La espiral de Sacks

Seguimos con la temática principal de esta semana. Hoy os traigo una variante de la espiral de Ulam: la espiral de Sacks.

La espiral de Sacks es una especie de variante de la espiral de Ulam descubierta por Robert Sacks en 1994. La idea es colocar todos los números naturales, comenzando desde el cero, sobre una espiral de Arquímedes. Se construye de la siguiente forma:

Colocamos el cero en el comienzo de la espiral. Después vamos colocando los números enteros positivos sobre la espiral a distancia proporcional haciendo que los cuadrados perfectos queden alineados hacia la derecha en la fila central. Algo así:

Comienzo de la espiral

La idea ahora es resaltar los primos sobre los compuestos.

Como podéis ver la situación es parecida a la de la espiral de Ulam: una cierta disposición de los números naturales que no debería tener demasiada importancia en la que resaltamos los números primos.

Posiblemente a la larga se descubra que en realidad no la tiene, pero en este caso también aparecen situaciones cuanto menos curiosas. La siguiente imagen muestra la espiral de Sacks para 2026 puntos:

Espiral para 2026 puntos

Comienzan a intuirse ciertas curvas como más primos que otras. Veamos una imagen con más puntos, en concreto con 46656:

Espiral para 46656 puntos

Ahora se ven más claramente algunas curvas con una realmente destacable densidad de números primos, como la señalada con la flecha. No creo que pueda negarse que esto convierte a este tipo de construcciones en objetos dignos de estudio. Quién sabe si en algún momento pudieran servir para predecir la situación de números primos realmente grandes.

El estudio que puede realizarse de los detalles de esta construcción es bastante amplio. Por ejemplo, pueden reconocerse muchas curvas cuyos elementos tienen características comunes, como que todos tienen una descomposición en factores similar o que están relacionados con el mismo polinomio de segundo grado. Os recomiendo el primer enlace de las fuentes para profundizar sobre el tema.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Ya sé de dónde sacaron el diseño de la Estrella de la Muerte… ¡un momento! ¡Que la espiral de Sacks es del 94!

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  2. Esta interesante espiral resulta ser también otro pseudo patrón de números primos, al igual que la espiral de Ulam.

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  3. Curioso. ¿existirá alguna espiral que muestre un patrón perfectamente definido de los números primos?

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  4. Me recuerda mucho a las lineas de fuerza de un campo magnético.

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  5. Visualmente opueden apreciarse varios hechos:

    1. Existe una simetría claramente en la imagen alcanzada, esto es, puede apreciarse dos ejes cartesianos perpendiculares sobre la imagen perfectamente definida.
    2. Las curvas se distribuyen siguiendo un mismo patrón.
    3. Habría ver qué pasaría si doblásemos la imagen como un papel sobre el eje central de la misma. Podríamos llevarnos sorpresas.
    4. Las lineas centrales acaban discurriendo paralelas, para juntarse en los extremos. Esto es una representación de que en el infinito, las paralelas se juntan.

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  6. No lo sé, nunca he estado allí. De hecho el punto, como tal, tampoco existe. Sólo es una posición.

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