La cuadratura del triángulo

La semana pasada hablábamos de cómo cuadrar un rectángulo, es decir, de cómo construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un cierto rectángulo dado. En el artículo de hoy vamos a ver cómo cuadrar un triángulo, esto es, cómo construir un cuadrado de la misma área que un cierto triángulo inicial.

En primer lugar os explicaré la construcción y después os dejaré un applet de GeoGebra en el que podréis verla.

Bien, partimos de un triángulo $ABC$ . Tomamos uno de los vértices, $C$ en nuestro caso, y dibujamos la altura correspondiente a dicho vértice (recta $e$ , con trazo grueso continuo, en nuestra construcción). Calculamos ahora los puntos medios del segmento $AC$ , que llamamos $P$ , y el punto medio del segmento $BC$ , que llamamos $Q$ .

Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el segmento $PQ$ (recta $f$ , con trazo grueso continuo, en nuestra construcción). Ahora construimos las rectas perpendiculares a esta recta $f$ que pasan por $A$ y $B$ (rectas $g$ y $h$ , con trazo grueso discontinuo, en nuestra construcción). Llamamos $I$ y $J$ a los puntos de corte de estas rectas con la recta $f$ . Entonces, el polígono $AIJB$ es un rectángulo de la misma área que el triángulo $ABC$ inicial.

El último paso de la cuadratura del triángulo es cuadrar el rectángulo. Pero, como hemos comentado antes, eso ya lo vimos en este post. Por tanto ya hemos conseguido cuadrar el triángulo.

Y aquí tenéis un applet de GeoGebra donde podéis ver la construcción que se acaba de describir. Moviendo los vértices del triángulo se puede ver que las áreas de los dos polígonos son siempre iguales. Además incluye una demostración del resultado. Seleccionando el cuadro Triángulos puede verse que los triángulos $T_1$ y $T_2$ (en amarillo) tiene la misma área y que los triángulos $T_3$ y $T_4$ (en verde) también:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

Este es el segundo paso que vamos a dar (después de cuadrar un rectángulo) hacia nuestro objetivo. En próximas fechas veremos por qué hemos hablado de estos temas en estos dos artículos.

11 comentarios

Rafael Rios | 6 de October de 2010 | 08:53

Hola,
Si no me equivoco creo que has metido un gazapo en el texto.
En: “…Ahora construimos las rectas paralelas a esta recta f que pasan por A y B…”, donde pone paralelas debería decir perpendiculares.
gaussianos | 6 de October de 2010 | 09:29

Ups…cierto. Ahora mismo lo cambio. Gracias
Trackback | 6 Oct, 2010

Bitacoras.com
Ñbrevu | 6 de October de 2010 | 12:34

Espero que el paso que falta no sea convertir un círculo en un triángulo .
gaussianos | 6 de October de 2010 | 21:42

Ñbrevu, no exactamente, pero no te has quedado demasiado lejos. Pensé en hacerlo todo de una vez, pero iba a quedar demasiado largo y preferí separarlo en tres partes. En pocos días lo veréis.
Manzano | 7 de October de 2010 | 11:36

El siguiente paso es saber cuadrar cualquier polígono. Hay un método muy bonito para, dado un polígono de al menos cuatro lados, construir otro con igual área y un lado menos. Este proceso puede iterarse para encontrar un triángulo de igual área que el polígono original y, finalmente, puede aplicarse el método que se da en este artículo para encontrar el cuadrado buscado.
Profesor Frink | 7 de October de 2010 | 17:58

Los que estudiamos dibujo tecnico nos sabemos estos metodos(aunque de una manera mas resumida) de memoria.Si bien es cierto que tambien cuadramos circulos…

En general se resume a medias proporcionales.En concreto la del triangulo(sea cual sea) es la media proporcional de un lado y media altura(la altura correspondiente a ese lado, se sobreentiende)
gaussianos | 7 de October de 2010 | 21:36

Manzano, en realidad ese no va a ser el último paso de esta serie de artículos, pero no estaría mal hablar de lo que comentas. En la sección Contacto puedes ver cómo contactar conmigo si me quieres enviar información sobre ello.

Profesor Frink, ¿cuadráis círculos? Pero no será sólo con regla y compás, ¿no?
Profesor Frink | 8 de October de 2010 | 18:10

No hombre, para cuadrar circulos usamos series de taylor y… no, es broma. He dicho la primera chorrada matematica que se me ha venido a la cabeza.
Imagino que seran aproximaciones.Y si tenemos en cuenta el teorema del punto gordo(Que me gustaria ampliar al teorema de la recta gruesa) cometemos un error relativamente gordo.
Los metodos(y digo los porque depende de si queremos cuadrar medio circulo, o un cuarto de circulo o circulo entero) Son, como he dicho medias proporcionales.En general, son, media proporcional de la rectificacion(transformar la longitud de la circunferencia en un segmento) y radio(o medio radio, depende).
Ah, las medias proporcionales son,matematicamente hablando, raices cuadradas.
Y para colmo, tambien dibujamos heptagonos con regla y compas.Y luego a casi todos nos sale un lado bastante mas largo que otro.Vamos, que ves y dices “aquí me falta un lado”.

Por cierto, ultimamente veo que poneis una aplicacion java, pero a mi no se me abre bien.
Veo un origen de coordenadas y a la izquierda de éste 2 carpetas que ponen objetos libres y objetos dependientes respectivamente.Como hago para que funcione bien?
gaussianos | 8 de October de 2010 | 21:16

¿? ¿Así te sale el applet de GeoGebra? No debería…¿Qué navegador usas?
yoysbel daboin | 31 de January de 2011 | 03:51

que bien, me encanta la matematica