La cuerda y el gusano

Imaginemos la siguiente situación: tenemos una cuerda de 1 metro de longitud y un gusanito de 1 centímetro en uno de los extremos. El gusanito avanza 1 centímetro por segundo, y cada vez que avanza 1 centímetro la cuerda aumenta su tamaño 1 metro, arrastrando al gusanito 1 centímetro hacia adelante cada vez que aumenta. Algo como lo que muestra esta imagen:

¿Alcanzará alguna vez el gusanito el final de la cuerda? ¿Sí? ¿No? Sea cual sea la respuesta, ¿por qué?

Solución:

En los comentarios se ha dicho de todo: que sí lo alcanzará, que no lo alcanzará… La realidad es que, aunque atente contra la intuición, sí alcanza el final de la cuerda. ¿Por qué?. Muy sencillo:

Vamos a considerar cada instante de tiempo como el momento en el que el gusanito se mueve. Así, en el instante t = 1 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 100 que tiene la cuerda, es decir, 2/100 del total del camino.
El instante t = 2 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 200 de los que se compone la cuerda en ese momento, es decir, 2/200 del total del camino a recorrer.
En t = 3 son 2 cm de los 300 totales, es decir, 2/300. Así sucesivamente.
Si sumamos todas esas cantidades obtenemos lo siguiente (sea D la distancia fracción de cuerda recorrida):

Sacando factor común:

Y colocando la parte entre paréntesis en forma de suma:

Es decir, la distancia fracción de cuerda recorrida por el gusanito es un múltiplo de la serie armónica de exponente p = 1. Y lo que sabemos es que esta serie diverge, es decir, su límite es infinito. Por tanto el gusanito recorre una distancia infinita, matemáticamente la misma que la cuerda. El hecho de que la serie tenga una divergencia muy lenta y que sea complicado asumir el hecho de que el tiempo es infinito en este caso pueden hacer que la intuición nos traicione. Pero sí, matemáticamente el gusanito alzanca el final de la cuerda.

Espero que os guste y convenza la explicación.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

108 Comentarios

  1. No creo que pueda alcanzar nunca el final de la cuerda. Mi razonamiento es:

    La posición del final de la cuerda (en cm.) en función del tiempo (t = 1, 2,…) sería:

    Pc(t) = 100*t

    La posición del gusano en función del tiempo (t = 1, 2,…) sería:

    Pg(t) = 2*t – 1

    Es 2*t porque un avance se debe así mismo y otro debido al avance de la cuerda.

    Cuando t tiende a infinito, el cociente Pc(t)/Pg(t) tiende a 50, con lo cual la posición del final de la cuerda siempre será al menos 50 veces mayor que la posición del gusano.

    ¿cómo lo veis?

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  2. yo creo que tampoco, matemáticamente lo ha explicado asier de manera simple, a mi el sentido común me dice que cada segundo está 98 centímetros más lejos que el segundo anterior… por tanto no llegará nunca… pero seguro que sí llega porque este tipo de problemas suelen tener su truco xD

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  3. me suena a la paradoja de zenon donde una carrera entre una tortuga y aquiles, dice que aquiles le da una ventaja a la tortuga y despues empezará el.

    Dice que por cada vez que aquiles avanza, la tortuga ya avanzo una distancia por pequeña que sea, en conclusion, aquiles nunca va a alcanzar a la tortuga.

    En conclusión aquiles si supera a la tortuga, la respuesta esta en un límite.

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  4. Un comentario: no estamos ante una sucesión, sino ante una serie. A ver si eso ayuda.

    Venga, continuad que llevamos unos cuantos comentarios interesantes :) .

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  5. Pregunta…

    Cuando la cuerda “empuja” 1cm al gusano, ese movimiento también la hace crecer 1m? y ese m hace avanzar otro cm al gusano? Me estoy liando demasiado?

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  6. No soy capaz de ver la serie, me quedo en las sucesiones de Asier.

    Si se trataran de un gusano y una cuerda “reales”, el gusano nunca llegaría al final. Así que la respuesta real (del mundo físico) es NO.

    Sin embargo teóricamente la longitud de la cuerda y la posición del gusano tienen un crecimiento lineal, por lo que comparte “el mismo tipo de infinito” por decirlo de alguna manera.

    Como dice Warein, cada segundo que pasa hace que el gusano esté 98 centímetros más lejos del final… pero en el mundo abstracto el gusano recorrerá infinitos centímetros que es, exactamente, la distancia que mide la cuerda (98 por infinito es infinito). :P

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  7. jeje, las únicas series que se me ocurren son las que se forman con las sucesiones anteriores:

    2+2+2+2….
    100+100+100…

    Ambas con suma infinita y, por lo tanto, igual.

    Aunque si restamos una a la otra obtendríamos la distancia que sería la serie: 98+98+98+98…
    En cuyo caso tendríamos que no sólo están a la misma distancia sino que, a la vez, están a distancia infinita. ¿?

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  8. De eso nada ^DiAmOnD^, la clave de esta bobada radica en que el gusano perecerá de inanición al no poder alimentarse mientras se dedica a hacer numeritos circenses ante matemáticos locos.

    ¡Un poco de respeto a los animales, diablos!

    PD: para un post que he medioentendido tenía que meter baza.

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  9. coño!, pues yo me quedo con el último razonamiento de mimetist. Simple y efectivo. Aunque Asier no se quedaba atrás.

    Respecto al problema: ¿Pq no se puede planter este problema, mediante una sucesión de las posiciones respecto a un origen, tal y como hizo Asier?

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  10. Básicamente porque las sucesiones se componen de términos concretos en un instante definido.

    De una sucesión se puede determinar si converge o diverge cuando tiende a infinito. Pero en caso de divergencia, ¿a qué diverge?

    En este caso divergen de la misma forma (linealmente a infinito), pero con otras sucesiones menos “evidentes” habría que estudiar seriamente cuál es su tipo de divergencia.

    Ahora que “sabemos” la respuesta es fácil ver que estudiando las sucesiones por separado se llega a la misma conclusión pero ¿qué pasaría con otras sucesiones?

    Por ejemplo, imaginemos que el gusanito va dando saltos alternativamente al punto inicial desde la posición en la que esté, por ejemplo: 0,1,0,3,0,5,0,… etc. ¿dónde está el gusanito cuando el tiempo tiende a infinito? :)

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  11. Yo prefiero pensar en lo que dice Warein, es decir, que cada segundo está 98cm más lejos, o resolver la ecuación que propone Asier:

    100t = 2t – 1
    98t = -1
    t = -1/98

    Como el tiempo t tiene que ser positivo, el gusano no alcanza el final de la cuerda (incluso teóricamente hablando).

    Creo que el problema hay que plantearlo así, en lugar de pensar en cuánta distancia habrá recorrido el gusano a tiempo infinito y qué longitud tendrá la cuerda a tiempo infinito.

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  12. claro… es que así… valdría que un playmobil avanza 2 centímetros cada vez que un lego avanza 1… entonces, a tiempo infinito, ambos están en el mismo infinito… eso de los cardinales y la numerabilidad y todas esas movidas topológicas extrañas… por tanto el lego pilla al playmobil, no?

    pues no! porque antes de salir el playmobil le pisa la cabeza al lego porque mide el doble muhahaha

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  13. Efectivamente, a los matemáticos les mola decir cosas como esta para demostrarte lo grande que es el infinito y lo desconocido que es para todos, ya que en un espacio finito el gusano no llegaría al final de la cuerda en su vida, pero en un espacio infinito el muy mamón llegaría.

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  14. estoy en desacuerdo decir que por que nunca llegaremos al infinito entonces S2t = S100t, es claro que( S100t -S 2t = S98t) esta bien que las series sean lineales pero siempre ,asi sea infinito el tiempo S2t

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  15. no se que pasa pero no sale todo lo que escribo noononononon

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  16. jejeje.
    Para saber que el gusano no alcanza el final de la cuerda no hacen falta ecuaciones… simplemente la cuerda crece más deprisa de lo que el gusano corre. Fin.

    Estais intentando calcular dónde se encuentran no “si se encuentran”. Fijaos en los números naturales y los números pares como si fuesen el gusano y la cuerda:
    Los naturales avanzan de uno en uno y los naturales avanzan de dos en dos… ¿en algún momento llegan a sumar lo mismo?

    Si empecais a hacer cálculos vereis que la suma de los pares es siempre el doble… pero lo cierto es que cuando tenemos en cuenta infinitas sumas el resultado es idéntico: infinito. :D

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  17. ME PARECE QUE SE ABUSA DEL INFINITO , ME RESULTA CLARO QUE NO SE PUEDE SUMAR TODOS LOS NATURALES POR QUE NUNCA TENDRAS TODOS LOS NUMEROS Y SUPONER QUE SI, ES UN ERROR,DE ESTE ERROR RESULTA EL OTRO ERROR,QUE LA SUMA DE LOS PARES ES = A LA SUMA DE LOS NATURALES,YA QUE REPITO QUE NUNCA TENDRAS TODOS LOS NATURALES Y TAMPOCO TODOS LOS PARES.

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  18. Vaya, ¿Tan simple era la solución? Descubrí este problema durante el curso pasado y estuve bastante tiempo buscando una solución, porque me constaba que la tenía, pero nunca pensé que fuera tan sencillo como que infinito=infinito. Vamos, que no pensé que esa fuera una solución válida.

    En fin, es bueno conocer la verdad finalmente :P .

    Por cierto, creo que descubrí el problema en la lista de correo de snarkianos, toda ella de problemas lógicos y matemáticos. Supongo que a más de uno de los que visitan este blog (y a Diamond y neok, por supuesto) os gustará, y que alguno incluso los conoce.

    Saludos

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  19. en un mundo no euclideo podría ser la cuerda la que alcanza al gusano, dando la vuelta al mundo esférico (toma ya!).

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  20. cuando podáis echadle un ojo al libro “Historia de la Matemática ” de Carl B. Boyer .En mi edición está en la página 703,y si buscáis en cualquier otra,está en el Cap.-25 “la aritmetización del análisis”,aparece la demostración que hizo George Cantor de la biyección entre un segmento por pequeño que sea y la recta real (infinita),es una demostración geométrica..y a mi modo de ver preciosa… suelo contársela a niños de 12 años..para que empiecen a entender lo “delicado ” del concepto del infinito..sobretodo es interesante “ver ” que hay “velocidades ” de acudir al infinito o potencias..así ,es más veloz la parábola que una recta llegando al infinito ,o es más veloz la exponencial que el logaritmo neperiano,por eso podemos usar estas potencias del infinito para resolver un cociente ,que normalmente haríamos mediante L Hopital…

    lo que está claro que la intuición ,a veces nos engaña…y el gusano? creo que se cansará de caminar infinitamente…hará una crisálida y se convertirá en mariposa…Un saludo…

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  21. Ricardo muy interesante el comentario. Ya hablaremos por aquí de geometría no euclídea.

    nieves muy completo el libro de Boyer. Yo lo consulté bastante veces durante la carrera para algunos trabajos. Y muy bonito final el que propones para el gusanito :D

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  22. El problema de la cuerda y el gusano

    [c&p] "Imaginemos la siguiente situación: tenemos una cuerda de 1 metro de longitud y un gusanito de 1 centímetro en uno de los extremos. El gusanito avanza 1 centímetro por segundo, y cada vez que avanza 1 centímetro la cuerda aumenta su …

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  23. Madre de diós xd que peces os veo de matemáticas xD

    El gusano no llega nunca a alcanzar el extremo de la cuerda, pero la relación entre la longitud del segmento recorrido y la longitud de la cuerda, cuando el tiempo pasa tiende a una fracción.

    Yo recuerdo haber hecho este problema un poco distinto, creciendo el tamaño de la cuerda de forma contínua y arrastrando por lo tanto el gusano a una velocidad que iba variando a medida que crecía la cuerda, mientras el gusano siempre avanzaba a una velocidad fija. Creo recordar que entonces la velocidad relativa del gusano tendía a cero pero sí llegaba a alcanzar el extremo.

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  24. no soy ningun experto en matematicas,lo cierto es que estudio una carrera poco relacionada con las matematicas, pero
    supongamos que, que los centimetros del gusano lo llamamos X, y los de la cuerda Y, como por cada 1 centimetros que avanza X se aunmenta Y 99 que luego seria 98 por el centimetro que gana el gusano seria lo siguiente.
    Y=98X
    entonces el problema seria cuando. X=Y se sustituye,
    X=98X, y como eso no puedo ser..
    pues entonces el gusano nunca llegara alcanzar el final de lacuerda.

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  25. Al gusanito le tomaria infinito tiempo llegar, pero sabemos que los gusanos no son inmortales, por lo tanto morira antes de llegar.
    Ja!!

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  26. Otro posibilidad: El gusano no es capaz de mantener el equilibrio y se cae de la cuerda.

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  27. esto es lo que pasa cuando una matematico le da por jugar a ser dios…

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  28. Se equivocan todos, consideren que el espacio-tiempo es curvo. La fin de la cuerda terminara estando en un momento detras del gusano. Y lo cual lleva (si se dan las casualidades) a que el gusano llega al fin de la cuerda sin recorrer toda esta. ;-D

    Stop smoking that dude!

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  29. Claro, todo muy lindo. preocupándose por la matemática, por el infinito (una forma muy fácil y cómoda de zafar), por el gusanito (aun con el final feliz de nieves) pero … que pasa con la cuerda??

    de donde sacamos una cuerda que llegue hasta el infinito?
    de donde sacamos la materia prima para hacer dicha cuerda?? hay acaso en el infinito universo tanta materia como para hacer una cuerda que llegue al infinito? es el universo infinito? si no lo es estamos en un problema mayor!

    y sobretodo una cuerda que observando cuando al gusano se le dan las ganas de caminar un cm se la rebusque y crezca un metro y como premio consuelo para el gusano lo haga recorrer (aun sin su concentimiento) 1 cm!

    y después de todo, con la cuerda todo bien, pero más divertidas son las locas!

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  30. la verdad lo que mas me hace reir es cuando hablamos de matematicas.
    DiAmOn:gracias por el articulo de la demostracion matematica de la existencia de dios la verdad que estuvo bueno hasta generalice ese ejemplo de la multiplicacion del 9,a mi me parece que esta apareciendo una nueva rama de la matematica,no se como decirla tal vez ‘matematica teologica’ jajajjaja,tal vez ya lo aya ,eso si me parece que nunca existira una demostracion feaciente o tal vez si,pero de que existen relaciones en el universo eso no lo dudo pero me pregunto si hasta en el caos no los existiran.

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  31. Umh… no estoy de acuerdo en que en un espacio infinito el gusano llegaría… el gusano habría recorrido infinitos centrímetros y la cuerda mediría infinitos centímetros igualmente… ¿igualmente? Corregidme si me equivoco, pero infinito menos infinito es una indeterminación. Por lo tanto, en realidad no sabemos si el puto gusano llega o no… aunque podemos acercarnos a la respuesta con un sistema como el propuesto por Asier al comienzo

    Aunque en nuestro mundo desde luego no llegaría… salvo que la cuerda pasara a formar una circunferencia y el final le alcanzara en algún momento del espacio-tiempo, queridos McFly…

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  32. Pues… no.

    Los dos divergen, divergen siendo un mismo tipo de infinito y bla bla bla. Pero veámoslo así. ¿cual es la separación entre el extremo de la cuerda y el gusano?

    Pues es el tamaño de la cuerda menos la distancia recorrida por el gusano S= Tc-Dg

    (obvio las constantes pues no importan):

    Tc= 100*t

    Dg= 2*t

    Luego Separación= 100t-2t = 98t

    lim {t->inf} 98t = inf

    La separación también es infinita. WTF!

    Y es que es un defecto de los matemáticos el tomar el infinito como un punto. Y no lo es, el infinito es una representación de lo qeu está muy muy lejos, pero no un punto concreto.

    En el infinito no se cortan dos rectas paralelas, simplemente si estás muy muy lejos, la distancia entre ellas es despreciable.

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  33. A ver, yo creo que no es tan complicado. Por cada segundo el gusano avanza 2 cm y el final de la cuerda avanza 100 cm. ¿Llegara el gusano al final de la cuerda? Evidentemente NO.Si damos por valido el argumento del infinito entonces podriamos afirmar cosas como por ejemplo 1+x=2+x para x=infinito… Apaga i vamonos

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  34. jorq aunque sea complicado de entender si x tiende a infinito se tiene que:

    1 + x = 2 + x

    Bueno, en realidad sus límites. Es como si dices que aunque x sea cero no te crees que:

    x/100 = x/1

    Son exactamente iguales.

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  35. La diferencia está en que el cero es un número, y el infinito es un símbolo.

    Mientras que en una función f(x) podemos sustituir la x por el cero y evaluar f(0), no tiene sentido calcular f(infinito) porque el infinito no es un número, es un símbolo.

    Por ello, en los ejemplos dados:

    1.- f1(x) = 1 + x, f2(x) = 2 + x
    Estas funciones son distintas y se pueden reescribir así: f2(x) = f1(x) + 1.
    Evidentemente para cualquier x: f2(x) > f1(x)

    Es decir f2(x) ES SIEMPRE MAYOR. Otra cosa es que cuando x TIENDE a infinito las dos funciones sean equivalentes y las dos tiendan a infinito de la misma manera. Pero iguales nunca son.

    2.- f1(x) = x/100, f2(x) = x/1
    En este caso no hay lugar a dudas:
    f1(0) = f2(0) = 0.

    En este segundo caso SI puedo sustituir la x por el cero, dado que es un número. Y las funciones evaludas en ese punto son exactamente iguales.

    El infinito no puede ser tratado exactamente igual que el cero.

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  36. Evidentemente el infinito no puede ser tratado como un número porque no lo es. Pero yo no he tratado el infinito como un número (si lo ha paraceido no era mi intención). Si os fijáis en todo momento estamos hablando de límites. Igual que en el caso anteior las dos funciones son equivalentes y tienden a infinito de la misma forma en el caso de la distancia que recorre el gusano y la que recorre la cuerda pasa lo mismo: en el infinito las dos son equivalentes y, por decirlo así, son infinito de la misma forma y, por tanto, matemáticamente iguales.

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  37. Buenas a todos.

    No logre entender la demostracion propuesta. No logro visualizar la formacion de la serie. En particular lo que entiendo es que cada termino expresa la razon entre lo que avanza el gusano sobre la distancia total de la cuerda en ese momento. Pero que representa un termino N de la serie?, por ejemplo el termino 2, D2= 6/200 pero la relacion entre el total entre lo recorrido por el gusano y la longitud de la cuerda es 4/200. Me gustaria si me lo explicaran.

    Para mi el gusano no alcanza nunca al final de la cuerda. Como el gusano avanza por centimetros, en algun momento deberia encontrarse a tan solo 2cm (o 3 o 4 …) del final de la cuerda, pero al avanzar el siguiente cm la cuerda se estira indiferentemente de la posicion temporal del problema. Visto de una forma analitica, seria como buscar la interseccion entre las ecuaciones y=2x e y=100x+100 para un valor positivo de x (ademas de entero!), algo que no existe.

    Pero conociendome, puede que haya mal interpretado el enunciado o algo por el estilo, si alguien me lo aclara estare mas que agradecido.

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  38. Hola de nuevo, recien leyendo unos post anteriores me gustaria remarcar algo

    a = b sii 0 = a – b, al menos en el cuerpo de los reales todos estamos de acuerdo.

    si f1=x+1 e f2=x+2,
    lim (f2-f1)=
    lim (x+2)-(x+1)=
    lim (x+2-x-1)=
    lim 1= 1

    entonces lim (f2-f1)= 1 (indiferentemente a donde tienda x), luego f1 no es igual a f2.

    Lo que no logro interpretar es q que se refieren con q son equivalentes o matematicamente iguales?

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  39. Alejandro un par de cosas:

    1.- La demostración propuesta tiene en cuenta la distancia recorrida por el gusano en cada instante en función de la longitud de la cuerda en ese mismo instante.

    2.- Lo de equivalentes quiere decir que cuando x tiende a infinito cada una de ellas también tiende a infinito de la misma forma. Nadie ha hablado de la resta, se ha hablado de cada una de ellas de manera independiente.

    De hecho esas dos funciones representan rectas. Si x tiende a infinito las dos llegan a infinito de la misma forma, por decirlo de alguna forma con la misma rapidez. Por ejemplo, cuando x tiende a infinito las funciones x y 2^x tienden a infinito, pero no de la misma forma. Podríamos decir que 2^x llega antes que x.

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  40. Diamond:

    Yo eso lo entiendo, si f1 es la funcion del gusano y f2 de la cuerda, tomaste para cada termino f1′(x)/f2(x), bien, lo que no veo que es D, o sea la serie. Decis q es la distancia recorrida, pero de que y respecto a que? Q se obtiene sumar las razones de los instantes de una funcion con respecto a otra funcion distinta. Eso es lo q no me cierra.

    Mas alla de eso, presente dos soluciones alternativas, si tu solucion es la correcta de seguro ambas son incorrectas. Pero en que fallan mis razonamientos? La segunda es tb analitica como la tuya. La primera es mas logica pero elimina el concepto de tiempo aplicando casi en forma exclusiva las condiciones iniciales.

    En cuanto a la rapidez o lentitud de como algo llega o no al infinto poco importa en este problema. Segun mi parecer lo unico q importa es que se encuentre el gusano con el final de la cuerda en algun lugar. O se encuentran en algun t o se acercan tanto entre si q puede esperar q en algun momento lo hagan (y aca es donde vale aplicar el concepto de infinito) A mi parecer ninguna de estas cosas ocurre.

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  41. Aunque las dos se aproximan al infinito a la vez, con la misma rapidez (vamos, los ordenes de inifinitos) etc etc, no podemos olvidar que éste es un límite y como tal no tiene sentido en un ejemplo sobre el mundo real si no es como aproximación.

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  42. Ah!

    Y matemáticamente un donut y una taza pueden ser lo mismo, pero en el mundo real no lo son.

    😛

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  43. Yo, al igual que tú, Alejandro, tampoco entiendo bien cómo se ha obtenido esa D.

    Por eso pego aquí parte de un post que he escrito en la sección “Más actualizaciones de juegos” y que parece que ha quedado en el aire…

    “… no entiendo bien la manera de obtener la D (”distancia recorrida”): no creo que sea la distancia recorrida sino otra cosa distinta, me explico: suponiendo que la cuerda no se alarga segun la ecuación 100 * t sino según la ecuanción 100 * t^2, tendríamos que esa D obtenida es un número finito, por lo tanto, ¿qué representa esa D realmente?”

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  44. Vamos a ver. La pregunta exacta era ¿alcanzará alguna vez el gusanito el final de la cuerda?

    Llamando G(t) la distancia recorrida por el gusano y L(t) la longitud de la cuerda en un mismo instante t, para que el gusano llegase al final de la cuerda sería necesario que G(t)=L(t) para algún t, cosa que no ocurre. Es más, L(t)-G(t) tiende a infinito cuando lo hace t.
    Y la verdad, no sé que tiene que ver esto con la intuición ni con que L(t) y G(t) tiendan a infinito con la misma “rapidez”.

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  45. Qeu evidentemente en el mundo real esto no se produciría, ya que en el mundo real no podemos tener conciencia de tiempo infinito. Y, por cierto, una taza y un dónut son exactamente iguales (topológicamente hablando claro :P ).

    Asier con tiempo infinito la distancia recorrida por la cuerda es infinita, eso creo que es evidente. Y la distancia recorrida por el gusano también lo es. Como los dos infinitos son del mismo tipo tenemos que matemáticamente el gusano alcanza el fin de la cuerda.

    Ro matemáticamente tiene mucho que ver con que los dos infinitos son del mismo tipo. Es algo parecido a los números naturales y los números enteros: matemáticamente esos dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. O como los números reales y el intervalo [0 , 1]. Esos dos conjuntos, matemáticamente, también tienen el mismo número de elementos.

    Es el problema de los infinitos, no son nada intuitivos.

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  46. Hola, otra vez yo.

    Primero quiero decir q esperaba q se me contestara mi ultimo post.

    Lo que quiero aclarar es que hay una gran confucion con los infinitos. Es cierto, no es una teoria muy intuitiva, pero como el resto de la matematica es muy concreta y coherente. Hay q ser muy cuidadoso a la hora de hablar y no pensar q porque no sea intuitivo se pueda pasar cualquier pensamiento no concreto.

    Creo q con un ejemplo puede ser mas claro. Los numeros naturales y los enteros son ambos infinitos y del tipo Aleph 1. Ahora, esto significa q los naturales menos los enteros vale cero? Pues no, y la demostracion es trivial. Lo mismo pasa en este caso. Si restamos la distancia alcanzada por la cuerda menos la distancia del gusano, si ambas son infinitas nada nos garantiza que por mas que sean del mismo tipo, la resta sea cero. Pero para garantizar que ambas son iguales la resta debe ser cero, por mas infinito que haya eso siempre se debe cumplir.

    Hay q reconocer q tratar estos temas al aire y sin un formalismo estricto es dificil. Pero hago incapie en que no pueden convivir una contradiccion de este tipo en el mundo de las matematicas (si nisiquiera en el universo de los infinitos :D ) Uno de los pensamientos debe ser incorrecto, si es el de Asier, Ro, o el mio debe tener errores y no menores nuestro pensamiento. Cuales son?

    En particular para la demostracion propuesta no logro encontrar la coherencia de la formacion y el objetivo q cumple la serie propuesta. Creo q evalua algo ajeno al problema. Pero me puedo equivocar, no me molesta estar equivocado. Pero si estarlo y no saberlo.

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  47. Aleph 0, los naturales son Aleph 0 … :P ven todos podemos equivocarnos.

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  48. En el ejemplo de los números naturales y los enteros, como los dos conjuntos tienen cardinal aleph 0, tenemos que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. ¿Significa eso que los conjuntos son iguales?. Evidentemente no. Pero tienen el mismo número de elementos que es lo que nos interesa.

    Con nuestra cuerda y nuestro gusano pasa exactamente lo mismo. Si contamos todos los puntos (tomando cada punto como la posición en cada instante en el caso del gusano y como cada centímetro en el caso de la cuerda) por los que pasa el gusano y contamos también todos pos los que pasa la cuerda resultan dos conjuntos que tienen el mismo cardinal.

    Otra vez con N y Z: según un comentario de Ro para que estos dos conjuntos tuvieran el mismo número de elementos debería darse que quitando de Z todos los elementos de N no quedara ninguno. Evidentemente eso no se produce, pero en realidad sí tienen el mismo cardinal (para quien no lo sepa: cardinal=número de elementos). ¿Cuál es el fallo?

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  49. Es simple, contraejemplo: el intervalo [0,1] tiene la misma cantidad de elementos que el intervalo [5,6]. Pero cuantos elementos en comun tienen? ninguno. La cardinalidad de un conjunto no garantiza existencia de soluciones. Hay miles de ejemplos mas. En el caso del problema, el conjunto formado por los (x,f1) del gusano no tiene ningun elemento en comun con los (x,f2) de la cuerda. Sin importar que tan grandes sean ambos, aunque sea algo antiintuitivo que dos cosas enormes no se toquen en ningun momento.

    Si tuvieran un punto en comun tiene que ser demostrado, pero ya pedi varias veces por la explicacion de lo anterior y nada. Tambien pedi un contraejemplo de mi demo y nada tampoco.

    Para hablar de los conjuntos infinitos de forma correcta se requiere un nivel no trivial de conocimiento de teoria de conjuntos de Cantor. Aun sin embargo reitero, este problema nada tiene que ver con esa teoria. Se puede resolver con logica simple, algebra lineal o analisis elemental.

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  50. En mi comentario anterior lo importante no era que N y Z tengan elementos comunes, sino que uno en principio ve los dos conjuntos y Z tiene más elementos que N, pero al contarlos todos el cardinal de los dos conjuntos es el mismo. Esa era la analogía que quería hacer con nuestro problema.

    Más cosas:

    a = b sii 0 = a – b, al menos en el cuerpo de los reales todos estamos de acuerdo

    Totalmente de acuerdo siempre que hablemos de números. Con infinitos eso no es así.

    si f1=x+1 e f2=x+2,
    lim (f2-f1)=
    lim (x+2)-(x+1)=
    lim (x+2-x-1)=
    lim 1= 1

    entonces lim (f2-f1)= 1 (indiferentemente a donde tienda x), luego f1 no es igual a f2.

    ¿Eso significaría que si yo me pongo a andar indefinidamente por la recta y = x + 1 (comenzando en un punto cualquiera) y tú por la recta y = x + 2 (comenzando en el mismo punto) tú recorres más distancia que yo? ¿O que si estamos los dos, por ejemplo, en el eje X pero tú comienzas en x = 1 y yo en x = 0 no te alcanzó? Claro que te alcanzo, en el infinito, aunque tú fueras más rápido que yo (como es el caso de la cuerda y el gusano), siempre que fuéramos a una velocidad equivalente.

    Respecto a la famosa D lo que he puesto es simplemente la suma de la distancia que recorre el gusano en relación con el camino que tiene que recorrer en cada momento, es decir, el trozo de cuerda que avanza en cada momento. Esa suma es D. A partir de ella, realizando operaciones, llegamos a un múltiplo de la serie armónica de exponente 1, que se sabe que diverge. Por tanto la distancia recorrida por el gusanito es infinita, la misma que la de la cuerda.

    No sé, igual no me estoy explicando de la manera más adecuada posible, pero os aseguro que lo intento. De todas formas está siendo interesante esta conversación.

    Si he dejado algo sin contestar ponedme el enlace del comentario en cuestión y os cuento algo.

    Saludos :)

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  51. Evidentemente si contamos todos los puntos por los que pasa el gusano y contamos también todos por los que pasa la cuerda resultan dos conjuntos que tienen el mismo cardinal. Yo no “discuto” eso. Ni que N, Z, los pares, los impares, los múltiplos de 14, etc. tienen todos la misma cardinalidad aunque no los mismos elementos.

    Insisto en la pregunta inicial: “¿alcanzará el gusano el final de la cuerda?. No, de hecho cada vez están más lejos.
    Cuanto el tiempo tiende a infinito la distancia recorrida por el gusano y la longitud de la cuerda también tienden a infinito.
    Pero también lo hace (y date cuenta que con la misma “rapidez” que las otras dos cantidades) la distancia entre el gusano y el extremo de la de la cuerda.

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  52. Hi:

    Primero sigo sin entender a D :( , si lo q se buscaba es saber que la distancia que recorria el gusano es siempre creciente, porq complicarse con cosa tan extraña en vez de hacer simplemente el limite de la funcion del gusano? Y el saber q es infinita dice tanto realmente? Igual ya veo un poco mas clara la confucion en todo esto.

    Los conjuntos numericos estan compuesto de numeros, unicamente de ellos. Si a f1=x+1 y a f2=x+2 le aplicamos x, la diferencia entre f1 y f2 va a ser 1 sin importar que elemento x de N escojas (cercano o lejano al origen)

    Cuando a una funcion se le estudia su comportamiento en el infinito lo q trata de verse es como se comporta con numeros tan grandes como uno quiera. Reitero nunca dejan de ser “numeros” y por eso el lim f2-f1 = 1 para x tendiendo a infinito. Esto quiere decir que para ningun valor de x en N va a ocurrir (x,f1(x))=(x,f2(x)) porq N solo tiene numeros y no otra cosa.

    Y ese es el tema del gusano y la cuerda, si se encontraran en una misma posicion al mismo tiempo deberia haber algun t: (t,2t)=(t,100t+100) pero esto no ocurre para “ningun” t del conjunto de los Naturales (reitero, solo hay numeros en N, infinitos, pero todos toditos son numeros y ninguno de ellos resuelve el sistema planteado, si lo hubiera tendrias q demostrarlo)

    Pues es asi, tristemente por mas que corramos a la misma velocidad si vos vas un paso adelante, amigo mio nunca te voy a alcanzar. Pero mejor que se trate de mi y no de la mujer de tus sueños :P

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  53. Estoy contigo, Alejandro, y me remito al primer post de todos (que lo escribí yo) para lo que yo considero que es una DEMOSTRACIÓN de que el gusano no alcanzará el final de la cuerda. Si hay alguna falsedad en lo que ahí digo, que alguien me indique lo que es, por favor.

    En cuanto a tí, Diamond, dices:
    “En el ejemplo de los números naturales y los enteros, como los dos conjuntos tienen cardinal aleph 0, tenemos que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. ¿Significa eso que los conjuntos son iguales?. Evidentemente no. Pero tienen el mismo número de elementos que es lo que nos interesa.”

    Bien, si lo que interesa es el hecho de que tienen el mismo número de elementos, entonces los conjuntos x2 ó 2x también tienen aleph 0, debido a que por cada elemento en N es posible encontrar otro dentro de estos conjuntos y que a su vez pertenezca a N.

    Siendo esto así, si la cuerda aumentara de tamaño a estas otras ‘velocidades’, ¿también alcanzaría el gusano el final de la cuerda? Ahora seguro que contestais que no, debido a que tienden al infinito a mayores ‘velocidades’. Por lo tanto, en mi modesta opinión, LO DEL ALEPH-0 CREO QUE ESTÁ FUERA DE LUGAR.

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  54. Donde pone “x2 ó 2x” es en realidad “x^2″ ó “2^x”.

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  55. Asier en el caso de que fuera 2^x no estaríamos hablando de aleph 0, sino de aleph 1, y por tanto no sería igual.

    El famoso D es la distancia que recorre el gusano en función de la longitud de la cuerda, eso ya lo he dicho. Sumando la distancia que recorre en cada instante queda lo que he puesto en la solución. Realizando cuenta sobre esa distancia obtenemos que recorre distancia infinita, lo mismo que la cuerda. Que alguien me diga que si los dos llegan a infinito de la misma forma no recorren matemáticamente la misma distancia.

    Imaginad esta otra situación: supongamos que la cuerda no crece así, sino que crece de forma que la distancia recorrida por el gusanito respecto a la longitud de la cuerda en cada instante siguiera la siguiente expresión:

    D = 2/100 + 2/400 + 2/1600 + …

    Haciendo las mismas cuentas:

    D = 2/100·(1 + 1/4 + 1/16 + …)

    Nos quedaría un múltiplo de la serie armónica de exponente 2 que sabemos que converge. Por tanto el gusanito recorrería una distancia finita, y en este caso no alcanzaría el final de la cuerda.

    El problema era más un truco matemático (por llamarlo de alguna forma) para que se viera que cosas que en situaciones con fin no se pueden dar pero que matemáticamente en situaciones sin fin sí se darían.

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  56. En realidad el tema es que siempre se esta “hablando matematicamente” desde el primer post de Asier hasta este ultimo por mas complejo o simple de la demostracion nada deja de ser matematica, el mas simple 2+2 hasta la formula de Euler son matematica y nada se contradice entre ellas.

    “Que alguien me diga que si los dos llegan a infinito de la misma forma no recorren matemáticamente la misma distancia.”

    Hay un gran matute con el tema de los infinitos aca. Es cierto, para cualquier distancia q se proponga la cuerda y el gusano la van a cubrir. The big problem es que no lo van hacer al mismo tiempo. Se trata de un sistema de 2×2, para dar por satisfecho el problema se debe encontrar un elemento t del conjunto de los naturales tal q (t,2t)=(t,100t+100), y todo esto es “matematicamente hablando” porque nunca me fui de la matematica en ningun momento.

    “…si los dos llegan a infinito de la misma forma”

    Ya lo explique, llevar al infinito a una funcion es pensar “en evaluar la misma con numero tan grandes como uno quiera” Esto es no atarla a un numero fijo sino a algo muy grande, pero repito y aca esta la clave de todo: “Siempre son numeros” por eso para un t “tan grande como nosotros queramos” nunca (t,2t)=(100t+100).

    Estoy mas convensido con respecto a q la serie D no representa nada respecto al problema. Si no te propongo un reto: D es la serie y Dn las n primeras sumas parciales. Si D estaria relacionado al problema los valores de los distintos Dn se podrian calcular por otro camino distintos usando solo las premisas iniciales. Cual es? Para ser mas claro D2=6/200, de que otra forma mas directa se obtiene ese valor usando g=2t y c=100t+100 para t=2 (queda claro que no vale volver a usar la sumatoria :P )
    Esto te puede ayudar a aclarar que en realidad los valores de D no muestran un enfoque directo del problem.

    Asier tiene razon, si el dominio es N la imagen de la funcion 2^x es Aleph 0. Tambien hay otra salvedad, Aleph 1= P(aleph 0) mas claro: el conjunto de partes de aleph 0, q se demuestra q es mayor. Asi A1=P(A0); A2=P(A1); An+1=P(An). La hipotesis del continuo de cantor busca ver q el cardinal del conjunto real es igual a A1. Pero se demostro que esto no era demostrable, sino que debia ser aceptado en forma de axioma, ya sea para considerarlos iguales o distintos. Hay muchas paginas de internet q se equivocan y dicen simplemente q son iguales.

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  57. Se trata de un sistema de 2×2, para dar por satisfecho el problema se debe encontrar un elemento t del conjunto de los naturales tal q (t,2t)=(t,100t+100)

    Ahí creo que te equivocas. Estamos hablando de tiempo infinito, es decir, del límite de las dos distancias cuando el tiempo tiende a infinito, y no de un cierto t para el que se cumpla que los dos han recorrido la misma distancia. Ahí está la clave para mí.

    Sobre los aleph:

    N tiene cardinal aleph 0 y R tiene cardinal aleph 1. Eso creo que está claro. Y creo que también está claro que el cardinal de P(N) (partes de N) es el cardinal de R. Pero es que el cardinal de P(N) es 2 elevado al cardinal de N. Por tanto, al menos para mí, está bastante claro que si el dominio es N se tiene que 2^x tiene cardinal aleph 1. ¿No?

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  58. Dos cosas:

    1.- Diamond: creo que te equivocas cuando afirmas que en el caso que D = 2/100·(1 + 1/4 + 1/16 + …) “el gusanito recorrería una distancia finita”. Calculando así la D, efectivamente ocurre eso, pero evidentemente el gusano sigue su camino hasta el infinito, lo que ocurre es que lo hace más ‘despacio’ que el final de la cuerda, pero distancia finita no, desde luego. Es por eso (la manera de calcular D) por lo que Alejandro y yo no entendemos la serie, porque no creemos que representa la distancia recorrida sino alguna otra cosa distinta que no acertamos a comprender bien (ya sé que de esto hemos hablado…).

    El problema de este ‘juego’ es que no creo que es el propicio para demostrar que hay infinitos del mismo orden. Para mí como mejor se entiende es calculando límites de cocientes cuando x tiende a infinito. Así si f1(x) = x + 3 y f2(x) = x + 1, el límite de f1(x)/f2(x) cuando x tiende a infinito es 1, es decir, aunque f1(x) SIEMPRE será algo mayor que f2(x), las funciones son equivalentes cuando x tiende a infinito porque su cociente en el límite es 1. Si en alguna de las funciones (o en las dos) los coeficientes de x no son 1, entonces el límite será un número finito distinto de 1, pero finito, lo cual significa que tienen el infinito del mismo orden, van a la ‘misma velocidad’. Si alguno de ellos fuera x^2 entones el límite sería infinito (si x^2 está en el numerador) o cero (si x^2 está e el denominador). En estos casos, aunque tengamos infinito/infinito, la función que tiene x^2 digamos que ‘manda’ y es porque tiende a infinito a mayor ‘velocidad’ que x.

    2.- No soy experto en los aleph pero aquí teneis un link donde se explica:

    http://tiopetrus.blogia.com/2003/101401-aleph.php#comentarios

    Es de un blog que os recomiendo a todos (no era mi intención promocionar a la competencia, pero bueno… :) )

    Tal y como yo lo entiendo, el conjunto 2^x SI se corresponde con aleph-0 por la sencilla razón de que todo número en N se corresponde con otro en 2^x, que a su vez pertenece a N. Es lo que en el blog dice: “un conjunto infinito puede ponerse en relación uno-uno (biunívoca) con una parte de sí mismo”. Y como el conjunto N es aleph-0 pues 2^x también.

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  59. Asier te aseguro que (1 + 1/4 + 1/9 + …) (el término 1/9 me lo salté en el comentario anterior) suman Pi^2/6. Por tanto el gusano recorrería una distancia finita.

    Por otra parte, evidentemente una buena manera para hablar de los distintos tipos de infinitos sería hablar de límites, o meterse directamente con la teoría de Cantor como se hace en el post de Tío Petros que enlazas, pero no era ese el objetivo. Era simplemente plantear un juego en el que, bajo mi punto de vista, pasa algo que atenta contra la intuición.

    Por cierto, ni mucho menos tienes que pedir perdón por enlazar a Tío Petros. De hecho yo mismo recomiendo a cualquiera a quien le gusten las matemáticas que lea ese blog. De hecho en Gaussianos pondremos algunas cosas de las que ha salido en Tío Petros. Una pena que su autor dejara de actualizarlo :( .

    Y sí, vale, lo entendí mal. El conjunto formado por todos los 2^x con x número natural evidentemente tiene cardinal aleph 0. Lo que tiene cardinal aleph 1 es el conjunto de partes de N, P(N), ya que si cardinal es 2 elevado al cardinal de N.

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  60. Diamond:

    Te repito lo mismo de antes, en el infinito no hay otra cosa q numeros, y lo que se cumple para los numeros “finitos” por decirlo de alguna manera, se debe cumplir para los “infinitos” de no se asi se produciria una contradiccion como q la recta f=3 y la recta g=5 se encuentra en el infinito, pero de hacerlo significaria q 3=5 en algun momento, lo q es absurdo. Las funciones del problema no son mucho mas complicadas, y las reglas q se aplican son las misma.
    Si el gusano y la cuerda se encuentra lo tienen q hacer en algun “t”, hacerlo en t distintos no tendria sentido el problema, pasa q cuando unos se equivoca al hablar de infinitos puede referirse a dos “infinitos” y hablar de numeros distintos.

    Para lo del aleph, si es muy bueno el sitio de tio petros, ya lo conocia de antes. Si queres buscar una bibliografia mas fuerte te recomiendo q consultes el libro “topologia general” de kelly si no me equivoco, en el apendice desarrollan de forma mas q adecuada la teoria de conjuntos (En si fundamentan la matematica). Pero te repito, Aleph 1 es igual al cardinal de los reales solo si se da por valida la hipotesis del Continuo de Cantor. El lo que buscaba era la relacion entre el cardinal de los naturales y el cadinal de los reales, (A1=P(A0)) pero nunca lo logro demostrar, porq años mas tarde nos enteramos q tenia grado de axioma.

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  61. Te equivocas en lo de Cantor. Los naturales tienen cardinal aleph 0 y los reales aleph 1. La hipótesis del continuo dice que no existe ningún conjunto que tenga cardinal estrictamente mayor que aleph 0 y estrictamente menor que aleph 1.

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  62. OK, Diamond, pero vamos a ver:

    En ningun momento digo que ESA D no sea finita. En mi post digo: “Calculando así la D, efectivamente ocurre eso” (la distancia D sale un número finito).

    A lo que voy es a la contradicción que supone con el hecho evidente de que el gusano avanzará infinitamente. Siendo así, una de dos:

    – si D representa la distancia que recorre el gusano, en un tiempo infinito D tiene que ser infinito.

    ó

    – D no representa la distancia recorrida por el gusano.

    Y es a eso a lo que voy: que D es otra cosa distinta a la distancia que recorre el gusano.

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  63. A ver, esa D no es la distancia qeu recorre el gusano.

    Al principio, el gusano está en (0,0) y la cuerda en (100, 0) (x,t).

    Luego, el gusano está en (2,1) y la cuerda en (200,1). Después:

    (4,2) (300,2)
    (6,3) (400,3)
    (8,4) (500,4)

    etc etc.

    RECORDEMOS QUE LA CUERDA ARRASTRA AL GUSANO 1 cm HACIA DELANTE.

    La posición del gusano es xg=2t, la del extremo de la cuerda, es xc=100(t+1).

    Por tanto la distancia al final de la cuerda, es D= xc – xg = 100t + 100 -2t = 98t + 100.

    Y cuando t –> inf, esa distancia es infinita.

    Por otra parte, la relación de distancia recorrida del gusano respecto a la cuerda es R = 2t/(100t+100), cuyo límite tiende a 1/50 (en tiempo infinito, el gusano habrá recorrido un cincuentavo de la cuerda).

    Por otra parte, lo qeu está mal del enunciado es:

    El instante t = 2 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 200 de los que se compone la cuerda en ese momento, es decir, 2/200 del total del camino a recorrer.
    En t = 3 son 2 cm de los 300 totales, es decir, 2/300. Así sucesivamente.
    Si sumamos todas esas cantidades obtenemos lo siguiente (sea D la distancia recorrida):

    NO!!! EL GUSANO NO PERMANECE PARADO!!!

    Además, ¿que se está sumando? No puedes sumar posiciones (y menos relativas como aquí), sino desplazamientos.

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  64. En cuanto lo del aleph la definicion a la q tratas de acercarte es la de querer probar si existe un conjunto infinito B incluido A tal que B no pueda
    biyectarse con el conjunto de los numeros naturales y tampoco con A.(para los amigos estar en el medio). Pero es exactamente mi definicion, mejor dicho una caracterizacion de la misma. Es habitual presentar el mismo problema de distintas formas para por hallar el resultado por caminos mas faciles. En http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number#The_continuum_hypothesis tenes escrita lo q te conte el post anterior. Aun asi, no te lo muestro para que me creas, solo para contarte q existe. Mi recomendacion es q descreas de todo lo que no sabes demostrar por tu propia cuenta, te encierres y leas hasta entenderlo completamente, sino solo vas a repetir lo q escribieron otros.

    Igual paremos aca lo del aleph. Es un tema largo, y como muchos detalles q no son menores y responder cada “pero” puede ser casi imposible.

    Pensa q no te puede lograr convenser que las rectas f1=x+1 y f2=x+2 no tienen ningun punto en comun y es algo q entiendo, imagimate hablar de algo que indudablemente se poco y nada, que son los fundamentos de la toda “TODA” la matematica actual.

    Igual me doy por rendido. Me cuesta entender como no podes ver la contradiccion de ver en los calculos formales y estrictos que la distancia entre el gusano y la cuerda tiende a infinito, pero aun asi asumir con palabras y con una serie q no logras explicar q trata de hacer (y dicho sea de paso somos varios lo q no le vemos sentido alguno) q el gusano alcanza al fin de la cuerda.

    Te lo digo con la mejor de las intensiones, no podes responder en matematica a una demostracion estricta y clara como la presentada por varios, hablando al aire sobre el infinito y la velocidad de una funcion sin mostrar nada concreto o al menos tanto como las soluciones propuestas. Me parece q el esmero puesto por la gente en preocuparse en presentar su opinion merece ser respondido en forma mas adecuada.

    Es problema no es estar equivocado o tener la razon, sino tener la cabeza abierta a la hora de debatir y aprender un poco mas, aunque uno ya sepa de antemano si tiene o no razon.

    Por eso y por ultima vez, por favor si me podes explicar con mas detalle el porque de D y como cumple su objetivo, con una base mas estricta (algebraica).

    Pero mucho mas importante aun, con el mismo rigor q fueron presentados, mostrar la contradiccion y los errores de las soluciones presentas con anteriordad.

    Y no te preocupes en escoger la mia para contradecir, yo soy feliz si me demostras, no con palabras sino con argumentos, los que quieras, conjuntistas, logicos, algebraicos, analiticos, etc… q las funciones f1=x+1 y f2=x+2 se juntan en el infinito para f1, f2, x en N. Tenes miles de herramientas para poder tratar de probarlo, salvo en el limite, q me da la razon de entrada.

    Te recuerdo tu opinion. Y mucha suerte si aceptas el desafio, creeme q por lo poco q se de matematica la vas a necesitar.

    “¿Eso significaría que si yo me pongo a andar indefinidamente por la recta y = x + 1 (comenzando en un punto cualquiera) y tú por la recta y = x + 2 (comenzando en el mismo punto) tú recorres más distancia que yo? ¿O que si estamos los dos, por ejemplo, en el eje X pero tú comienzas en x = 1 y yo en x = 0 no te alcanzó? Claro que te alcanzo, en el infinito, aunque tú fueras más rápido que yo (como es el caso de la cuerda y el gusano), siempre que fuéramos a una velocidad equivalente.”

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  65. Hay dos soluciones:
    – Matemáticamente, SÍ llega, puesto que estamos hablando de tiempo infinito.
    – En la VIDA REAL, NO llega, porque moriría antes de alcanzar el infinito
    Saludos,

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  66. A la mierda que se drogan!!!!!!!!

    Escuché muchas idioteces en mis años en la matemática, esta está en el top 20, ustedes los estudiantes con acceso a internet van a matar de un infarto a muchos profesores de matematica.

    Primero aprueben los cursos de Algebra y analisis antes de escribir algo como esto.

    Dos rectas paralelas en un plano euclideo, el usado en analisis NUNCA SE CORTAN. No se que fumaron para sacar la serie armónica a coladera, pero lo que estan fumando dejenlo de lado. Los libros de matemática se leen no se fuman!.

    Pobre gauss, blasfeman su nombre.

    Al menos me hacen reir un rato, los voy a recomendar.

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  67. Jorge así me gusta, opiniones como la tuya son las que enriquecen y las que despejan dudas. Argumentos como los que muestras, con ese respeto hacia el resto, son los que hacen falta en cualquier debate. Enhorabuena.

    Había pensado en borrar tu comentario, pero lo voy a dejar. Te descalificas a ti mismo.

    Saludos :)

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  68. ^Dia^: yo te reconozco que soy grosero, bruto, inapropiado, un poco gordo y calvo también. Pero cuento con la humildad suficiente para reconocer cuando estoy equivocado.

    No te expuse más extensamente mi opinión porque mi opinión no es muy distinta a la de varios que comentaron y a ellos nunca le respondiste con el rigor mínimo que pide cualquier ciencia. Te cuento que es muy común entre los estudiantes de los primeros años confundir todo el tema de los infinitos. Lo que da risa es ver eso hecho cátedra.

    En cuanto a mi opinión, creo que uno es libre de censurar, si tiene el poder, de cualquier opinión desfavorable a su imagen, como muchos políticos hacen. Como decía mi abuela (gran ama de casa, madre y ciudadana) Si no querés que se te rían, quitate la nariz de payaso.

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  69. No nos engañes… En la “demostracion” lo que haces es ver que distancia recorre el gusanito con respecto al tiempo. Claro que con t hacia infinito el gusanito recorre una distancia infinita… Nadie dudará que el gusanito llegará a donde le da la gana porque a cada instante recorre la misma distancia. Es la jodida propiedad arquimediana (creo q se llamaba asi). Pero lo que aqui se pregunta es que si llega el gusanito alguna vez al final de la cuerda… Que final?? Ninguno… La cuerda crece mucho mas rapido que lo que anda el gusanito. Jeje.. pq no calculas la distancia entre la posicion del gusanito y la del “final de la cuerda en cada instante”?? No solo es que sea distinto de cero, sino que tiende a infinito, como todo el mundo ve…:P
    Y bueno si lees esto me gustaria mucho que rectificaras lo que has escrito, o por lo menos que me respondas debajo a mi… Gracias.

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  70. Vamos a ver: la D de la que hablo en la demostración es, como pone allí, la suma de las distancias de cuerda que recorre el gusanito en cada instante de tiempo. Entonces la suma será la distancia total de cuerda que recorre el gusanito. Si esa distancia es infinita entonces podemos decir que el gusanito alcanza el final de la cuerda. Eso es lo que quería decir, ya lo he explicado varias veces.

    Y todo viene de que la D en cada instante es proporcional a la suma parcial de la serie armónica de exponente 1, que diverge a más infinito. En este comentario ya dije que si fuera proporcional a la serie armónica de exponente 2 el gusanito recorrería una distancia finita de cuerda, y por tanto aquí no podríamos decir que el gusanito alcanza el fin de la cuerda.

    Espero que ahora se entienda lo que quería decir.

    Saludos :)

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  71. Eso es una autentica barbaridad, si calculases la divergencia de la distancia que le queda por recorrer verias que tambien diverge.

    No puedes tener en cuenta solo la distancia del gusano, tambien hay que tener en cuenta la longitud de la recta, es decir, hay que tener en cuenta su diferencia.

    Si yo corriese a 100 km/h mientras que tu corrieses a 1 km/h, los dos “acabariamos” en el infinito pero, obviamente (y matematicamente, por supuesto) tu jamas me alcanzarías.

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  72. Esto es explotación animal. Esta claro que el gusanito no llega, se morirá antes carayo.

    No en serio, a mi eso de infinito=infinito me mata. Eso de cargarse las indeterminaciones, sin tan siquiera pestañear, es peligroso. Según lo que leo aquí infinto/infinito es claramente 1… Puf
    os dejo una referencia http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

    Por cierto, gran blog!

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  73. Como dice raul es muy peligroso de infinto / infinto = 1

    Cuando haces limites al infinito(esto es de secundaria si no equivoco) se te platean indeterminaciones.

    Ejemplo claro es si tienes esta funcino

    f(x) = x / (x^2 +2)

    si haces el limite cuando x tiende a infinito te quda la indeterminacion citada, sin embargo si desarrollabas te quedaba 0.

    En este no se si es que no entiendo bien la ecuacion pero creo que esta mal planteada, por cada segundo pones un nuevo factor que indica lo que se ha recorrido de la cuerda. usease que por decirlo burramente esa fraccion (*100)indica cuanto tanto por cierto ha recorrido de la cuerda.

    – en t = 1 esta claro que has recorrido 1 cm (movimiento) + 1cm (por el crecimiento) que divido por 200 (ya que la cuerda mide ya 2 m) da 1/100 recorrido o lo que seria lo mismo 1 %.

    – en t = 2 el gusanito ha recorrido otros 2 cm de la cuerda que ya mide 300 cm. usease que ha recorrido 2/300 (0.66%). El fallo biene ahora en la suma a pelo de los dos porcentajes, ya que los 2 cm iniciales ya no es 1% del total. ahora los 2 cm de t = 1 representan tambien 2/300 parte de la cuerda.

    Voy a plantear una ecuacion alternativa, que nos indique cuanto ha recorrido de la cuerda. Donde 1 seria que esta al final y 0 al principio

    f(t) = 2t / (100t + 100)
    si hacemos limite de esta funcion al infinito nos queda una indeterminacion sencillita la cual nos dara como resutado 2/100, lo que quiere decir que el gusano tiende a estar en 2% del tamaño de la cuerda.

    Un gran blog y corregide si creeis que me equivoco.

    Un saludo

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  74. Lo que me parece a mi paradojico es que un blog que habla sobre la identidad de euler, la conjetura de poncarie, y otros temas que estan fuera del alcance de un nivel promedio, y en algunos casos de matematicos recibidos y no especializados en determinadas areas, se presente un problema muy simple y no se pueda presentar una solucion clara.

    Personalmente tengo 2 opiniones. Una es que se dio cuenta Diamond que se equivoco en la respuesta, pero pesa mas el orgullo. No es una acusacion, porq a todos los que conozco les paso alguna vez (y me incluyo). Y la otra es que hayan sacado el problema de algun lado y lo hayan transcripto mal, entonces la respuesta al problema sirve para otro y no para este.

    Espero no tener razon en ninguna de las dos anteriores, pero concluyo a esto por no llegar a nada en mis comentarios anteriores.

    Igual, para construir y no para solo escribir una critica, creo q estaria bueno si no aca en este post, sino en uno nuevo se abriera el tema solo porq dos funciones con “velocidad equivalentes” se juntan en el infinito. Ya que si se resuelve y se demuestra que eso sucede, el problema del gusano y su cuerda se desprende casi como un corolario.

    La mejor!! Suerte.

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  75. Alejandro ni una cosa ni la otra: ni me he edado cuenta de un supuesto error pero no lo reconozco por orgullo ni la respuesta está mal transcrita.

    Te remito a este comentario para que veas qué quería decir.

    Saludos :)

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  76. No hy caso, debe ser un poco tonto para entenderlo. Pero que te parece mi propuesta de hablar sobre como las funciones de velocidad equivalente se encuntran en el infinito? Si eso es valido te aclaro, sin la necesidad de saber porque sumas esas razones te doy por valida la respuesta.

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  77. Estoy con alejandro en una cosa. En BUP daba estas cosas tenias que hacer limites cuando x-> ∞ dando como resultado indeterminaciones.

    Lo que he dicho puede que este mal, pero lo que esta claro es que si tu haces la resta entre la distancia de la cuerda y lo que anda el gusano tendras algo que dependiendo de t

    D = f(t) – g(t)

    ambos recorreran infinito por lo que si haces el limite al infinito te quedara
    ∞ – ∞ lo que da a una indeterminacion, no la puedes solucionar con el simple hecho de decir como son infinito se encuentran. Las ideterminacion es de resta pueden dar -∞, ∞, ó 0 si no recuerdo mal.

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  78. Paco esa indeterminación puede dar cualquier resultado, no sólo los que tú has comentado.

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  79. Es cierto, se me olvidaba. Aun así sigo diciendo que resuelves las indeterminaciones sin hacer los límites y que por eso ese problema da así.

    Sigo diciendo también que el gusano recorre 2/100 Pero una vez que ha aumentado la cuerda es 2/200 2/300. No se si me explico pero tu ya reconoces que ha recorrido un 2% de la cuerda, sin pensar que al aumentar la cuerda ese 2% ya no es un 2 si no algo mas peque. Intenta plantear dos ecuaciones del movimiento absoluto del gusano y del crecimiento de la cuerda.

    Si las restamos y al limitarlas al infinito dan 0 es que estas en los cierto.

    Yo propongo dos ecuaciones

    Crecimiento de la cuerda 100*t
    Movimiento del gusano 2*t

    Me gustaría saber una cosa sobre el problema, ¿cuando el gusano avanza 1 cm. por crecimiento de la cuerda, vuelve a crecer la cuerda? Si es No, Entonces estas ecuaciones están bien

    Otra forma de comprobar que no se llega al final es con la propiedad de las rectas que dice que no se cortan mas que en un punto, este seria en el de t = 0. Esta propiedad demostraría que dos rectas no se cortan en el infinito nunca, puesto que el infinito no es un punto en si y por lo tanto el gusano no llegaría

    Espero explicarme bien

    Un saludo

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  80. “Otra forma de comprobar que no se llega al final es con la propiedad de las rectas que dice que no se cortan mas que en un punto, este seria en el de t = 0. Esta propiedad demostraría que dos rectas no se cortan en el infinito nunca, puesto que el infinito no es un punto en si y por lo tanto el gusano no llegaría”

    Esto siempre que al ecuación de movimiento del gusano y la de crecimiento de la cuerda fueran de primer grado. Dos rectas nunca se cortan ni se juntan en el infinito

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  81. La explicacion de Paco y las rectas es cierta, por lo que hace que la respuesta dada sea incorrecta…
    Si fuera cierto lo que decís, infinito dividido infinito no sería indeterminado, sería 1…

    Vamos, que no cuela vuestra respuesta…

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  82. Nadie ha dicho que infinito partido de infinito sea 1. De hecho es ideterminado. unas veces será 1, otras infinito, otras cualquier otro número…

    Una pregunta: a ver si alguien es capaz de decirme un punto de la cuerda por el que el gusano no pase.

    Saludos 🙂

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  83. Es más, el final de la cuerda y los 98cm. anteriores nunca los toca. Y son puntos tan válidos como cualquier otro.

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  84. Vale. Ahora dime qué punto es ese teniendo en cuenta que como el tiempo es infinito la cuerda no tiene final.

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  85. Lo que propones es hacer t = infinito, pero eso es imposible. Otra cosa es t –> infinito y en ese caso, como ya lo demostré en el primer comentario, nunca se alcanza el final de la cuerda.

    Además el argumento que das podría ser válido para avances de la cuerda tipo x² pero en ese caso seguro que dices que no lo alcanza, verdad? Y alguien podría darte el mismo argumento que has dado: “a ver si alguien es capaz de decirme un punto de la cuerda por el que el gusano no pase”.

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  86. Lo he comentado en el problema de las monedas: no podemos aspirar a que el gusano y la cuerda se encuentren en un instante de tiempo concreto. Se encontrarán en el límite cuando t tiende a infinito.

    En ese post he puesto el ejemplo de 1/n: no hay ningún número natural para el cual 1/n sea cero, pero su límite cuando n tiende a infinito es cero.

    Por otra parte: imaginad las rectas y=2x, y=3x representadas en el plano. Si colocamos a dos personas en x=0 y cada una de ellas va recorriendo una de las rectas, cuando x tiende a infinito ¿no habrán recorrido la misma distancia? Evidentemente la distancia entre las rectas sería infinita, pero eso no es lo que estamos estudiando. Estamos comparando las distancias que recorren. Y en la explicación del post se ve que el gusano recorre una distancia infinita de cuerda. Por tanto matemáticamente alcanza el final.

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  87. Es igual al otro… tambien te digo, si la cuerda es infinita, no tiene sentido llegar al final porque no lo tiene. por otra parte la indeterminacion que se trabaja en el caso de los dos que corren en una cuerda es 3x – 2x lo que si limitas, da claramente infinto (3x-2x = x).

    Lo que se quiere decir con esto no es que no halla un punto que uno recorra y otro no, si no que el primero habra recorrido en este caso 2/3 partes de lo que recorre el segundo, ambos infinitos, pero el perimero menos.

    Por otro lado segun lo que dices, cualquier persona que correira, vaciara o llenara se encontrarian en el infinito. El en tema de correr por ejemplo. si uno recorre x y otro x^2 al final se encontrarian. Solucion dime un un punto por el que no pasaran los dos. no lo hay

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  88. Ya lo dije en la solución: la cosa no depende de si la cuerda tiene final o no sino de cuánta cuerda recorre el gusano. Está muy claro que al ser el tiempo infinito la cuerda no tiene final. Si el gusano recorre una cantidad infinita de cuerda se encontrarán y si recorre una cantidad finita de cuerda no se encontrarán.

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  89. Entonces una duda. ¿si dos personas avanzan según la s rectas y = x|y = x^2 ambas se encuentran en el infinito?

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  90. Para empezar, y=x^2 no es una recta, es una parábola.

    Creo que no estáis reparando en una cosa: no se avanza sobre funciones distintas, se avanza con velocidades distintas. Si yo me imagino esas dos funciones dibujadas veo que la distancia entre ellas tiende a infinito cuando x tiende a infinito. Pero no la cantidad recorrida, sino la distancia entre ellas.

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  91. Gracias por corregirme en lo de la parábola.

    Por otro lado y = x^2/y = x es la cantidad que se a separado del origen. Esta es la función que planteo. y es la distancia que se ha separado del origen x es el tiempo. Igual que hize con la funciónes del gusano y la cuerda que se separaban del punto de partida según las funciones y = 2x e y = 100x, no me parece un mal planteamiento del problema. Tu mismo me has dicho que la distancia en la representación de ambas es infinito, pero realmente esa distancia es lo que separa a ambas personas en su carrera.

    Por cierto, Aunque ya he escrito mas veces, decir que esta Página esta genial. Un saludo

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  92. Ese es el problema: ese infinito no es la distancia que separa a ambas en su carrera.

    Imagínate las rectas y=2x, y=3x representadas gráficamente. La distancia entre ellas va creciendo indefinidamente pero si tú y yo comenzamos a andar en cada una de ellas la distancia que recorreremos será la misma. Por eso he dicho que no es lo mismo la distancia entre las rectas que la distancia que se recorre en cada una de ellas.

    Gracias por los piropos Paco 🙂

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  93. a veces la solución es mas de lógica.

    aqui no sucede ni lo uno ni lo otro/llegar no llegar, sino todo lo contrario: el pobre gusano continuará caminando infinitamente porque siempre habra… cuerda para rato.

    Bueno a esta lógica tambien le llaman “gramatica parda”.

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  94. Yo creo que el problema esta mal planteado.
    Si partimos de la base que infinito/x = indeterminado cuando i = infinito nunca existirá el instante donde podamos comprobar si el gusano ha llegado.
    Estamos partiendo de que conocemos el instante “i” = i
    Conclusión:
    Teniendo un tiempo = t
    una longitud de la cuerda = L = 100cm
    y una distancia recorrida por el gusano = d = 2cm
    si d en un instante es igual = d*i
    entonces L = L*i
    Conocemos que d = L/50

    Entonces d*i = L*i/50 si hacemos esto con i = infinito nos da un numero indeterminado ya que solo infinito / infinito = 1

    Con lo cual mientras no se cumpla que i/i /50 sea = 1 el gusano nunca llegará.
    Aunque si usamos la teoría dela relatividad general y doblegamos el espacio tiempo puede llegar nuestro gusano antes de que i haya aumentado, de hecho aún sin existir.
    O si escogemos la mecanica cuántica “dado infinitas posibilidades ante un mismo hecho en un instante i, se darán todas y a la vez” nuestro gusano llegará al final de la cuerda en bicicleta tomandose un wisky en compañía de Elvis.

    Un saludo.

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  95. No quiero entrar en la polémica sobre los logros del gusano en el límite, sino opinar sobre el argumento algebráico que vincula a la serie armónica con este problema.

    Se dice que “…en el instante t = 1 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 100 que tiene la cuerda, es decir, 2/100 del total del camino.
    El instante t = 2 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 200 de los que se compone la cuerda en ese momento, es decir, 2/200 del total del camino a recorrer.
    En t = 3 son 2 cm de los 300 totales, es decir, 2/300. Así sucesivamente.”

    Al calcular D (distancia recorrida) se iguala a 2/100+2/200+2/300+… cuando realmente sería 2*L(1)/100+2*L(2)/200+3*L(3)/300+… (siendo L(n) la longitud de la cuerda tras el paso n).

    No se pueden sumar cantidades no homogéneas por lo tanto no es correcto deducir que el total es un factor por la serie armónica.

    En realidad todos los sumandos n*L(n)/(100n) valen exactamente 2, así que lo que habría que poner es D=2+2+2+… cuyo límite para infinitos términos es infinito y, a partir de ahí se podría continuar el razonamiento en iguales términos que los planteados en el blog.

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  96. JJGJJG, posiblemente me expresé mal. D no es la distancia recurrida, sino la fracción de cuerda recorrida. Así creo que queda todo más claro, ¿no? Gracias por la puntualización.

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  97. Creo que ahora el razonamiento empeora al considerar que es la FRACCIÓN DE CUERDA RECORRIDA.

    En el primer segundo el gusano recorre 2 cm que es el 2% del la longitud de la cuerda.
    Al final del segundo segundo el gusano ha recorrido EN TOTAL 4 cm que es también el 2% de la longitud de la cuerda en ese momento. La FRACCIÓN no ha variado.
    Al final del tercer segundo el gusano ha recorrido EN TOTAL 6 cm que sigue siendo el 2% de la longitud de la cuerda en ese momento.

    Es decir, la FRACCIÓN de cuerda recorrida no varía. Permanece constante y es siempre igual al 2% de la longitud total de la cuerda en cualquier segundo futuro.

    Ahora podemos asegurar que la la distancia entre el gusano y el final de la cuerda es un invariante incluso después de infinitos segundos, luego el gusano SIEMPRE estará muy lejos del final y NUNCA coincidirá con él.

    La serie armónica sigue sin aparecer por ningún lado.

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  98. Hay muchos comentarios para leer, y no se si ya se habrá comentado:
    Yo conocía el problema, pero el gusanito era puntual (o si queréis se aferra a la cuerda en único punto al ser arrastrado)
    En cada estiramiento el gusano permanece en la misma fracción recorrida. Es decir, si había recorrido el 30% y se estira, entonces seguirá estando en el 30% del recorrido. Sin embargo le queda más distancia que al principio.
    Como en cada movimiento recorre un cm, después de avanzar le quedara el 30% menos 1 cm.
    Es una cuestión de escala. Si vamos escalando el problema para quede constante la longitud de la cuerda, el cm recorrido sera cada vez mas pequeño. Dará cada vez pasos mas pequeños hasta alcanzar el final de la cuerda.

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  99. No entiendo la resolución propuesta en el enunciado.

    Yo según interpreto el enunciado, tengo que:

    1. En cada instante ‘n’ el gusano ha recorrido una distancia total a_n=2n cm
    2. En cada instante ‘n’ la cuerda mide b_n=100(n+1)

    Por tanto la fracción recorrida en el límite corresponde con lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = lim_{n \to \infty}\frac{2n}{100(n+1)}=2/100

    Por tanto el gusanito recorrerá en el límite un 2% de la cuerda.
    Eso sí, recorrerá una distancia infinita. Y la cuerda tendrá una longitud infinita.

    Pero que el gusando haya recorrido una distancia infinita no significa que haya llegado al final.

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  100. El infinito como concepto matemático puede inbducir a conclusiones equivocadas cuando se aplica a casos del mundo físico. Veamos un ejemplo:

    Sobre una recta acotamos un segmento AB de longitud 1. Consideramos loa posición inicial de A como origen de distancias.
    Cada segundo que transcurre desplazamos el segmento sobre la recta una distancia unidad.
    Al cabo de n segundos el extremo A estará a n unidades del origen y el extremo B a n+1 unidades.
    Cuando n tiende a infinito ambas distancias serán infinito, el mismo infinito puesto que ambas son lineales.
    Sabemos que infinito menos infinito está indeterminado por lo que no podríamos saber cuál de las dos distancias es mayor ni su diferencia.
    Sabemos que infinito dividido por infinito es 1 por lo que podríamos pensar que ambas distancias son iguales.
    Recordemos, sin embargo, que por alejado que esté el segmento del origen, hemos definido su longitud como 1 y por lo tanto A y B estarán siempre separados por esa unidad y nunca podrán coincidir.
    Por un razonamiento similar llegamos a la conclusión de que, tal como se plantea el enunciado, el gusano no alcanzará jamás el extremo de la cuerda.

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  101. Vaya, sí que llevas tiempo con el blog!

    Una cosilla, cuando haces fracciones de la longitud de la cuerda (para luego sumarlas) la longitud de la cuerda es distinta en cada t. Aunque no lo digas, luego asumes que es la misma para sacar factor común y obtener la serie armónica.

    Por ejemplo, supongamos t=1 y t=10. En esos 2 intantes, el gusano ha recorrido 2/100, de 100; y 2/1000, de mil. Tengo la impresión de que estás sumando 22/1000, cuando deberías sumar 4/1000 (4: lo que recorre en dos instantes. 1000, la última longitud de la cuerda)

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  102. En el razonamiento inicial se parte de la base de que a*infinito – b*infinito es, en general,
    una indeterminación por lo que no podemos decidir cuál de los dos valores es mayor aunque sepamos que a> b.
    En este caso comparamos a*n y b*n cuya diferencia es (a-b)*n con a>b y esta diferencia es infinita y positiva, luego nunca serán iguales, que es lo que se necesita para que el gusano alcance el final de la cuerda.

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  103. Iba a comentar, cuando he visto el último comentario.

    El razonamiento final del artículo es demasiado simplista y no es cierto. Decir que como la distancia que recorre el gusano es infinita y la distancia de la cuerda también lo es, entonces son la misma, es cometer un error.

    Si quisiéramos ver cuál es la distancia entre el gusano y el final de la cuerda en un tiempo t concreto, simplemente calculamos ambas y las restamos. Si queremos la distancia en t=infinito, tendremos distancia recorrida por gusano=infinito y longitud de la cuerda=infinito, y al restarlos no obtenemos 0 sino una indeterminación, como cualquiera que haya estudiado mates sabe. Y al resolver esa indeterminación no tendremos 0, sino infinito.

    Es decir, en un tiempo infinito, la longitud de la cuerda será infinita, la distancia recorrida por el gusano será infinita, y la distancia del gusano al final de la cuerda será también infinita (no 0). Cosas de las matemáticas… y del infinito.

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  104. La suma de la serie divergente no es la distancia recorrida por el gusano, sino la fracción de cuerda que recorrió. Que una fracción tienda a infinito no nos permite comparar numerador y denominador.

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  105. Diez años después ya tengo la solución definitiva a este problema, gracias a este precioso vídeo:

    https://www.youtube.com/watch?v=4k1jegU4Wb4

    Básicamente el problema en este blog estaba mal planteado (¿cuál fue la fuente Diamond?) y la solución dada también es errónea (el gusano no necesita un tiempo infinito): hay que explicar que la expansión de la cuerda no arrastra siempre al gusano 1cm. (eso solamente la primera vez que se expande) sino que la expansión de la cuerda ocurre a lo largo de todo el recorrido de la misma, arrastrando al gusano en proporción. Es decir, tras recorrer el primer centímetro, la expansión de 1m. en la cuerda hace que el gusano se coloque a 2cm. del origen. Tras avanzar un centímetro (ahora está a 3cm. del origen) la expansión de otro metro hace que el gusano pase a estar a 3/2*3 = 4,5cm. del origen, etc.

    En este caso sí que estamos con la serie armónica en cuanto al porcentaje del total de cuerda avanzado, y llegará al final en un tiempo finito.

    Espero haberlo explicado bien, creo que puede ser una buena aclaración para celebrar el décimo aniversario del blog con una de las entradas más fructíferas en cuanto a comentarios.

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