La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.

Georg Cantor

El matemático ruso Georg Cantor es conocido por ser uno de los pioneros de la teoría de conjuntos moderna, y por demostrar, mediante su conocido método diagonal, que el conjunto de los números naturales, \mathbb{N}, y el de los números reales, \mathbb{R}, no tienen la misma cantidad de elementos, aun siendo los dos conjuntos infinitos. Estos hechos causaron un gran revuelo en las matemáticas de la época, y todavía hoy siguen sorprendiendo a todo el que se encuentra con ellos por primera vez.

Cantor llamó aleph-0, \aleph_0, al cardinal del conjunto de los números naturales (recordemos que cardinal es algo así como cantidad de elementos), el conjunto infinito más pequeño. Por otra parte, demostró que si tomamos todos los subconjuntos de un cierto conjunto A, entonces el conjunto formado por dichos subconjuntos, denominado partes de A, \mathcal{P} (A), tiene cardinal mayor que el propio A. Recordando que |A| representa el cardinal de A, se tiene entonces que:

|A| < |\mathcal{P} (A)|

Trasladando esto a los números naturales tenemos entonces que

|\mathbb{N}| < |\mathcal{P} (\mathbb{N})|

Es decir:

\aleph_0 < |\mathcal{P} (\mathbb{N})|

Definiendo \aleph_1 como el menor cardinal infinito mayor que \aleph_0, y aplicando el mismo razonamiento, obtenemos una cadena de desigualdades estrictas entre estos cardinales de conjuntos infinitos, estos alephs, que se denominan números transfinitos:

\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots

Volvamos al principio de esta entrada. Allí comentamos algo sobre la relación entre el cardinal de los números naturales, \aleph_0, y el de los números reales, que es…¿Cuál es? En principio Cantor sabía que era superior a \aleph_0, nada más. Lo llamó c, por lo de continuo (los números reales llenan la recta real, forman una sucesión continua de números). Y lo que ha pasado a la historia con la denominación de hipótesis del continuo es el siguiente enunciado:

No hay ningún cardinal infinito mayor que \aleph_0 y menor que c.

Dado que el cardinal de los números reales, c, es igual a 2^{\aleph_0}, la hipótesis del continuo se reduce a la siguiente igualdad:

La hipótesis del continuo afirma que:

2^{\aleph_0}=\aleph_1

Es decir, que el cardinal de los números reales es el número transfinito \aleph_1, el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales. Vamos, que no hay ningún infinito entre los naturales y los reales.

Evidente, ¿verdad? Pues no, ni mucho menos era evidente. Y una prueba más que significativa de ello es que David Hilbert incluyó la hipótesis del continuo en su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. Y no solamente lo incluyó, sino que lo colocó en el primer lugar de su lista. Por tanto de evidente nada, y de importante mucho.

Y fue precisamente en otro ICM en el que la hipótesis del continuo fue auténtica protagonista. El 10 de agosto de 1904, dentro del ICM que se estaba celebrando en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático ruso Julius König impartió, con Hilbert y Cantor presentes, una conferencia en la demostró que la hipótesis del continuo era falsa. Cantor había realizado grandes esfuerzos para demostrar este resultado, pero no llegó a conseguirlo.

Efectivamente, el interés que había suscitado la intervención de König estaba plenamente justificado. En la discusión posterior a la conferencia, el propio Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error…pero el susto le duró poco a Cantor: unas semanas después se descubría que la demostración contenía un error (lo descubrió Zermelo), por lo que la hipótesis del continuo continuaba sin demostración. Y así siguió hasta la muerte de Cantor…

…y seguirá para siempre.

– ¿Cómo? ¿Para siempre?

Sí, para siempre.

– ¿Y se puede saber por qué estás tan seguro de ello?

Sí, claro que se puede saber: porque la hipótesis del continuo es indemostrable.

– ¿Einnn?

Paul CohenLo que habéis leído: indemostrable. Indemostrable en el sistema de axiomas Zermelo-Fraenkel-Axioma de Elección (Zermelo-Fraenkel-Choice, ZFC) de la teoría de conjuntos. Veamos por qué.

En 1940 Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede ser refutada en el sistema ZFC. Para ello, Gödel añadió la propia hipótesis del continuo como axioma a los de ZFC y demostró que se obtenía un sistema consistente. Por otra parte, Paul Cohen demostró en 1963 que la hipótesis del continuo no puede ser demostrada en ZFC añadiendo el contrario de la hipótesis del continuo a ZFC y demostrando, como Gödel, que el sistema de axiomas que se obtenía era de nuevo consistente.

La prueba de Cohen cerraba el círculo: la hipótesis del continuo no se puede ni demostrar ni refutar dentro del sistema axiomático que está aceptado como el que gobierna la teoría de conjuntos, que es ZFC. Es decir, la hipótesis del continuo es independiente de ZFC, lo que significa que se puede construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo sea cierta y también puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde dicho resultado sea falso. Vamos, como la cuestión del postulado de las paralelas, pero en teoría de conjuntos. Maravilloso, a la par que inquietante.

Al parecer Cantor creía firmemente que la hipótesis del continuo era cierta, y, como hemos dicho antes, dedicó muchos esfuerzos a demostrar su veracidad. Pero, evidentemente, no lo consiguió. Una auténtica lástima que no llegara a vivir el tiempo suficiente para saber la verdad.


Fuentes y enlaces relacionados:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

60 Comentarios

  1. Y todo esto no es tan abstracto como parece: hay problemas simples de álgebra (como el problema de Whitehead) cuya veracidad depende de la hipótesis del continuo.

    Una pequeña corrección: el cardinal de {\mathcal P}({\mathbb N}) no es \aleph_1 sino 2^{\aleph_0}. \aleph_1 es por definición el menor cardinal mayor que \aleph_0, y |{\mathcal P}({\mathbb N})|=\aleph_1 es justamente la hipótesis del continuo.

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  2. Definitivamente las matemáticas son sorprendentes… hoy me he quedado con una nueva palabra “INDEMOSTRABLE” !!. La propia teoría ZFC ya define por sí sola su límite de acción y es necesario crear otras ramas en la teoría de conjuntos.
    La verdad me cuesta aun entender el concepto como tal de la hipótesis del continuo.

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  3. Si es indemostrable es que no se puede encontrar un contraejemplo.

    Y si es imposible encontrar un contraejemplo, es que es verdadero.

    Martin Gardner dixit.

    En realidad se crean dos conjuntos de axiomas diferentes. ¿Cuál de ellos es verdadero? ¿Acaso ambos? O, como con el teorema de las paralelas, tenemos que preguntar al universo cómo se comporta…

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  4. Cuando dice “Allí comentamos algo sobre la relación entre el cardinal de los números reales, -aleph 0-,…” ¿No debería decir “… números naturales …”?

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  5. @Jose, así es en física y en las ciencias experimentales, pero en matemáticas, si no se encuentra un contraejemplo, es que no se ha buscado lo suficiente o de la forma correcta, pero no se puede deducir que sea cierto.

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  6. @Jose en este caso ni siquiera vale lo del contraejemplo, puesto que un contraejemplo refuta un enunciado del tipo “para todo…”, mostrando UN caso para el cual no vale la proposición bajo alcance del cuantificador.

    En el caso de la HC se trata de un enunciado particularizado, no cuantificado, que afirma una relación entre dos objetos determinados, no genéricos, por eso requiere ser probada de manera directa (o ad-absurdum), o bien… Gödel+Cohen mediante, probarse que es independiente de los axiomas.

    Slds!

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  7. Fernando, Srivanasa,

    En el sistema de axiomas ZFC + Cohen… SÍ que pueden existir infinitos “intermedios” entre Aleph_0 y Aleph_1

    Y creo que hace ya años que se está investigando el tema y es posible que ya se haya encontrado alguno de esos infinitos de cardinal intemedio.

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  8. @Jose creo que vale la pena aclarar un punto.

    Ni en ZFC+HC ni en ZFC-HC pueden existir infinitos conjuntos entre \aleph_0 y \aleph_1, ni en general entre \aleph_{\alpha} y \aleph_{\alpha+1}. Y eso porque \aleph viene a ser como una función que bienordena a los cardinales transfinitos.

    Lo que sí puede ocurrir es que 2^{\aleph_0}>\aleph_n con  n>1. Esto es que, sea consistente la existencia de cardinales infinitos no numerables pero menores que el contínuo. Sobre eso sí hay mucha suela gastada, y se ha determinado que ese n tampoco puede ser cualquier valor. Por ejemplo, se sabe que debe ser 2^{\aleph_0}<\aleph_\omega.

    Saludos!

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  9. @Sirinivasa,

    A lo mejor me he expresado mal.

    Lo que quería decir es que con los axiomas ZFC + Cohen, (Cohen implica la falsedad de la hipótesis del continuo y por tanto la existencia de infinitos de tamaño intermedio entre los numerables y los puntos de la recta real); podrían buscarse y encontrarse efectivamente conjuntos de números cuyo cardinal es mayor que el de los numerables y menor que el de los puntos de la recta real.

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  10. La forma no constructiva de enfocar las matemáticas, tiene éstas servidumbres a pagar por la asunción de la existencia de objetos en no se sabe qué mundos.

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  11. En un momento del artículo se dice lo siguiente,
    “Definiendo \aleph_1 como el menor cardinal infinito mayor que \aleph_0
    no veo porque dicho \aleph_1 debería existir.

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  12. Math\’s Fact, el propio Cantor demostró que el cardinal de los naturales es menor que el cardinal de los reales, por lo que seguro que hay algún cardinal infinito mayor que \aleph_0.

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  13. Supongo que Math\’s Fact se refiere a que la clase de cardinales mayores que \aleph_0 podría no tener un elemento mínimo. El que lo tenga se debe a que la clase de los cardinales está bien ordenada, lo cual se deduce del axioma de elección.

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  14. Y todos esos votos negativos a mi primer comentario (seis)… ¿Por qué motivo?

    🙂

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  15. Perdonad mi ignorancia, pero ¿de verdad, de verdad, el método diagonal se toma en matemáticas como una demostración seria de la desigualdad de los dos conjuntos?

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  16. Pedro Mascarós, ¿qué le ves a esa demostración para que no se pueda tomar como “demostración seria”?

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  17. @Pedro Mascarós que en contextos divulgativos se “relate” esa demostración en términos más bien informales y heurísticos, no supone que no sea seria y que es formulable con toda la formalidad y rigurosidad que se quiera, por cierto, si no considera a esa una demostración, vea, quedaría invalidada cualquier demostración ad-absurdum

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  18. @Sirinivasa, @Gaussianos Lo que no llego a entender bien, no es exactamente lo que hace, si no que la propia idea de poder tomar los conjuntos infinitos en acto como si fueran finitos, lo hace también a nivel metamatemático, es decir, supone que la relación unívoca entre los dos conjuntos los tiene también en acto.

    A ver si me explico, en el momento en que toma esta nueva visión del conjunto infinito y además lo aplica a la metamatemática “imagina que tengo una relación unívoca completa entre los dos conujuntos” o ” construyo un número de infinitos decimales el cual no está en la lista. Un número enterito representado por tres puntos suspensivos al final, entonces es como si no demostrara nada; yo me lo guiso, yo me lo como; yo me lo defino, y después te digo que redefinas tu entendimiento de los N y los R a conjuntos tomados en acto porque así es más atractivo e intrigante decir que uno es mayor que el otro.

    Por favor, no me toméis por un troll o un cranck; es solo una opinión (de poca validez) que expresa una duda interna.

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  19. @Pedro Mascarós: tus comentarios se alejan de la “crankería” y has dado en la clave de la diferencia entre dos formas de hacer matemático. Por ejemplo, la del infinito potencial que biyecta \{1,2,\ldots,n\} con \{2,4,\ldots,2n\} para todo n natural y la del infinito actual que presupone construido \mathbb{N} y lo biyecta con \{2,4,6,\ldots\}.

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  20. Lo de teorema este parece una perogrullada como la tierra de grande. Nuestra representación gráfica que determine los conjuntos en fin…

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  21. Alguna de las dieciseis personas que me ha votado negativo ya podría decir por qué motivo lo ha hecho, que ya les vale…

    Ah, y gracias al que me ha votado positivo : )

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  22. A mí me enseñaron en la universidad esto de que unos infinitos eran más densos que otros, popularmente dicho como que “unos infinitos son más infinitos que otros”, y desconozco si tiene aplicaciones prácticas o sólo son paranoias matemáticas, pero el tema siempre me ha parecido una infinita estupidez.

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  23. @Jose: ¿por qué te preocupas de los votos negativos? ¿qué tienen que ver matemáticas y democracia?

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  24. @mathful, no me parece mal la democracia; y mucho menos las matemáticas.

    Pero me han dado nada menos que 16 negativos (de momento). El siguiente usuario que tiene más negativos solo tiene uno.

    Lo que no entiendo es que con tanta unanimidad… Nadie dice por qué motivo vota negativo.

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  25. En estos momentos, incluido este comentario, hemos escrito en esta entrada 15 personas distintas. Yo no he emitido ningún voto y sospecho que Jose no se ha votado a sí mismo. Jose lleva 4 votos positivos y 20 negativos. Lo encuentro insólito. No veo nada anormal en su primera entrada que es la más vituperada por la audiencia. O pasa algo raro o me parece poco fiable el sistema de incluir la posibilidad de votar las entradas. A mi no me gusta, a no ser que los votos no sean obligatoriamente motivados explícitamente. Lo lógico es dejar que sean los comentarios los que apoyen o rechacen las opiniones de los demás.

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  26. Una pregunta sobre esto, el cardinal de un conjunto es un numero natural? Si lo es entonces el cardinal de los reales es un natural que no pertenece a los naturales, ya que el cardinal de los numeros naturales es menor que el cardinal de los reales…. o el cardinal de un conjunto no es un numero natural.

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  27. A mí tampoco me gusta lo de los votos, y por eso ni lo uso ni lo usaré. Como ha dicho mathful, esto no es una democracia. Además, puede pasar lo que creo que ha pasado con el comentario de Jose. Supongo que ha habido gente que no está de acuerdo con él, lo suficiente como para darle al botoncito rojo, que es muy fácil, pero no con la convicción necesaria como para atreverse a argumentar.

    Otra cosa es que yo esté de acuerdo con el comentario de Jose, que no es el caso.

    Ahora, claro, no me queda más remedio que defender mi postura, por bocazas.

    Indemostrable no es igual a verdadero. Indemostrable significa, que la veracidad o falsedad de una hipótesis no se puede deducir de las premisas de las que partimos.

    Por ejemplo, para que me entienda todo el mundo, partiendo de las leyes de la mecánica cuántica, es imposible demostrar que ahora mismo visto ropa interior de encaje femenina, y eso no implica que la hipótesis sea cierta (no lo es, por favor, créanme).

    Además, el argumento de Martin Gadner (si es que de verdad es suyo) es sorprendentemente endeble, ya que si una hipótesis es indemostrable, también lo es su negación, y entonces llegaríamos a que tanto ella como su negación son verdaderas.

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  28. Gracias Sive por considerar el tema y tomarte tu tiempo para responder.

    Yo creo más bien que el razonamiento en dos frases:

    “Si es indemostrable es que es imposible encontrar un contraejemplo. Y si es imposible encontrar un contraejemplo, es que es verdadero.”

    es impecable. Pensémoslo dos veces.

    Lo que realmente sucede es que no se puede afirmar de una hipótesis que sea “indemostrable”.

    Y si se afirma; como hacen Gödel y Cohen, es porque se trata de un axioma más a añadir al sistema, como lo fue en su día el axioma de las paralelas… (Infinitas o única).

    Como mucho lo se podría decir de una hipótesis es que es: “probablemente indemostrable”. Por ejemplo aplicado a la conjetura de Goldbach.

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  29. Sive muy bueno… Jose no te entiendo, ¿has leído lo de la lencería femenina?
    Otro ejemplo: me he comprado un décimo de lotería de navidad, formulo la hipótesis, ”mi décimo va a resultar premiado” ¿es demostrable (a día de hoy)? Obviamente, no. Por desgracia, eso no quiere decir, que me toque la lotería.

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  30. Tengo poca idea de lógica o axiomática o como se llame. Pero quiero aportar mis probablemente erróneas ideas sobre la indemostrabilidad.
    Creo firmemente que la semántica está detrás del 90% de los argumentos en algunas discusiones.
    No acepto la idea de “probablemente indemostrable” pero acepto la de “difícilmente demostrable”. Es el caso de la conjetura de Goldbach, por el momento, o del último teorema de Fermat hasta hace algún tiempo. (Personalmente nunca he creído que Fermat tuviera una demostración “correcta”).
    En física estamos habituados a aceptar como válidas hipótesis no probadas precisamente por no encontrar contraejemplos. Gracias a ello progresa el conocimiento.
    Intuyo que sí hay hipótesis indemostrables pero, para que sea aceptable esta condición, debe poder ser demostrable la indemostrabilidad (perdón por el trabalenguas) Quizás la hipótesis del continuo sea una de ellas..

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  31. @JJGJJG La cuestion sobre si Fermat tenia o no una demostracion yo creo que si la tenia, pero como ha pasado con algunas de mostraciones de “tiempos preteritos”, no son demostraciones formales de acuerdo a la matematica actual asi que al contrario de lo que dices, (creo que) si tenia una demostracion “correcta” pero no una correcta.

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  32. Jose, he estado pensando en tu último comentario y ya te entiendo. Creo que el problema está en la definición de indemostrabilidad.

    Antes de nada, decir, que nunca he estudiado lógica a fondo, así que lo más seguro es que ”patine” en algo.

    Según tu razonamiento, si una hipótesis es falsa, significa que existe un caso en el cual no se cumple, por tanto es demostrable. Que dicho de otra forma, significa, que si una hipótesis no es demostrable entonces es verdadera.

    Un ejemplo, supongamos que en la definición de anillo no se incluye la propiedad distributiva, entonces ¿es demostrable que a\cdot 0 = 0? … No, habría que añadirla como axioma.

    La demostrabilidad de una hipótesis no sólo depende de la hipótesis en sí, sino de los axiomas de los que se parta. Por tanto, como bien dices, si algo es indemostrable es porque es un axioma.

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  33. Por cierto, partiendo de una hipótesis falsa, todo es demostrable. Por ejemplo, partiendo de 2=1 voy a demostrar que me va a tocar la lotería:

    Si 2=1 entonces 3=2+1=1+1=2=1 y en general n=1 para todo n\in\mathbb{N}.

    Supongamos que mi décimo de lotería es el k-ésimo, y el premiado es el m-ésimo. Como k=1=m, mi décimo será el premiado.

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  34. A ver, eso sí, si una hipótesis no es demostrable en una teoría axiomática, podemos crear una nueva teoría axiomática con la hipótesis como axioma, o también podemos hacer lo mismo pero añadiendo su negación, o sencillamente podemos olvidarnos de la hipótesis.

    Pero no podemos apresurarnos a decir que si algo no es demostrable, automáticamente es verdadero. Ya di un argumento muy fuerte contra esto, haciendo eso, estaríamos obligados admitir como axiomas tanto cada nueva hipótesis como su negación.

    El resultado ya sabemos cual es: que yo soy el Papa de Roma.

    El tema de la incompletitud que menciona RB es diferente, es otra cuestión. Incluso aún suponiendo que una hipótesis no es independiente de los axiomas (que es de lo que hemos hablado hasta ahora), no está nada claro que sea demostrable en todos los casos.

    De todos modos los teoremas de incompletitud no están exentos de polémica, mientras que los teoremas relativos a la consistencia de una teoría axiomática, en cambio, no se discuten por nadie, que yo sepa.

    Vamos, que la hipótesis del continuo es indemostrable, y punto.

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  35. En definitiva, indemostrable no implica verdadero, lo que implica es que se puede añadir como axioma, y por tanto, en la nueva teoría con el axioma añadido sería cierto.

    Recuerdo, que según el teorema de incompletitud de Gödel existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas.

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  36. Pero es tan legítimo añadir la hipótesis, como añadir su negación, como no añadir ni una cosa ni la otra. El resultado en cada uno de los tres casos serán estructuras abstractas consistentes, y con tanto derecho a ‘existir’ (ejem) como las otras dos.

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  37. JJGJJG, el caso de la conjetura de Goldbach, en caso de ser falsa existiría un primer número natural que no cumple la conjetura, por tanto, comprobando uno a uno hasta llegar a ese número, se obtendría una demostración de que la conjetura es falsa. Por tanto, de ser indemostrable su negación, la conjetura sería cierta.

    Supongamos que no se puede demostrar ni que es cierta ni que es falsa, entonces por lo anterior, la conjetura sería cierta y por tanto hemos obtenido una demostración de que es cierta, contradiciendo nuestra suposición. Por tanto, debe existir una demostración de que es cierta o de que es falsa.

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  38. Un ejemplo para explicar lo que yo entiendo de todo esto:

    Se sabe desde tiempo inmemorial que x+y=7. Alguien plantea “la conjetura del dos”, que quiere decir que x=2. Los matemáticos lo discuten durante siglos, unos creen que es cierta y otros que no. Al final, un matemático brillantísimo llega a la conclusión de que es indemostrable. Puede ser verdadera o falsa. De hecho, una forma de resolver la situación es añadir la ecuación x=2 (o su equivalente y=5) al sistema, con lo que se obtiene un sistema coherente y completo. Pero también se podría añadir la ecuación x=3 (ó y=4) con lo que se obtendría otro sistema distinto, también coherente y completo. Si no se añade ninguna, ¿la hipótesis es verdadera? Sí y no. ¿Se pueden encontrar contraejemplos? Sí y no.

    Conclusión: que es indemostrable significa que el problema no está bien planteado. Faltan datos.

    No es lo que se suele entender intuitivamente por indemostrable, y por eso hay tantas discusiones y la gente tiene tantos problemas para entenderlo. Pero realmente es un problema de lenguaje.

    La conjetura de Goldbach es un problema bien planteado y por lo tanto, tiene que ser verdadera o falsa. No puede ser indemostrable, al menos en el mismo sentido que la hipótesis del continuo.

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  39. Creo que no se puede hablar de hipótesis indemostrables. Si fueran indemostrables sería imposible encontrarles un contraejemplo y por tanto serían verdaderas. Y si son verdaderas es evidente que NO podrían ser falsas.

    En todo caso se podría hablar de hipótesis independientes del sistema de axiomas conocido (como era independiente de los axiomas de Euclides el postulado de las paralelas que generó varios tipos de geometría: la euclidea (una sola paralela por un punto externo a una recta, que funciona bien en distancias cortas, y las no euclideas, más aplicables al universo a gran escala).

    Por otra parte Gödel demostró que ningún sistema de axiomas puede ser completo, así que siempre se pueden añadir más y más (axiomas). Lo que permitirá que los buenos matemáticos nunca se queden sin trabajo :·)

    Aparte de esto… ¿Podría haber conjeturas ciertas que los humanos no podríamos demostrar o refutar (y tampoco añadir como axiomas)? ¿Por ejemplo la Conjetura de Goldbach?

    Puede que sí, aunque ya sé que me estoy metiendo en un berenjenal… Pero el primer contrajemplo de la misma podría ser tan enorme que ni siquiera utilizando cada partícula del universo para almacenar un bit nos acercaríamos ni remotamente a semejante magnitud de número; en este caso sería humanamente imposible encontrar su falsedad por este camino.

    O más probablemente, podríamos mostrar que su certeza es tan descomunalmente grande, o que la posibilidad de que sea falsa es tan enormemente pequeña, que tendríamos que parar de indagar en algún punto (cuanto mayor es un número par, más probable es el hecho de que haya una pareja de primos cuya suma sea ese número par). De momento se ha comprobado que hasta 4 000 000 000 000 000 000+ no hay contraejemplo.

    Imagínad la cantidad de posibles sumas de primos diferentes hay cuyo valor sea 4 000 000 000 000 000 000. ¿Y la de parejas de primos cuya suma sea 10 elevado a un googleplex? ¡Uf!

    En otras palabras, que de existir un contraejemplo sería más probable que estuviese en el rango de números “más pequeñitos”.

    Y hasta aquí puedo llegar antes de que mis neuronas empiecen a despendolarse : )

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  40. Por favor, que alguien con una “mente lucida” me explique porqué o como se deduce que infinito=infinito+n.

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  41. El concepto de infinito en matemáticas es abstracto (no es número como el 1 o el 2 o el e).

    La suma no se define para infinito sino para números finitos.

    Si hablamos de funciones en el límite si tenemos el concepto de infinito ligado a la suma y ahí se cumple tu propuesta dado que el concepto va ligado a que para cualquier valor que yo quiera V con x o n mayor que X o N el valor de la función es mayor que V.

    Si fijo para lo que sería un valor infinito + n cualquier V2, apico V = V2 – n a la parte del infinito solo y encuentro el valor x o n que cumple esa definición de infinito y la aplico a la de infinito + n

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  42. En la recta real ampliada esa igualdad es cierta por definición, se suele considerar en teoría de la medida e integración de Lebesgue.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendida

    Juanjo Escribano dices que \infty es un concepto abstracto, pero si te fijas, los símbolos 1,2,e son igualmente abstractos, lo único que lo has usado mucho y por eso no te lo parecen. Al igual que no puedes señalar a un objeto de la vida real y afirmar que es infinito, tampoco puedes señalar a algo y decir que es el número 1 ó 2 ó e o cualquier número. Las matemáticas son de por sí abstractas y dejan de existir más allá de nuestro raciocinio.

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  43. De acuerdo, pero entonces porque en matematicas es más legitimo no definir la suma para números infinitos? Según lo veo yo la noción matemática de cardinalidad no coincide con la tamaño. No tengo competencia en estos temas pero creo que es posible definir la suma,resta,etc.., y que sea coherente.

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  44. RB
    De acuerdo en que los números también son un concepto abstracto y que todo concepto matemático no deja de ser una enteleqia que nos la hemos montado nosotros mismos

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  45. RB, creo que hay un paso incorrecto en tu deducción de que la conjetura de Goldbach es necesariamente demostrable. Afirmas que: “en caso de ser falsa existiría un primer número natural que no cumple la conjetura, por tanto, comprobando uno a uno hasta llegar a ese número, se obtendría una demostración de que la conjetura es falsa. Por tanto, de ser indemostrable su negación, la conjetura sería cierta”. Hasta aquí estoy de acuerdo.

    Pero a continuación dices que: “Supongamos que no se puede demostrar ni que es cierta ni que es falsa, entonces por lo anterior, la conjetura sería cierta y por tanto hemos obtenido una demostración de que es cierta”.

    ¿Porque hemos obtenido una demostración de que es cierta? Si no se puede demostrar ni que es cierta ni que es falsa, entonces es cierta, pero no podemos demostrarlo. Podremos demostrarlo si podemos demostrar que “no podemos demostrar ni que es falsa ni que es cierta”; pero si no, no.

    Creo que es posible que la conjetura de Goldbach sea indecidible, y lo que es peor, que en conculsión nunca podremos demostrar que es indecidible, con lo que ni siquiera dejaremos de buscar una demostración. De hecho, no lo creo, pero el argumento que das no excluye esta posibilidad (desde mi punto de vista, posiblemente equivocado)

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  46. Tienes razón thror, lo único que demuestra es que no se puede probar que es indecidible.
    Gracias.

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  47. RB, sobre tu comentario del 14 de noviembre de 2012 | 14:52

    No se puede usar una hipótesis para demostrar algo dado que una hipótesis debe ser demostrada primero y creo que no existe sistema axiomático tal que 3=2 implique lo que dices.

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  48. Hola, comienzo por agradecer su interés en lo que llamaré una belleza árida. Vivo en Coyhaique muy al sur en Chile una ciudad pequeña y he tenido oportunidad de conocer algo de lógica (notación polaca) y teoría de Conjuntos y lo que considero aún más valioso tener un muy buen filósofo por amigo. (soy profesor de matemática para alumnos de secundaria).

    Tenemos un sistema lógico “que funciona” es decir no genera contradicciones a su propia estructura. Si a este sistema añadimos HC como cierta continúa siendo un sistema que funciona. Si al mismo sistema añadimos HC como falsa nuestro sistema tampoco entra en contradicciones, es decir sigue funcionando, siendo consistente. No se probó que sea cierta ni que sea falsa, pues en ambos casos fue asumida como axioma y se prueba consistencia del sistema. Fue muy hermoso darle la vuelta a esto por una tarde completa…finalmente la respuesta esta en la construcción del conocimiento, desde una visión diferente a la que ofrece mi querida matemática no nos será revelada. y bueno, infinito y tamaño (físico) no son ideas equiparables es atractivo pensar ,por ejemplo, que un infinito y otro de mayor cardinalidad convivan en el mismo espacio limitado. hay un libro del cual pueden obtener mucha luz, se llama el paraíso de cantor, escrito por torreti. Aunque convivir con un axioma y su negación a mi me parece un modelo bastante mejorado de como la ilusión de la realidad procede. Invito a explorar las primeras páginas del libro citado, nuestra consistencia lógica que hace convivir un axioma con su negación (si se tiene por intuición que esto ha de ser un error) debe ser debido a lo impreciso de ciertas definiciones ideas intuitivas que claramente nos son negadas por el lenguaje. Cierro agradeciendo nuevamente su tiempo de atención, y ruego quienes vean en mis observaciones un profundo error me excusen y/o me recomienden algo para leer.

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  49. No sé si esta es la idea de la indecidibilidad ( indemostrabilidad como se nombra por aquí):

    En la axiomática ZF la hipótesis del continuo es cierta o falsa?

    Otra pregunta:
    En la teoría de cuerpos es cierta la propiedad de que existe un número cuyo cuadrado es dos?
    Pues no es ni cierta ni falsa. Hay cuerpos en los que es cierta y cuerpos en los que es falsa.

    De manera análoga, lo que ocurre es que hay modelos de la teoría ZF en que HC es cierta y modelos en los que es falsa

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  50. Hay cuerpos en los que es cierta la propiedad de que existe un elemento cuyo cuadrado es dos, y cuerpos en los que es falsa. Hay modelos de la teoría de ZF en que HC es cierta y modelos en los que es falsa. En eso estoy de acuerdo.

    Ahora bien, cuando una propiedad de los números naturales es indecidible en ZF, ¿es porque hay modelos de los números naturales en los que es cierta y otros en los que es falsa? ¿No va esto en contra de la unicidad de los números naturales?

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  51. Cita de “mazius”:
    “Por favor, que alguien con una “mente lucida” me explique por qué o como se deduce que infinito=infinito+n”

    Vamos por partes. Si tú tienes un número irracional es de este estilo

    2,467893…

    Las cifras no acaban nunca, por tanto, no se puede poner “detrás” ninguna más, porque no hay “detrás”, no hay fin. Sin embargo, ese número tiene una parte entera, y yo le puedo sumar 1, por ejemplo:

    3,467893…

    O también le puedo sumar un número racional, el que sea, como 1,3 en vez de 1

    3,767893…

    ya que, 1.3=1,3000… Todos esos ceros no son significativos.

    No pasa nada, porque al hacer eso no le pongo ninguna cifra en ese “detrás” que no existe.

    Bien, ahora quitémosle la coma al número que teníamos al principio:

    2467893…

    ¿Qué pasa si ahora le intentas sumar 1, por ejemplo?
    Que habrá que saber antes cuántos ceros a la izquierda habrá que poner al 1 (aunque no tengan valor) para poder sumar, porque el 1 hay que sumarlo a la última cifra; ¿tiene última cifra un número con infinitas cifras?

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  52. Una pregunta Sr. Angel Morales. Como en el caso de la geometría no euclídea, se puede construir otra teoría de conjuntos alternativa?

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