La lentitud de la serie armónica

Cualquiera que haya tenido algún contacto con la serie armónica seguro que sabe que dicha serie es divergente, ¿verdad? Vale, vale, vamos un poco más despacio y recordemos lo que significan estos términos.

Se llama serie armónica a la siguiente serie de números reales:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n}}

y, hablando de series de términos positivos, se dice que una serie es divergente si su suma (el límite de su sucesión de sumas parciales para los puristas) es infinito.

Por tanto, lo que hemos dicho en la primera frase es que la suma

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+ \ldots

es infinito. Evidente, ¿verdad? Si sumamos infinitos términos no podría dar otra cosa…Bueno, en realidad sí, ya que, por ejemplo, con

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

eso no ocurre. De hecho se sabe que esta suma vale \pi^2/6 (muchos recordaréis que el cálculo del valor de la suma de esta serie se denomina el problema de Basilea, y II). Pero bueno, en este caso sí es así (or cierto, aquí tenéis una sencilla demostración de la divergencia de la serie armónica).

Bien, la serie armónica es divergente. Eso, entre otras cosas, significa que comenzando en 1 y sumando los términos de la forma 1/n en orden podemos llegar a superar cualquier número natural. Por ejemplo, para superar al 1 necesitamos dos términos

1+\cfrac{1}{2}=1,5;

para superar al 2 necesitamos cuatro términos

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4} = 2,08 \overline{3};

para superar al 3 necesitamos once términos

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\ldots+\cfrac{1}{11}=3,019 \overline{877344};

y para superar al 4 necesitamos ya 31 términos nada menos

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\ldots+\cfrac{1}{31} \approx 4,027

Y si seguimos la cantidad de términos necesarios para superar cada número natural aumenta considerablemente: para superar a 5 necesitamos 83 términos; para superar al 6 necesitamos 227 términos…para superar al 10 necesitaríamos la friolera de 12367 términos…para el 20 tendríamos que sumar 272400600 términos…(es la A002387 en la OEIS).

Vamos, que la serie armónica tiene suma infinita pero se acerca muy muy muy despacio a ella. Tiene, según se dice, una divergencia lenta. De hecho, como habéis podido ver, muy lenta (necesitar sumar más de 270 millones de términos para que la suma sea mayor que 20 puede considerarse muy muy lenta, ¿verdad?).

Cuento todo esto porque hace unos días, echando un ojo a algunos mails antiguos que tenía sin revisar, he visto que Nicolás (un lector del blog) me preguntaba hace tiempo sobre algo relacionado con este tema. En concreto, lo que quería saber es si se conocía alguna expresión que relacionara cada número natural con la cantidad de términos de la serie armónica que hacen falta sumar para que superemos a dicho número por primera vez. Bien, pues yo no he encontrado tal fórmula.

De hecho no tenía claro que existiera. Pero estaba pensando yo en el tema cuando vi que en la propia OEIS aparece la siguiente información:

Si llamamos a_n a la cantidad de términos de la serie armónica que hacen falta sumar para superar a n por primera vez, se conjetura que, para n > 1:

a_n=\left \lfloor e^{n-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor

siendo \gamma la constante de Euler-Mascheroni y \lfloor . \rfloor la función parte entera, que nos da el mayor número entero que sea menor que la cantidad a la que se le calcula.

Una expresión para calcular lo que buscamos que involucra a e y a \gamma. Tremendo. Vamos a comprobar esto para algunos valores de n y veamos si se cumple esta conjetura. Tomamos como \gamma la aproximación 0,577215664901532860607:

  • Para n=2 tenemos que a_2=\left \lfloor e^{2-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 4,64865562 \ldots \rfloor=4. Coincide con el valor real, bien.
  • Para n=4 tenemos que a_4=\left \lfloor e^{4-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 31,154649 \ldots \rfloor=31, que también coincide con el valor real.
  • Para n=10 tenemos que a_{10}=\left \lfloor e^{10-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 12367,4681 \ldots \rfloor=12367, que también coincide con el real.
  • Para n=20 tenemos que a_{20}=\left \lfloor e^{20-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 272400600,5594 \ldots \rfloor=272400600. Vaya, pues también coincide.

Parece que la conjetura acierta para todos estos valores, y para muchos más (podéis comprobarlo vosotros mismos), pero ya sabemos que eso no nos sirve como demostración (la conjetura de Polya es un muy buen ejemplo de ello). ¿Alguien conoce si esto ha sido elevado ya (mediante demostración) a la categoría de teorema o si, por el contrario, sigue siendo una conjetura?

Y para finalizar os dejo otra cuestión relacionada. También en la OEIS aparece la siguiente afirmación:

Si a_n es el numero de términos de la serie armónica que hay que sumar para que se supere por primera vez el natural n, entonces:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}=e}

Qué gran resultado, ¿verdad? Bueno, pues aunque si uno realiza los cocientes de cada término entre el anterior parece que la afirmación es cierta, tampoco he encontrado demostración de este hecho, por lo que no sé si es un teorema o simplemente es una conjetura. A ver si alguno de vosotros puede aclararnos un poco estas cuestiones.

Ah, y si conocéis alguna otra propiedad interesante o curiosa relacionada con la serie armónica os agradecería que lo comentarais.


Esta es mi primera contribución para la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a Scientia potentia est.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Si la primera afirmación resulta ser cierta, se puede demostrar la segunda fácilmente (el del límite).

    Jaja interesante post 🙂

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  2. Muy interesante post 🙂

    Respecto a la conjetura, llamando H_k a la suma parcial k-ésima de la serie armónica, sabemos por definición que:

    H_k - \log(k) \sim \gamma

    Despejando k:

    k \sim e^{H_k-\gamma}

    Y reemplazando k por a_n:

    a_n \sim e^{n-\gamma}

    Lo de \lfloor \dots + \frac{1}{2} \rfloor podría interpretarse como “el número entero más cercano”.

    Obviamente, esto no es una demostración, sino sólo una aproximación intuitiva al tema.

    Saludos!

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  3. La conjetura de Cloitre sólo es correcta para n pequeños. Un contraejemplo se encuentra en n=100. El número de términos para n=100 es del orden de 1,50927·10^43. Este número acaba en ….859497 (de aquí http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html). Haciendo el cálculo con eulergamma, el valor de la constante de Euler-Mascheroni de WolframAlpha obtenemos ….859496,864 y, por tanto, …859496 (de aquí http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28e%5E%28100-eulergamma%29%29-0.5 ).

    El pequeño error vendría de la aproximación del valor del número armónico:

    H(n) ¬ ganma + ln(n + 1/2) a partir de la definición de la constante de Euler-Mascheroni como un límite cuando n->inf.

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  4. Me veo forzado a enlazar mi entrada sobre la rama y la oruga, para la que entre otras cosas creé un programa en C++ que tuve sumando durante más de 10 horas la serie armónica (sumé tantos términos como segundos tiene el universo) y la suma no llegó a 30 (aunque claro, hay que tener en cuenta el error de redondeo del ordenador:

    http://www.zurditorium.com/la-oruga-y-el-arbol-magico-la-serie-armonica

    Y bueno, una forma de calcular una aproximación de cuántos términos hacen falta para llegar a un número es aproximar dicha serie por la integral de 1/x. Si cogemos el intervalo [m,m+n+1] y lo dividimos en n trozos iguales (dividiéndolo en cada natural), podemos calcular las sumas de Rieman superiores e inferiores asociadas a dicha partición, y claramente una será mayor que la integral en dicho intervalo y la otra menor. Y claramente estas sumas Rieman son:

    – la superior la suma desde m hasta m+n de la serie armónica.
    – la inferior la suma desde m+1 hasta m+n+1 de la serie armónica

    (véase mi post donde hay una gráfica que enseña la idea). Si n y m son grandes, las dos sumas anteriores difieren en poco y log[(m+n+1)/m] está entre ambas sumas lo que hará aproximarse al valor.

    En fin, de aquí se ve que log(n) tras sumar/restar constantes dentro y fuera del logaritmo aproximará la serie armónica hasta n. Y haciendo una inversa (la inversa del logaritmo es e^n) y haciendo algún ajuste debería de quedar una expresión similar a la que aparece en esta entrada. Así que ciertamente la fórmula tiene buena pinta, pero viéndola como la estoy viendo da la sensación de que para valores de “n” mayores fallará algo.

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  5. Es curioso, pero me acabo de dar cuenta que la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales (problema de Basilea) es exactamente la inversa de la probabilidad de escoger dos números coprimos.

    Ya sé que es una tontería, pero me ha parecido digno de mencionar.

    Un saludo a todos.

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  6. Jajaja, de hecho, cuando resuelven ese problema, tarde o temprano se llega al resultado 1/suma del inverso de los cuadrados, lo que da el resultado que tu dices

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  7. Hola a todos,

    Esa expresion del calculo del numero n para sobrepasarlo con la serie armonica, debe ser cierta por la propia definición de la constante de Euler-Masscheroni, la cual se define precisamente como la diferencia entre la serie armonica y el logaritmo natural…

    Un saludo

    Francisco Jose Menchen Caballero

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  8. Hola a todos, se que es un poco tarde pero quiero preguntar si existen otras series de divergencia lenta, por ejemplo estuve mirando que

    \lim_{n\to\infty}{\left(\sum_{k=1}^{\infty}{\ln{k}}-n\ln{n}+n\right)}

    Crece bastante lento.

    Lo agradezco de antemano

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