La cuestión más importante que aún no se ha respondido sobre el número Pi

PiHoy día 14 de marzo se celebra mundialmente el día de Pi, por ser su notación en algunos países, 3-14, una aproximación de dicho número.

Del número Pi sabemos muchísimas cosas: es irracional (y II) y trascendente, es protagonista de muchas fórmulas conocidas (como en áreas y volúmenes de figuras sencillas como la esfera), aparece en cuestiones relacionadas con probabilidad (como aquí), está relacionado con el conjunto de Mandelbrot, forma parte de la identidad de Euler

…pero también hay cosas que no sabemos. Hoy vamos a comentar una de ellas, posiblemente la más importante.

No sabemos si el número Pi es un número normal en base 10

Un número normal en una base b es un número real que cumple que las cifras de su expresión decimal en dicha base siguen una distribución uniforme. Es decir, todos los números de una cifra aparecen en dicha expresión en la misma proporción, y lo mismo ocurre con los números de dos cifras, con los de tres, etc.

Bien, pues a estas alturas no se sabe si el número Pi es un número normal en base 10 (y de hecho, hasta donde yo sé, no se sabe si lo es en alguna otra base). Se conjetura que la respuesta a esta cuestión es afirmativa, pero no se ha podido demostrar, y tampoco se ha podido demostrar lo contrario.

Sin embargo, sí se sabe que otros números son normales en base 10, como el número de Champernowne

0,1234567891011121314151617181920212223 \ldots

cuyos decimales se obtienen concatenando los números enteros positivos, o el número de Copeland-Erdös

0,23571113171923 \ldots

cuyos decimales son la concatenación de los números primos.

Pi¿Será el número Pi un número normal en base 10? Pues estadísticamente es lo más probable, ya que el conjunto de los números normales en base 10 es mucho mayor que el conjunto de los no normales (aun siendo ambos conjuntos infinitos), aunque evidentemente esto no demuestra nada.

Recomiendo leer el artículo No es seguro que todo el universo esté contenido en Pi, pero sí en otros números, de David Orden, en el que habla sobre este tema y proporciona muchos enlaces con información adicional.

Bonus: un par de cuestiones más que no conocemos sobre el número Pi

Y para terminar este artículo os dejo un par de cuestiones más que tampoco conocemos sobre esta maravilla de constante matemática que es el número Pi:

  • ¿Son los números \pi+e, \pi \over e y log(\pi) irracionales?

    Tanto \pi como e son irracionales (sobre lo segundo tenéis una demostración aquí y otra aquí), y de hecho se sabe que son trascendentes (del segundo podéis ver una prueba aquí), pero no se sabe si \pi+e y/o \pi \over e son también irracionales (y mucho menos si son trascendentes). No parece fácil demostrar si es cierto o falso que lo sean, pero ahí queda por si alguien quiere intentarlo.

    Lo mismo ocurre con log(\pi). Se sabe que el logaritmo decimal de un número racional es un número entero o un número irracional, pero no se sabe qué ocurre con log(\pi). Otro problema (difícil) que podéis atacar si os veis con ganas.

  • ¿Está la constante de Apéry relacionada con el número Pi?

    El problema de Basilea consiste en calcular el valor de la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos. Es decir, al cálculo del valor de la siguiente suma infinita:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

    Leonhard Euler determinó que el valor de dicha suma es \pi^2 \over 6 (aquí tenéis otra demostración). Pero Euler hizo más: determinó los valores de las sumas correspondientes a los inversos de las potencias cuartas, sextas, y así hasta ¡¡26!! de los enteros positivos…y resultó que todas se relacionan de alguna forma con el número Pi. Por ejemplo:

    \cfrac{\pi ^6}{945}=\cfrac{1}{1^6}+\cfrac{1}{2^6}+\cfrac{1}{3^6}+\cfrac{1}{4^6}+\cfrac{1}{5^6}+ \dots

    Pero Euler no dijo nada sobre los inversos de las potencias impares. De hecho ni siquiera se sabe cuál es el valor para exponente 3. Es decir, no se conoce el valor de la siguiente suma:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^3}}

    que se denomina constante de Apéry, porque fue Roger Apéry quien demostró en 1977 que el resultado de esta suma infinita es un número irracional.

    Teniendo en cuenta que parece que los valores para exponente par se relacionan todos con el número Pi (aunque ahora mismo no sé si hay algún resultado que afirme esto para todo exponente par), no es descabellado pensar que para potencias impares pudiera pasar lo mismo. Ahora, no se sabe nada sobre ello, ni afirmativa ni negativamente. ¿Lo sabremos algún día? Esperemos que sí.


    Seguro que algunos de vosotros sabéis de más cuestiones relacionadas con el número Pi que siguen sin tener respuesta. Tenéis lo comentarios para contárnoslas.


    La primera imagen de Pi la he tomado de aquí y la segunda de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Hay una cuestión abierta muy importante en teoría de números trascendentes sobre π que no mencionas. Se sabe que π no es un U-número, pero se desconoce si es un T-número o un S-número. Y una clasificación de π en uno de esos dos conjuntos sería un bombazo matemático por la cantidad de números que arrastraría con él a su subconjunto trascendente.

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  2. Muy buen post, como siempre 🙂 Dices que no sabes si la serie que suma los inversos de las potencias de exponente par de los naturales se relaciona siempre con el número pi. A mi me sonaba que sí (con el número pi y con los números de Bernouilli) y buscando por ahí he encontrado en http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html esta fórmula:

     \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{k^{n}}=\frac{2^{n-1} |  B_{n} | pi ^{n}}{n!}

    válida para todo n natural par, y donde B_n es el n-ésimo número de Bernouilli.

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  3. En términos de la función zeta:
    \sum_{i=1}^{\infty } \frac{1}{i^{2n}}= \zeta \left ( 2n \right )= \left ( -1 \right )^{k+1}\frac{\left (2\pi   \right )^{2k}}{2\left ( 2k \right )!}B_{2k}
    donde n es natural, etc. y B_k son los números de Bernoulli
    Ahora sí, digo que estaría bien una demostración de esto!

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  4. Una consulta “Fractalon”, qué son U-S- y T-Números?. Si tenes alguna web sugerida dónde buscar información, porque me llamo la atención y no encontre nada en la web, gracias.

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  5. log(PI) es irracional

    Demostración (breve y sencillita):

    —-
    Supongamos que es racional: log(PI) = n/d

    Entonces: PI = 10^(n/d)

    Pero esto contradice que PI sea trascendente !!! Demostrado.
    —-

    Ya que PI sería la raíz d-ésima de 10^n y, por tanto, solución de la ecuación polinómica
    x^d = 10^n … o un cero del polinomio P(x) = x^d – 10^n
    (siendo n entero, 10 elevado a n es entero, luego este polinomio es de coeficientes enteros así que PI no sería trascendente)

    Nota: para todo esto he entendido que log(x) es el logaritmo decimal (en base 10) de x… como creo que hoy en día es lo habitual y acordado por todo el mundo… aunque en otros tiempos remotos hablar de “logaritmo” fuese otra cosa.
    De hecho, el que se considera inventor de los logaritmos, John Napier llamaba “logaritmo” a otra cosa ligeramente diferente a la actual y me acabo de enterar de que su “logaritmo”, el genuino “logaritmo neperiano” no era lo que nos han enseñado (a mi me enseñaron que “logaritmo neperiano” era lo mismo que en base e, lo que se llama “logaritmo natural”, pero no es eso… al parecer el origen de la confusión viene de las tablas de logaritmos añadidas a la obra de Napier… las cuales estaban basadas en base e)

    Nota2: La demostración que puse vale para cualquier base entera de logaritmos, no sólo para base 10: log_2(PI), log_3(PI)… log_10(PI)… log_b(PI) con b entero mayor o igual que 2.
    Incluso una demostración muy similar valdría para una base racional:
    Si la base es a/b … ¿ Log_a/b (PI) = n/d ??
    Va a ser que no, ya que:

    (a/b) ^ (n/d) = PI

    (a/b) ^ n = PI ^d
    a^n = b^n * PI^d
    Lo cual implica también que PI no sería trascendente para ninguna base racional.

    ¿y para las irracionales???

    Si la base del logaritmo es PI, lógicamente log_PI(PI) = 1 … luego para algunas bases irracionales el logaritmo en dichas bases es racional seguro. Para otras quedaría la duda…

    CONCLUSIÓN:

    El logaritmo en base 10 de PI es irracional, seguro.

    El logaritmo en base e de PI … no se si es irracional… Supongo que lo que se debería haber dicho es ¿ Ln(PI) es irracional ?

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  6. No nos olvidemos que el año que viene sera el día pi de mayor aproximación del siglo… 3-14-15.

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  7. Leonardo,
    la mejor aproximación de PI con 4 decimales es 3.1416
    Así que el día de mayor aproximación del siglo será dentro de 2 años, el 14 de marzo de 2016
    El año que viene, aunque no sea de mejor aproximación sería la única fecha del siglo (en formato estadounidense: mes-día-año) que tendrá los primeros decimales exactos de PI.

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  8. Este comentario es para Vasko y todos aquellos a los que les interese el tema de la clasificación de los trascendentes. En realidad la clasificación se hace sobre todos los complejos añadiendo el conjunto de los A-números (los algebraicos; pero esto requiere una demostración sencilla). Yo, personalmente, nunca he encontrado nada en castellano sobre esta clasificación; quizá no haya buscado bien o no lo haya necesitado. En cualquier tratado sobre teoría de números trascendentes se puede encontrar información sobre esta clasificación, llamada clasificación de Mahler. Los conjuntos A, S, T y U cumplen que son disjuntos y su unión da como resultado C y lo que determina que un número pertenezca a una de estas clases es la rapidez con que puede ser aproximado mediante números algebraicos, en un sentido de “rapidez” que hay que especificar. Es todo muy técnico. Lo cierto es que se echa de menos algo más de divulgación sobre este tema, que es muy poco conocido fuera del ámbito matemático e incluso dentro, como casi todo lo concerniente a la teoría de números trascendentes, y esconde una cantidad enorme de problemas abiertos de gran relevancia y belleza que parecen pasar inadvertidos ante muchos ojos.

    Vasko me pedía más información y aquí enlazo algunos papers interesantes sobre el tema.

    En http://web.yonsei.ac.kr/haseo/p2-reprint.pdf hay un estudio interesante sobre estos conjuntos.

    Y en http://es.scribd.com/doc/34480238/Transcendental-Number-Theory-A-Baker podéis encontrar el libro “Trascendental Number Theory” del laureado Alan Baker, una de las obras de referencia en esta rama, donde se explica, entre otras muchas cosas, esta clasificación. Es todo lo que puedo mostraros. En las referencias y bibliografías de estas dos obras hay más material de interés o, simplemente, buscando en Google o en cualquier otro sitio “Transcendental number theory” o “Mahler’s classification of complex numbers”. Un saludo.

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  9. Acido… depende de qué método estemos usando para aproximar. Si redondeamos, entonces es mejor aproximacion la que decís vos.
    Pero tambien existe truncar, y truncando pi hasta cuatro decimales queda 3,1415. Aunque luego venga un 9.

    Lo que quiero decir es que “la mejor aproximación” no tiene por qué ser la que está mas cerca del numero.

    Por ejemplo, en una competencia para ver quien recuerda mas cifras de pi, si vos decis 3,1416 y yo digo 3,1415, gano yo.

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  10. Pues yo llevo toda la vida trajinando con el número pi y aún no me he desenvuelto de su contradictoria definición; esto es, si no es racional ¿por qué lo representamos como el resultado de una razón entre el diámetro y la periferia de una circunferencia? ¿O como una suma de razones? ¿O como una razón anidada? ¿O…?

    Y es más, y por dar un ejemplo, si la circunferencia es un caso particular de una elipse en el que coinciden los focos y etc etc… ¿existe algo así como una función de un pi elíptico?

    En fin…, yo no entiendo ná.

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  11. Odarbil,
    Para entenderlo hay que conocer la definición de número racional.
    Número racional: aquel que puede expresarse como cociente (o razón) entre dos números ENTEROS.
    Por tanto, decir que PI es irracional significa que no puede expresarse como razón de dos enteros. Tú dices “no lo entiendo, porque PI es la razón entre el Perímetro y el diámetro de cualquier circunferencia” … Pues la conclusión es que si el perímetro de una circunferencia es ENTERO (por ejemplo, 31416 metros) el diámetro no será nunca entero (en el ejemplo será cercano a 10000 pero no exactamente 10000 sino un poquito más)… y viceversa: si el diámetro es entero (ej: 10000 metros) el perímetro no será entero (sería cercano a 31416… pero no exactamente eso sino un poquito menos, como un decímetro menos que eso).

    “¿O como una suma de razones?”
    Si PI fuese una suma finita de razones de enteros sería igual a una razón de enteros, pero resulta que es una suma infinita. Y una suma infinita de racionales no siempre da un racional.

    Lo de la elipse es más complicado de responder… He visto una expresión aproximada del perímetro de la elipse en función de los semiejes a y b y también usando PI pero es una expresión aproximada.
    De todas formas, hay que tener en cuenta que cuando los semiejes son iguales la “elipse” es una circunferencia y lo que llamas “pi elíptico” sería en este caso el PI normal.
    También parece claro que si llamamos “a” al semieje mayor y “c” al cociente entre a y b (es decir c= b/a… c mayor o igual que 0 y menor o igual que 1) entonces el perímetro de la elipse es proporcional a “a” siendo una proporción diferente para cada valor de “c”. Para c=1 PI_eliptico = PI … etc. Para c=0 PI_eliptico = 4

    También resulta que c puede ser irracional… es decir, si “a” es entero puede ser “b” no entero ni un producto de un racional por “a”. Y por continuidad seguro que con esto podemos llegar a un “PI elíptico” para ciertos valores de “c” que sea racional. Es decir, que la constante por la tenemos que multiplicar el eje menor “a” no sea irracional, que sea un racional, como 3.5 = 7/2 que está entre 3.14159 y 4.

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  12. Estaba en busca de información sobre el número Pi, interesante el dato del día de éste grandioso número. Excelente artículo amigos.

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    • Yo poseo una demostracion de la irracionalidad de la funcion zeta para los valores impares pero reuiere de ciertos ajustes mas para demostrarse y del significado de los numeros de bernoulli en las matemáticas

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