La gran belleza de los cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos, inocentes cuadrados con números que esconden propiedades tan interesantes. Pero no todos son iguales, ni mucho menos. Los hay muy simples, que cumplen con las propiedades justas para llamarlos mágicos, y también los hay que tienen características interesantes para dar y tomar.

Por aquí ya hemos hablado sobre cuadrados mágicos. Vimos qué era un cuadrado mágico numérico (la suma de las filas, las columnas y las diagonales es siempre la misma), qué era la constante mágica en cuadrados mágicos con los números del 1 al n2 y métodos para construirlos. Hoy vamos a ver muchos cuadrados mágicos, pero no de los habituales, no de los simples. Vamos a ver cuadrados mágicos numéricos que cumplen muchas más propiedades que los habituales; también veremos algunos en los que el producto (en vez de la suma) es la operación protagonista; y hasta alguno que no es numérico.

Espero que después de admirar todas estas maravillas matemáticas la magia que desprenden estos cuadrados haya penetrado en vuestras mentes para quedarse ahí para siempre.

El cuadrado mágico de Durero

De éste ya hemos hablado en Gaussianos:

Aparece en el grabado de Durero Melancolia I. La suma de las filas, las columnas y las diagonales es 34, número que puede encontrarse en muchas otras combinaciones de números del propio cuadrado. No os perdáis el post que le dediqué no hace mucho: El cuadrado mágico del pintor.

El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

En la Sagrada Familia de Barcelona tenemos otro cuadrado mágico interesante, que fue diseñado para la llamada Fachada de la Pasión por el escultor Josep María Subirachs. Es éste:

Es del estilo al de Durero, pero se han rebajado algunos números para forzar que la constante mágica del cuadrado sea 33, lo que hace que haya números repetidos. Hay diversas interpretaciones para ello, como que se hizo porque es la edad a la que muere Jesucristo, uno de los personajes principales de la obra literaria “La Biblia”, o que está relacionada con la masonería. Sea como fuere, este cuadrado mágico también es muy interesante, y de él han hablado, por ejemplo, en la trébede y en Microsiervos.

Cuadrados mágicos de productos

Pero no solamente de sumas viven los cuadrados mágicos. También los hay en los que el productos de los elementos de cada fila, columna o diagonal dan el mismo resultado, como éste, donde esos productos dan todos 216.

o el que nos presentó Javier Cilleruelo en el tercer desafío RSME-El País.

Cuadrados alfamágicos

Y no solamente de números viven los cuadrados mágicos, sino también de letras. Bueno, de la cantidad de letras, como ocurre en este cuadrado que nos enseñaron en Futility Closet:

Es un cuadrado mágico habitual con los números que contiene. Pero, además, si sustituimos cada número por la cantidad de letras que tiene su nombre en inglés, el resultado es otro cuadrado mágico. Este problema también se trató en la serie de desafíos RSME-El País por parte de Jose Luis Carlavilla, profesor en la UCLM, en el desafío 22. Y de él también han hablado en este post de Simplemente números.

Un cuadrado mágico con letras

Decíamos que las letras, en lo que se refiere al número de letras del “nombre” de los números, también tienen su hueco en el mundo de los cuadrados mágicos. Pero las letras en sí también tiene su lugar reservado en este apasionante mundo. El caso más conocido es, sin duda alguna, el Cuadrado Sator, en el que aparecen las palabras latinas SATOR, AREPO, TENET, OPERA y ROTAS formando el siguiente cuadrado mágico:

(Imagen tomada de aquí)

Yo no conozco más casos de este tipo. Si alguien sabe de alguno más que lo comente.

Mezclando suma y producto en un cuadrado mágico

Hemos visto cuadrados mágicos que lo son usando la suma y otros que lo son usando producto. ¿Y las dos a la vez? Sí amigos, hay cuadrados mágicos que lo son con la suma y también con el producto. Os dejo este ejemplo, sacado del grandioso blog Futility Closet. En él, que podéis ver aquí, la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 840, y el producto de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 2058068231856000:

Mezclando sumas con potencias

Y también los hay dobles por sumas y potencias, como éste otro que he tomado también de Futility Closet. En él la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 260, y a elevar al cuadrado todos los elementos obtenemos otro cuadrado mágico donde la suma de los elementos de toda fila, toda columna y las dos diagonales es 11180:

Maravilloss cuadrado mágico en homenaje a Martin Gardner

Precioso homenaje el que le da Richard Wiseman a nuestro siempre querido y admirado Martin Gardner en forma de cuadrado mágico. Grandioso vídeo:

El cuadrado mágico del 19 y las expresiones decimales

Ni siquiera las expresiones decimales se libran. En este caso le toca a las expresiones decimales de las fracciones k/19, con 1 \le k \le 18:

Todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado formado por estos números suman 81. No me digáis que no es impresionante. Y, de nuevo, es Futility Closet quien no lo enseña en este post.

Cuadrado mágico con números primos

¿Y si le pedimos a todos los elementos de un cuadrado mágico que sean primos? ¿Obtendremos alguno? ¡Claro! Por ejemplo éste:

En él todos los elementos son números primos y la suma de cada fila, columna y diagonal es 258.

En MathForum han hablado sobre él y también sobre muchísimas otras cosas relacionadas con cuadrados mágicos (enlace muy recomendable).

Construyendo un cuadrado mágico a partir de otro

Curiosísima manera de construir un cuadrado mágico a partir de otro que nos muestran en este post del gran blog Juegos de Ingenio. De éste no digo nada más, os dejo que lo veáis por vosotros mismos.

El monstruo 13×13

Y, cómo no, nuestro gran amigo Tito Eliatron también se ha unido en algún momento a la fiebre de los cuadrados mágicos. Lo hizo con este monstruoso cuadrado mágico 13×13 que esconde una gran cantidad de propiedades interesantes:

Si tomamos el 3×3 central obtenemos un cuadrado mágico, si tomamos el 5×5 central también, y el 7×7, y el 9×9 y el 11×11…y, además, la constante mágica de cada uno de ellos es la del inmediatamente inferior más 10874. Todavía estoy con la boca abierta.

El twist

Y de nuevo Futility Closet aparece en esta serie de cuadrados mágicos. En este caso es para enseñarnos este cuadrado mágico twist, con contante mágica 157, que cumple que al girarlo 90º nos da también un cuadrado mágico con la misma constante:

El cuadrado mágico de Benjamin Franklin

Y aquí tenemos otro de esos cuadrados mágicos que uno no llega a entender cómo se descubren, o cómo se construyen, dada la tremenda cantidad de propiedades que contiene. Es el denominado cuadrado de Franklin:

y también nos lo enseñaron en este post de Futility Closet. Su constante mágica es 260 (aunque las diagonales no suman eso), pero, como decíamos, encierra una gran cantidad de curiosidades dignas de mención. Por ejemplo, cada mitad de una fila y de una columna suma 130, los cuatro números de las esquinas y los cuatro números centrales también suman 130, la suma de los elementos de cada cuadrado 2×2 que tomemos es 130 (¿¿??), los cuatro elementos de una diagonal ascendente junto con los cuatro de la correspondiente descendiente también sman 260…y seguro que hay más propiedaes interesantes ocultas.

Y el remate final: cuadrados mágicos con figuras geométricas

Los hay de números (de todos los tipos habidos y por haber), de letras (tanto de cantidades de letras como de letras en sí)…¿Por qué no de figuras geométricas?

En la galería de Geomagic Squares aparecen muchísimos, como el de la figura superior (en Microsiervos también hablaron sobre ellos). Realmente curiosos, ¿verdad?

Y, para terminar, os dejo uno de estos con figuras geométricas que habría venido muy bien para el día de San Valentín. Un bonito cuadrado mágico de figuras y corazones que pudimos ver el año pasado en SpikedMath:

Creo que no podréis negar que es maravilloso.


Espero que el espíritu mágico de estos objetos matemáticos os rodee ahora, que estos cuadrados mágicos os hayan encandilado de la misma forma que lo hicieron (y lo siguen haciendo) conmigo. Y, como siempre, espero vuestras aportaciones a esta selección. Seguro que tenéis muchas cosas nuevas e interesantes que mostrarnos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Vaya que son muy bellos, siempre he encontrado mucha emoción por ellos definitivamente por eso son mágicos 🙂

    Creo recordar un cuadrado mágico especial el cual resuelve el problema del recorrido del caballo (cubrir todo el tablero del ajedrez con un caballo ) encontrada por Euler, ese a mi parecer es muy especial

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  2. Octave tiene una función en la que tu escribes magic(n) y te crea una matriz la cual es un cuadrado mágico de orden n.

    En clase probamos con matrices de orden 1000×1000 y cosas asi y las hacía 🙂

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  3. Para cuadrados mágicos como el de letras, parece cumplirse:

    Siendo un número de letras impar de una fila y mayor de 5, tomamos la mitad de ellos mas uno, osea 3 por un lado y dos por el otro, y los intercambiamos, y así 4 veces más con cada fila.

    Ejemplos:

    ABCDE
    DEABC
    BCDEA
    EABCD
    CDEAB

    ABCDEFG
    EFGABCD
    BCDEFGA
    FGABCDE
    CDEFGAB
    GABCDEF
    DEFGABC

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  4. Respecto del ROTAS OPERA TENET AREPO SATOR (yo lo conocía en este orden), existe otro cuadro similar:

    NATAS
    AMATA
    TABAT
    ATAMA
    SATAN

    Ciertas corrientes esotéricas los presentan como complementarios, y a la vez antagónicos. El primero sería positivo e invocaría a Dios, y el segundo negativo y referido al Diablo. Pero de este segundo no conozco representación alguna y, probablemente, sea una invención reciente.

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