La definición de la parábola de Apolonio

Apolonio de Perga (hacia 220 a.C), en la proposición 11 del libro I de Las Cónicas, llama parábolas a las curvas que desde entonces se conocen con ese nombre.

En esa proposición deduce el symptoma (o propiedad característica) de la parábola, equivalente a lo que para nosotros, desde el siglo XVII, es la ecuación de la curva.

Si cada paralela a una dirección dada corta a una curva en 2 puntos y los puntos medios de los segmentos entre esos 2 puntos están en una misma recta, Apolonio llama a esa recta un diámetro de la curva. Si es perpendicular a las paralelas, esa recta es llamada eje de la curva.


El symptoma de la parábola obtenido por Apolonio está ilustrado en la siguiente figura:

Apolonio empieza el libro I de Las Cónicas considerando en general una superficie cónica oblicua, generada por una recta que pasa por un vértice V y por los puntos de una circunferencia base cuyo plano no contiene al vértice. Define el eje del cono como la recta que pasa por el vértice y por el centro de la circunferencia base.

Supongamos un plano EAB que no pasa por el vértice y que corta al plano de la base en una recta AB y a la superficie cónica en una curva que llamaremos sección cónica.

Sea CD el diámetro de la circunferencia base perpendicular a la recta AB en que EAB corta al plano base.

Llamamos triangulo axial (correspondiente al plano EAB) al triángulo VCD.

La recta EG, intersección del plano EAB con el triángulo axial es un diámetro de la sección cónica, porque las paralelas a AB en el plano EAB, que llamaremos ordenadas, cortan a la sección en dos puntos cuyo punto medio está en EG.

La figura de la izquierda presenta diferentes posiciones que puede tener el plano EAB cuando el diámetro EG es paralelo a uno de los lados del triángulo axial.

El diámetro EG de la sección sólo cortará a las ordenadas en ángulo recto si el triángulo axial es perpendicular al plano base.


Sea P cualquier punto de la sección cónica. El plano paralelo a la base que pasa por P corta a la superficie cónica en una circunferencia y la recta paralela a AB que pasa por P corta al diámetro EG de la sección en un punto F.

En la proposición I.11, Apolonio demuestra que si el diámetro EG es paralelo a uno de los lados del triángulo axial, PF \cdot PF = k \cdot EF, donde k es constante para todos los puntos de la sección:

Sea k un segmento tal que k/EV = CD/CV \cdot CD/DV. Entonces k es constante para un plano EAB dado.

Pero CD/CV = GD/EV = SF/EV y CD/DV = CG/GE = FT/EF.

Luego k/EV = SF/EV \cdot FT/EF y como PF \cdot PF = SF \cdot FT (Euclides II.14),
tenemos que PF \cdot PF = k \cdot EF, que es la propiedad característica de la parábola ilustrada más arriba.

Apolonio concluye la proposición I.11 así:

Llamemos parábola a tal sección. En cuanto al segmento k, llamemosle la recta a la cual se aplica el área PF \cdot PF sobre el diámetro
EF. Llamemosla también el lado recto.

(Apolonio usa la palabra griega ortia, traducida al latín como latus rectum.)

En el libro I, Apolonio demuestra, entre otras cosas, que cualquier paralela a un diámetro de una parábola es
también un diámetro (para otra dirección de las ordenadas y otro lado recto) y da la relación entre los lados
rectos que corresponden a los diferentes diámetros. El libro I expone también la teoría de los diámetros conjugados de las cónicas centrales.


Este artículo es una nueva colaboración de fede, uno de los grandes colaboradores de Gaussianos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Apolonio de Perga (hacia 220 a.C), en la proposición 11 del libro I de…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *