La constante de Euler-Mascheroni

En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: \displaystyle\gamma.

Esta constante se define de la siguiente forma:

\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left(  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}

Es decir, \displaystyle\gamma se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx

Su valor aproximado es: \displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots

No se sabe si \displaystyle\gamma es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10242080. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece \displaystyle\gamma:

Integrales cuyo resultado es \displaystyle\gamma

\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx \displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx

Integrales que involucran a \displaystyle\gamma

\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}

\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} (¿os suena ese \displaystyle\frac{\pi^2}{6}?)

Relación con \displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}

\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right ) \displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)

Relación con la función \displaystyle\Gamma

\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]

Relación con el número e

\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i -1}

siendo p_n el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots

Mezclando las tres constantes

\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Más allá de toda la matemática involucrada en este artículo que por momentos me supera, lo que me llama la atención es el parecido entre gamma y la tangente de 30, es decir, (raiz de 3)/3.

    Por supuesto, esto no significa nada, pero en cuanto vi las tres primeras cifras decimales pensé “pero esto es tan(30)”… después verifiqué y no.

    Saludos.

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  2. La primera cosa que te enseñan cuando escribes articulos con ecuaciones matematicas es a explicar los simbolos que aparecen. Y mas cuando no sigues una notacion uniforme, como es el caso de este blog.

    El otro dia ya me costo varias busquedas por la Wikipedia encontrar la diferencia entre log y ln. De hecho, deberias haber explicado que log era el logaritmo complejo, ya que entonces la propiedad que asumias no es tan trivial. Aqui vuelves a usar log, pero esta claro que sobre la recta real.

    Y otra vez he tenido que ir a la Wikipedia para enterarme que eran los p_i que aparecen en una ecuacion.

    Es solo un consejo, pero dado lo denso de algunos hilos, facilitaria mucho la lectura.

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  3. rmcantin tienes roda la razón del mundo, debería haber explicado alguna cosa más. Generalmente lo intento, pero se me escapan cosas. Ahora mismo lo rectifico.

    Gracias por el aviso. Saludos

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  4. Hola a todos!

    Mi pregunta no es para este tema sino para la identidad de Euler pero nose porque alli no pude postear, la demostracion por la expansion, es solo valida para un entorno del origen?

    Soy nuevo aqui y me encanta la pag!
    Perdon de vuelta por postear donde no corresponde

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  5. Lo de los números primos de una de las ecuaciones deberías haberlo explicado, pero lo del logaritmo no creo que haga mucha falta.
    Cuando se escribe “log” se da por hecho que es el logaritmo neperiano. Y sobre que sea real o complejo, con explicar al principio del artículo con qué cuerpo de números estás trabajando, debería ser suficiente.

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  6. Gracias, ^Diamond^.

    Rakugan, el problema del articulo que comentaba es que mezclaban ambos espacios en la misma ecuacion (real y complejo), con lo que era dificil de seguir.

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  7. Cuando veo tantos simbolos matematicos me emociono mucho ,como resistirse ante tanta belleza!!!! .

    PD:\displaystyle\frac{{\pi}^2}{6}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2 }

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  8. Me gustaría ver si existe alguna relación con la constante fi o número perfecto. Considero que todo en la matemática, está conectado.

    Saludos desde La Paz, Honduras

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  9. cuando preguntaste si nos sonaba es pi al cuadrado sextos, sí que me sonaba pero alguien ya se me adelantó. Por mi parte, además de haberme emocionado algo ese pi al cuadrado sextos, más emocionante me parecen las cifras decimales del número e en los lugares 24, 25 y 26 que son 7, 4 y 7. Si me escriben, les diré porqué.

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