La constante “entre primos gemelos”

El estudio de los primos gemelos ha sido un tema recurrente desde, que se sepa, la época de Euclides (siglo III a.C.), pero el tiempo transcurrido desde entonces no implica que conozcamos todo lo que se puede conocer sobre ello. De hecho, la mayoría de los resultados relacionados con los primos gemelos que se conocen son en realidad conjeturas (esto es, enunciados que se creen ciertos pero que no están ni demostrados ni refutados)

Después de todo este tiempo uno podría pensar que ya no se podrían encontrar cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos que no se hayan estudiado hasta ahora, pero nada más lejos de la realidad. Y hoy vamos a comentar una de ellas.

Comencemos comentando qué son los primos gemelos, por si alguien todavía no lo sabe. Se dice que dos números primos son primos gemelos si están a dos unidades de distancia. Por ejemplo, las parejas (3,5), (11,13) y (17,19) son parejas de primos gemelos (son primos y en cada caso están a dos unidades de distancia).

¿Qué sabemos sobre los primos gemelos? Pues, como decía antes, casi todo estudiado sobre los primos gemelos son conjeturas (en Twin Prime en la Wikipedia en inglés y en Twin Primes en MathWorld tenéis unas cuantas), pero la más importante es la que trata sobre la infinitud de las parejas de primos gemelos:

Conjetura de los primos gemelos:

Existen infinitas parejas de primos gemelos.

A día de hoy este enunciado, como decía, sigue siendo una conjetura: no se sabe si hay infinitas parejas de este tipo o no.

Otra de las cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos, y que además nos sigue dejando con la duda sobre su infinitud, está relacionada con la suma de los inversos de dichos primos gemelos. Es decir, con esta suma (siendo \mathbb{P} el conjunto de los números primos):

\displaystyle{\sum_{p,p+2 \in \mathbb{P}} \left ( \cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{p+2} \right )= \left ( \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} \right ) +\left ( \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7} \right )+\left ( \cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13} \right )+\left ( \cfrac{1}{17}+\cfrac{1}{19} \right )+\cdots}

Imaginemos que conseguimos demostrar que dicha suma es infinita. Si fuera así, dicho resultado implicaría automáticamente que hay infinitas parejas de primos gemelos (ya que si hubiera un número finito de ellas, la suma de sus inversos nunca podría ser infinita). Pero…nuestro gozo en un pozo: esa suma es finita. El valor de la misma se conoce como constante de Brun, en honor de Viggo Brun, que fue quien demostró su convergencia. Se suele denotar por B_2 (por lo de que los primos están a distancia 2) y su valor aproximado es:

B_2=\left ( \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} \right ) +\left ( \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7} \right )+\left ( \cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13} \right )+\left ( \cfrac{1}{17}+\cfrac{1}{19} \right )+\cdots=1.902160583104 \ldots

Se conocen otras constantes de este estilo y algunos otros resultados relacionados con ellas, algunos de los cuales podéis verlos en Brun’s constant en la Wikipedia en inglés.

Pero hay un detalle relacionado con los primos gemelos en el que parece que nadie había reparado hasta ahora. Concretamente en una constante relacionada con ellos de la cual no he encontrado ningún tipo de información. Y tuvo que ser nuestro gran comentarista JJGJJG quien la encontrara. Hace unos días, en este comentario del post Números primos gemelos y demás familia, JJGJJG nos decía lo siguiente:

Es decir, lo que estudió fue cómo es la suma de los inversos de los números que quedan entre cada pareja de números primos. Si llamamos a dicha suma B_1 (por estar cada uno a distancia 1 de cada uno de los primos gemelos de “su pareja”), nos quedaría lo siguiente:

B_1=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}+\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{42}+\cdots

La pregunta que debe venir ahora es evidente: ¿es dicha suma convergente?. Pues la respuesta es , y de hecho es sencillo comprobarlo utilizando la convergencia de la constante de Brun B_2. Veámoslo:

Tenemos que la constante de Brun

B_2=\left ( \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} \right ) +\left ( \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7} \right )+\left ( \cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13} \right )+\left ( \cfrac{1}{17}+\cfrac{1}{19} \right )+\cdots

es convergente. Ahora, la serie

\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{17}+\cdots

cumple que su término general es menor (término a término) que el término general de la serie que determina la constante de Brun (hemos elegido solamente uno de los sumandos de cada pareja de fracciones que generan las parejas de primos gemelos). Por tanto, dicha serie también es convergente (por serlo la de Brun).

Ahora, nuestra serie, la de los inversos de los números naturales situados entre cada pareja de primos gemelos,

\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}+\cdots

cumple que término a término es menor que la anterior. Por tanto, nuestra serie es convergente.

Sobre el valor aproximado de dicha constante B_1, el propio JJGJJG calculó la suma de los 200 primeros términos, obteniendo el siguiente resultado aproximado:

B_1=0.9288359558 \ldots

Podría ser interesante que si alguien tiene un rato intentara avanzar más en el número de términos para obtener cada vez mejores aproximaciones de B_1. Si lo hacéis os agradeceremos que dejéis un comentario con vuestros resultados y, si es posible, el método utilizado para realizar dicha suma.


Esta entrada es la segunda aportación de Gaussianos a la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene a Mago Moebius como anfitrión.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

86 Comentarios

  1. ¿Con los 200 primeros sumandos se llega a ese valor de $B_1$ ? Porque estoy haciendo pruebas con SAGE y la suma de todos los primeros 10000 términos me da
    0.834774098200018…

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  2. Es muy fácil ver que la suma de los inversos de primos gemelos, par a par, es ligeramente mayor que el doble de los términos de la sucesión propuesta por JJGJJG, por lo tanto un límite superior a la suma es la constante de Brun dividida por dos.

    El defecto es 2/(a*(a+1)*(a+2)), donde a es el inferior de cada par de primos gemelos. Calcular la suma de esta sucesión parece tener los mismos problemas que calcular la constante de Brun…

    Curioso, según veo en wikipedia, la constante de Brun es un número irracional si y sólo si el número de primos gemelos es infinitos. Es obvio una vez que lo piensas pero…

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  3. GOB, el caso es que después de programar el post estuve haciendo pruebas con Mathematica y después de sumar un buen puñado de valores obtenía un valor aproximado parecido al tuyo (a ver si esta noche cuando llegue a casa pongo el código que he utilizado). La verdad es que ahora a mí también me resulta extraño que con solamente 200 términos se obtenga el valor que nos comentaba JJGJJG

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  4. gaussianos, para mi valor aproximado, según expliqué en el correo aclaratorio que te envié utilicé 200 términos de la sucesión que sugiere Francesc. Puedes comprobarlo releyendo mi correo. La serie 1/((k-1)*k*(k+1)) converge muy deprisa.
    He reanudado mis cálculos y he sumado los 3423 primeros términos.
    El valor nuevamente calculado es 0,928835827131 que, como ves es más parecido al que obtuve al principio y es mucho mayor que el obtenido por GOB.
    De hecho el término 3423 de la serie vale 2,33*10^(-17) lo que me hace pensar que el error residual difícilmente podrá afectar a los primeros 10 dígitos del valor de la constante calculado por mí.

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  5. He usado los primos dobles del primer millón de primos, es decir, hasta 15485863, (hay 86027) y me sale B2(86027)=1,742677464 y B1(86027)=0,849094268.

    También lo he hecho para los 200 y los 10000 primeros, por comparar resultados:

    B2(200)=1,615872101, B1(200)=0,785691586.
    B2(10000)=1,714037125 , B1(10000)=0,834774098.

    Lo he hecho bajando una lista del primer millón de primos a Excel y operando.

    Ahora bien, si extrapolo a partir del valor de B2 conocido, 1,902160583, obtengo para B1 prácticamente el mismo valor que dice JJGJJG, 0,928835956.

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  6. JJGJJG, me imagino que lo que haces no es calcular la suma real sino extrapolar suponiendo que los últimos términos de B1 son la mitad de los de B2.

    Si a partir de B2(86027)=1,742677464, B1(86027)=0,849094268 y B2=1,902160583104 se cumple 1/((k-1)*k*(k+1)), puedes hacer B1=B1(86027)+(B2-B2(86027))/2=0,92883582713101.

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  7. Bueno, bueno, bueno, pero que tenemos aqui!! Felicidades JJGJJG, la constante,de no existir con anterioridad, deberíamos empezar a llamarla, por ejemplo, J1.

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  8. Mmonchi, efectivamente, es fácil comprobar que para la pareja nº 860276 el término de la serie B2 es aproximadamente 1,3*10^(-7) y la diferencia entre su mitad y el término correspondiente de B1 será parecido a 2,7*10^(-22) y podemos despreciar su influencia en la suma pues está a más de 14 órdenes decimales de magnitud.
    Si realizas tus cálculos con 10000 parejas en lugar de con 86000 comprobarás que te sale el mismo valor de B2 en sus 12 primeros dígitos.

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  9. Es fácil comprobarlo:

    B2(10000)=1,714037125, B1(10000)=0,834774098 y B2=1,902160583104.

    B1=B1(10000)+(B2-B2(10000))/2=0,92883582713101.

    Efectivamente, igual hasta el último decimal. Pero eso no quiere decir que el resultado sea “exacto” porque depende de B2. Si calculamos B2 directamente tenemos:

    p B2(p)
    10^2 1.330990365719…
    10^4 1.616893557432…
    10^6 1.710776930804…
    10^8 1.758815621067…
    10^10 1.787478502719…
    10^12 1.806592419175…
    10^14 1.820244968130…
    10^15 1.825706013240…
    10^16 1.830484424658…

    Si lo calculamos extrapolando tenemos:

    p B2*(p)
    10^2 1.904399633290…
    10^4 1.903598191217…
    10^6 1.901913353327…
    10^8 1.902167937960…
    10^10 1.902160356233…
    10^12 1.902160630437…
    10^14 1.902160577783…
    10^15 1.902160582249…
    10^16 1.902160583104…

    Un cálculo más preciso de B2 permitiría tener un valor mejor de B1.

    (Datos de http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html)

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  10. Mmonchi, puesto que tienes la herramienta y los datos ¿por qué no sumas la serie
    1/((k-1)*k*(k+1)) hasta 10^16 y por diferencia obtienes B1 con el valor “conocido” de B2 que es 1,902160583104?
    Comprobarás que, como la serie que te propongo converge muy deprisa, los valores que adopta para los escalones que utilizas desde 10^2 hasta 10^16 permanecen prácticamente constantes al cabo de unos cuantos intervalos.
    De este modo es innecesario calcular directamente B1 y B2, sino que calculamos la diferencia entr B2/2 y B1 y conseguimos mucha más precisión.

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  11. Bajé de internet una lista de los 10000 primeros números primos e hice un sencillo programa en Pascal (usé Pascal por lo rápido que es pero es muy fácil de implementar en otros lenguajes). Tarda una décima de segundo en hacer el cálculo y el resultado me da así:

    8.14603975537142E-001

    Los números primos los saqué de aquí: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/10000_primos.htm

    Y el programa es este:

    var b1:double;
    var p,pant:longint;
    var f:text;

    begin
    assign(f,’primos.txt’);
    reset(f);

    b1:=0;
    pant:=2;

    while not eof(f)
    do begin
       read(f,p);
       if (p-pant)=2
       then begin
            writeln(‘sumando 1/’,(p-1));
            b1:=b1+(1/(p-1));
            end;
       pant:=p;
       writeln(p);
       end;

    writeln(b1);

    end.

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  12. Buenas

    Hace un tiempo realice un pequeño programita en python para probar la ejecucion multinucleo y tengo calculados todos los primos hasta el 10.124.999.981 por si a alguien le interesa, los tengo en archivos txt.

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  13. anv, supongo que en tu tercera frase hay una errata:

    “En total hay 78498 primos hasta el 100000”

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  14. JJGJJG, he calculado la diferencia entre (1/n+1/(n+2)) y 2/(n+1), que es 2/n/(n+1)/(n+2) para todos los primos dobles que tengo (hasta 15485863, son 86027). A continuación está el resultado de su suma, los he sumado por separado porque los valores que dan son muy pequeños y podrían perderse en errores de redondeo.

    En la primera columna están los números entre los que busco los primos dobles, en la segunda la suma de 2/n/(n+1)/(n+2) para cada uno de ellos y en la tercera el acumulado con toda la precisión que tengo. La primera fila significa que busco entre 1 y 9, (los primos dobles son el de 3 (3 y 5) y el de 5 (5 y 7)); que suman 0,042857143 (2/3/4/5+2/5/6/7=0,042857143); y que el acumulado es 0,0428571428571429:

    1-9 0,042857143 0,0428571428571429
    10-99 0,001625286 0,0444824292111502
    100-999 6,47317E-06 0,0444889023848044
    1000-9999 2,63216E-08 0,0444889287064401
    10000-99999 1,34635E-10 0,0444889288410754
    100000-999999 9,08479E-13 0,0444889288419839
    1000000-9999999 6,55797E-15 0,0444889288419905
    10000000-15485863 2,89107E-17 0,0444889288419905

    La convergencia es muy rápida, por cada decimal más de n obtengo al menos 2 decimales más de B2-2*B1. Está claro que conociendo B2 se puede calcular muy fácilmente B1 con precisión.

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  15. Gracias Mmonchi. Este es el método que utilicé desde el principio para determinar el valor de B1 aunque yo solo había utilizado los primos hasta un millón.
    Necesitaba que alguien realizara el mismo cálculo para asegurarme de que no había cometido errores.

    Ahora ya podemos asegurar con fundados motivos que
    B1 = 0,928835827131…

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  16. Diamond, te sugiero que actualices el post para reflejar en él el último valor estimado de la constante B1 ya que el aproximado que ahora figura en tamaño resaltado es bastante menos preciso y fue una primera estimación que ya está superada.

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  17. Darse cuenta que el número que esta entre los primos gemelos es un múltiplo de 6, si uno de ellos es mayor a 6

    entre 5 y 7, 6
    entre 11 y 13, 12
    entre 17 y 19, 18

    de hecho, todo primo mayor que 5 tiene un múltiplo de 6 antes o después de él.

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  18. Holas…

    Datos interesantes que analizan, aunque no cmprendo muy bien su utilidad.
    ○ Lo que puedo aportar sobre primos gemelos es que solo hay 3 pares de “Primos de Origen” que son primos gemelos y de estos se generan todos los demas primos gemelos habidos y por haber.
    ○ Para los que no sepan sobre los Primos Origen, les dire, que son unos unos cuantos numeros especiales de los que se originan Todos los numeros primos habidos y por haber.
    ○ Con mi descubrimiento sobre la organizacion de los numeros primos, este tema de los primos gemelos que no los he estudiado, pues al parecer no influye en la distribucion de los primos, sino que es un efecto o caracteristica como las demas que presentan los numeros primos, como su distribucion aparentemente al azar para muchos, lo cual es totalemente falso e incorrecto, y la inconstante cantidad de primos que aparecen cada cierto rango, lo cual no seguiria un patron logico, lo cual es tambien incorrecto, ya que los numeros primos estan milimetricamente organizados, al originarse de los primos origen y lo mismo ocurre con esto de los primos gemelos que tanto les facina.
    ○ Por ultimo decirles, que no precisan tener numeros primos en archivos que ocupan tantos GB de espacio en disco duro, ya que con un simple algoritmo se generan numeros primos desde los primos origen, aplicando la relacion entre primos y los factores que generan numeros base de los cuales extraemos los que son numeros primos validos para utilizarlos en sus analisis. El algoritmo puede generar numeros primos desde el inicio hasta un limite inidcado o implementando algunos arreglos en unas lineas de codigo, genera primos desde un limite para un rango determinado, todo partiendo unicamente desde los primos origen, los que ni llegan a ser mas de 10.
    Bueno tratar esto y mostrarles el codigo, seria para otro hilo… les felicito por el interes investigativo que demuestran sobre los primos gemelos, el cual es contagioso y espero darme un tiempo, para analizar su generacion directa, auque como dije no creo que influya en la organizacion de los numeros primos o si?

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  19. Víctor: si fuera fácil generar números primos sin tablas, estaríamos en un grave problema, porque toda la seguridad en las comunicaciones modernas se nada en la premisa de que no hay forma fácil de crear números primos. Imagina los robos de datos o falsificación de transacciones financieras. Sin contar con que en algunos países la firma digital tiene el mismo valor legal que una de puño y letra. Imagina contratos firmados con firmas falsas.

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  20. Holas ANV:

    No creo que sea para tanto eso de la seguridad, pues supongo que usan numeros primos grandes. Mi algoritmo como dije genera en mi ordenador de 32 bits numeros primos validos y ordenados hasta 15 digitos, ya que despues hay falla en los calculos por esto de las variables. La generacion de numeros primos lo hace con solo los que he denominado “Primos Origen” ya que de estos se originan todos los numeros primos, lo cual pareciera que serian una especie de multiplos de los primos origen y algo de esto se da ya que desde un primo origen, se determinan todas las caracteristicas de los primos originados, es decir que multiplos tendran. Aprovechando esto, con solo los primos origen depuro los multiplos no primos y al final quedan solo numeros primos 100% validos.

    Este es el codigo del algoritmo que les decia:

    Sub GeneraPrimos()

    ‘ CTC = …………… Limite para Depuracion
    ‘ VPO(n, n) ……… Array con datos de Primos Origen
    ‘ FMG=…………… Factor Multiplo Global
    ‘ NUPO=………….. Número de Primos Origen existentes

    ‘** DEPURA MARCANDO LOS MULTIPLOS NO PRIMOS
    For x = 1 To nupo
    pp = vpo(0, x) ‘ Primo Origen de Grupo Origen
    For i = 1 To nupo
    pr = vpo(i, x) ‘ Primo Origen Relacionado
    po = vpo(0, i) ‘ Primo Origen de Grupo a Depurar
    fm = ((pp * pr) – po) / fmg ‘ Posicion del Multiplo comun
    Do
    For j = fm To ctc Step pr ‘ Marca Multiplos No Primos
    vp(j, i) = True: Next j
    pr = pr + fmg ‘ Siguiente Primo
    fm = fm + pp ‘ Multiplo del Primo
    Loop Until (fm > ctc) ‘ Limite de Depuracion
    Next i
    Next x

    ‘** EXPORTA NUMEROS PRIMOS
    Open “RUTA ARCHIVO.txt” For Output As#1
    For x = 0 To ctc
    For i = 1 To nupo
    Select Case vp(x, i)
    Case False: Print#1, Str((x*fmg)+vpo(0,i))
    End Select
    Next i
    Next x
    Close#1

    End Sub

    ○ Como pueden observar, con los primos origen y sus relaciones cargados en un array y los factores que intervienen y se calculan, se depuran los multiplos no primos y al final exporta a un archivo los numeros primos que existen hasta el limite indicado.
    ○ Digo “Multiplos No Primos” porque el metodo trabaja sobre una base de numeros generados desde los primos origen, que desde ya esta reducidda y condensada aproximadamente a un 25% del total de numeros naturales que abarca el limite indicado. Estos numeros base, tienen todas las posibilidades de ser primos; pero resulta que llegan a ser multiplos de primos anteriores, lo que los inhabilita para ser primos validos.

    ◘ Bueno este es el proceso muy resumido, hay mas datos que intervienen con lo que tambien me permitio realizar algoritmos para descomponer un numero en sus Factores Primos aplicando los primos origen y tambien realizar un test de primalidad aplicando estos criterios.

    ► Espero que la informacion les sirva para no considerar a los numeros primos como elementos individuales, sino agrupados y originados de unos cuantos primos de origen. Los primos gemelos solo es un efecto de la generacion de numeros base, habiendo solo 3 posibilidades de estar agrupados como tal, donde hasta lo observado, no intervienen en la organizacion ni distribucion de los numeros primos, yo diria que es otro artefacto mas para confundir a los que estudian a estos numeros, dando la impresion de ser misteriosos o estar al azar, lo que no es nada cierto.

    Suerte y sigan adelante…

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  21. Víctor, mientras no digas cuáles son esos “primos origen” y como se calculan los sucesivos primos partiendo de ellos resulta muy difícil creer lo que dices. Yo soy un mero informático aficionado a teoría de números desde hace un par de años y todo lo que he leído al respecto difiere mucho de lo que comentas.
    Publicaste un comentario, aquí en gaussianos, sobre tus primos origen en diciembre del 2013 y ya comentas en él :
    “Disculpas si no indico cuales son los primos origen y como generan a los números base (casi primos), es algo realmente simple y lo hare cuando termine mis análisis y publique todo los datos encontrados y los fundamentos o pruebas que los respalde.”

    Hasta que eso no suceda creo que no deberías comentar tan alegremente que el trabajo de los demás en inútil por que tú tienes un súper código generador de primos.

    Con otro tema, una pagina muy surtida sobre numeros primos con listas de ellos http://primes.utm.edu/lists/small/

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  22. Víctor… Yo no soy matemático pero sospecho que si existiera una manera de “calcular” los números primos eso significaría que serían predecibles, y justamente loa cifrados asimétricos se basan en que son impredecibles.

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  23. Holas…

    ◘ QuarkBite comprendo tu posicion y escepticismo, no eres el unico en pensar asi ya que al afirmar que todos los numeros primos se originan de unos cuantos primos de origen, serian como multiplos y la mayoria lo entiende asi. Sucede algo parecido, ya que se generan “Numeros Base” donde unos seran primos y otros no, por ser multiplos de primos anteriores.
    Cada primo origen forma de esta manera un “Grupo Origen” donde los numeros base no primos son multiplos de primos de todos los grupos origen.
    Esta organizacion es muy diferente a como los ven y estudian a los primos en su disposicion dentro de los numeros naturales, de ahi que nadie pudo comprender su organizacion, considerandolos que estan al azar.
    ○ Ahora que comprendes esto, existe una “Secuencia de Multiplos Directos” (SMD) lo denomine asi, porque permite determinar exactamente los multiplos que tendra cada primo dentro de todos los numeros base generados por los primos origen.
    ○ Esta SMD se aplica a todos los numeros primos y se lo puede determinar o calcular, desde su primo origen al cual pertenecen. Entonces como te daras cuenta, para buscar numeros primos, solo necesitamos los primos origen, de los cuales se generan los numeros base y determinando sus multiplos se depuran todos estos, quedando solo numeros primos validos.

    ◘ Quiero dejar bien claro, que en mi comentario nunca dije que el trabajo de los demas es inutil, simplemente al ver que utilizaban archivos de primos, dije que se los puede generar directamente para sus analisis y que segun mi punto de vista y hasta sonde pude observar, los primos gemelos no intervienen en la organizacion y distibucion de los numeros primos.
    ○ Lo que si determina esto es la SMD y la “Relacion entre Primos Origen” que existe, la cual es especifica en cada grupo origen. Aplicando esta relacion es que pude desarrollar el algoritmo que puse para generar primos. Haciendo algunos arreglos, se puede generar solo primos gemelos para sus analisis, que si me lo piden se los envio; pero veo que no me entendieron o no me explique claramente; pero esa era mi intension al comentar en este hilo.

    ◘ Sobre mi publicacion que mencionas, en ese entonces estaba en medio analisis e investigacion y ya estoy en los ultimos analisis, donde luego de documentar todo y registrar mi autoria, lo publicare para conocimiento de todos; mientras tanto no puedo indicarte los factores, secuencias, primos origen y sus relaciones, obviamente para no perder mi autoria.

    ◘ Holas ANV, mi interes no esta en la criptografia, sobre el cual he leido poco y comprendido casi nada, tan solo dar a conocer mi descubrimiento, del cual luego, pienso los matematicos crearan algoritmos para los cifrados.
    ○ Los ultimos analisis que realizo, son justamente para encontrar unos factores de logica, que indican directamente por que primos origen seria un numero divisible en caso de ser compuesto, lo cual reducira significativamente la complejidad de los algoritmos de primalidad como de factorizacion y que estos sean deterministas y no probabilisticos.

    ► Bueno amigos, queria dejar claro el motivo de mi participacion, sin devalorizar su trabajo y si necesitan numeros primos hasta 15 digitos, con gusto de los enviare para colaborar a su investigacion.

    Atte. viluarte22@hotmail.com

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  24. Creo que entendí su comentario ya que en un principio también me di cuenta de esto pero llegue a un punto en el que me fue imposible continuar. Se pueden calcular números primos partiendo de algún numero primo anterior en función de la raíz cuadrada del numero primo precedente más un diferencial pero no conseguí solventar el problema de los huecos aleatorios. Ahora que lo comentas tal vez el problema de los huecos se pueda resolver seleccionando ciertos números primos. Veo muy difícil lo que comentas pero no imposible, espero ver tu publicación.

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  25. Victor: Pues si finalmente se confirma que has encontrado una manera de calcular números primos de una manera rápida y sencilla, desde ya te anticipo que dejarás obsoletos a los principales sistemas de cifrado y firma electrónica. Y la verdad sería un problema MUY grave.

    Si tienes los conocimientos de matemática suficintes para formular una teoría así sobre los números primos yo creo que podrás buscar alguna de las explicaciones que hay en internet sobre cifrados asimétricos y entenderlo sin problemas. Así te harás una idea de lo grave que puede ser si se comprobara que los números primos no están distribuidos al azar.

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  26. he editado mi anterior comentario pero parece que no se guardo.

    ANV: no te preocupes por el cifrado ya que se está trabajando en sistemas que son imposibles de revertir ya que aunque no se solucione el problema de los primos el cifrado quedara obsoleto en el momento en que algún país tenga un ordenador cuántico funcional y a la vista que google tiene uno, aunque no sea funcional, será cuestión de unos años que con los nuevos materiales se construya uno verdaderamente potente.
    Por este motivo se trabajan en funciones criptográficas basadas en procesos físicos naturales, como la función de distribución del calor por una superficie a partir de un punto dado.

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  27. Victor Luis, no acabo de entender tu programa porque no sé los valores iniciales de CTC, VPO(n, n), FMG, NUPO ni el de n, pero a simple vista no me parece más eficiente que los algoritmos basados en la criba de Eratóstenes. Si pudieras indicar con qué valores funciona el sistema podría compararlo con el que se usa habitualmente y evaluarlo.

    Lo de usar tablas de primos es porque es más fácil generarlos una vez y trabajar a partir de una lista que ejecutar el mismo programa una y otra vez. Por ejemplo, buscar primos dobles en una lista de un millón de primos ordenados con Excel es prácticamente instantáneo. Y yo ya tengo la hoja con el primer millón de primos a mano.

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  28. Quarkbite: lo de los ordenadores cuánticos es algo de lo que se habla mucho pero se consigue poco. La verdad yo todavía no he podido encontrar una explicación clara de cómo se supone que funcionan e incluso en cosas que sí están más claras como los cifrados cuánticos, ya se ha visto que en la vida real no resultan más seguros que los cifrados tradicionales. De hecho, el cifrado cuántico no es que añada secretismo sino que supuestamente se puede detectar si el mensaje ha sido interceptado, aunque en la práctica se ha demostrado que es posible burlarlo.

    Sobre cifrados imposibles de descifrar… Hay una “máxima” del cifrado de datos que nunca hay que olvidar: la seguridad no está en si se puede descifrar o no sino que se considera seguro cuando el tiempo necesario para descifrarlo es superior a la vida útil de la información. Por ejemplo en una transacción financiera basta con que se tarde más de unos minutos en descifrarlo para que sea seguro. En información confidencial el tiempo necesario puede ser de años o décadas. Pero nadie espera que un cifrado sea de verdad indescifrable.

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  29. De todas manera ANV, el calcular números primos instantáneamente con una función no implica la ruptura de la seguridad de las claves asimétricas pues estas se fundamenta en el problema de factorización de un numero y no de si es primo o no. Este problema seguirá estando intacto pues seguiremos teniendo que probar con todos los números primos menores que la raíz cuadrada de dicho numero para comprobar si es divisible o no por ese primo.

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  30. Holas Mmonchi…

    Respondiendo a tu consulta, ya que este hilo es sobre “Primos Gemelos”, bueno CTC es el Limite hasta donde se quiere generar numeros primos por ejemplo 50.000.000. Como mencione de estos numeros naturales solo se toman como posibles primos casi el 25%, donde con total seguridad el resto son compuestos.
    El el array VPO() estan los primos origen y sus relaciones para cada grupo origen, estos datos y de las variables no te las puedo indicar, por ahora, hasta registrar mi autoria y publicar mi investigacion para que sea de dominio publico. Espero comprendas.
    ○ Sobre la comparacion con el tamiz o criba de Eratostenes, existe el programa PrimeSieve que es la ultima mejora de este metodo con el cual compare mi ultimo algoritmo, donde la diferencia es de 3-4 segundos generando primos de 15 a 18 digitos, que es el limite de PrimeSieve.
    Los algoritmos de Eratostenes y Atkin son de tamiz para generar hasta los n primos. El primer algoritmo que desarrolle es de tamiz y cumple la misma funcion, con la particularidad que solo trabaja con posiciones para depurar los multiplos como lo hace Eratostenes; pero del 100% de numeros naturales que maneja este, el mio solo trabaja en un 25% de numeros base, por lo que el coste computacional es menor. Respecto a Atkin, su algoritmo es mas rapido; pero requiere de un ordenador en paralelo especial, lo que limita a que todos lo utilicen.

    ◘ Amigo ANV, mi algoritmo de primalidad y factorizacion, es eficiente hasta numeros de 18 digitos, debido a que uso un ordenador Pentium III de 32 bits, lo que limita la capacidad de las variables y que las operaciones den un resultado confiable. Tratando los numeros como cadenas de texto, el tiempo de proceso aumenta; pero permite determinar primos de 100 digitos y mas. Por esta razon, con los ultimos analisis, pretendo encontrar un factor logico que indique que primos origen relacionados son los factores o divisores de un numero, ya que la SMD que indica los multiplos de un primo, los factores de estos multiplos se presentan ordenados secuencialmente segun como son generados desde los primos origen.
    ○ Debo aclarar que no soy matematico formado; pero con mis conocimientos basicos y los datos descubiertos, pude entrometerme en estos campos y lograr resultados satisfactorios, donde nuestros matematicos de ahora, podran terminar de dar respuesta a todas las incognitas sobre los numeros primos y desarrollar algoritmos eficientes antes que tengamos los ordenadores cuanticos… es lo que pienso.

    Gracias por su espacio, suerte y sigan adelante…

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  31. Víctor: quizás deberías usar una biblioteca de aritmética de precisión arbitraria. Eso te permitirá independizarte de la cantidad de dígitos. Obviamente es mas lento pero por suerte cada vez es mas común tener procesadores muy potentes y de muchos núcleos.

    Con respecto a tu forma de obtener números primos, espero que pronto pueda ver en las noticias tu trabajo publicado. Si es tal como dices, seguro que causará mucho revuelo. Hace siglos que se viene buscando algún a lógica en lis números primos, que de cerca parecen aleatorios pero vistos en conjunto parecen seguir algún patrón.

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  32. Holas ANV…

    Gracias por la sugerencia de usar biblioteca, aunque no tengo claro esa parte ya que mis desarrollos y analisis los hago en VBAExcel y ahora aplicare Delphi porque la capacidad de sus variables son mayores a los de Visual Basic. Ya estoy llegando a los 21 digitos, reduciendo el numero a determinar a 15 digitos, donde los calculos son confiables, como todo esta friamente calculado en los numeros primos, funciona este metodo y ademas encontre 2 formas mas para determinar si es multiplo de uno de los primos, en base a su Factor Multiplo Global como lo llamo.

    ○ Espero no haber interrumpido el tema de este hilo sobre “Primos Gemelos”. Algo que olvide comentar es que ustedes consideran que son tal cuando hay 2 primos seguidos Ej (17, 19) (41, 43) donde [47, 49] no consideran como primos gemelos al ser el 49 multiplo de 7.
    Los numeros base que se generan de cada primo origen y que son multiplos no primos, son Factores de otros multiplos, donde dan residuo mod=0, a estos creo se los denomina como factores compuestos.
    ►A lo que voy, es que si es numero base tiene todas las posibilidades de ser primo; pero no lo es por ser multiplo de algun numero base anterior, de modo que (47, 49) deberian considerarlos como pseudo primos gemelos para que el factor que estan determinando sea mas preciso.
    Es mi opinion, segun como veo la organizacion de los numeros primos y como mencioné, me dare un tiempo para analizar a los primos gemelos, pues estos serian infinitos y tal vez actuen como marcadores de posicion de una secuencia, que nos indique cuantos primos habran en cierto rango y que numeros base seran primos validos, de manera directa.

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  33. Víctor: si se te da buen la matemática estoy seguro de que no te costará nada aprender cualquier lenguaje de programación, por ejemplo el C. Busca en google y encontrarás bibliotecas gratis (bajo LGPL) que te permitirán olvidarte del límite de los 32 o 64 bits.

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  34. Gracias ANV…

    Tu sugerencia es oportuna, ya estoy bajando informacion para actualizarme; pero mi fuerte es Visual basic y Delphi, aunque Java y C++ son mas optimos, tan solo pude codificar mi algoritmo de tamiz en C.
    Comentar que tengo un amigo de España que tiene una pagina sobre algoritmos de primalidad, el cual me ha orientado muchisimo, ya que no sabia lo que tenia, a que categoria correspondia mis algoritmos, lo importante de la complejidad asintotica con el cual se determina la eficacia de un algoritmo y vastante informacion sobre los avances matematicos en estos 200 años de misterio de los numeros primos.

    ○ Bueno, la cosa es demostrar la veracidad y reproducibilidad de mi descubrimiento, al mundo cerrado, preciso y exacto de los matematicos, para lo cual debo determinar por lo menos un primo de 5 millones de digitos; pero solo contamos con algoritmos probabilisticos con una gran complejidad, coste computacional y de tiempo, para estos primos grandes y sin tener al final un 100% de seguridad.

    ►Mi ultimo objetivo, descabellado y titanico que le plantee a mi amigo, es desarrollar un algoritmo determinista que realice la determinacion de primalidad en un tiempo menor que los test probabilisticos.
    Antes que opines, dire que he leido al respecto sobre estos 2 metodos y que contradigo su funcion y definicion; pero esta lectura hizo darme cuenta que tengo muchos datos para reducir al minimo la complejidad del algoritmo, lo cual es posible, utilizando primos origen relacionados, no todos, solo los que seran factores o divisores del numero, con esto ya se redujo la complejidad en un 75% mas de la mitad, de estos primos origen relacionados se generan los primos base, tomados como divisores en la determinacion; pero como siguen siendo muchos, un ultimo dato encontrado me indica generar solo primos especificos, reduciendo la complejidad en un poco mas del 80% y en el peor caso, del 60% y por ultimo, tengo 2 metodos de calculo, con los cuales se evalua la divisibilidad de varios primos a la vez. Este conocimiento que te participo, me indica lo posible que es lograr desarrollar un algoritmo determinista para los usos que quieran darle.
    Tu sugerencia es muy oportuna, ya que solo me falta encontrar un factor logico, que ya vi que existe; pero aun no pude determinarlo con presicion, que indica los primos origen que serán factores de un numero, debido a la organizacion exacta que existe dentro de los numeros primos.

    Disculpas por alargar mi comentario en este hilo…
    Saludos a todos y gracias por su espacio.

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  35. Victor solo un par de preguntas mas, la ansia me corroe, ¿podrias decirnos cuantos primos origen has identificado? y otra cosa, ¿podrias factorizar este numero?.

    74037563479561712828046796097429573142593188889231289084936232638972765034028266276891996419625117843995894330502127585370118968098286733173273108930900552505116877063299072396380786710086096962537934650563796359

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  36. Victor Luis, para convencer al mundo “cerrado, preciso y exacto de los matematicos” no vale con calcular un número primo muy grande. Tienes que demostrar matemáticamente que tu descubrimiento es correcto. Con un ejemplo no hacemos nada.

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  37. Holas…

    QuarkBite, el numero que pusiste es de 212 digitos y es valido ya que corresponde a un grupo origen, el cual puede ser un multiplo o un primo.
    Los factores duros para este numero tendran como maximo entre 70 a 80 digitos; pero como mencione y bien me orientaba ANV, las variables en mi equipo realizan calculos confiables hasta 15 digitos y estoy analizando la sugerencia de ANV de implementar librerias, aunque no lo veo tan practico y prefiero codificar en Delphi.
    Este numero primero determinaria su primalidad con uno de los primeros algoritmos; pero tardaria dias, es por eso que como comente, analizo la implementacion de todos los datos encontrados, para crear un algoritmo que determine y factorice este numero en menos de 1 hora. De todas maneras, lo pasare a determinar, por si sus factores no son duros, es decir que sean del mismo tamaño.

    Holas PABLO…
    Disculpa por mi expresion, tu observacion es correcta; pero como dije no soy matematico formado y he logrado todo esto, con los conocimientos que tiene cualquier persona de matematica y sobre programacion.
    Pienso que eres matematico o sabes mucho de este campo, porque opinas como mi amigo que me ha ayudado sobre todo esto.
    Esta falencia me pesa, pues para lograr este ultimo proposito, necesito mas recursos matematicos ya que son muchos datos que intervienen unos con otros y avanzando poco a poco, veo que si es posible lograr desarrollar este algoritmo.

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  38. Holas compañeros Gaussianistas…

    Queria sugerir, que abran otro hilo para debatir y compartir conocimientos e ideas sobre los Numeros Primos, ya que este hilo trata sobre Primos Gemelos y estamos llevando el tema original a otro campo.

    QuarkBite… revise mi anterior algoritmo; pero solo llega hasta factores de 15 digitos y no creo que estos sean asi, del numero que publicaste.
    De todas maneras, ya lo tengo guardado y sera una de las primeras metas por alcanzar con mi nuevo desarrollo. Por otra parte si pones un numero digamos de 500 digitos donde el primer factor no pase de los 15 digitos, con gusto lo paso por mi algoritmo. Por ejemplo:

    999999999999960361=(726.351.239) (1.376.744.399)

    El primer factor, como saben, es menor a los demas, donde determinar este factor es lo unico dificil, ya que tomando el cociente obtenido, se encuentra muy rapidamente los demas factores, al haber un limite identificado que es menor a la raiz cuadrada, por lo que si se llega a este limite este cociente seria el siguiente factor primo; eso sucede con los factores duros.
    Por otra parte, determinando el primer factor primo, segun la tabla de relacion entre primos origen, el siguiente factor pertenecerá al grupo del primo relacionado a este primer factor, cuando tiene 2 o 3 factores; pero cuando el numero es multiplo de varios primos, tendra mas factores, los que seran de 2 grupos de primos relacionados, no hay mas, asi de claro y directo.
    Es esto lo que voy analizando, para encontrar el factor logico que indique directamente y anticipadamente, antes de iniciar la determinacion, de que primos origen relacionados tomar y no evaluar con todos, lo que reduce la complejidad a menos del 50%. Otra metodologia es determinar intercaladamente con primos base de inicio→adelante y del ultimo←hacia atras, como tambien del medio hacia adelante y hacia atras, como sabemos el ultimo posible primo divisor nos indica la raiz cuadrada del numero, de ahi que el proceso se acelera evaluando desde estos puntos.
    Para saber que primo base divisor es el ultimo o de en medio, solo se necesitan los primos origen, ya que estos son la genesis de todos, como se daran cuenta mi metodo no necesita de archivos con primos, tan solo realizar operaciones aritmeticas con numeros de mas de 15 digitos.

    Bueno, me disculpo otra vez, por alargar el comentario, ya que intervienen varios factores, relaciones y secuencias, para comprender la organizacion de los numeros primos.

    Saludos a todos…

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  39. Víctor: insisto, delphi no te solucionará el problema de los números grandes. Sólo lograras tal vez trabajar en 64 bits en lugar de 32, pero eso no hace más que postergar el problema. Existen bibliotecas ya hechas justamente para esa función. Sólo tienes que descargar una y leer el manual para saber usarla.

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  40. Una sugerencia a todas esas personas que se esmeran en calcular valores de sumas…

    Recuerdo que cuando hice la asignatura de métodos numéricos el profesor nos dijo, y demostró, que cuando se trabaja en aritmética finita ( por ejemplo el protocolo IEEE que usan los ordenadores para representar números ) la MEJOR FORMA de sumar un conjunto de números positivos es hacerlo de menor a mayor; así se reduce el error relativo.

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  41. Hola compañeros.

    Permitirme la indicación ; la conjetura de los primos gemelos está resuelta.

    Para todo (p > 7) y (a = (1;2;3;4;5;6; 7 ; 8 ……………………..))

    TODO NÚMERO CUYO ORIGEN SEA: (7 + 6[7a + (1;2;3;4)] – 2) ó (7 + 6[7a – (1;2;3;4)] – 2) que no sea múltiplo de cinco son primos gemelos (ABSOLUTOS).

    Ejemplos.

    7 + 6[7 x 23809523811 – 1] – 2 = 1000000000063 – 2 = 1000000000061

    7 + 6[7 x 530 + 1] – 2 = 22273 – 2 = 22271

    El articulo está publicado.

    co el titulo: Equation for all primes numbers.

    Universal Journal of Computational Mathematics Vol 1 (3); 2013.

    Andri Lopez

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  42. Holas…

    Andri Lopez, me parecio interesante tu comentario, por lo que genere con la formula primos gemelos, con valores para a de 1-50, sumando +1 y restando -1; descate los valores que sean multiplos de 5 y obtube estos datos:

    (41_43) *
    (137_139)*
    (167_169)
    (179_181)*
    (209_211)
    (221_223)
    (251_253)
    (347_349)*
    (377_379)
    (389_391)
    (419_421)*
    (431_433)*
    (461_463)*
    (557_559)
    (587_589)
    (599_601)*
    (629_631)
    (641_643)*
    (671_673)
    (767_769)
    (797_799)
    (809_811)*
    (839_841)
    (851_853)
    (881_883)*
    (977_979)
    (1007_1009)
    (1019_1021)*
    (1049_1051)*
    (1061_1063)*
    (1091_1093)*
    (1187_1189)
    (1217_1219)
    (1229_1231)*
    (1259_1261)
    (1271_1273)
    (1301_1303)*
    (1397_1399)
    (1427_1429)*
    (1439_1441)
    (1469_1471)
    (1481_1483)*
    (1511_1513)
    (1607_1609)*
    (1637_1639)
    (1649_1651)
    (1679_1681)
    (1691_1693)
    (1721_1723)*
    (1817_1819)
    (1847_1849)
    (1859_1861)
    (1889_1891)
    (1901_1903)
    (1931_1933)*
    (2027_2029)*
    (2057_2059)
    (2069_2071)

    ○ De los 58 posibles Primos Gemelos (PG) solo 23 son verdaderos, que son los marcados con un asterisco “*”. De esta manera habria un 60.3% de PG no validos o falsos.

    ○ Para complementar de 40 a 2072 hay 300 PG validos, claro que la formula indica sumar y restar secuencias de +- 1,2,3,4,5,.., n para completar los restante; pero como veras en cada iteracion, mas de la mitad no serian PG.

    ◘ Tu afirmacion indica que solo no sean multiplos de 5 para tener Primos Gemelos Absolutos. Esto no es suficiente y como indicas en la publicacion que recomiendas leer, se debe factorizar los numeros para recien considerarlos como PG validos.

    ◘ La formula realiza 5 operaciones y me parece demasiado para obtener posibles PG. Te dire que segun la organizacion de los Primos Origen, solo hay 3 posibilidades de PG, lo cual se repite en los primos base generados hasta el infinito. Para obtener los posibles PG, solo se realiza 1 operacion sobre los primos gemelos de origen y pasar a factorizarlos, para recien tomarlos como PG validos.

    ◘ Otra forma, que habia sugerido, es generar una base de numeros y depurar los multiplos no primos. Luego de esto, se toman como PG validos si ambos numeros base no fueron depurados, lo que indica que son numeros primos validos. Como sabemos cuales pueden ser PG, la revision es directa, lo cual acelera el proceso.

    ►Es lo que opinaria sobre esto, como mencione, cuando tenga tiempo hare un analisis sobre PG en base a los Primos Origen y les participare los resultados que encuentre.

    Suerte y sigan adelante.

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  43. @Andri
    No sé (no he podido ver la publicación) si tu fórmula incluye a todos los primos gemelos, lo cual ya me parecería muy meritorio.
    La fórmula ofrece números que no son múltiples de 2, de 3, de 5(bueno, estos los excluyes a pelo) ni de 7. Y ya…

    No todos los números que das son primos. Victor Luis ya te ha dado contraejemplos, yo (que soy más perezoso) lo voy a demostrar. Concretamente y por simplicidad voy a demostrar -a nivel mates de instituto- que la fórmula arroja múltiples de 11 [pero valdría para cualquier n primo >= 11, y excluyo el 5 porque así lo pides]

    1.- Simplificamos la fórmula. Queda 5+6*(7a+r), con r={1,…,4}
    2.- Llamamos b := (7a+r) queda 5 + 6*b
    3.- Puesto que 6 y 11 son primos entre sí, MCD(6,7)=1, aplicamos la identidad de Bezout:
    Exiten x, y / 6*x – 11*y = 1
    4.- Multiplicando la anterior igualdad por -5, 6X -11Y = -5
    5.- Reordenando, 5+ 6X = 11Y
    6.- Ahora bien, sabemos que si X es un valor resultado de esta identidad, X + 11s también lo es, así que solo nos queda ver que existe a / 7a + r = X + 11s para algún s
    [No voy a calcular X, para luego poder generalizar a cualquier primo >= 11]
    7.- Reordenamos otra vez… 7a- 11s = X – r
    8.- Puesto que 7 y 11 son coprimos [y esta es la razón por la que la fórmula no da múltiplos de 7], aplicando otra vez Bezout, exiten a y s que cumplen la condición
    9.- Bonus. De hecho, cuando a arroja un múltiplo de n, a + n también

    Por ejemplo, para n=11, con r=1, a=11 da uno de tus números (473) que es múltiplo de 11 [ lo dan a=11, a=22, a=33…]
    Para n=13 y r=1, a=5 tenemos el 221, múltiplo de 13 [y para a=18, a=31, a=44…]

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  44. Hola JJGJJG.

    VEO QUE TIENES INTERES EN LAS SERIES CONVERGENTES, POR LO TANTO CREO QUE PUEDE INTERESARTE LO SIGUIENTE.

    La serie más relevante de las matemáticas. La serie para la función zeta (a=1/2).
    Es una serie en extensión finita

     \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{24} + \frac{1}{81} + \frac{1}{648} + \cdots

    si tienes interes puedes ver el articulo:

    autor: Albana Diez

    titulo: convergents series for Riemann Hypotesis

    revista: Universal Journal of Applied Mathematics Vol 1 (2); 2013

    Saludos

    Amancio Perez.

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  45. Holas…

    Excelente Francesc… admiro como pueden expresar matematicamente con formulas, funciones y demas, algo un tanto dificil de comprender para mi.

    Compañero Amancio, podrias explicar eso de la funcion Z de Riemann, el cual estaria relacionado a los numeros primos. Aunque este hilo no es el adecuado o indicar una publicacion en español, ya que los traductores cambian el sentido de muchas palabras.

    Gracias…

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  46. Victor: yo tampoco me siento capaz de seguir un razonamiento matemático complejo… aunque en mis épocas de estudiante tenía que poder sí o sí.

    Pero pienso que si aspiras a demostrar algo tan controvertido como que los números primos no están distribuidos al azar, deberías entender estas cosas sin problemas. De lo contrario será difícil que te tomen en serio. Qué clase de demostración planeas presentar, ¿un programa hecho en Visual Basic?

    Ningún programa puede _demostrar_ nada matemáticamente. Para eso se necesitaría el programa funcionando durante toda la eternidad. No existe nada tan claro y contundente como un razonamiento matemático puro, y decididamente no demostrarás nada si no lo haces mediante un teorema.

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  47. Holas ANV…

    Tienes toda la razon; pero no aspiro a ser un Riemann, Beltran, Miller, Gauss ni Atkin, tan solo me llegue a comparar con Eratostenes, Fermat y Charmichael aproximadamente.
    • Con Eratostenes, porque tengo un algoritmo de tamiz para buscar hasta n primos, lo cual seria eterno al haber infinitos primos.
    • Con Charmichael, porque mi definicion de pseudoprimo es mas precisa, ya que el 50% de sus numeros no son en realidad pseudoprimos.
    • Con Fermat porque su algoritmo de factorizacion tiene limitaciones, realiza muchas operaciones e igualamos en tiempo, lo que me agrada es que ambos compartimos el criterio de que un numero compuesto tiene 2 factores primos esenciales.

    ►Estas tres comparaciones las puedo demostrar con mi basico conocimiento en matematicas, es decir, lo que todo mundo sabe de escuela; por tanto no preciso de funciones y demas para ser claro y preciso en mis afirmaciones… como se diria en la pelicula Yo Robot, mi logica es incuestionable, quien puede negar que 2+2=4 ?

    • Referente a Fermat, le llevo ventaja, ya que con el ultimo analisis que realizo, modifique un algoritmo que determina al instante factores duros:

    980100000003304620000002785417=(990000000001657)(990000000001681)

    Como sabes los factores duros se dan cuando un numero es producto de dos primos seguidos, donde al ser dificiles de factoriar, se los utiliza en criptografia.
    Bueno en mi analisis encontre cuando y donde se dan estos factores duros, por lo que la determinacion lo realizo en ese punto y tras realizar unas cuantas operaciones determina los factores duros en 00:00 seg.
    Otro detalle amigo ANV, si te fijas, llegue a los 30 digitos sin utilizar librerias, ya que no me baso en analizar el residuo (Mod), sino el valor del cociente que me indica como un mod=0 que el numero es divisible entre un primo.

    • Para complementar sobre tu comentario, para demostrar todo sobre los primos origen, sus funciones y aplicaciones, tendria que formarme en una carrera de matematicas y postergar muchos años mas los misterios sobre los primos y eso me parece egoismo, en ese tiempo se avanzaria mucho para redefinir fundamentos y postulados y en especial el enfoque no real que nos enseñan en la escuela.
    • Solo busco que se reconozca la autoria, de descubrir los secretos de los numeros primos y algunas funciones, para que no solo sea eso, ya que no llego ni a los talones de los grandes matematicos de ahora.

    ►Justamente por este gran detalle y falencia mia, es que comence a escribir a las instituciones matematicas de mi pais Bolivia, para que me colaboren con la documentacion de la nueva informacion sin presedentes, para aplicar terminologia y fundamentos que utilizan los matematicos y sea claramente comprensible para el resto del mundo.

    ◘ De la misma manera, la invitacion queda abierta a toda persona que le interese este tema y desee colaborar en la documentacion; desde ya me adelanto en decir que los factores, secuencias, tabla de relaciones y demas, me los reservo para publicarlo, despues de registrar mi autoria y este conocimiento sea de dominio publico.

    Atte. Victor Luis Arteaga
    correo: viluarte22@hotmail.com

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  48. ¿Debería ser editado (o borrado) por el moderador el comentario del 14 de mayo de 2014 02:21?

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  49. Victor Luis: Con respecto al ejemplo que pones el dia 14 y la explicacion que das creo que algo cojeas sobre numeros para criptografia.
    Yo no he oido nunca eso de factores duros lo que si he oido es numeros cuasi primos, esto es numero que sus unicos 2 factores son primos.
    En criptografica nunca se usaria el numero que has puesto de ejemplo no solo por que sea menor a 200 digitos si no por que sus dos factores estan muy cerca de su raiz cuadrada (990000000001668,99999999999992727), es normar que en factorizar ese numero el tiempo sea de 0.0 pues una computadora personal realiza miles de millones de operaciones por segundo y por eso incluso el programa mas simple de factorizacion no tardaria ni 0.1 en llegar a la solucion.
    Los numeros verdaderamente complejos de factorizar que se usan en criptografia son numero cuasi primos pero esos dos primos que lo forma estan muy muy distantes entre si.

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  50. Muchas Gracias QuarkBite…

    • La aclaracion que me das sobre los factores duros me sirve de mucho, ya que con cada mejora del algoritmo preciso mas reto para probarlos donde los 15 a 18 digitos no son nada complejos.

    • Justamente estamos entrando a esos temas en el Grupo de “Organizacion de los Numeros Primos… nada al azar”
    https://www.facebook.com/groups/499134423519646/

    ☼ Creo que abusamos de este hilo, por mi parte, compartire lo que encontre y se, en otro hilo, grupo o espacio mas adecuado al tema, ya que hay mucha tela por cortar.

    Un Saludo a Todos y Gracias por su espacio y tiempo…

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  51. Miguel Ángel: ingresé en el blog y me encantó.

    Quarkbite: gracias por el rar lleno de primos!
    me sirve para hacer gráficas (que a todos nos gusta)
    si me salen lindas, las comparto, si no… no les hago perder el tiempo.

    Un fuerte abrazo!

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  52. Holas QuarkBite…

    Me asomo para saludarlos y comentarte, que ya estoy en medio camino de mi proyecto planteado. Ya fue posible determinar anticipadamente en que grupo se daran los factores primos para un numero dado.
    • La primera aplicacion… una vala, el tiempo se redujo a un 8% y luego se incrementó al 12%, comparando con mis algoritmos que suponia eran no mas buenos.
    • Faltan dos factores logicos mas, ahora ya sabemos donde buscar; pero los factores nos diran en que parte ubicar a los factores primos de un numero, sin que afecte al proceso la cantidad de digitos que tenga, pudiendo factorizar o determinar primalidad.

    Saludos a todos…

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  53. Victor: hola! espero ansioso… particularmente tengo un único interés: lograr factorizar un número en forma directa, sin “tanteos”. y cualquier enfoque en este sentido lo considero útil.

    Saludos!

    Publica una respuesta
  54. bueno, si necesitan generar números primos, aquí tienen mi implementación, los guarda en un arreglo (llamado lista), ya de ahí los guardan o hacen lo que deseen, tarda unos 130 segundos en generar los primeros 10 000 000 en un Intel Celeron G550 de 2.6GHz, funciona revisando en orden los números impares, y comprobando si cada impar es primo dividiendolo entre los números primos menores que su raíz cuadrada.

    #include iostream //ya ustedes le ponen el “”, que esto me borró los includes 😛
    #include math.h
    #include time.h
    using namespace std;

    int main()
    {
    float inicio, fin;
    int *lista;
    lista=new int[cant];
    int X=5, raiz, i=2, j, cant;
    cout<>cant;
    inicio=clock();
    if(cant>=1) lista[0]=2;
    if(cant>=2) lista[1]=3;
    while(i<cant)
    {
    raiz=sqrt(X);
    for(j=1; lista[j]raiz) lista[i]=X, i++;
    X+=2;
    }
    fin=clock();
    cout<<"El proceso tardo "<<(fin-inicio)/1000<0) cout<<"El ultimo primo generado es: "<<lista[i-1];
    }

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  55. Parece que esto me borra parte del código debido al <>, pero ya le encontré solución. Además, al modificar mi implementacion (la copie de un codigo mas grande) puse “lista=new int[cant];” donde no era, ya esta arreglado.

    #include <iostream>
    #include <math.h>
    #include <time.h>
    using namespace std;

    int main()
    {
    float inicio, fin;
    int *lista;
    int X=5, raiz, i=2, j, cant;
    cout<<“Ingrese cuantos primos desea generar: “;
    cin>>cant;
    lista=new int[cant];
    inicio=clock();
    if(cant>=1) lista[0]=2;
    if(cant>=2) lista[1]=3;
    while(i<cant)
    {
    raiz=sqrt(X);
    for(j=1; lista[j]<=raiz; j++)
    if(X%lista[j]==0) break;
    if(lista[j]>raiz) lista[i]=X, i++;
    X+=2;
    }
    fin=clock();
    cout<<"El proceso tardo "<<(fin-inicio)/1000<<” segundos\n”;
    if(cant>0) cout<<"El ultimo primo generado es: "<<lista[i-1];
    }

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  56. Holas John…

    Me parece bien y te pediria que compartas en el hilo:
    http://gaussianos.com/forogauss/topic/los-numeros-primos-origen/

    • Algo que debes tomar en cuenta en adelante, es que este metodo clasico no corresponde a la nueva concepcion de los numeros primos, al analizarlos desde los numeros naturales.
    Cuando mucho llegaras a medio billon, mientras que en el mundo de los primos, solo hay pseudoprimos verdaderos y primos validos… como haces para diferenciarlos? Basandote en la Secuencia de Multiplos Directos (SMD) que determina los pseudoprimos, (denominados como multiplos no primos) y a la vez los factores primos para el multiplo, donde toda complejidad desaparece.

    Holas Danito…
    Como explico en el grupo de Facebook:
    https://www.facebook.com/groups/499134423519646/
    y en el hilo antes citado, de este excelente foro, la organizacion de los numeros primos te permite determinar los factores de un multiplo no primo de forma directa.

    ►Ejemplo-1. Siendo “m” los multiplos que determina la SMD las letras “a”, “b”, “c”, … los primos origen, tenemos:
    (d)→m1=(b,a)
    (a)→m2=(b,b)
    (e)→m3=(b,c)
    (c)→m4=(b,d)
    (b)→m5=(b,e)
    (d)→m6=(b,a1)
    (a)→m7=(b,b1)
    (e)→m8=(b,c1)
    (c)→m9=(b,d1)
    (b)→m10=(b,e1)
    (d)→m11=(b,a2)
    (a)→m12=(b,b2)
    (e)→m13=(b,c2)…
    • Como vemos, cada multiplo es producto de 2 factores, donde el 1°Factor es de Base y el 2°Factor es Relacionado, dados por las asociaciones o relaciones definidas entre primos origen.
    A su vez, cada multiplo corresponde a un Grupo Origen, es decir que lo encontramos en ese grupo; donde toda la informacion nos lo da la SMD.

    ►Ejemplo-2. Los multiplos del primo “c” con la SMD seria:
    (c)→m1=(c,a)
    (d)→m2=(c,b)
    (e)→m3=(c,c)
    (b)→m4=(c,d)
    (a)→m5=(c,e)
    (c)→m6=(c,a1)
    (d)→m7=(c,b1)
    (e)→m8=(c,c1)
    (b)→m9=(c,d1)
    (a)→m10=(c,e1)
    (c)→m11=(c,a2)…
    • Si nos fijamos, comparando con el ejemplo-1, el orden y la secuencia del 2°Factor siempre es el mismo, dandose la variacion en el Grupo Origen de los multiplos.

    ►Ejemplo-3. Los multiplos del primo base “c1” con la SMD:
    (c)→m1=(c1,a)
    (d)→m2=(c1,b)
    (e)→m3=(c1,c)
    (b)→m4=(c1,d)
    (a)→m5=(c1,e)
    (c)→m6=(c1,a1)
    (d)→m7=(c1,b1)
    (e)→m8=(c1,c1)
    (b)→m9=(c1,d1)
    (a)→m10=(c1,e1)
    (c)→m11=(c1,a2)…
    • En este caso se determinan los multiplos del primo base “c1” originado del primo origen “c”, observando la misma secuencia del 2°Factor y el mismo orden de Grupo Origen pertenecientes a los multiplos, comparando con el ejemplo-2, que casi serian iguales;pero el valor de los multiplos es diferente.
    • Este proceso se efectua en todos los grupos, donde los numeros base generados, sean estos primos base o multiplos no primos, siguen el mismo orden secuencial del primo origen, donde las variaciones estan dadas por la proporcion del tamaño de cada numero base.

    ○ Como te das cuenta amigo Danito… determinar los factores de un numero, no depende del tamaño o cantidad de digitos que tenga el numero, sino de su origen dado por la SMD.
    • En base al ejemplo-3, cual seria la diferencia entre los factores de estos multiplos?
    (c)→m1=(c1,a)
    (c)→m6=(c1,a1)
    (c)→m11=(c1,a2)…
    Desde mi punto de vista… Ninguna, solo vemos la variacion en el 2°Factor; pero este corresponde al primo origen “a” estando los factores en los numeros base del grupo origen GO(a).
    • Hasta este punto ya se tiene avanzado el desarrollo del nuevo algoritmo, donde como indique en la publicacion de ayer, el tiempo de proceso se redujo entre un 8% a 12%.
    • Ahora, de acuerdo al tamaño del multiplo, se determina la proporcion correspondiente del 2°Factor para obtener el valor del primo base que es si o si, con 100% de seguridad y de manera directa, el factor primo del numero.

    ☼ Espero haber respondido a tu comentario amigo Danito…

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  57. Aquí esta el algoritmo ligeramente modificado para hallar la suma de las primeras n parejas de gemelos, muestra el resultado que lleva cada mil parejas:

    #include <iostream>
    #include <math.h>
    #include <limits>
    using namespace std;

    int main()
    {
    cout.precision(18);
    long double constante=0;
    unsigned long long int *lista;
    unsigned long long int X=5;
    unsigned long int raiz, i=2, j, k=0, cant;
    cout<<“Ingrese cuantas parejas de gemelos desea sumar: “;
    cin>>cant;
    lista=new unsigned long long int[20*cant];
    if(cant>=1) lista[0]=2;
    if(cant>=2) lista[1]=3;
    while(k<cant)
    {
    raiz=sqrt(X);
    for(j=1; lista[j]<=raiz; j++)
    if(X%lista[j]==0) break;
    if(lista[j]>raiz)
    {
    lista[i]=X, i++;
    if(X-2==lista[i-2])
    {
    constante+=(1.0/(X-2)+1.0/X), k++;
    if(k%1000==0) cout<<"\n"<<k<<": "<<constante<<"\tultima pareja: "<<X-2<<" "<<X;
    }
    }
    X+=2;
    }
    cout<<"\n\nEl ultimo valor de la constante fue:\n"<<constante;
    }

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  58. Bueno, les informo que modifiqué el algoritmo para calcular tanto B1 como B2 (el algoritmo es en C++, no lo había especificado), y mostrar cada 1000 pares de gemelos el resultado que lleva de B1, y el resultado final posible de B1 mediante resta de la constante de Burn dada en wikipedia con el B2 calculado, dividiendo a la mitad y sumandolo al B1 que se lleva.

    Usé 17 cifras significativas, pero el valor de wikipedia solo tiene 13, asi que supongo que las cifras finales no hay que mirarlas mucho.

    A partir masomenos de 100 mil parejas de gemelos, llega a un posible resultado final de 0.92883582713100474, este valor no cambia aunque sigas con 2 millones de parejas, a pesar de que la suma de B1 actual sigue aumentando de a poco. (yo descartaría las últimas 5 cifras como verdaderas, hasta ahi llega el valor dado en wikipedia).

    Si alguien tiene un compilador de C++ y quiere comprobar, aquí dejo el algoritmo para que no tenga que modificar el ya dado mas arriba:

    #include <iostream>
    #include <math.h>
    #include <limits>
    using namespace std;

    int main()
    {
    cout.precision(17);
    long double B1=0, B2=0, Burn=1.902160583104;
    unsigned long long int *lista;
    unsigned long long int X=5;
    unsigned long int raiz, i=2, j, k=0, cant;
    cout<<“Ingrese cuantas parejas de gemelos desea sumar: “;
    cin>>cant;
    lista=new unsigned long long int[20*cant];
    if(cant>=1) lista[0]=2;
    if(cant>=2) lista[1]=3;
    while(k<cant)
    {
    raiz=sqrt(X);
    for(j=1; lista[j]<=raiz; j++)
    if(X%lista[j]==0) break;
    if(lista[j]>raiz)
    {
    lista[i]=X, i++;
    if(X-2==lista[i-2])
    {
    B1+=(1.0/(X-1)), B2+=(1.0/(X-2)+1.0/X), k++;
    if(k%1000==0) cout<<"\n"<<k<<": "<<B1<<"\tultima pareja: "<<X-2<<" "<<X<<"\tprimo numero: "<<i<<"\tposible valor final: "<<B1+(Burn-B2)/2;
    }
    }
    X+=2;
    }
    cout<<"\n\nEl ultimo valor de la constante fue:\n"<<B1;
    }

    Publica una respuesta
  59. Holas…

    Les dejo el enlace para descargar algunos primos gemelos que hice buscar con mi algoritmo, son de: 30, 70, 100 y 200 digitos:
    http://www.4shared.com/office/oXmcdYQyba/PRIMOS_GEMELOS_para_GAUSSIANOS.html

    • Si analizan el rango, del primero al ultimo, veran que no hay proporcion definida que indique el siguiente par de primos gemelos… al menos hasta donde comprendi lo que buscan.
    Espero les sirvan los primos o tal vez se precisen mas, de todos modos sera interesante ver sus resultados.

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  60. Se me ocurre una pregunta: hay una constante entre primos gemelos, pero… ¿hay también una constante entre primos? Sospecho que no pero no se si alguien lo ha estudiado.

    Por otro lado… Deduzco que si hay una constante entre primos gemelos esto se debe a que los primos gemelos son cada vez más escasos al avanzar en la lista, ¿no?

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  61. Bueno, de hecho fue Euler quien demostró por primera vez que la suma de los inversos de los números primos diverge, lo cual es también una demostración de que los números primos son infinitos. Y sí, para que diverja la suma de sus inversos no solo se necesita que sean infinitos, se necesita que su cantidad entre los enteros sea bastante grande, cosa que no sucede con los gemelos.

    Publica una respuesta
  62. Había demasiados comentarios para leerlos todos, aclaro por si alguien ya lo puso, pero, la suma de los inversos de los números que quedan entre los primos gemelos, no tendría que ser la mitad de la suma de los inversos de los primos gemelos?

    Quiero decir, si tenemos un par de primos gemelos p1 y p2, el número que queda en medio es (p1 + p2) / 2. entonces si los sumamos a todos, tendríamos la mitad de la suma de primos gemelos.

    No tengo mucha noción de series la verdad (aunque debería saber algo).

    Publica una respuesta
  63. Lautaro, si tienes dos primos gemelos n-1 y n+1, la semisuma de sus inversos es (1/(n-1)+1/(n+1))/2. Si lo desarrollas queda n/(n^2-1). La diferencia con 1/n no es muy grande, concretamente es n/(n^2-1)-1/n=1/(n^3-n). Pero es lo suficiente para que que la constante de JJGJJG sea ligeramente inferior a la mitad de la constante de Brun y por tanto una nueva constante.

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  64. Uff, me olvidé que iban los inversos jeje. Gracias por la aclaración

    Publica una respuesta
  65. JJG, enhorabuena por la constante! Parece que hay dos maneras de encarar el problemas de estos escurridizos números. El valiente que PC en mano programa algoritmos y los afina cual artesano mejorando rendimientos) y luego el matemático riguroso, que prefiere una demostración irrevocable. La primera opción puede servir para ir orientando una demostración, comprobar hipótesis o descartarlas, pero la solución final (si es que la hay) vendrá mediante una desmostración formal. Tal vez por la carrera estudiado tiendo a ver esto como un problema de periodicidad, donde infinitas funciones sinusoiales de distinto periodo, una función seno por cada primo, f(x)=seno(Pi*x/(primo que corresponda). Los primos aparecen donde ninguna de la señales de menor periodo tenga un cero. Un número será primo si ninguna de las señales tiene un cero en ese punto. Y un número tendrá como factores los primos que generan los ceros en ese punto. Me queda pendiente investigar donde lleva esto pasando a dominios transformados (transformadas de Fourier, de Laplace, de Laurent o Z, en fin, un mundo), que es una manera de cambiar el punto de vista y simplificar un poco el calculo de tanta suma sinusoidal (pasan a ser funciones exponenciales de la forma e^(primo que corresponda*Pi*raiz de menos uno).

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  66. El problema con resolver estas cosas con un programa es que esto sólo sirve para estar razonablemente seguros de que la constante existe y cuál es su valor, pero hasta que no haya un desarrollo matemático riguroso, la cosa no pasará de ser una conjetura.

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  67. nv, cada término de la sucesión es de la forma 1/((k-1)*(k+1) y, al ser la suma de inversos de valores enteros y crecientes de un polinomio de 2º grado podemos decir, con todo rigor, que es convergente. Luego la constante “EXISTE”.
    Una vez aceptada esta existencia los programas sirven para hallar valores lo bastante aproximados para tener estimaciones válidas.
    Las numerosas series que convergen a los valores de e, PI y otras muchas constantes se utilizan siempre para calcular valores aproximados de las mismas.
    No veo que, en el caso de B1 haya ninguna conjetura en la afirmación de su existencia ni en la estimación de su valor.

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  68. Victor: cuanto tiempo tardo tu algoritmo en calcular los numeros primos de 200 digitos?

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  69. Holas QuarkBite…

    Cada primo fue determinado entre 00:40 a 00:51 segundos; pero todo el proceso fue como media hora, a pesar de que seleccione solo los que pueden ser primos gemelos, justamente en los numeros de 200 digitos hubieron pocos.
    • El brusco descenso de primos gemelos, me hace suponer que no hay una constante real, la exposicion teorica es valida; pero buscar de un rango a otro y observar cantidades inconstantes es otra cosa.
    • Por ahora estoy probando la factorizacion desde miles a un millon de digitos, ya que los calculos del metodo, no se realizan correctamente, debido a mis pocas herramientas matematicas; pero ya tengo el 25% desarrollado con 100% de eficacia, determinando numeros de 500 digitos en menos de 10 segundos.
    • He intentado analizarlos todos; pero lo mejor fue avanzar los procedimientos para cada Grupo Origen y asi al terminarlos, recopilarlos en un algoritmo completo, que determinara primos de cualquier tamaño. A partir de 10.000 digitos, el proceso se demora de 3 a 4 minutos, debido a las funciones que implemente como librerias, en fin, cuando este todo a punto, buscare primos gemelos y pondre el enlace para que puedan descargarlo.

    Saludos…

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  70. Quiero que le hechen un vistazo a este resultado y me digan que opinan, y también quisiera saber si conocen resultados similares:

    – Eliminamos de los naturales todos los pares.

    – Los impares restantes a partir del 3 los agrupamos en triplas, quedando asi:
    3, 5, 7
    9, 11, 13
    15, 17, 19

    – Los 2 últimos números de cada tripla serán gemelos siempre y cuando no sean divisibles por un primo mayor que 3.

    – Cualquier primo p dividirá un número en 3 de cada p triplas seguidas (fácilmente demostrable), en 2 de las cuales descarta el par final como gemelo, y en la otra no porque divide al número inicial (multiplo de 3). Por si no queda claro, el 5 divide uno de los números de 3 de cada 5 triplas, una vez el primero, una vez el segundo y una vez el tercero (no necesariamente en ese orden), descartando como gemelos 2 de los 5 posibles.

    – Si calculamos, la probabilidad de que el par final de una tripla no sea descartado por el 5 es 3/5, la de que no lo sea por el 7 es 5/7, y en general la de que no lo sea por p es (p-2)/p.

    – La probabilidad de que una tripla cualquiera no sea descartada por ninguno de los primos menores o iguales que p es la multiplicatoria de (q-2)/q para todo q primo menor o igual que p y mayor que 3.

    – Para hallar una cota inferior a esa probabilidad que podamos llevar al infinito, hacemos la multiplicatoria de todos los impares menores o iguales que p y mayores que 3 de (q-2)/q, lo que nos da 3/p.

    – Como es bien sabido, si n no es divisible por primos menores o iguales a su raíz cuadrada, entonces n es primo. De lo anterior, entre p^2 y q^2, donde p y q son primos y q es el primo que le sigue a p, basta comprobar la no divisibilidad entre primos menores que p para saber si un n de ese intervalo es primo.

    – Teniendo en cuenta lo anterior, la cota inferior de la probabilidad de que una tripla contenida entre p^2 y q^2 no sea descartada por ningun primo (y por lo tanto contenga un par de primos gemelos) es de 3/p. La probabilidad de que sí sea descartada tendra entonces una cota superior de (p-3)/p.

    – La distancia entre p y q es, cuando menos, 2, y (p+2)^2=p^2+4p+4, por tanto, la distancia entre p^2 y q^2 es, cuando menos, 4p+4. En tal intervalo, habrá aproximadamente unas (4p+4)/6 triplas.

    – Dado lo anterior, la probabilidad de que ninguna tripla entre p^2 y q^2 contenga un par de primos gemelos, tiene una cota superior de ((p-3)/p)^((4p+4)/6), lo cual converge a 1/e^2.

    – Según lo anterior, la probabilidad de NO encontrar un par de primos gemelos entre p^2 y (p+2)^2 es cuando mucho 1/e^2, esto suponiendo que todos los impares descartan triplas, cuando en realidad solo los primos lo hacen, pero de hecho, como los primos son cada vez menos entre los impares, la diferencia entre la probabilidad real y la cota superior es cada vez mayor, por lo que diciha probabilidad es cada vez menor y menor. La probabilidad de no encontrar pares de gemelos entre p^2 y q^2 es obviamente mayor mientras mayor sea la distancia entre p y q.

    – En conclusion, los primos gemelos deben de ser infinitos, pues la probabilidad de no encontrar al menos un par de primos gemelos en el intervalo entre p^2 y (p+2)^2, es menor mientras mayor sea p.

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  71. mm, un pequeño errorcillo (que no me faltan), corrijo:

    La probabilidad de no encontrar pares de gemelos entre p^2 y q^2 es obviamente MENOR mientras mayor sea la distancia entre p y q.

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  72. Agradecería opiniones sobre una demostración de la Conjetura de los Primos Gemelos con un planteamiento original y que se puede consultar en: http://viXra.org/abs/1406.0025
    Igualmente, para los lectores interesados, hay una demostración de la Conjetura de Goldbach, que usa el mismo planteamiento, y que se puede consultar en: http://viXra.org/abs/1406.0026

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  73. Ya esta publicada la constante JJGJJG en la Wikipedia inglesa:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constants_and_functions

    Por cierto, he probado el valor de 0.9288358271 en The Inverse Symbolic Calculator (ISC):
    http://isc.carma.newcastle.edu.au/standardCalc
    y según sus cálculos, se corresponde con la fórmula:
    5/8*2^(19/27)*gamma^(1/6)

    A continuación he introducido dicha fórmula en Wolfram Alpha:
    http://www.wolframalpha.com
    y da el valor numérico:
    0.928835826390171558820498643288814022810767328743529463344935…
    Como puede observarse, solo coinciden los 10 primeros decimales, que hablando de inversos de grandes números primos, no parece mucho.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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