La identidad de Euler

En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación

¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie:

Sustituímos x por z·i, usamos que i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

llegamos a:

Sustituímos z por π (Pi):

Pasando -1 a la izquierda como +1 llegamos a la identidad buscada:

(Imágenes sacadas de la Wikipedia).

Por cierto, la primera imagen que aparece en el post proviene de la web de Justin Mullins. En su galería podéis ver más imágenes relacionadas con las Matemáticas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

35 Comentarios

  1. Verdaderamente, es una igualdad de gran BELLEZA.

    ¡Y la demostración es también muy elegante!

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    • partiendo de euler tambien se puede introducir phi en la igualdad y queda así:

      phi=2(e^i+pi/5-isenpi/5), también se demuestra con las series de taylor

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  2. Muy interesante… la demostración con series de Taylor me ha cautivado.

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  3. A mi me explicaron otra formula muy parecida, creo recordar que era:
    e^(-i.pi) = (0, 1)

    Y fué una explicación muchisimo mas larga, de hecho, fué una interminable hora y media de pizarra.

    Me quedo con esta otra, mucho mas corta y elegante

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  4. Me encanta esta fórmula y la demostración, recuerdo cuando me la explicaron en la carrera hace ya años, el profesor supo transmitirnos su belleza.

    Definitivamente añado este blog a mis RSS. 8)

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  5. zolople: en realidad son la misma ecuación, ya que la exponencial compleja es periódica de periodo 2*pi, y siendo imaginaria pura, como pi = -pi, cos(pi) = -1 y sen(pi) = 0.

    De hecho, el resultado sería realmente exp(-i*pi) = (1,0) ( parte real, parte imaginaria) ;-)

    Por cierto, creo recordar que en la carrera la demostración de la identidad de Euler no llegamos a hacerla usando el desarrollo en series, sino utilizando directamente la fórmula de Euler (http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler). Claro que con el desarrollo en series queda mucho más bonito :-)

    Saludos.

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  6. Carlos lo normal es eso, que te muestren la fórmula de Euler y después a partir de ella que te comenten la identidad de Euler evaluando la fórmula en Pi. Lo que hemos hecho aquí es obtener la fórmula de Euler a partir de desarrollos en serie :) .

    Y sí, a mí también me gusta más así. Me parece que es más elegante y que contiene más información.

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  7. Yo es que cuando le digo a mis amigos que tal o cual demostración es preciosa, me miran raro… Aunque de vez en cuando hay gente que lo comparte :P

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  8. xD, claro es una hermosura esta demostración, y no solo eso, ¿Que se supone que significa?, eso es algo que me intriga….

    Que se supone que es lo que tenemos que aprender con ello, lo que nos dice ¿Alguna idea?

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  9. Es una igualdad realmente bonita. De hecho tiene muchos números para convertirse en mi “tatuaje de final de carrera” aunque esto ya se verá.

    En todo caso la demostración es algo complicada para los que no estén acostumbrados a usar series de Taylor y el desarrollo de la exponencial, el seno y el coseno. Pero vamos, tampoc viene de ahí.

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  10. Gracias!

    Explicaron de forma muy hermosa y comprensible algo que yo creí que estaba fuera de mi alcance comprender.

    🙂

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  11. Pues aunqeu es bonita, no es la forma más bonita de poner la fórmula.

    e^(-i*pi)+1=0

    contiene también al – {menos} y la hace aún más bella.

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  12. La Identidad de Euler

    eiπ+1=0
    Sin duda, una de las fórmulas más bellas, especialmente por su demostración y porque
    Relaciona los que podríamos considerar como los cinco números más importantes de las matemáticas: e, π, i, 0 y 1.
    La demostración se puede encontrar …

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  13. De esta igualdad se concluye que el logaritmo(s) neperiano de ” -1″ es el imaginario puro “pi”..Después de hartarnos a decir a los alumnos de Bachiller que no existen logaritmos de números negativos,un día descubren esto…y se llevan una gran decepción.Yo siempre les cuento esta identidad,y les añado un dato curioso y es que Euler eligió estas letras : “pi” , e ,i,para expresar de forma elegante esta identidad.
    Un saludo.

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  14. Como dije en otro post, he estado leyendo un libro sobre Euler y he tenido la oportunidad de descubrir la demostración de esta igualdad antes que la propia fórmula (que ya conocía, evidentemente, pero que no me esperaba en ese momento del libro).

    Yo no diría que esta fórmula es bella, ni elegante… creo que es de belleza y elegancia fácilmente observable por los que no tienen base matemática, es un aura fácilmente percibible.

    A mi me parece más elegante la demostración (y cálculo) que hizo de la suma de los inversos de los números primos o los hallazgos que hizo en Geometría plana cuando hacía miles de años (desde Euclides) que nadie avanzaba en ese campo: Demostró que el ortocentro, el incentro y el baricentro están en una misma linea (linea de euler) y que están a distancias proporcionales (uno está a dos veces la distancia del otro).

    Pero no debemos olvidar que Euler creía en el Inframundo!! xD

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  15. La Identidad de Euler

    En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (…

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  16. La identidad de Euler es muy bonita, tiene buenas curvas, altos ojos tambien, y un trasero impresionante…:|, ANDAAAA!!, vamos, que tiene de bello, anda a saber para que sirve, si es bonito pero no sirve para nada?, no sirve…pero bueno, se ve que mucha gente no tienen nada que hacer…
    Igual, es muy bella la demostracion xD.

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  17. Carl Gayn parece no saber que el “caso general” de la identidad de euler tiene mucho que ver con el móvil que lleva en su bolsillo.

    Esta identidad se puede utilizar para obtener coordenadas con unos cálculos ridículos y una precisión asombrosa sin necesidad de calcular senos y cosenos… fue el primer paso (o uno de los primeros) para los sistemas GPS y GPRS que utilizan las coordenadas polares para determinar la posición del dispositivo y permitir su comunicación.

    Antes de decir tonterías cosas como “anda a saber para qué sirve” lo mejor es informarse.

    Y la belleza de todas estas cuestiones es la misma que pueda tener una obra de Shakespeare o un cuadro de Monet… con la diferencia de que la identidad de euler seguirá siendo cierta cuando todos los cuadros y libros se hayan quemado.

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  18. Bah, los números complejos no sirven para nada. ¿Telecomunicaciones? ¿Transformada de Fourier? Paparruchas.

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  19. Lo siento, pero ¿ demostración ?

    ¿ A hacer un cálculo lo llamáis demostración ?
    Una identidad no necesita demostración.

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  20. Es la demostración de la fórmula de Euler para luego particularizar en z=pi

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  21. COMENTARIO EDITADO POR ^DIAMOND^

    Si no tienes educación para comentar lo mejor es que no lo hagas. No manches el nombre de Alan Turing con tus insultos.

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  22. puedo apostar que los que no ven la belleza de las formulas no son matematicos(casi siempre),pero aquellos que no entienden las diferencias de las personas(por que es obvio que todos somos diferentes para apreciar la belleza)puedo jurar que son ignorantes,y aquellos que creen que algo en matematicas no sirve pues se equivocan y son seguramente los que mas se equivocan el la vida(eso si fue un golpe directo jajaja)todo la tecnologia actual tiene su sustento matematico ;y para variar algo de filosofia :todo se relaciona con todo.

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  23. Creo que voy a empezar a visitaros con regularidad.Esta deducción de la identidad de Euler me ha convencido definitivamente.En cuanto a lo que dicen algunos de inservible … En fin, las matemáticas siempre sirven para algo aunque tú no sepas en ese momento para qué.

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  24. El número PI es cosa del Azar

    Hace dos siglos (y pico) Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon planteó al mundo una nueva rama de la probabilidad: La probabilidad geométrica.
    En el tomo IV de los 8 suplementos a su obra “Histoire naturelle, générale et particulière”…

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  25. me parece una demostracion muy completa por que reune todos los distintos problemas del calculo y esto sirve mucho para las personas que trabajan en areas avanzadas deinvestigacion

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  26. la demostracion es un arma fundamental para aclarar los distintos enigmas que surgieron a cerca de los distintos conjuntos de numeros pero en fin euler fue un gran matematico y gracias a esto despejo muchas dudas que hoy en dia pueden ser refutadas aunque esto es casi imposible

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  27. Blog añadido a Favoritos. Gran trabajo chicos.

    Los que dicen que las matemáticas no sirven para nada, está claro que es porque nunca han visto la aplicación de éstas (aparte de la belleza de las matemáticas per se)… Las ingenierías (y por ende todos los artefactos modernos) no serian NADA sin las matemáticas.

    “Sin abstracción no hay ingeniería; todo lo más, habría artesanía.”

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  28. hola soy estudiante de matematicas y eh tenido problemas con una demostracion ; y pues que ria ver si me podrian proporcional la demostracion : la dobre integral sobre el rectangulo R=[0,t]x[0,t],cuando t->1 de 1/(1-xy) es igual a la suma desde que n=1 a infinito de 1/n^2

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  29. e^ix=cosx+i senx, no se deduce de nada es asi por definición.
    Si nos preguntamos quienes tienen que ser a(x), b(x) para que e^ix=a(x)+i b(x), heurísticamente lo hace muy bien Tom M. Apostol Calculus Volumen I, pag. 447, exponenciales complejas y llega a la conclusión que necesariamente a(x)=cosx, b(x)=senx. Después es cuando define e^ix=cosx+i senx

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  30. No hay que olvidar que la demostración presentada en este artículo se FUNDAMENTA en el hecho de que las funciones exponencial, seno y coseno son ANALÍTICAS, y por tanto el razonamiento seguido es válido. 😀

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  31. Si no me equivoco de aquí se podría deducir que: 1=-e^i*pi.. Sería posible inferir de esta relación que la “trascendencia” de e y pi esté en ser los gérmenes básicos que determinen la identidad y el origen de la unidad? En Teoría de Números se encuentran numerosas relaciones entre pi y números pares, impares o primos, no conozco tantos ejemplos con e, pero observando la belleza de esta igualdad no puedo evitar pensar que el mensaje pueda ser que los átomos que conforman los números y la melodía de los primos estén íntimamente relacionados con los infinitos decimales de pi y e..

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  32. Aún hay otra demostración “más corta” (con herramientas más complicadas). Sean $f (x) = \cos x + i \sin x $ y $g (x) = \exp (ix) $. Como ambas funciones cumplen el problema $y”+y=0$; $y (0)=1, y'(0)=i $, entonces $f=g $. Por supuesto que yo prefiero la demostración usando series de potencias.

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