La demostración del presidente

¿Os imagináis a Mariano Rajoy presentando la demostración de un teorema? ¿O a Zapatero, Aznar o Felipe González? Yo tampoco. Al menos por estos lares no parece que los máximos mandatarios tengan “buenas relaciones” con las matemáticas. Pero no es así en todos sitios. En Estados Unidos hay un caso que por conocido no deja de ser interesante. Nos referimos a James Garfield y su demostración del teorema de Pitagoras.

James Abram GarfieldJames Abram Garfield (1831-1881) fue el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Fue elegido presidente en marzo de 1881, pero en septiembre del mismo año falleció a causa de las heridas provocadas por unos disparos que había recibido un par de meses antes.

Garfield tenía una formación académica bastante completa, además de ser matemático aficionado. A tanto llegó su afición por las matemáticas que encontró una bella, a la par que sencilla, demostración del teorema de Pitagoras, que llegó a ser publicada en ell New England Journal of Education, y que vamos a comentar en lo que sigue.

Partimos de un triángulo rectángulo con catetos de longitud a,b e hipotenusa de longitud h, como el que puede verse en la figura siguiente:

Tomamos una copia de este triángulo y lo colocamos con el vértice que en la imagen aparece arriba coincidiendo con el vértice que en la imagen aparece abajo a la derecha de forma que los catetos inferiores de los dos triángulos queden alineados, como se ve a continuación

Es claro entonces que el ángulo que forman las hipotenusas de los dos triángulos es un ángulo recto. Unimos ahora los dos vértices “superiores” de los dos triángulos, obteniendo así un trapecio:

Ahora vamos a calcular el área de dicho trapecio de dos formas: directamente con la fórmula habitual y como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos en los que está dividido:

  1. Con la fórmula habitual

    El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura. En este caso las bases miden a y b, y la altura mide a+b. Por tanto, el área A del trapecio es:

    A=\cfrac{a+b}{2} \cdot (a+b)=\cfrac{(a+b)^2}{2}

  2. Como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos

    El trapecio puede verse como la unión de tres triángulos rectángulos: el inicial dos veces y otro (el de fondo blanco), también rectángulo, cuyos catetos son ambos h y cuya hipotenusa es el último segmento que habíamos añadido. El área A del trapecio queda entonces así:

    A=\cfrac{a \cdot b}{2}+\cfrac{a \cdot b}{2}+\cfrac{h \cdot h}{2}=ab+\cfrac{h^2}{2}

    Ahora igualamos los dos resultados que hemos obtenido para el área y operamos:

    \begin{matrix} \cfrac{(a+b)^2}{2}=ab+\cfrac{h^2}{2} \\ \\ (a+b)^2=2ab+h^2 \\ \\ a^2+2ab+b^2=2ab+h^2 \end{matrix}

    Y restando 2ab en ambos términos obtenemos lo buscado, el teorema de Pitagoras:

    a^2+b^2=h^2

    Como decíamos antes, sencilla y bella demostración de uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas, que además pasa por ser, posiblemente, el teorema del que se conocen más demostraciones distintas (cerca de 400). En Cut-the-knot podéis ver 99 de ellas. La de Garfield está en el quinto lugar.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. En el caso de Colombia hay dos matemáticos políticos relevantes, Antanas Mockus (ex-alcalde de Bogotá) y Sergio Fajardo (gobernador de Antioquia) el último incluso suena para preaidente.

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  2. ¡Me ha encantado, creo que es la demostración más sencilla que he visto, gracias Diamond!

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  3. Chevere la demostración, la expondré en clase a mis estudiantes 🙂

    ^DiAmOnD^, por alguna razón, cuando entro a la página principal (gaussianos.com) no se muestran estas entradas recientes, lo que aparece es la entrada “Olimpiada Matemática Española 2013 – Problema 2: Constante” y anteriores, es decir, no aparecen las entradas: “La demostración del presidente”, “Una curiosidad sobre la representación binaria de los números perfectos” y “Google dedica su doodle de hoy a Leonhard Euler”.

    Di con esta entrada por que la vi en el blog de J.H.S. No sé si sea cuestión de mi computadora que vive en el pasado, o ni idea.

    Cordial saludo.

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  4. ZetaSelberg, prueba borrando la caché de tu navegador, a ver si así funciona.

    Si siguen sin mostrarse esas entradas me lo vuelves a comentar.

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  5. DIAMOND, yo te puedo comentar que a mi funciona tambien muy mal el tema de comentarios sin leer:
    – Yo leo el blog desde: Internet Explorer, Firefox, Dolphin para Android, Safari para IOS

    En cada uno me funciona diferente, durante un tiempo se me quedo en uno de los navegadores con lo mismos comentarios para siempre, mientras que en otros me los actualizaba, en alguno no me funciona el botón de marcar los comentarios como leídos y en otros sí. Y misteriosamente sin hacer nada, de repente un día vuelve a funcionar todo, hasta que otro se vuelve a congelar. Si necesitas que apunte con qué navegador ocurre cada cosa, dímelo y lo haré.

    Personalmente, me gustaba muchísimo más cuando salía una lista con los últimos comentarios y sus autores.

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  6. En la antiguedad no era extraño que los dirigentes tuvieran una educación muy completa no solo de leyes sino de filosofía y ciencias, me parece lamentable que en la actualidad esto en lugar de una norma nos parezca una excepción, creo que es necesario y urgente que regresemos a una educación holística en las escuelas y en los hogares y no permitir más la destrucción de la educación actual principalmente en nuestro país, que solo genera decadencia en la sociedad y beneficio para las minorías en el poder.

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  7. Cuánta razón, PEDRO SP. En una sociedad ideal, además de la imprescindible cualificación gestora de los políticos, debería exigirse (y comprobarse previamente a su aceptación como candidatos a cualquier puesto) un nivel cultural suficiente.
    Si los que van a regir los destinos de los ciudadanos no tienen un nivel de conocimientos muy superior al promedio ¿para qué darles más poder de decisión que a los demás?

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  8. Cartesiano Caótico, hasta cierto punto no es extraño que lo de los comentarios sin leer en ocasiones haga “lo que le dé la gana”. Es un plugin algo antiguo y a veces se le va un poco la olla. Pero el caso es que a mí, hasta ahora, me va bien.

    Para esas veces que se queda como pillado quizás una solución podría ser borrar la caché del navegador en cuestión. Prueba alguna vez y me comentas.

    Y lo del listado de últimos comentarios, te refieres a lo que había abajo en el theme que tuve puesto un tiempo a principios de este año, ¿no?

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  9. DIAMOND, sí, me refiero a esos. Estaba muy bien, porque se veía quien hacía el comentario directamente.
    Hay algunos que tengo fichados, y estoy seguro que no voy a perder el tiempo leyéndolos.
    Muy a menudo me encuentro con comentarios de gente “nada interesante”, y muchas veces son tan sólo trackbacks.
    No podías hacer que los trackbaks no aparezcan en nuevos comentarios?

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  10. Cartesiano Caótico, el problema de lo de los “últimos comentarios” es que solamente se muestran unos cuantos, y no todos los que la persona no ha leído desde su última visita. Pero bueno, me pensaré si incluirlo, dejando también lo de “comentarios sin leer” para que la gente pueda elegir.

    Sobre los trackbacks, no sé cómo hacer para que no aparezcan :(.

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  11. Saludos. Para que no aparezcan los “trackbacks”, basta desmarcar la casilla “trackbacks” que salen en la parte inferior de área donde realizas las publicaciones en wordpress. Si esta casilla no te sale, debes mostrarla yendo a la parte de arriba donde dice “comentarios y trackbacks” o parecido, y cuando aparezca, la desmarcas.

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  12. Delvy, la cuestión sería que se pueda seguir enviando trackbacks pero que el plugin de los comentarios no los muestre. Eso es lo que no sé hacer.

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