La constante de Euler-Mascheroni

En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: $\displaystyle\gamma$ .

Esta constante se define de la siguiente forma:

$\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}$

Es decir, $\displaystyle\gamma$ se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

$\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx$

Su valor aproximado es: $\displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots$

No se sabe si $\displaystyle\gamma$ es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10²⁴²⁰⁸⁰. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece $\displaystyle\gamma$ :

Integrales cuyo resultado es $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$

$\displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx$

Integrales que involucran a $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$ (¿os suena ese $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$ ?)

Relación con $\displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}$

$\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right )$

$\displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)$

Relación con la función $\displaystyle\Gamma$

$\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]$

Relación con el número e

$\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}$

siendo $p_n$ el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

$\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots$

Mezclando las tres constantes

$\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n$

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

Constante de Euler-Mascheroni en la Wikipedia
Euler-Mascheroni Constant en la Wikipedia (inglés)
Euler-Mascheroni Constant en MathWorld

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Julio de 2007
Categorías: Otras constantes

10 comentarios

Leonardo | 17 de Julio de 2007 | 3:36

Más allá de toda la matemática involucrada en este artículo que por momentos me supera, lo que me llama la atención es el parecido entre gamma y la tangente de 30, es decir, (raiz de 3)/3.

Por supuesto, esto no significa nada, pero en cuanto vi las tres primeras cifras decimales pensé “pero esto es tan(30)”… después verifiqué y no.

Saludos.
rmcantin | 17 de Julio de 2007 | 5:27

La primera cosa que te enseñan cuando escribes articulos con ecuaciones matematicas es a explicar los simbolos que aparecen. Y mas cuando no sigues una notacion uniforme, como es el caso de este blog.

El otro dia ya me costo varias busquedas por la Wikipedia encontrar la diferencia entre log y ln. De hecho, deberias haber explicado que log era el logaritmo complejo, ya que entonces la propiedad que asumias no es tan trivial. Aqui vuelves a usar log, pero esta claro que sobre la recta real.

Y otra vez he tenido que ir a la Wikipedia para enterarme que eran los $p_i$ que aparecen en una ecuacion.

Es solo un consejo, pero dado lo denso de algunos hilos, facilitaria mucho la lectura.
^DiAmOnD^ | 17 de Julio de 2007 | 15:46

rmcantin tienes roda la razón del mundo, debería haber explicado alguna cosa más. Generalmente lo intento, pero se me escapan cosas. Ahora mismo lo rectifico.

Gracias por el aviso. Saludos
Sebastian | 17 de Julio de 2007 | 16:49

Hola a todos!

Mi pregunta no es para este tema sino para la identidad de Euler pero nose porque alli no pude postear, la demostracion por la expansion, es solo valida para un entorno del origen?

Soy nuevo aqui y me encanta la pag!
Perdon de vuelta por postear donde no corresponde
Rakugan | 17 de Julio de 2007 | 18:14

Lo de los números primos de una de las ecuaciones deberías haberlo explicado, pero lo del logaritmo no creo que haga mucha falta.
Cuando se escribe “log” se da por hecho que es el logaritmo neperiano. Y sobre que sea real o complejo, con explicar al principio del artículo con qué cuerpo de números estás trabajando, debería ser suficiente.
rmcantin | 17 de Julio de 2007 | 21:47

Gracias, ^Diamond^.

Rakugan, el problema del articulo que comentaba es que mezclaban ambos espacios en la misma ecuacion (real y complejo), con lo que era dificil de seguir.
discipulodegauss | 17 de Julio de 2007 | 23:42

Cuando veo tantos simbolos matematicos me emociono mucho ,como resistirse ante tanta belleza!!!! .

PD: $\displaystyle\frac{{\pi}^2}{6}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2 }$
odo | 18 de Julio de 2007 | 11:41

Es un tema muy interesante. Yo hace tiempo que tengo ganas de comprar un libro titulado “Gamma: Exploring Euler’s Constant”:

http://www.bookdepository.co.uk/WEBSITE/WWW/WEBPAGES/showbook.php?id=0691099839
Kristian Martinez (La Paz Honduras) | 7 de Septiembre de 2007 | 5:27

Me gustaría ver si existe alguna relación con la constante fi o número perfecto. Considero que todo en la matemática, está conectado.

Saludos desde La Paz, Honduras
Trackback | 6 Nov, 2007

Gaussianos » La función Gamma: una generalización del factorial

Comentarios cerrados.