La hipopede de Eudoxo

Inauguramos una nueva categoría en el blog llamada Curvas famosas con esta colaboración de fede enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Espero que os resulte interesante.

Eudoxo de Cnidos

Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.

Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.

La hipopede de Eudoxo

hipopede2Supongamos una esfera con centro O que gira alrededor de un eje ON. Sea un punto M en esa esfera que gira y sea P un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a ON y OM. Si mientras gira la esfera un punto H parte de P y se mueve por el círculo máximo perpendicular a OM a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto H describe una curva con forma de 8 en el espacio.

Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.

Si R es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento P y H, el ángulo POR es siempre igual al ángulo POH.

Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto R y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por R y paralelo a ON, y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.
dhesfera2

Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que H se siga moviendo por su círculo máximo (círculo PBS de la figura), alejándose de P. Si al mismo tiempo que H sale de P salen de P dos puntos R y T moviéndose por el círculo máximo perpendicular a ON (círculo PAS de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que H sobre su círculo, el plano en que están H, R y T en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en P.

Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro RT y por tanto el ángulo RHT es recto. Entonces el ángulo HTR es complementario del ángulo HRT. Si FR es perpendicular al plano PAS, el ángulo FRH también es complementario del ángulo HRT, y entonces los ángulos FRH y HTR son iguales.

Pero el ángulo HTR inscrito en el círculo de diámetro RT es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos PAS y PBS.

Por tanto el ángulo entre las rectas FR y HR es constante. Y como los triángulos HRT, en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón \textstyle{\frac{RC}{RT}} es constante, donde C es el pie de la perpendicular desde H sobre RT.

Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje ON a la misma velocidad angular que el punto R y en sentido contrario, el punto R quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba P y el punto H describirá la hipopede. Como el ángulo entre FR y HR es constante, HR es generatriz de un cono con eje FR, y como \textstyle{\frac{RC}{RT}} es constante, el punto C describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro R a la curva que describe el punto T, es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.

Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.

En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Muy buen articulo. Lo mejor es que se puede ver por medio de la geometría dinámica al igual que por medio de geometría solida

    Publica una respuesta
  2. Dudas:

    – ¿La inclinación de OM es importante? ¿Podría ser cualquier otra entre 0 y 90º?

    – ¿La hipopede siempre llega a ser tangente a la circunferencia que describe M?

    Publica una respuesta
  3. Toro Sentado, la inclinación de OM puede ser cualquiera, y solo cuando sea 45º el circulo de M será tangente a la hipopede. En la primera figura la inclinación es 45º, pero no es intencionado.

    Incluso el ángulo MON podría ser mayor que 90, por lo que la mención ‘y en sentido contrario’ no es necesaria (para la propiedad de que es intersección de un cono con un cilindro), aunque en Eudoxo si van en sentido contrario.

    Publica una respuesta
  4. Otra duda:
    ¿Con qué programa habéis construído estas imágenes geométricas?

    Publica una respuesta
  5. Las figuras y animaciones están hechas con Wingeom.

    ( Para pasarlas a ficheros y hacer los gifs, se ha usado además un programa de macros de teclado y un programita Java adhoc y finalmente ImageMagick, porque Wingeom no guarda gifs animados )

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. meneame.net - La hipopede de Eudoxo... Esto es solo para aquellos que gustan de las matemáticas. En este caso tenemos como…
  2. Euclides III.35 | Guirnalda matemática - [...] por primera vez mediante la observación anterior. Al fin y al cabo parece que Arquitas y Eudoxo estaban familiarizados…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *