La conjetura de Singmaster sobre el triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es uno de esos entes matemáticos que sorprenden por su recurrente aparición en muchas situaciones y por las relaciones que presenta con varios y variados objetos matemáticos. Por poner algunos ejemplos, es conocida su relación con los números combinatorios, con las potencias de 2, con los cuadrados perfectos o con la sucesión de Fibonacci.

Recordemos que el triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se parte de una fila con dos unos; después se escribe debajo otra fila con dos unos en los extremos y con la suma de los dos números de arriba en el centro (1+1=2); a continuación se escribe una nueva fila con dos unos en los extremos y las sumas de cada pareja de números de la fila anterior en el centro (1+2=3 y 2+1=3); y así sucesivamente:

\begin{matrix} 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\ \ldots \end{matrix}

(Las siete primeras filas del triángulo de Pascal.)

Se podría pensar que de un objeto matemático como el triángulo de Pascal no queda nada por saber, que se conocen ya todos sus entresijos. En cierto modo tiene sentido pensarlo, pero la cuestión es que por muy conocido que sea dicho objeto o por muy estudiado que esté es posible que podamos encontrar propiedades curiosas en él y que haya preguntas interesantes relacionadas con él que todavía sigan sin respuesta. Éste es el caso de la conjetura de Singmaster.

La conjetura de Singmaster, cuyo nombre se debe al profesor de matemáticas estadounidense David Singmaster (imagen de la derecha), está relacionada con el número de veces que puede aparecer un número distinto de 1 en el triángulo de Pascal.

Antes de ver el enunciado de dicha conjetura vamos a pensar un poco en lo que acabamos de decir. En un triángulo de Pascal infinito, a excepción del 1 (que aparece infinitas veces) cualquier número entero positivo aparece un número finito de veces. ¿Por qué? Muy sencillo: porque un número entero positivo K solamente puede aparecer en las K primeras filas del triángulo de Pascal (tal y como lo hemos construido), ya que a partir de la fila K+1 todos los números que aparecen en cualquiera de ellas (excepto los unos) son mayores que K. Por ejemplo, el número 6 solamente puede aparecer en las primeras 6 filas, y concretamente aparece 3 veces (una vez en la cuarta fila y dos veces en la sexta).

Convencidos ya de que todo número aparece un número finito de veces, podríamos preguntarnos por cuántas veces aparece cada uno, pero parece que esta pregunta no va a tener una respuesta tan sencilla como la anterior. Para números relativamente pequeños la cuestión es fácil: se cuentan y ya está. ¿Pero qué ocurre con los números grandes? Pues que cuanto mayor sea el número más difícil será determinar el número de apariciones del mismo en el triángulo de Pascal.

Bien, pues de esto habla la conjetura de Singmaster. Concretamente dice más o menos lo siguiente:

Conjetura de Singmaster

Existe un número M tal que ningún número entero positivo aparece más de M veces en el triángulo de Pascal.

Es decir, lo que dice la conjetura de Singmaster es que el número de apariciones de un número entero positivo en el triángulo de Pascal está acotado, y que además esa cota no depende del número en cuestión (es, por decirlo así, una cota absoluta para todos los enteros positivos). Cuanto menos interesante.

Este resultado mantiene actualmente la condición de conjetura, lo que significa que todavía no está resuelto. De todas formas podemos intentar acercarnos a un posible valor de ese M estudiando cuántas veces aparecen los primeros números enteros positivos. El 2 aparece una vez nada más (segunda fila); el 3 aparece dos veces (las dos en la tercera); el 4 también dos veces (cuarta fila); el 5 igual, dos veces (quinta fila); el 6, como ya hemos dicho, sale tres veces. Después hay muchos números que aparecen 4 veces (como el 10, que aparece dos veces en la quinta fila y dos veces en la décima), y se conocen varios que aparecen 6 veces (por ejemplo, el 120 sale dos veces en la fila 10, dos en la 16 y dos en la 120). El 3003 es el primero del que se sabe que aparece 8 veces (dos en la fila 14, dos en la 15, dos en la 78 y dos en la 3003).

También hay números de los que no se sabe cuántas veces aparecen. Por ejemplo, el número más pequeño del que se sabe que aparece al menos 6 veces, pero no se sabe cuántas son en realidad, es el

61218182743304701891431482520

Y también hay cantidades que no están asociadas a ningún número. Por ejemplo, no se conocen números que aparezcan ni 5 ni 7 veces.

¿A qué llegamos con todo esto? Pues en realidad no hemos avanzado demasiado, aunque todo esto nos puede servir para conjeturar por dónde estará una posible cota. Algunos creen que dicha cota será precisamente 8 (el número de veces que sale el 3003), aunque el propio Singmaster piensa que la cota será 10 ó 12. Hasta que no llegue alguien que le ponga el cascabel al gato seguiremos con la incertidumbre (y no parece que esto sea fácil, al menos el gran Paul Erdös así lo pensaba, aunque también creía que la conjetura es cierta). ¿Qué pensáis vosotros?

Y para terminar, ¿conocéis otras conjeturas relacionadas con el triángulo de Pascal que tengan interés?


Fuentes y enlaces relacionados y para profundizar:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Hece tiempo escribí esto sobre las repeticiones no triviales en el triángulo de Pascal (para mi siempre fué de Tartaglia, aunque parece que los chinos ya lo conocían de antes …):

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/Repet_Tartaglia.pdf

    Este es el principio:

    Resumiendo, hay unas repeticiones triviales, los unos y los que aparecen en el interior del triángulo, no en las dos primeras diagonales, que se repiten en la segunda diagonal de cada lado, en su “propia” fila. Aparte de estas, hay repeticines esporádicas del tipo C(n,k) = C(n’, k’), con k 1 y k <= n/2, k' <= n'/2. En general conducen a ecuaciones diofánticas de grado superior a 2, que se sabe que tienen solo un número finito de soluciones (para uno k y k' determinados). Así por ejemplo, solo hay tres casos de la forma C(n, 2) = C(k, 3).

    Se obtiene una ecuación difántica de 2º grado, con infinitas soluciones, si es precisamente C(n, k-1) = C(n-1, k). La primera solución no trivial es 3003, y la segunda el númerito 61218182743304701891431482520. La tercera tiene ya 135 cifras …. Todos ellos, al no ser elementos centrales de una fila, aparecen seguro 6 veces en el triángulo. Pero puede ocurrir como con el 3003,kl que además tiene otra repetición "esporádica", haciendo que aparezca al menos 8 veces. Pero por lo que se, es el único conocido.

    Siempre me resulto fascinante, el triangulito en cuestión …

    Lo que no se es por que muchas veces, como en esta entrada del blog, no se incluye la fila 0, formada por un solo 1 = C(0, 0)= 2^0. Tiene pleno sentido interpretado como número combinatorio, como número de subconjuntos del conjunto vacío. Y permite unificar la regla de formación del triángulo: Consideramos el resto del plano lleno de ceros, y a partir de ese primer 1, cada elemento es la suma de los dos vecinos de la fila superior.
     

    

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  2. Menos mal que he leído bien el nombre del tipo. Si se llega a llamar Singermorning se pone a pensar en la conjetura Rita

    (Nota humorística para desengrasar la mañana…)

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  3. Ignacio, tienes razón con lo que dices del 1 inicial. En este post no lo voy a incluir (más que nada porque tendría que cambiar varias cosas más y creo que ya no merece la pena), pero intentaré hacerlo en entradas futuras.

    De todas formas yo me acostumbré a no ponerlo porque habitualmente lo suelo usar para el tema de los coeficientes de los términos de las potencias de un binomio, y no suele ser práctico comentar el caso de la potencia 0. Pero vamos, repito que tienes razón, no es excusa esto para no escribir el primer 1.

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  4. Yo cuando explico el binomio de Newton si que lo incluyo también, por aquello de la generalidad:

    (a + b)^0 = 1 (1*a^0*b*^0)
    (a + b)^1 = 1*a + 1*b
    (a + b)^2 = 1*a^2 + 2*a*b + 1*b^2

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  5. Después de investigar un rato me atrevo a hacer otra conjetura más limitada:
    Todos los elementos centrales, salvo el 2 que solo figura una vez, se repiten 3 y solo 3 veces. Esto equivale a decir que no existen repeticiones impares superioras a tres.
    Significa que C(2n,n) no puede ser igual que C(p,q) con q distinto de 1.

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  6. Mmm, entonces, como resumen, la mayoría de los números del Triángulo sale un número par de veces, ya que siempre los números van de a pares en cada fila, a menos que aparezca al medio en el desarrollo del binomio para n par, como 2, 6 y 20, que salen un número impar de veces, y la mayoría de las veces, aquellos aparecen 3 veces en el Triángulo…lo bueno es que uno puede encontrar muchos números que salgan un número par de veces, no así impar mayor a 3…la gracia sería encontrarlos

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  7. Pues no sé si es una conjetura o algún teorema, hace mucho que lo leí y no recuerdo donde, junto a un número primo de Mersenne (en diagonal) aparece siempre su número perfecto.

    Ejemplo: (3, 6); (7, 28)

    No sé si eso es interesante pero me gustaría que alguien opinara respecto a eso.

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  8. Carlos, no lo había visto nunca pero es muy fácil de probar. Un número primo de Mersenne, no un pariente suyo …, es de la forma

    M(n) = 2^n – 1

    Se sabe ya desde Euclides que los números

    P(n) = 2^(n-1)M(n)

    son perfectos, y desde Euler que todos los perfectos pares son así.

    Entonces,

    Comb(M(n), 1) = M(n) = 2^n – 1

    Comb(M(n) + 1, 2) = 2^n(2^n – 1)/2 = 2^(n-1)(2^n – 1) = P(n)

    Es curioso. Pero también se cumple para cualquier número de Mersenne, 2^n – 1, aunque no sea primo, puesto que para nada hemos usado que lo fuese.

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  9. He encontrado una rara propiedad del triángulo.
    Formemos la sucesión de los términos de la columna central:
    a(0)=1, a(1)=2, a(2)=6,…,a(n)=C(2n,n).
    Es fácil ,demostrar que el cociente a(n)/a(n-1) tiende a 4.
    Curiosamente también se obtiene este límite de 4 si escogemos cualquier otra columna vertical del triángulo:
    a(0)= C(m,0), a(1)=C(m+2,1), a(2=C(m+4,2)…,a(n)=C(m+2n,n).
    ¿Alguien ha visto documentada esta curiosidad en algún sitio?
    EN CUALQUIER COLUMNA VERTICAL DEL TRIÁNGULO DE PASCAL SIEMPRE PODREMOS ENCONTRAR DOS TÉRMINOS SUCESIVOS CUYO COCIENTE SE APROXIME A 4 TANTO COMO QUERAMOS.

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  10. No lo he visto, pero no es difícil de probar, Se trata de hallar el límite

    L = Lim(C(m + 2n, n)/(C(m + 2n + 2, n + 1), n, inf)
    = Lim(((m + 2n)!/((m+n)!n!))/((m+2n+2)!/((m+n+1)!(n+1)!)), n, inf)
    = Lim(((m+2n)!(m+n+1)!(n+1)!)/((m+n)!n!(m+2n+2)!), n, inf)
    = Lim((m+n+1)(n+1))/((m+2n+2)(m+2n+1)), n, inf)
    = Lim((n^2+(m+2)n+m+1)/(4n^2+2(2m+3)n+(m+1)m+2)), n, inf) = 1/4

    para cualquier m.

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  11. Así lo hice yo, pero empecé, por curiosidad, con la columna central buscando el lim(C(2m+2,m+1)/C(2m,m), m, inf) que da (4m+1)/(m+1) = cuyo lim es 4.
    Después buscando qué ocurría con las demás columnas utilicé exactamente tus fórmulas pero buscando el lim(a(n+1)/a(n)) que, lógicamente, me dio 4.

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  12. Este me lo ensenyo un profesor de fisica. Si marcas los numeros impares del triangulo (con 30 lineas empieza a funcionar bien) aparece como por arte de magia el triangulo de Sierpinski. Alguien conoce la explicacion para ello?

    P.S. Disculpad la ortografia, escribo desde un teclado americano y ahora mismo no puedo cambiar la configuracion.

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