    Las aportaciones de Euler a la notación matemática | Gaussianos

  61. jairo jimenez | 14 de diciembre de 2009 | 23:19

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    me parecio muy interesante

  62. Trackback | 28 dic, 2009

    Los artículos de Gaussianos más comentados de 2009 | Gaussianos

  63. Carlos Orozco | 3 de enero de 2010 | 05:59

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    Buen dia ,,he encontrado una demostracion de la conjetura de goldbach que muestra que es cierta.Pero no se como es el proceso para patentarla y publicarla.

  64. carlos hood | 10 de junio de 2010 | 05:11

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    Si tiene soluciòn. No es muy sencilla. Es màs de lògica matemàtica, que matemàtica pura.

  65. veronica | 16 de septiembre de 2010 | 20:04

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    me parece que pude demostrar la conjetura de Goldbach pero aun no estoy segura mi pregunta es si realmente logré demostrarla, la oferta que hizo: Apostolos Doxiadis en el 2000 sige en pie??? este trabajo lo empese ayer, y ya casi lo termine me desperte ayer pensando en que yo lo tenia que resolver y creo que, lo que no se a podido realisar en ciglos o decadas yo lo consegui en 2 díaz jeje y no es broma solo que aun no estoy 100% segura si esta bien. bueno besos…

  66. infinitoalae | 17 de septiembre de 2010 | 01:45

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    jaja. te diré que no es gracioso.

    Me he quedado pensandp que si se ha probado la conjetura para pares mayores que un número dado, esto implica que estamos (digo están los grandes matemáticos) a pasos de demostrarla, Aunque esos pasos duren muchos años, pero lo importante es que si es correcto que ya se demostró para los pares mayores que cierta cota, sólo resta probar para una cantidad finita de pasos. Ya se que es el cardinal de ese conjunto finito es muy pero muy grande, pero… ya está, es cuestión de tiempo. si es así, lo importante es que podemos afirmar que no es una premisa indesidible, escapa al teorema de Gödel. Alguien está seguro de eso??? Perdón, pero es que no lo sabia y me asombra mucho. Goldbach escapa de Gödel??? este resultado es más importante aún que si la conjetura es valida o no.
    uha, que alguien me confirme y me pase el link con el informe, por favor

  67. Feriva | 30 de septiembre de 2010 | 06:43

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    A ver qué tal este argumento:

    http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,37948.msg152616.html#msg152616

  68. Superman | 5 de febrero de 2011 | 07:40

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    Señores… tengo la sensacion de que tiene que ver mucho con los primos gemelos y su infinitud… mas bien con que se repiten diferencias pares entre los primos… hay algo en eso que tiene que ver mucho con la conjetura de goldbach y que podria llegar a demostrarla… pero no estoy seguro.

  69. Jose Acevedo J. | 20 de marzo de 2011 | 07:53

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    2 3 4
    2 3 4 5 6
    2 3 4 5 6 7 8
    2 3 4 5 6 7 8 9 10
    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
    2 3 4…m…m+1…m+2…2m-2

    Como se puede ver en las series, si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces deben existir dos primos tales que: 2 < p1 < m < p2 3.
    Ahora que sabemos que existen por lo menos un par de primos entre 2 y 2m-2, ¿podemos afirmar que la conjetura de Goldbach es verdadera? la respuesta es que aun no, para que la conjetura sea verdadera, nuestros primos (p1, p2) deben ser de la forma:

    p2 = m + (p2 – p1)/2

    p1 = m – (p2 – p1)/2

    El problema con estas igualdades es que todos los números entre 2 y 2m -2 se pueden expresar de esta forma, por lo que no nos resulta muy útil para demostrar la conjetura.
    Si seguimos observando, notaremos que todo par mayor que dos se puede escribir como la suma de un número primo (px) y otro número impar (promo o compuesto).
    En realidad lo expresado anteriormente es un teorema que podemos expresar de la siguiente manera:

    T1) Px + C = A, tal que A > 2

    Donde:
    Px = número primo
    C = número impar (primo o compuesto)
    A = número par

    Ahora que conocemos el teorema que hemos mostrado, podemos hacer lo siguiente:

    Como el cuatro es el único número par que sólo puede ser expresado como la suma de dos números primos pares (la conjetura permite repetir el mismo número) lo consideraremos un caso especial y no será incluido. Esto no afecta en nada nuestros resultados puesto que sabemos que la conjetura de Goldbach se cumple para dicho número.

    Sean: A, B, C, Px, Py, D, sucesiones infinitas de números enteros, tales que:

    A = 6, 8, 10, 12, 14… (todos los pares mayores que 4).

    B = 8, 10, 12, 14, 16…(todos los pares mayores que 6).

    Px = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…(todos los primos impares).

    Py = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…(todos los primos impares).

    C = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… (todos los impares mayores que 1).

    D = 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17… (todos los impares mayores que 3).

    Por T1 tenemos que:

    Ec1) Px + C = A

    Como los elementos de B y D no son más que subconjuntos de A y C respectivamente, podemos decir que:

    Ec2) Py + D = B

    Sumando ec1 y ec2 nos queda:

    Px + C + Py + D = A + B

    Despejando nos da:

    Px + Py = (A + B) – (C + D)

    La operación binaria A + B nos da la siguiente serie de números:

    14, 16, 18, 20, 22…(todos los pares mayores que 12)

    La operación binaria C + D nos da la siguiente serie de números:

    8, 10, 12, 14, 16…(todos los pares mayores que 6)

    Si aplicamos el principio de adición a estas sucesiones tendremos:

    14, 16, 18, 20, 22…

    8, 10, 12, 14, 16…

    Lo que es igual a:

    14 – 8 = 6
    16 – 8 = 8
    18 – 8 = 10
    20 – 8 = 12
    22 – 8 = 14



    2k – 8 = 2w

    16 – 10 = 6
    18 – 10 = 8
    20 – 10 = 10
    22 – 10 = 12



    2k – 10 = 2w

    22 – 16 = 6



    2k – 12 = 2w

    20 – 14 = 6
    22 – 14 = 8



    2k – 14 = 2w

    18 – 12 = 6
    20 – 12 = 8
    22 – 12 = 10



    2k – 10 = 2w

    Como podemos notar, el resultado nos da todos los números pares mayores que 4, de lo que concluimos que la conjetura fuerte de Goldbach es verdadera.

    Escrito por:

    José Acevedo Jiménez.

  70. Chepito | 20 de marzo de 2011 | 08:04

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    Que opinan de esto?
    sera esa la codiciada prueba.

  71. Trackback | 12 abr, 2011

    Sobre conjeturas matemáticas

  72. Carlosr | 4 de mayo de 2011 | 03:20

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    Hola, aun no me he registrado a la pagina, ya me registrare.

    Dare mi opinion al respecto, de lo que he sacado pensando.

    1. Me parece que la conjetura debil no es mas que una consecuencia de la fuerte ya que si a un numero impar le restamos un primo cualquiera, ya tenemos un par que cumpliria ser suma de dos primos, luego el impar seria suma de 3 primos.

    2. Al ser todos los numeros primos impares, excepto el 2, siempre la suma de 2 de ellos dara un numero par. Además fijaos que hay bastantes series en las que los numeros primos van en sucesiones como de 2, 4, 6, 8…. no muy distanciados, lo que permite llegar a practicamente cualquier numero.

    No tengo muchos conocimientos de matematicas avanzadas asi que no puedo ni intentar aventurarme a hacer algo pero bueno.

    Ya me registrare en la pagina. Espero que me respondan.

  73. Alexis | 22 de septiembre de 2011 | 01:22

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    ===== TEORÍA DEL TELEFONO =====

    Se tiene un número de n digitos. Por ejemplo: 55-84-17-34

    A lo que queremos llegar es a un solo digito, resultante de sumar todos los digitos del número dado.
    Primero sumaremos individualmente. Es decir:

    5+5+8+4+1+7+3+4=37
    3+7=10
    1+0=1 —> Hemos llegado a un solo digito. En caso tenemos el 1.

    Ahora sumaremos en parejas.

    55+84+17+34=190
    19+0=19
    1+9=10 (Tenemos que sumar individualmente porque ya no hay más parejas.)
    1+0=1 —> Hemos llegado al 1 otra vez.

    Ahora en tercias

    558+417+34=1009
    100+9=109
    10+9=19 (Sumemos en parejas por que no hay más tercias.)
    1+9=10
    1+0=1 —> Otra vez llegamos al 1.

    Ahora en cuartetos.

    5584+1734=7318
    73+18=91 (Sumemos en parejas por que ya no hay cuartetos. Tambien podiamos sumar en tercias, 731+8)
    9+1=10
    1+0=1 —> De nuevo el 1.

    :: No importa si se suma individualmente, en parejas, en tercias, en cuartetos o como sea. Al obtener solo un digito, tal digito sera siempre constante, en este caso es el 1.

    =====
    Descubrí esto una vez que venía en el transporte público y sume de esa manera los números de QUEJAS Y SUGERENCIAS, por eso lo llamo la TEORÍA DEL TELEFONO pero no logro explicarme porque sucede eso.
    =====

  74. JJGJJG | 22 de septiembre de 2011 | 14:36

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    Alexis, sumes como sumes los dígitos de un número lo que obtienes al final es el resto de su división por 9. Excepto en el caso de números múltiplos de 9, en el que, como al conseguir un dígito paras, obtendrás siempre un 9.
    En un número puesto en la forma 10^n*a+10^(n-1)*b+10^(n-2)*c+…. 10*p+q, cada vez que agrupas varios dígitos cualesquiera, le estás restando un múltiplo de 9 ya que cualquier potencia de 10 es múltiplo de 9 +1.
    Ejemplo 10^r*x + 10^s*y=(10^s-1)*(10^(r-s)*x+y)= algo*9+(10^(r-s)*x+y)
    Como ves los podrías separar en cualquier número de grupos de cualquier cantidad de dígitos y elegidos en cualquier orden.
    Ejemplo: 76584386 es múltiplo de 9 + 2.
    Aplicando el algoritmo: 8837+566+4=9407 (múltiplo de 9 + 2)
    907+4=911 (múltiplo de 9 + 2)
    19+1=20 (múltiplo de 9 + 2)
    0+2=2 que es el resto por 9 del número inicial

  75. Alexis | 23 de septiembre de 2011 | 03:29

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    Gracias JJGJJG, nunca creí que alguien me fuese a responder tan rápido.

    De nuevo, gracias.

  76. Trackback | 27 dic, 2011

    (Lo que yo considero) Lo mejor de 2009 en Gaussianos - Gaussianos | Gaussianos

  77. Trackback | 16 feb, 2012

    Algunos resultados camino de la conjetura de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos

  78. Trackback | 8 ago, 2012

    La conjetura de Goldbach: sus protagonistas conversan en Facebook « :: ZTFNews.org

  79. Trackback | 16 ago, 2012

    Un nuevo intento “serio” de demostración de la conjetura de Goldbach…que tampoco se sostiene - Gaussianos | Gaussianos

  80. Trackback | 2 oct, 2012

    La conjetura de Gilbreath: cuando un matemático juega con los números primos... - Gaussianos

  81. Anónimo | 8 de octubre de 2012 | 19:13

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    Me parece que te expresas de una forma un tanto difícil. Yo creo que deberias redactarlo de una forma mas sencilla. De todas maneras creo que está bastante bien tu documento. :)

  82. Trackback | 10 oct, 2012

    Los problemas de Landau, después de 100 años "nada nuevo bajo el sol" - Gaussianos

  83. hulko | 22 de octubre de 2012 | 22:37

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    Toda suma de dos números impares (excepto el 1)puede expresarse como suma de dos numeros primos la misma conjetura pero de otro modo :(

  84. Trackback | 19 ene, 2013

    Reseñas HdC: La habitación de Fermat | Hablando de Ciencia | Artículos

  85. Romeo | 21 de enero de 2013 | 05:36

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    Sea i un número impar compuesto. Entonces por el teorema fundamental de la aritmética existe una única descomposición factorial en factores primos.
    i = p_1^{e_1} * p_2^{e_2} * ... * p_n^{e_n} Donde cada e_i es el exponente al que se eleva cada factor primo en la descomposición.
    Entonces podemos hacer por ejemplo
    i = p_1^{e_1} * p_2^{e_2} * ... * p_n^{e_n}= p_1 * p_1^{e_1-1} * p_2^{e_2} * ... * p_n^{e_n} Aquí tenemos una multiplicación de números naturales, entonces podemos expresarla como una sumatoria, pero antes a fin de evitar escribir tanto hacemos:
    \alpha = p_1^{e_1-1} * p_2^{e_2} * ... * p_n^{e_n} con lo cual tenemos que:

    i = p_1 * \alpha = \sum_{j=1}^\alpha p_1 = p_1 + \sum_{j=2}^\alpha p_1.

    Ahora bien, p_1 es primo impar, ya que i es impar, ninguno de los factores puede ser el 2, además \sum_{j=2}^\alpha p_1 es un número par, porque si fuera impar al sumarlo con el primo impar tendríamos un par, pero i es impar.
    Por lo tanto podemos escribir a un impar compuesto como la suma de un primo impar y un número par.
    Llamemos a esta conclusió P1)
    _______

    Sea p>4, p=2k (p es par mayor que 4).
    p = p -> p = p + (i - i) = (p - i) + i con i>1 impar.
    Entonces tenemos que a p lo podemos escribir como la suma de los impares p - i e i

    Llamemos a esta propiedad P2)

    _______
    Sea p>4 par entonces por P2 se puede escribir como la suma de dos impares
    p = i + j.
    Si i, j son primos, no hay más que seguir.
    Si i es primo y j es compuesto, entonces por P1)
    p = i + j = i + w + q, con w primo y q par. Entonces p - q = i + w, siendo p - q par, por ser diferencia de dos números pares. En este caso se esta afirmando que si un número para es la suma de un primo impar y un impar compuesto entonces hay un par menor que él que puede escribirse como la suma de dos números primos impares.
    Si p = i + j con i,j impares compuestos, entonces aplicando a i,j la P1, se tiene que
    p = v + q + w + q', con v,w primos y q y q' pares.
    Entonces
    p - (q+q') = v + w siendo p - (q+q') un número par que puede escribirse como la suma de dos primos impares. Pero el número p - (q+q') es un número menor a p, por lo cual estamos como en el caso 2.

    El problema esta en que si partimos de p, deberíamos llegar a que ese p es la suma de los primos impares, y no un par menor que él.

  86. Edu Núñez O. | 1 de junio de 2013 | 04:44

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    Una linda noticia que me ha llegado, aunque desearía tener mejores fuentes: La conjetura débil de Goldbach ha sido resuelta por un matemático peruano, Harald Helfgott. ¡Por favor informen si alguien sabe más!

  87. gaussianos | 1 de junio de 2013 | 15:17

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    Edu Núñez O., ya hemos informado en este blog sobre el tema:

    (Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach

    Cuando haya más datos seguiremos informando.

  88. Santos Ojeda | 3 de junio de 2013 | 16:16

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    Soy licenciado en ciencias sociales, pero me gustan tanto los números que estoy dictando matemáticas. Vi la noticia de la solución de la conjetura de Goldbach y me puse muy feliz, espero mayor información al respecto. Quiero ver el procedimiento.

  89. Alfredo Salvador C. García | 5 de mayo de 2014 | 00:48

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    He demostrado la conjetura de Goldbach, a continuación: http://ciencia-y-logica-suficientes.blogspot.mx/2014/05/demostracion-de-la-conjetura-de-goldbach.html

    Gracias.

  90. Alfredo Salvador C. García | 10 de mayo de 2014 | 19:52

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    Aquí está la demostración formal por reducción al absurdo de la conjetura fuerte de Goldbach: http://ciencia-y-logica-suficientes.blogspot.mx/2014/05/demostracion-formal-por-reduccion-al.html

    Saludos, y gracias.

  91. Francesc | 12 de mayo de 2014 | 13:26

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    @Alfredo
    Lamento decirte que la expresión a la que llegas al final es equivalente a la expresión de la que partes, considerando q=p+s, y que el problema sigue siendo el mismo: no has demostrado que existan q y p primos. Eso sí, queda claro que todo par se puede escribir como suma de dos impares, uno de ellos primo (ya, un poquito más obvio).
    No puedes partir de las hipótesis que quieres demostrar (en este caso, que q es primo).
    Tampoco veo por qué lo llamas reducción al absurdo si ni partes de la negación de la hipótesis ni llegas a una contradicción

  92. Alfredo Salvador C. García | 12 de mayo de 2014 | 22:28

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    Gracias por tu respuesta.

    Ojalá no hayas leído la versión del 10 de Mayo, que ya corregí. En fin, de no ser así, sugiero que leas la del 11 de Mayo (me hago responsable de los equívocos cometidos en el pasado).

    Por otra parte, sí es reducción al absurdo (al menos en la demostración formal): http://ciencia-y-logica-suficientes.blogspot.mx/2014/05/demostracion-formal-por-reduccion-al.html

    Parto de la original -sea A-, la niego -sea ¬A- pero no la vuelvo a negar: eso es partir de la contraria. Y a partir de la contrario se obtiene una sentencia falsa: lo cual deja a la hipótesis como verdadera. Confío en la deducción lógica. Espero que la mayoría de las personas sepa emplear lógica de primer orden: no quisiera “lamentar” que así no fuera.

    Gracias, insisto, es bueno tener opiniones diversas.

    Saludos.

  93. Francesc | 13 de mayo de 2014 | 10:06

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    No había visto la última versión

    El problema de esta es que la hipótesis del paso 10 y la del paso 11 no son equivalentes. La del paso 11 se lee como
    “existe i natural tal que para todo p primo y s natural, 2p+s != 2i”
    para mantener la del paso 10, el 11 debería ser
    “existe i natural tal que para todo p primo y s diferencia entre p y otro primo , 2p+ s != 2i”

    …porque al crear s has restringido sus valores

    A partir de ese punto, demuestras que todo par puede escribirse como suma de primo y natural, lo cual es bastante obvio (y vale también para impares)

    Una sugerencia: si explicas la lógica en medio de la demostración, la demostración se convierte en tediosa

  94. Alfredo Salvador C. García | 14 de mayo de 2014 | 00:26

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    No es necesario que las sentencias lógicas sean equivalentes: sólo es necesario deducir un absurdo a partir de la negación de la hipótesis. De hecho es la intención que no sean equivalentes: por algo se le llama «deducción» (de no ser así, sólo estaría redundando en el mismo teorema sin progreso alguno).

    En cuanto a tu sugerencia (muy válida, porque también lo consideré) creo necesario explicar la lógica porque no todos saben lógica. No pretendo que se aprenda lógica en mi texto, pero me pongo en mis propios zapatos hace años, cuando no sabía de lógica. Espero que todos entiendan, no sólo “los expertos”.

    Gracias. Saludos.

  95. Ramón Ruiz | 8 de junio de 2014 | 15:56

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    Una demostración de la conjetura de Goldbach con un planteamiento original y con unas pocas fórmulas muy sencillas se puede ver en: http://viXra.org/abs/1406.0026

  96. Rommel Bazco | 28 de julio de 2014 | 01:53

    Vótalo Thumb up 0

    La Conjetura débil de Goldbach ya ha sido resuelta por un compatriota mío (peruano), Harald Helfgott …

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