La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine

Muchos son los casos en los que en cine y en televisión se han cometido errores relacionados con la Ciencia por mala (o nula) documentación (como ejemplos pueden servir la confusión entre logaritmo y algoritmo en la serie Castle de la que hablamos en el blog hace un tiempo y la interesante charla de Manu Arregi en Naukas13 sobre errores de astronomía en el cine). Parece que poco a poco los responsables de series y películas se preocupan más por la rigurosidad científica” (Breaking Bad es un gran ejemplo de ello y Gravity parece que lo hace bien, aunque con algunos errores o licencias), pero por desgracia seguirá habiendo errores por mala documentación (y, por tanto, fáciles de resolver). Hoy hablaremos, entre otras cosas, sobre uno de ellos en la película 21 Blackjack.

El tema en cuestión aparece en el siguiente vídeo (en el que, por cierto, también se habla del problema de Monty Hall):

Pero antes de explicar dicho error vamos a comentar un poco qué es el método de Newton-Raphson y a hablar sobre la historia de dicho método.

Encontrar las soluciones de una cierta ecuación es uno de los problemas más importantes de las matemáticas. En cualquier momento en nuestro estudio podemos encontrarnos una ecuación de la cual necesitamos saber sus soluciones. Pero hay un grave problema relacionado con esto: no tenemos métodos que nos permitan obtener las soluciones de todas las ecuaciones que nos pueden aparecer. Podemos resolver ciertas ecuaciones algebraicas (no hay fórmulas para las de grado 5 y superior) y algunas exponenciales, logarítmicas o trigonométricas, pero no todas. Por ejemplo, no hay métodos que nos den las soluciones exactas de esta ecuación:

x \cdot 2^x=1

¿Qué podemos hacer entonces? Pues no nos queda otra que buscar aproximaciones de las soluciones. Es decir, buscar números que aunque no sean las soluciones exactas sí que sean lo suficientemente aproximados a ellas como para que nos puedan servir en nuestro problema. Y eso es lo que hace nuestro método.

El método de Newton-Raphson es un método iterativo con el que podemos encontrar aproximaciones de soluciones de ecuaciones no lineales. El método parte de un valor inicial que se introduce en una expresión relacionada con la ecuación, obteniendo así un resultado. Ese resultado se introduce en la misma expresión, obteniendo un nuevo resultado, y así sucesivamente. Si la elección del valor inicial es buena, cada vez que introducimos unos de los resultados obtenidos en esa expresión (es decir, cada vez que realizamos una iteración del método) el método nos proporciona una aproximación a la solución real mejor que la que tuviéramos anteriormente. Vamos a ponerle símbolos matemáticos al asunto:

Dada una función f(x) derivable en un intervalo [a,b ] en el que f tenga una raíz m y dado un valor real s_0 cercano a dicha raíz, el método iterativo

s_{n+1}=s_n-\cfrac{f(s_n)}{f^\prime (s_n)}

converge a esta raíz m de la función inicial (es decir, a la solución de f(x)=0 que pertenece al intervalo [a,b ]).

O sea que la cosa consiste en elegir bien s_0, meterlo en esa expresión para obtener s_1, meter después s_1 obteniendo así s_2, y así sucesivamente. Y la cosa es que cada s_k que obtenemos en mejor aproximación a una solución de f(x)=0 que los valores obtenidos antes. Bien, ¿no? La fórmula necesaria para aplicar el método es sencilla y las operaciones nos las puede hacer una máquina. Pero queda un “pequeño” detalle: ¿cómo elegimos s_0?

El método de Newton-Raphson tiene un problema: no tenemos un teorema de convergencia global del método. Su convergencia depende de la elección inicial de s_0. Si no elegimos bien ese valor inicial, no tendremos asegurado que los sucesivos resultados obtenidos mediante el método sean de verdad buenas aproximaciones de la solución. Por tanto la elección de s_0 es fundamental. Por ello vamos a dar condiciones para que en el intervalo en cuestión exista una única solución de nuestra ecuación y además el método converja a ella:

Debemos partir de una función f(x) de clase \mathcal{C}^2 en el intervalo [a,b ] (es decir, al menos dos veces derivable en dicho intervalo y con segunda derivada continua en él). Entonces:

1.- En principio debemos escoger un intervalo en el que f(x)=0 cumpla el teorema de Bolzano para poder asegurar así que hay al menos una raíz en dicho intervalo. Es decir, f(x) debe ser continua en dicho intervalo (como le exigimos que sea derivable esta condición no da problemas) y debe cumplirse también que f(a) y f(b) tengan signos distintos.

2.- Debe cumplirse que la primera derivada de f sea distinta de cero en todo el intervalo.

3.- También se debe cumplir que la segunda derivada de f no cambie de signo en dicho intervalo (es decir, que saa siempre positiva o siempre negativa en [ a,b ]).

4.- Con todo esto, es claro que se cumple que

\begin{matrix} f(a) \cdot f^{\prime  \prime} (a) >0, \mbox{ o que} \\ f(b) \cdot f^{\prime  \prime} (b) >0 \end{matrix}

Eligiendo como s_0 el extremo del intervalo que cumpla que ese producto es positivo tenemos asegurado que el método converge a la única solución de la ecuación en [ a,b ].

Vamos a ver un ejemplo de aplicación de este método. Utilizaremos la ecuación para la que comentamos antes que no teníamos método de resolución exacta: x \cdot 2^x=1:

Nuestra función será f(x)=x \cdot 2^x-1. Como la función es derivable infinitas veces en todo \mathbb{R} no tendremos problemas a la hora de exigirle que sea de clase \mathcal{C}^2 en el intervalo que escojamos.

1.- Vamos con el intervalo. Necesitamos que la función tome valores con signos contrarios en los extremos. Una fácil y rápida comprobación nos lleva a que f(0)=-1 <0 y f(1)=1 >0, por lo que, según el teorema de Bolzano, nuestra función tiene al menos una raíz en el intervalo [0,1 ].

2.- La primera derivada de nuestra función es

f^\prime (x)=2^x+x 2^x Ln(2)=2^x(1+x Ln(2))

Como 2^x >0 para todo valor real de x, para que esa expresión sea nula debe ser 1+x Ln(2)=0, de donde despejando obtenemos que

x=\cfrac{-1}{Ln(2)}

que al ser negativo no pertenece al intervalo [ 0,1 ]. Por tanto, f^\prime (x) es distinta de cero en todo el intervalo.

3.- La derivada segunda es

f^{\prime \prime} (x)=2^x Ln(2) (2+x Ln(2))

El primer factor, 2^x, es siempre positivo. El segundo, Ln(2), es una constante positiva. Y el tercer factor, 2+x Ln(2), es positivo para todo valor del intervalo [ 0,1 ]. Esto nos lleva a que la segunda derivada de f es positiva en todo el intervalo [ 0,1 ] y, en consecuencia, no cambia de signo en todo el intervalo.

4.- Ahora:

\begin{matrix} f(0) \cdot f^{\prime \prime} (0)=-1 \cdot 2 Ln(2) < 0 \\ f(1) \cdot f^{\prime \prime} (1)=1 \cdot 2 Ln(2) (2+Ln(2)) > 0 \end{matrix}

Por tanto, tomando s_0=1 tenemos asegurada la convergencia del método a la solución de la ecuación inicial.

Calculemos ahora algunas iteraciones para ver qué resultados parciales vamos obteniendo:

\begin{matrix} s_0=1 \\ s_1=s_0-\cfrac{f(s_0)}{f^\prime (s_0)}=0.704691945425 \ldots \\ s_2=s_1-\cfrac{f(s_1)}{f^\prime (s_1)}=0.643475152316 \ldots \\ s_3=s_2-\cfrac{f(s_2)}{f^\prime (s_2)}=0.641188814965 \ldots \\ s_4=s_3-\cfrac{f(s_3)}{f^\prime (s_3)}=0.641185744510 \ldots \end{matrix}

Teniendo en cuenta que una aproximación de la solución a 20 decimales es

s=0.64118574450498598449

la aproximación obtenida con cuatro iteraciones del método no está nada mal.


Después de la descripción del método y del ejemplo que hemos hecho volvamos al vídeo de 21 Blackjack. En él, como habéis visto, se comenta que Raphson fue el primero que publicó el método y Newton se lo apropió indebidamente (vamos, que lo robó). Pero esto no es del todo cierto. Vamos a comentar cómo fue la historia en realidad.

Cierto es que Joseph Raphson fue el primero en publicar el método en 1690 en su libro Analysis Aequationum Universalis, y que el de newton se publicó unos años después de su muerte, en 1736 (por lo que Raphson lo publicó casi 50 años antes). Pero se sabe que Newton lo había escrito en 1671 (y por tanto antes de la publicación de Raphson), aunque aplicado exclusivamente a aproximación de raíces de polinomios (el de Raphson era más general). A todo esto hay que añadir un detalle: Raphson fue una de las pocas personas a las que Newton le permitía ver sus trabajos matemáticos (de hecho se encargó de traducir algunos de esos trabajos matemáticos de Newton del latín al inglés).

O sea que Newton describe su método de aproximación de raíces de polinomios y unos años después Raphson, que tenía acceso a los trabajos de Newton, publica su método válido también para el resto de funciones. Sería entonces razonable pensar que Raphson partió del método de Newton para desarrollar el suyo, ¿verdad? Pues eso es lo que históricamente está más aceptado. Así que nada de robo de Newton.

Por todo ello, en muchos sitios se conoce al método como método de Newton-Raphson, aunque en otros muchos lugares se le llama simplemente método de Newton, honrando solamente a la primera persona que trabajó en él.


Fuentes y más información:


Esta es mi segunda aportación a la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión acoge nuestro amigo José Manuel López Nicolás en su blog Scientia.

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18 comentarios

  1. Trackback | 22 oct, 2013

    Bitacoras.com

  2. Ignacio Larrosa Cañestro | 22 de octubre de 2013 | 12:33

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    Pero una ilustración, ilustraría a la perfección el método … Cada nuevo valor es la intersección de la tangente en el anterior con el eje x. Y se comprende fácilmente por qué la primera derivada no debe anularse, ni la segunda cambiar de signo, para garantizar la convergencia.

  3. Thror | 22 de octubre de 2013 | 12:42

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    Es muy posible que me equivoque, pero creo que el planteamiento del problema de las tres puertas no es correcto. Me explico:

    Si el concursante sabe desde el principio que va a elegir una puerta y, sea la que sea, el presentador después va a abrir otra y le va a dar la opción de cambiar, entonces debe cambiar por las razones explicadas. (Monty Hall)

    PERO, el profesor dice literalmente “AHORA el presentador, que por cierto sabe lo que hay detrás de todas las puertas, DECIDE abrir otra puerta”. Si no está establecido desde el principio que el presentador tiene que ofrecerle cambiar de puerta, y el presentador puede elegir darle la opción o no hacerlo, después de la elección del concursante, entonces la explicación no funciona. Para verlo claro, imaginemos el caso en el que el presentador ofrece la posibilidad de cambio únicamente cuando el jugador acierta. En este caso, es evidente que cambiar nunca es la mejor opción.

    A mi, personalmente, me parece erroneo (o confuso como mínimo) como esta explicado el problema en el video, pero admito que puedo haberlo entendido mal.

  4. jose | 22 de octubre de 2013 | 12:42

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    yo me lo crei en su dia cuando vi la peli prque NEWTON no era trigo limpio en muchas ocasiones :D y no seria raro que le robara ideas a alguien menos famoso para apropiarselas porque si eres famoso puedes hacer lo que quieras

    aunque el ‘Metodo de Newton’ no es mas que el metodo de la SECANTE donde sustituyes secatne por tangente en el punto :D vamos tampoco es que se hubiera roto mucho la cabeza eh ? :D

  5. Qeu | 22 de octubre de 2013 | 14:01

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    A mi esto me lo explicaron, si no recuerdo mal, recurriendo al valor K de la Lipschitziana para deducir si el s_0 era válido o no. O para encontrar un rango de valores en los que todos eran s_0. Aunque hace ya unos años y tengo el cálculo numérico un poco oxidado.

  6. hernan | 22 de octubre de 2013 | 15:06

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    Que buena! Explicación. Únicamente faltó un pequeño detalle al lado del mecanismo … ; n>=0….
    Gracias!!

  7. Acido | 22 de octubre de 2013 | 17:33

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    Thror,
    Estoy de acuerdo con lo que dices.
    En dicho problema es muy importante especificar las condiciones en las que nos encontramos y creo que en la película no sólo está escasa la explicación del enunciado del problema (lo cual podría ser razonable si suponemos un contexto en el que TODOS los alumnos saben exactamente el concurso al que se refiere el profesor) sino que las explicaciones que se dan incluso llevan a pensar en un planteamiento incorrecto!!
    No sólo la parte que señalas (cuando dice que el presentador “DECIDE” abrir otra puerta) sino también cuando dice al alumno:

    “- Espera, recuerda que el presentador sabe dónde está el coche, así que ¿cómo sabes que no intenta engañarte? ¿y si utiliza la _psicología al revés_ para que elijas la cabra?”

    A lo que el alumno contesta:

    “-Bueno, en realidad no me importaría porque mi respuesta está basada en la estadística”

    Bueno, dejando aparte la traducción, ya que en mi pueblo se dice “psicología inversa” (no se dice “psicología al revés” y menos para traducir “reverse psychology”), creo que al decir eso en la película se induce a pensar que quizá el presentador sólo da la opción de cambiar en los casos en los que el concursante ha elegido el coche… Si el presentador SIEMPRE da la opción de cambiar después de mostrar una cabra ¿tiene sentido decir que darte la opción de cambiar puede ser un engaño??? Parece sugerir que puede estar dando la opción de cambiar porque sabe que has elegido el coche… ¡pero ese no es el planteamiento del problema!!! El planteamiento es que SIEMPRE te va a dar la opción de cambiar, incluso cuando has elegido cabra.

    Bonus: ¿a cuento de qué viene hablar de “cambio de variable”? Como no sea para soltar palabrería rimbombante…

  8. Acido | 22 de octubre de 2013 | 18:14

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    jose,

    ¿puedes explicar eso de que Newton no era trigo limpio en muchas ocasiones?

    Por lo que se, se dedicaba más a la teología que a la ciencia (realizando cálculos sobre el “día del juicio final” situándolo después de 2060… lo cual no me parece mal aunque el método que emplease no creo que me gustase)… y también a otras cosas cosas como la alquimia… apartándose de la medicina oficial. Hacer experimentos químicos y apartarse de los planteamientos “oficiales” (e intentar explicarlo a base de fuerzas) no me parece mal si se hace de forma rigurosa pero lo que parece sugerirse por lo que he leído es que se acercaba más al esoterismo y la pseudociencia.

    Ya os comentaré otras cosas oscuras que leí sobre Gauss… en el libro “El electrón es zurdo y otros ensayos científicos” de Isaac… no Newton, claro, sino Isaac Asimov.

  9. jose | 22 de octubre de 2013 | 19:16

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    @ACIDO

    Newton puteo a Leibniz en varias ocasiones, dejandolo en ridiculo y aprovechandose de su fama para decir YO invente el CALCULO DIFERENCIAL

    era algo ‘usurero’ se metio en la casa de la moneda porque daba mucha pasta $ $ $ $$ y detestaba a muchos que le llevaban la contraria como HALLEY o HOOKE este ultimo que tambien pensaba que la gravedad iba como 1/r^{2} aunque no se si lo pudo demostrar

    vamos que no era una hermanita de la caridad tampoco eh ?

  10. gaussianos | 22 de octubre de 2013 | 23:13

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    Ignacio Larrosa, sí, tienes toda la razón. No caí en hacerlo, y cuando lo pensé ya no me daba tiempo (tengo poco tiempo en esta época, la verdad). Muchas gracias por la sugerencia :).

    Thror, en cierto modo tienes razón. Para que la conclusión sea cierta debe cumplirse que el presentador siempre ofrece un cambio de puerta, independientemente de lo que haya en la puerta que haya escogido el concursante al principio. De todas formas aquí, como planteamiento de problema estadístico, se entiende que esas son las condiciones, aunque en el vídeo no lo especifican.

    Acido, pienso igual que tú en lo que dices del “cambio de variable” xDD.

  11. jose | 23 de octubre de 2013 | 09:10

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    pues yo sigo sin entenderlo

    al principio todas las puertas tienen la misma probabilidad 1/2+/3+1/3=1

    pero leugo si solo quedan dos ambas deberian de estar al 50 % 1/2+1/2=1

    ya que los sucesos deberian ser independientes como es que ahora tenemos 2/3+1/3 ?

  12. Acido | 23 de octubre de 2013 | 20:02

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    jose,

    primero, cuando hay dos opciones no siempre tienen que estar al 50% … Por ejemplo, tocarte el premio gordo de la lotería y no tocarte son dos opciones complementarias (suman un 100% y o bien se da una o bien la otra pero no ambas) pero es claro que no tienen la misma probabilidad. La probabilidad de tocarte debe andar por el 0.001% y la de no tocarte el 99.999% Cuando hay dos sucesos (complementarios) estarán al 50% si son equiprobables. Es decir cuando p+q = 100% Si p=q (iguales probabilidades) y sólo en ese caso entonces p+p = 100% entonces p=50%

    segundo, hablas de sucesos independientes… cuando creo que querías decir equiprobables. Sucesos independientes en lenguaje coloquial se podría decir que “uno no tiene nada que ver con el otro”. Por ejemplo, que te salga cara al tirar una moneda y que te salga un 6 al tirar un dado de seis caras… ambas cosas son independientes (estadísticamente o probabilísticamente). La regla numérica es que si son independientes la probabilidad de que ocurran ambos es el producto de las probabilidades. A y B Independientes si y sólo si P(A y B) = P(A) * P(B)
    En el caso de la moneda y el dado: P(“cara” y “6”) = P(“cara”) * P(“6″) = 1/2 * 1/6 = 1/12 (sólo una de cada 12 veces que tires una moneda y un dado tendrás “cara y 6″)

    En el caso que nos ocupa es evidente que no son independientes… si hay coche en una puerta no lo hay en la otra luego una cosa “tiene mucho que ver” con la otra. Veamos la prueba numérica:
    P(“coche en una puerta” y “coche en la otra puerta”) = 0 (es imposible)
    y 0 no es igual al producto de ambas probabilidades ya que no pueden ser ambas cero (el coche sí está en una de ellas). Como no se cumple el producto no pueden ser independientes.

    Y, por último, aunque este problema está explicado en miles de sitios te explico por qué no son equiprobables. Al elegir una de las tres puertas sólo acertarás con el coche una de cada 3 veces, estás de acuerdo ¿no? Ahora piensa si el hecho de que el presentador abra otra puerta cambia en algo esa probabilidad inicial. Si el presentador abre una puerta y está el coche es obvio que sí que cambia, pasa de 1/3 a ser 0… pero en el caso de nos ocupa el presentador SIEMPRE abre una puerta y SIEMPRE será una cabra. Es obvio que eso no cambia tu probabilidad inicial.

    Yo suelo analizar estos problemas disgregando casos:

    Eliges la puerta A y analicemos todos los casos que pueden ocurrir cuando abres A:

    P(“eliges A y coche en A”) = 1/3 = P(“coche en A” | “eliges A”)
    P(“eliges A y coche en B”) = 1/3 = P(“coche en B” | “eliges A”)
    P(“eliges A y coche en C”) = 1/3 = P(“coche en C” | “eliges A”)

    * Caso coche en A (1/3 de las veces):
    Como en B y C hay cabras, y abriste A:
    La mitad (**) de las veces de ese tercio el presentador abre C (todo concuerda, abrió una puerta donde hay cabra)… Eso ocurre 1/6 de las veces.
    La mitad (**) de las veces de ese tercio el presentador abre B (todo concuerda, abrió una puerta donde hay cabra)… Eso ocurre 1/6 de las veces.

    * Caso coche en B (1/3 de las veces):
    Tú elegiste A y el presentador no puede abrir B así que se ve obligado a abrir C.
    El presentador abre C (todo concuerda, abrió una puerta donde hay cabra)… Eso ocurre 1/3 de las veces.

    * Caso coche en C (1/3 de las veces):
    Tú elegiste A y el presentador no puede abrir C así que se ve obligado a abrir C.
    El presentador abre C (todo concuerda, abrió una puerta donde hay cabra)… Eso ocurre 1/3 de las veces.

    En el caso del problema, el presentador abre C (cosa que ocurre 1/3 + 1/6 = 1/2 de las veces… la otra mitad abrirá la B) luego se descarta la opción coche en C y se descarta la opción “coche en A y abre C”

    Sólo quedan dos casos:
    “coche en A y abre C” (cosa que ocurre 1/6 de las veces)
    “coche en B y abre C” (cosa que ocurre 1/3 de las veces)

    Esto muestra que es más probable (el doble) que esté en B y debes cambiar la puerta.

    P(“coche en A” y “abre C” | “eliges A”) = 1/6
    P(“coche en B” y “abre C” | “eliges A”) = 1/3

    P( “abre C” | “eliges A” ) = 1/3 + 1/6 = 1/2

    P(“coche en A” | ["eliges A" y "abre C"]) = (1/6) / (1/2) = 1/3
    P(“coche en B” | ["eliges A" y "abre C"]) = (1/3) / (1/2) = 2/3

    Si no cambias tu puerta A sólo ganas 1/3 de las veces.
    Si cambias (eliges B después) ganas 2/3 de las veces.

    ** Nota: si en los casos en los que el coche está en A las probabilidades fuesen diferentes ¿qué ocurriría?
    Supongamos que cuando el coche está en A y abres A el presentador SIEMPRE abre C….
    Entonces,
    P(“coche en A” y “abre B” | “eliges A”) = 0
    P(“coche en A” y “abre C” | “eliges A”) = 1/3

    P(“coche en B” y “abre C” | “eliges A”) = 1/3

    En ese caso sí son equiprobables!!!!

    P( “abre C” | “eliges A” ) = 1/3 + 1/3 = 2/3

    P(“coche en A” | ["eliges A" y "abre C"]) = (1/3) / (2/3) = 1/2
    P(“coche en B” | ["eliges A" y "abre C"]) = (1/3) / (2/3) = 1/2

    Pero este es el único caso en el que te daría igual cambiar de puerta o no cambiar.
    Es decir, el presentador puede realmente hacer que no pases de 1/2 y puede evitar que el cambio sea una ventaja frente a no cambiar!!! Pero aún en ese caso cambiar nunca es malo… puede ser bueno y en el caso peor que es este puede ser igual.

    Basta que P(“coche en A” y “abre B” | “eliges A”) > 0 aunque sea muy pequeña… para que cambiar ya sea mejor. Veamos:
    P(“coche en A” y “abre B” | “eliges A”) > 0 entonces:
    P(“coche en A” y “abre C” | “eliges A”) = q < 1/3

    P( "abre C" | "eliges A" ) = 1/3 + q < 2/3

    P("coche en A" | ["eliges A" y "abre C"]) = q / (1/3 + q) 1/2

  13. Acido | 23 de octubre de 2013 | 21:23

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    Vaya, se me perdió el final del comentario por los símbolos de menor y mayor:

    P(“coche en A” y “abre C” | “eliges A”) = q … menor que 1/3 (y mayor que 0)

    P( “abre C” | “eliges A” ) = 1/3 + q … menor que 2/3 (y mayor que 1/3)

    P(“coche en A” | ["eliges A" y "abre C"]) = q / (1/3 + q) … menor que 1/2

    P(“coche en B” | ["eliges A" y "abre C"]) = (1/3) / (1/3 + q) … mayor que 1/2

    Por tanto, si cambias a B la probabilidad es mayor.

  14. Thror | 23 de octubre de 2013 | 22:02

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    Yo me lo acabé de creer cuando me dijeron que mentalmente podía hacer las dos elecciones (puerta y si cambiar o no cambiar) desde el primer momento, y que podía decidir si cambiar o no antes incluso de elegir la puerta.

    Si decides cambiar, ganarás cuando en tu primera elección hayas “acertado” una cabra (probabilidad 2/3), ya que al cambiar, no te quedarás con esa cabra, ni con la segunda cabra (porque la habrá abierto el presentador)

    En cambio, si decides no cambiar, ganarás cuando en tu primera elección hayas “acertado” el coche (probabilidad 1/3)

  15. Acido | 25 de octubre de 2013 | 09:00

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    Mi razonamiento final tenía que tener algún fallo pero no acababa de ver dónde xD

    Y al fin he dado con el fallo o el matiz que explica lo que dije.

    El planteamiento normal del problema de Monty Hall se refiere al concurso y todos los casos que se pueden dar… no a casos particulares.

    Y yo me he referido a un caso particular donde el presentador abre C.
    Por otro lado, yo me referí a una posible estrategia del presentador… que aunque el presentador la podría seguir sólo disminuye la ventaja del concursante en algunos casos y, por tanto, en media no sirve.

    En el planteamiento normal se pueden dar todos los casos del concurso, tanto en la elección concursante como de la situación del coche… En ese caso, haga lo que haga el presentador, el concursante puede llevarse el coche 2/3 de las veces. (basta elegir una puerta al azar al principio y luego elegir siempre cambiar)

    En el caso particular, analicé los casos en los que el concursante abre A y el presentador abre C. De todos esos casos podría ocurrir que sólo se ganase el coche en un 50% de las ocasiones (sólo la mitad de las veces en las que el concursante abre A y el presentador abre C) pero dada esa “estrategia” del presentador si analizamos los casos en los que el concursante elige A y el presentador abre B el concursante ganaría un 100% de las veces que cambia!!! Según esa estrategia, 2/3 de las veces (cuando el coche está en A o cuando está en B) el presentador abre C y en la mitad de esos casos (50% de 2/3 = 1/3) el concursante gana… y 1/3 de las veces el presentador abre B y según esa posible estrategia del presentador este caso (concursante abre A, presentador abre B) sólo se da cuando el coche está en C y ganaría siempre al hacer el cambio (esto es, un 100% de ese 1/3)… así que en total tenemos 50% de 2/3 + 100% de 1/3 = 1/3 + 1/3 = 2/3 que son las veces que ganaría el concursante si siempre elige cambiar.

    Perdón por el lío.

  16. Alfredo | 31 de octubre de 2013 | 01:54

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    Volviendo a lo del concurso, si el presentador te diera a elegir 2 de las 3 puertas, y te enseñase 1 de las 2 que has elegido (evidentemente la que no tiene nada). ¿La opción cambiar de puerta ahora no sería la mejor? ¿Ahora la mejor opción sería quedarse con la que elegiste, no?

    Enhorabuena por tu trabajo!!!!

  17. Acido | 31 de octubre de 2013 | 02:09

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    Sí, Alfredo, en el caso que planteas lo mejor sería quedarse con aquella puerta está entre las dos que elegiste al principio ya que la probabilidad de ganar es 2/3. Si cambias sólo tienes 1/3.

    Pero el ser humano tiene una predisposición a no cambiar, sobre todo cuando piensa que ese cambio no le supone beneficio. Así que el caso que planteas beneficiaría a los concursantes que no cambian (que serían la mayoría) y no al concurso.

  18. Trackback | 4 nov, 2013

    Resumen de la 4.1231056 edición del Carnaval de Matemáticas | SCIENTIA

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