La espiral de Ulam

Hay conferencias y conferencias. Las hay cortas y las hay extensas; las hay aburridas y las hay entretenidas; algunas por la temática parecen una muerte y luego resultan ser muy interesantes, al igual que otras parece que van a ser buenas por lo llamativo del título pero acaban siendo un auténtico…digamos…somnífero.

Quien más quien menos ha asistido alguna vez a una conferencia. Yo mismo asistí a varias en mis años de carrera. Recuerdo principalmente dos de ellas, una sobre matemáticas y pompas de jabón y otra sobre fractales, que me encantaron. Bueno, en realidad también recuerdo haber asistido a una de esas que he comentado antes que a priori parecen interesantes pero que al final resultan aburridísimas. Además la ponencia corría a cargo de un matemático francés que la dio en inglés. Casi nada.

El caso es que Stanislaw Ulam (sí, el del Cuaderno Escocés) debió asistir a una conferencia de este tipo cuando comenzó nuestra historia, concretamente en 1963. Cuando uno se encuentra en esa situación tiene varias opciones: abandonar la sala (posiblemente sea una opción de mal gusto, pero ahí está), leer o estudiar (si uno está en situación de ello), comentar con el compañero para evitar los bostezos…Nuestro amigo Ulam optó por otra: escribir en un papel. ¿Qué escribió? Pues como buen matemático lo que escribió fueron números. En concreto números naturales comenzando en el uno.

En principio este hecho no tiene nada de particular. ¿Qué podrían significar un puñado de números escritos en un papel? Al menos Ulam eligió una disposición original para estos números: en forma de espiral, como puede verse en la siguiente figura:

Disposición de los números naturales en espiral

Bien, queda curioso el asunto. Utilidad y novedad nula, pero curioso.

Claro, supongo que Ulam se cansó en algún momento de escribir número y observando su creación se preguntaría qué hacer ahora (la conferencia debía ser una castaña de mucho cuidado a ojos de Ulam). Me estoy imaginando lo que pasó por la cabeza de Ulam en esos momentos:

Mente de Stanislaw Ulam: ¿Qué números podrían ser significativos para resaltarlo en tal espiral? Qué mejor que los primos. Bueno, pues vamos a marcarlos en la espiral.

En este punto os animo a que lo intentéis, a que escribáis unos cuantos números desde el uno en adelante en forma de espiral (cuantos más mejor) y marquéis los números primos de alguna forma para que resalten sobre el resto. Seguimos con Ulam:

Mente de Stanislaw Ulam: Mira qué bien queda. Un momento, qué casualidad, pues no que parece que se agrupan en diagonales. Bah, seguro que es casualidad. En cuanto aumente el tamaño de la espiral posiblemente la disposición sea tan caótica como parece serlo entre los números naturales.

Pero aumentando el tamaño de la espiral…

Mente de Stanislaw Ulam: ¡¡Pero bueno!! ¡¡Si el patrón de los primos en diagonal es aún más evidente conforme aumentamos el tamaño de la espiral!!

Y en realidad así es. Misteriosamente los números primos tienden a agruparse en ciertas diagonales. No todos, cierto, pero sí que puede considerarse como realmente curioso que en una disposición de los números naturales de este tipo exista esta tendencia de agrupación, digamos, gráfica, de un conjunto con tan pocas regularidades como los números primos. Echad un ojo a esta imagen y lo podréis ver con más detalle:

Espiral de Ulam

Quizás sea necesario aclarar un hecho en este momento. Sabemos que, excepto el 2, todos los números primos son impares. Teniendo en cuenta esto es evidente que en una representación en espiral como la anterior todos los impares caen en diagonal, por lo que todos los primos caen en las diagonales. Lo sorprendente de la espiral de Ulam no es eso, sino que exista cierta tendencia de los números primos a caer en algunas diagonales más que en otras. Aumentando mucho el tamaño de la espiral se pueden ver diagonales con muy pocos números primos y diagonales repletas de ellos. Eso es lo sorprendente, y para mí difícilmente explicable, de la espiral de Ulam.

Por cierto, parece que estos mismos patrones también se presentan si comenzamos la espiral con otros números. Este hecho es aún más importante, ya que podría significar que la agrupación de los números primos en ciertas diagonales es independiente del comienzo de la espiral, confirmando así un patrón de los mismos. La cosa sería ver cómo podríamos utilizar esto para comprender mejor este conjunto de números tan misterioso.

Os dejo a continuación un par de enlaces interesantes sobre el tema:

  • Applet de java sobre la espiral de Ulam en la web de Darío Alpern. Pueden verse los números naturales hasta 10^{14}, con los números primos marcados en verde. Además aparece alguna explicación interesante sobre el tema.
  • Espiral de Ulam en forma de triángulo.

Moraleja: No desechéis ninguna de vuestras ideas, por tonta, simple o descabellada que os parezca. Analizadla y estudiadla antes de olvidarla, ya que en cualquier lugar podemos encontrarnos un hecho curioso, interesante o sorprendente.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. No sé por qué, pero lo primero que he pensado, cuando he leido el artículo y he visto la disposición de los primos, ha sido en la conjetura de Goldbach….

    Publica una respuesta
  2. Cabe aclarar que la espiral de Ulam no es patrón de los números primos, sino un pseudo-patrón. Por si sola no puede explicar la distribución de los primos. Una vez trazada la espiral cuadrada, el dibujante debe incorporporar la posición de los números primos sabiendo de antemano el lugar que ocupa cada uno de ellos.

    Publica una respuesta
  3. Una explicación podría ser la siguiente:
    Es sabido que los números naturales que aparecen en cada renglón, columna o diagonal de la espiral cuadrada original pueden generarse con fórmulas. Por ejemplo: Una de las diagonales centrales formada por los números 1,3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,… se genera con la fórmula a(n)=n^2-n+1. Dado que cada una de estas fórmulas, de acuerdo a su composición, genera un conjunto distinto de números naturales, algunos de los cuales pueden ser primos, resulta lógico esperar que las diagonales de la espiral de Ulam contengan distintas distribuciones de primos y de no primos. Las diagonales que se corresponden con las fórmulas que generan mayor cantidad de primos, hasta un número determinado, aparecen resaltadas con respecto a las otras.

    Publica una respuesta
  4. Con el applet de Java que se menciona en el artículo se puede cambiar el número inicial del centro (usando las flechas negras de la derecha). Cambiando a 41 se obtiene una diagonal muy grande de números primos partiendo del centro (hay que hacer zoom out para verlo mejor).

    Por cierto, una amiga mía, Esther Ferrer (reciente premio nacional de bellas artes), ha realizado una serie de obras, algunas de gran formato, con la espiral de Ulam.
    La más grande está en Vitoria.
    Podéis verlo aquí, un poco. http://www.arteleku.net/estherferrer/exposiciones.html#

    Saludos desde Tenerife.

    Publica una respuesta
  5. Javier, la diagonal que obtienes poniendo el origen en 41 es 41+x+x^2, la fórmula de Euler que da 40 primos consecutivos. Voy a ver como queda gráficamente… 😉

    Publica una respuesta
  6. Mmonchi, ¡efectivamente tienes razón! No recordaba yo la fórmula ni dónde la había visto, así que no la mencioné.
    ¡Gracias por darte cuenta!

    Publica una respuesta
  7. Mmonchi, para ver la espiral de Ulam, comenzado con cualquier número natural, puedes utilizar el Applet de java realizado por Dario Alpern cuyo enlace aparece en el encabezado de este post. Si se comienza con el 41 entonces aparece un gran diagonal de números primos.

    Publica una respuesta
  8. A mi me parece un caso de “pareidolia”.

    ¿Alguien ha comprobado si no sucede lo mismo utlizando números impares al azar?. Cuando digo al azar me refiero teniendo en cuenta la densidad estimada de los números primos. Para mi que se verían diagonales muy similares.

    Publica una respuesta
  9. Creo que solo se trataría de un caso de pareidolia si alguien cree estar percibiendo en esa espiral algún patrón. Eso sería caer en un grueso error, ya que la espiral de Ulam no muestra ninguno.

    Publica una respuesta
  10. Pues para mí son gráficos similares, solo que en la espiral de Ulam las diferencias entre diagonales son mas notorias debido a que los números primos no están distribuidos al azar, sino que son el resultado de un patrón geométrico subyacente.

    Publica una respuesta
  11. Bueno, pero ese es justamente el punto intrigante.
    El punto es que, según yo creía saber, los números primos tienen una distribución “casi estrictamete aleatoria”, en cierto sentido no muy fácil de precisar, pero bastante fuerte
    (ver por ej: http://terrytao.files.wordpress.com/2009/09/primes_paper.pdf ) y a mí no me queda claro cómo esto es compatible con el patrón que se observa en la espiral (y que, como se ve, no se observa en una distribución al azar).

    Publica una respuesta
  12. En la espiral de Ulam no se observa una distribución al azar porque los números primos no están distribuidos al azar. Cada diagonal responde a una fórmula.

    Publica una respuesta
  13. Hernán, me gustaría ver la espiral con los números p+4 resaltados, donde p es primo. Esta secuencia contiene primos y compuestos: 6,7,9,11,15,17,21,23,27,33,…
    ¿Puedes mostrarnos la espiral?

    Publica una respuesta
  14. Si no te entiendo mal, lo que pides es la misma espiral desplazada cuatro lugares (lo que equivale a lo que te permite hacer el applet, cambiando el numero de origen; aunque en tu caso correspondería a empezar en -4; pero no creo que difiera mucho de los otros desplazamientos…)

    Publica una respuesta
  15. Cierto, ambos métodos son, en esencia, equivalentes:
    1) Dezplazar el origen de la recta numérica y remarcar unicamente los núméros primos, como muestra el Applet de Dario Alpern.
    2) Comenzar desde cero y remarcar unicamente p+k, siendo p primo, con lo cual se obtiene una secuencia que no es la de los números primos, aunque mantiene sus primeras diferencias a partir del primer número remarcado.

    Publica una respuesta
  16. QUE MIS ALUMNOS DE HISTORIA DE LA MATEMATICA QUEDARAN SORPRENDIDOS CON LA ESPIRAL DE ULAM POR EL PATRON O SEUDOPATRON QUE SIGUEN LOS NUMEROS PRIMOS…

    Publica una respuesta
  17. CURIOSO muy curioso.. igual habria que ver el grupo de simetrias y porque los primos se analizan asi, alguien dijo que los primos podrian tener estructura FRACTAL :d debido a que los ZEROS de la funcion zeta de Riemann tiene parte 1/2

    yo NUNCA suelo desechar una idea , pero cuando la intento publicar me la deniegan 🙁 eso es todo 🙂 jeje

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Twitter Trackbacks for La espiral de Ulam | Gaussianos [gaussianos.com] on Topsy.com - [...] La espiral de Ulam | Gaussianos gaussianos.com/la-espiral-de-ulam – view page – cached Hay conferencias y conferencias. Las…
  2. La espiral de Ulam - [...] La espiral de Ulamgaussianos.com/la-espiral-de-ulam/ por MiGUi hace pocos segundos [...]
  3. Mezclando primos con compuestos | Gaussianos - [...] 6 en La espiral de Ulam [...]
  4. Difícil en la práctica | Gaussianos - [...] 12 en La espiral de Ulam [...]
  5. La espiral de Sacks | Gaussianos - [...] 12 en La espiral de Ulam [...]
  6. (Lo que yo considero) Lo mejor de 2009 en Gaussianos | Gaussianos - [...] La espiral de Ulam La proyección estereográfica ¿Cómo se construyen los mapas terrestres? Cómo resolver ecuaciones diofánticas [...]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *