La ecuación de Pell

Introducción

El pasado lunes presentábamos un método de resolución de ecuaciones diofánticas lineales. También vimos que no sólo existen este tipo de ecuaciones diofánticas: dependen de los exponentes de sus variables. Por desgracia cuando los exponentes no son 1 (es decir, cuando no son lineales) no tenemos un procedimiento general para resolverlas. Esto lo sabemos desde 1970, cuando Yuri Matiyasévich consiguió demostrar (después de 20 años de trabajo) que no es posible encontrar un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene. Este fue uno de los 23 problemas, concretamente el décimo, que David Hilbert propuso en el año 1900.

Después de este mazazo vamos a alegrar un poco el asunto: aunque no tengamos un procedimiento para todas las ecuaciones diofánticas sí que sabemos resolver algunos casos particulares de ellas. El artículo de hoy trata sobre uno de estos casos: la ecuación de Pell.

La ecuación de Pell

Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica que tiene la siguiente forma:

x^2-dy^2=1

con d un entero que no es un cuadrado perfecto. Por ser una ecuación diofántica lo que se pide es encontrar las soluciones enteras de dicha ecuación.

¿Quién es Pell? John Pell fue un matemático inglés que vivió durante el siglo XVII. La cuestión es que no está muy claro por qué este tipo de ecuaciones llevan su nombre. Al parecer el error lo cometió en gran Euler al asociar un método de resolución de este tipo de ecuaciones a Pell en vez de a Brouncker, el verdadero propietario de dicho método. En su época Euler era un escritor muy leído, por lo que la inclusión de este fallo en uno de sus libros provocó que esta asociación errónea de propagara con gran rapidez.

Pero bueno, no pasa nada, ya vimos hace un tiempo que no podemos fiarnos a ciegas del nombre que acompaña a ciertos resultados.

El estudio de la ecuación de Pell se remonta a la antigua Grecia. En algunos trabajos de Arquímedes se muestra el conocimiento de alguna solución para el caso d=3 y hasta se conjetura que los griegos tenían más nociones sobre el asunto, aunque no se tienen documentos que lo corroboren. Sí se sabe más del estudio sobre esta ecuación realizado en la antigua India. Brahmagupta encontró la solución más pequeña para el caso d=92 y Bháscara una técnica general para encontrar soluciones.

El desafío de Fermat

Pero fue nuestro admirado Pierre de Fermat quien profundizó en la ecuación de Pell. En 1657, al final de su carrera, mandó el siguiente desafío a los matemáticos ingleses:

Dado un número cualquiera que no es un cuadrado existe un número infinito de cuadrados tal que si el cuadrado es multiplicado por el número dado y la unidad es añadida al producto el resultado es un cuadrado.

Es decir, dado d que no es un cuadrado, existen infinitos cuadrados, x^2, tales que si los multiplicamos por d y añadimos 1 a este producto el resultado es un cuadrado, digamos y^2. Esto nos lleva a la ecuación dx^2+1=y^2 que es precisamente la ecuación de Pell.

Dado que, según parece, en la época de Diofanto se tomaban las soluciones racionales como las soluciones válidas de estas ecuaciones, los ingleses resolvieron muy pronto el desafío de Fermat (¿podéis vosotros?). Fermat había incluido en su desafío un preámbulo donde explicaba que se pedían soluciones enteras, pero dicha explicación debió perderse y no llegó a sus destinatarios.

El caso es que Fermat aclaró este punto a los ingleses cuando recibió las soluciones. Estos, aunque indignados por el cambio de las condiciones del problema, se dedicaron a ello. Wallis y Brouncker son los que parece que pusieron más empeño.

En este y en algún otro desafío aparecían separados tres casos particulares de la ecuación de Pell. Concretamente los casos d=61, 109, 149. La razón es que estos casos son bastante más complicados de analizar para d < 200. Esto nos indica que Fermat debía poseer un método general para resolver la ecuación de Pell (no creemos que tuviera tanta suerte al elegir los casos particulares).

La cuestión es que los ingleses, al parecer Brouncker (o al menos Wallis se lo atribuye a él), consiguieron resolver los casos particulares y además dieron un procedimiento general para llegar a la solución para cualquier valor de d. El problema de este método (y posiblemente también del que poseía Fermat, si es que no eran el mismo) es que en ningún momento se demostraba que el método funcionaba siempre. Se aplicaba a una ecuación con un d concreto y se obtenían las soluciones, pero no se demostraba que el método era válido para todos los casos. Puede parecer que esto es un detalle que no tiene demasiada importancia, pero no es así. El mismo Euler fracasó al intentar demostrar este hecho y hubo que esperar más de un siglo para que Lagrange consiguiera dicha prueba.

La ecuación de Pell en la actualidad

En el momento actual el método de resolución de la ecuación de Pell se basa en fracciones continuas. En el artículo de la Wikipedia inglesa dedicado a la ecuación de Pell podéis consultarlo y en este enlace se puede ver de forma más resumida y en español.

Y para terminar os dejo esta web donde dado el valor de d obtendréis la solución mínima para ese caso (encontré esta otra página, pero al parecer no funciona). Recordad que d no puede ser un cuadrado perfecto, aunque también podéis intentarlo con estos y ver qué ocurre en este solucionador.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Como ya se ha dicho en más de una ocasión, una propiedad importante de esta ecuación es que si (x_1,y_1) es la solución fundamental (o mínima), entonces las demás soluciones (x_n,y_n) cumplen x_n+y_n\sqrt{d}=(x_1+y_1\sqrt{d})^n.

    ¿Hallamos todas las soluciones de x^2-29y^2=7? Es un buen ejercicio.

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  2. Me gustaría que alguien me dijera si el siguiente razonamiento que si es correcto, tendría una genial consecuencia: Sea la ecuación ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 con a, b, c, d, e, f enteros, y a y c distintos de 0. Si la escribimos como un polinomio en x tendremos ax^2+(by+d)x+(cy^2+ey+f)=0 y esta es una ecuación de segundo grado en x. Como hemos restringido el polinomio para valores de x e y enteros, si esta última ecuación tiene solución, entonces el discriminante es un cuadrado perfecto. Por esto último, tenemos que
    (by + d)^2 – 4a(cy^2 + ey + f) = w^2 con w entero. Restando a ambos lados w^2, nos queda
    (b^2 – 4ac)y^2 + (2bd – 4ae)y + (d^2 – 4af – w^2) = 0.
    Sea p = b^2 – 4ac, q = 2bd–4ae , r = d^2 – 4af; entonces podemos escribir py^2 + qy + r – w^2 = 0 e igualmente es una ecuación de 2º grado en y, que para tener solución, debe tener como discriminante a un cuadrado perfecto (al igual que en el otro caso), por lo que
    q^2 – 4p(r – w^2) = z^2, con z entero. La ecuación anterior puede ser escrita como
    z^2 – 4pw^2 = q^2 – 4pr, la cual es una ecuación de Pell con d=4p y N = q^2 – 4pr.

    Esto significa que toda ecuación diofántica general de segundo grado se puede reducir a una ecuación de Pell, con lo cual, con sólo saber cómo resolver una ecuación de la forma x^2 - dy^2 = N, con d y N enteros se puede resolver un caso mucho más general. Esto sería realmente espectacular. ¿Alguna falla en el razonamiento? Lo saqué de aquí: http://www.educajob.com/xmoned/temarios_elaborados/matematicas/tema15.pdf.

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  3. En un libro Algebra Moderna leo en el capitulo sobre campos algegraicos que la teoria de la extension de campos algebraicos es la base de la teoria de las funciones algebraicas y sus integrales.

    Alguien puede ampliar brevemente esa afirmacion en alguna direccion?

    muchas gracias.

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  4. como forma de “Pago” para la consulta anterior, les cuento sobre el tema del numero pi, representado por una medusa.

    Como lei en Gaussianos hace un tiempo, la letra griega pi es igual a una medusa y su picadura.

    Los antiguos representaban la medusa (cuya picadura es como la letra pi) como una especie de enjambre de serpientes.

    Los antiguos, por otra parte y en la mitologia, le daban un gran significado a la serpiente (i.e. en el relato de la caida, de la Biblia o Antiguo Testamento) por la siguiente razon: su lengua se divide en dos partes…es un animal “bífido”. O sea, su lengua tiene “dimension dos”.

    Ellos, los antiguos, tomaban esa dimension dos de la lengua de la serpiente como simbolo de la “Dualidad” (que el monoteismo de la Biblia observo como algo “malo”, por eso quedo ubicado en el relato de la “caida” en el pecado).

    Nietzsche, por ejemplo, celebro la “Dualidad” como algo bueno (combatio las ideas de la Biblia).

    Entonces, queda que la medusa es un enjambre de partes, cada una de las cuales tiene dimension dos.

    Luego, podria ser que la letra pi, represente de algun modo la “clausura” de la dimension dos. (esto es en cierta manera una conjetura mia, que agrega el concepto de “clausura”)

    Gracias.

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  5. Nicolás,
    Leí que el problema del ganado, de Arquímedes, tal vez no fuera de él. Tan sólo con el ánimo de ver si tenía belleza suficiente como para ser atribuido a un genio… me metí con él y en consecuencia con problemas de esta naturaleza. Tu planteamiento parece genial, asequible y fácil. Bello diría yo. Te veo con capacidades de programar (a lo mejor me equivoco). Si puedes, debes hacerte tu solucionador y bombardearlo con casos simulados… Si responde, no necesitarás el aplauso de nadie para saber que el método vale. Yo, tal vez, algún día lo haga.

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  6. Nicolás,

    Tienes una confirmación en:

    “Lecciones populares de matemáticas”
    “Resolución de ecuaciones en números enteros”
    “A.O.Guelfond”
    “Editorial MIR – Moscú – 1979”

    … dice en p.46..48:

    “./..

    x^2 – A y^2 = C (73)

    ./..

    La resolución, en números enteros, de ecuaciones mas generales de segundo grado y con dos incógnitas, del tipo:

    Ax^2+Bxy+CY2+Dx+Ey+F=0

    donde A, B, C, D, E y F son números enteros, se reduce mediante sustituciones de las variables, a la resolución de ecuaciones del tipo(73), siendo A positivo o negativo.”

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