La función Gamma: una generalización del factorial

La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:

Si a_n=n!:

a_0=1
a_{n+1}=(n+1) \cdot a_n

Es decir, el factorial de {0} es 1 (0!=1) y el factorial de un número entero mayor que {0} es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior ((n+1)!=(n+1) \cdot n!). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que n!=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1, o lo que es lo mismo, n! es el producto de todos los números naturales desde n hasta 1. Por ejemplo:

3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6
5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120

Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?

En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma

La función Gamma

La función Gamma se define para todo número complejo z cuya parte real positiva de la siguiente forma:

\displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt}

Esta definición puede extenderse \forall z\in\mathbb{C-Z^-}, siendo \mathbb{Z^-} el conjunto de los números enteros negativos.

Vamos a ver algunas propiedades de esta función:

Propiedades

  1. \Gamma(1)=1
  2. \Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)
  3. \forall n\in\mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n! (consecuencia de la propiedad anterior)
  4. \displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}
  5. \Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right )= \sqrt{\pi} (consecuencia de la propiedad anterior)
  6. \Gamma(1-z) \Gamma(z) = \cfrac{\pi}{\sin{(\pi z)}}

Generalización del factorial

La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:

\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z+1-1}e^{-t}dt=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt}

Utilizando integración por partes, siendo u=t^z y dv=e^{-t}dt. Por tanto du=z \; t^{z-1} y v=-e^{-t} y nos queda:

\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt=-e^{-t} \; t^z \Bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} z \; t^{z-1}e^{-t}dt}

El primer término vale {0} (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando z de la integral, es z \; \Gamma(z). Por tanto:

\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z).

Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni \gamma.

Hay muchos más sitios donde aparece la función \Gamma. Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.

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9 comentarios

  1. Toro sentado | 5 de noviembre de 2007 | 19:00

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    Me gustaría saber si hay algún método para calcular la función Gamma para cualquier argumento.

  2. Domingo H.A. | 5 de noviembre de 2007 | 21:55

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    En relación a la fórmula de duplicación de Legendre \displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}, indicar la también curiosa fórmula de triplicación:

    \displaystyle{\Gamma(3z)=(2\pi)^{-1}\cdot 3^{3z-1/2}\Gamma(z)\Gamma(z+1/3)\Gamma(z+2/3)}

    y en general la fórmula de multiplicación de Gauss

    \displaystyle{\Gamma(z)\Gamma(z+1/n)\ldots\Gamma(z+(n-1)/n)=(2\pi)^{(n-1)/2}\cdot n^{1/2-nz}\cdot\Gamma(nz)}

    Otra curiosidad es que la fuinción gamma es analítica en todo el plano complejo menos en los enteros negativos, de tal forma que en el punto z=-k tiene residuo igual a (-1)^{k}/k!

    Y lo mejor (a mi entender) es la relación con la función zeta de Riemann \displaystyle{\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-z}}, que permite extender a ésta a todo el plano complejo exceptuando el punto z=1:

    \displaystyle{\Gamma(s/2)\cdot\pi^{-s/2}\zeta(s)=\Gamma((1-s)/2)\cdot\pi^{-(1-s)/2}\cdot\zeta(1-s)}

  3. Toro sentado | 6 de noviembre de 2007 | 00:04

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    En Wikipedia
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma
    se puede encontrar una aplicación de la función Gamma muy sorprendente. Se trata de una extensión del concepto de derivada al cálculo de la derivada 1/2 de funciones del tipo a \cdot x^b

  4. juan edwin | 17 de noviembre de 2007 | 00:51

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    Amigos estoy buscando informacion sebre la representacion integral de hankel…bueno el cual define la funcion gamma para complejos,pero …cual es la regla de correspondencia…….lees dejo mi correo ,,,,aver si ayudan.gracias bye

  5. juan edwin | 17 de noviembre de 2007 | 00:53

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    ha mi correo es [email protected] …para cualquier preguntas……..sobre ciencia…….

  6. fisicoenapuros | 10 de enero de 2008 | 19:24

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    y la generalizacion del factorial a numeros negativos?? se q se puede hacer, xo no m acuerdo…

  7. Luis GSA | 29 de julio de 2013 | 17:13

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    Creo que es mejor decir que la función Gamma interpola al factorial (es decir su gráfica pasa por los puntos de la gráfica de n!) en lugar de generaliza al factorial. ¿Qué sería, por ejemplo, el factorial de cualquier real x con 3< x < 4? La definición de factorial necesita de “sucesores” que se dan en la relación de orden usual de los reales pero sólo en el subconjunto Z y no en los racionales y a fortiori no en los reales (lo que se puede hacer es definir para cada real x una función F “pseudo- factorial” por F(x+1) = xF(x) con alguna condición adicional que remede al factorial pero, ¿cuántas “generalizaciones” de n! habría entonces?) Eso sí, en la infinidad no numerable de funciones que interpolan al factorial, la función Gamma es, sin duda hasta nuevo aviso, la más notable.

  8. Trackback | 30 jul, 2013

    Una mejora de Ramanujan para la fórmula de Stirling - Gaussianos | Gaussianos

  9. jose | 30 de julio de 2013 | 23:41

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    curiosamente sobre la funcion gamma y zeta tenemos que  zeta(1+s)=Gamma ' (1)+ 1/s

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