La fórmula de Euler para poliedros es una de esas maravillas que podemos encontrar a lo largo y ancho del mundo de las matemáticas. Esta fórmula dice que para cualquier poliedro convexo su número de caras menos su número de aristas más su número de vértices es igual a 2. Sí, siempre 2.

Dicha fórmula se atribuye a Euler, pero ¿pudo haber sido Descartes quien la descubrió primero? Sí, pero no. Bueno, no, pero sí…Vamos a verlo.

Antes de nada recordemos que un poliedro es convexo cuando todo segmento que une dos puntos del poliedro queda totalmente contenido en el interior del propio poliedro.Por ejemplo, un cubo es un poliedro convexo, pero el sorprendente poliedro de Császár no lo es.

Tomemos un poliedro convexo cualquiera y vayamos a un vértice. En él concurrirán una cierta cantidad de aristas, ¿verdad? Pues calculemos los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas y sumémoslos. Nos quedará un ángulo menor que 360º, menor que 2 \pi radianes. Al resultado de restar 2 \pi menos esa suma de ángulos concurrentes en un vértice lo llamaremos defecto angular de ese vértice. Por ejemplo, para un vértice cualquiera de un cubo tenemos que los tres ángulos que concurren en él miden 90º

Por tanto, el defecto angular en cualquier vértice de un cubo sería

2 \pi - 3 \cdot \cfrac{\pi}{2}= \cfrac{\pi}{2}

Se puede ver de otra forma: desplegamos el poliedro en la zona de un vértice y medimos lo que le falta para cubrir un ángulo igual a 2 \pi, para rodear completamente a ese vértice. Ese ángulo es el defecto angular del vértice:

(Imagen tomada de aquí)

Calculamos ahora los defectos angulares de todos los vértices de nuestro poliedro convexo y sumamos todos los resultados. Bien, pues Descartes demostró que la suma de los defectos angulares de todos los vértices de un poliedro convexo es siempre igual a 4 \pi, a 720º. Sí, siempre 4 \pi.

Volveremos a esto pronto, pero olvidémoslo por ahora. Llamemos ahora \Delta_i al defecto angular en el vértice i \in \{1, \ldots , n \} y \Delta a la suma de todos esos defectos angulares. Vamos a encontrar una interesante expresión para este \Delta.

Supongamos que tenemos un poliedro convexo con C caras, A aristas y V vértices. Si llamamos S_i a la suma de los ángulos concurrentes en el vértice i, tenemos que el defecto angular en dicho vértice es \Delta_i=2 \pi -S_i. Si llamamos S a la suma total de todos los ángulos de todas las caras del poliedro, tenemos lo siguiente:

\displaystyle{S=\sum_{i=1}^V S_i=\sum_{i=1}^V (2 \pi - \Delta_i)=2 \pi V - \sum_{i=1}^V \Delta_i=2 \pi V- \Delta}

Calculemos ahora S de otra forma. En una cara que tenga i aristas, la suma de los ángulos de dicha cara es i \pi -2 \pi (ya que esa cara se puede descomponer en i triángulos y tendríamos que restar el 2 \pi que se formaría en el vértice central de la descomposición). Si llamamos C_i al número de caras que tienen i aristas (con i de 3 hasta un cierto k), tenemos que el número de caras C es igual a C_3+ \ldots + C_k.

Con todo esto, la suma de todos los ángulos se calculará multiplicando la suma de los ángulos de una cara con i aristas por el número de caras con i aristas, y después sumando las cantidades obtenidas para todas las caras, es decir:

S=\displaystyle{\sum_{i=3}^k (i-2) \pi C_i=\left ( \sum_{i=3}^k i C_i-2 \sum_{i=3}^k C_i \right ) \pi=(2A-2C) \pi}

donde se ha usado que

\displaystyle{\sum_{i=3}^k i C_i=2 A}

ya que cada arista se cuenta dos veces (cada una de ellas pertenece a dos caras).

Tenemos entonces dos valores de S. Los igualamos y despejamos \Delta:

\begin{matrix} 2 \pi V- \Delta=(2A-2C) \pi \\ \Delta =2 \pi V - (2A-2C) \pi \\ \\ \Delta=2 \pi (C-A+V) \end{matrix}

Os suena la expresión que aparece entre paréntesis, ¿verdad? Exacto, es la que aparece en la fórmula de Euler, y que ppor tanto sabemos que vale 2. Pero entonces la suma de los defectos angulares, \Delta, vale 4 \pi, como demostró Descartes. Pero entonces, evidentemente, si es cierto el resultado demostrado por Descartes, que \Delta=4 \pi, entonces se tiene que C-A+V=2, que es la fórmula de Euler.

En consecuencia tenemos que el teorema de los defectos angulares de Descartes y la fórmula de Euler son resultados equivalentes. Por eso decía al principio que sí, pero no y que no, pero sí. Descartes no descubrío la fórmula de Euler antes que el propio Euler, pero sí demostró un precioso resultado que además es equivalente a dicha fórmula. Sin duda una bonita historia.

Fuente:

  • Las mil caras de la belleza geométrica, de Claudi Alsina.

Esta es mi quinta aportación a la Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, que este mismo blog aloja.

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