La leyenda del ajedrez

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.

Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido.

Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Éste rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente:

Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante.

El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó. Mandó a los calculistas más expertos de la corte que calcularan la cantidad exacta de granos de trigo que había pedido Sissa, es decir:

1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63}

Cuál fue su sorpresa cuando éstos le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

El rey se quedó de piedra. Pero en ese momento Sissa renunció al presente. Tenía suficiente con haber conseguido que el rey volviera a estar feliz y además les había dado una lección matemática que no se esperaban.

Esta leyenda es bastante conocida. Seguro que much@s de vosotr@s sabíais de su existencia. Pero hay una variante que serviría para que la lección matemática se la llevara el listillo de Sissa:

Supongamos que el rey al pensar que la petición de Sissa era irrisoria le hubiese ofrecido granos de trigo en esa progresión pero hasta el infinito, es decir:

1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots

Veamos qué hubiera pasado:

Llamemos S a la cantidad cantidad de granos de trigo que recibiría Sissa, es decir:

S = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots

Ahora operemos de la siguiente forma:

S = 1 + (2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots) =  1 + 2 \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64} + \ldots)

Es decir, sacamos factor común 2 de la parte de la suma que teníamos entre paréntesis. Pero como podemos observar lo que nos ha quedado entre paréntesis es exactamente igual a S. Esto es:

S = 1 + 2·S —> (Despejando) —> S = -1

Por tanto la generosidad infinita del rey se ve recompensada: no solamente no debe pagar nada a Sissa sino que éste le debe entregar un grano de trigo.

El fallo de este razonamiento es muy sencillo (para alguien que esté algo familiarizado con estos temas claro). A ver quién lo encuentra primero.

Actualización: El fallo está en mezclar la aritmética finita (números) con la transfinita (infinitos). No podemos despejar de esa forma porque S no es un número, es el límite de una serie divergente, es decir, que tiene a infinito. ote lo comentó aquí y homero aquí.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

31 Comentarios

  1. ¡Me voy a arriesgar!

    El fallo está en que S = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …) y no solamente la parte del paréntesis.

    ¿Estoy en lo cierto?

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  2. No :P .

    A ver, S = 1 + 2 + 4 + 8 + …, pero agrupando del 2 en adelante y sacamos factor común 2 tenemos que:

    S = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …)

    Y ahora si te fijas lo que hay dentro del paréntesis coincide con la expresión de S que he escrito al principio del comentario. Por tanto:

    S = 1 + 2·S

    Y de ahí:

    S = -1

    No es ese el fallo. A buscar :)

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  3. Ya, ya, pero yo te decía que no puedes coger el valor del factor común porque S = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …), vamos que S es igual a lo que hay delante del factor común.

    Es un bucle infinito, tú puedes ir factorizando pero nunca serán el valor de la S, ya que la S toma el valor de todo, no solo de la primera igualdad, es que no me explico bien.

    Lo que quiero decir es que no puedes obviar que es una igualdad y entonces la primera parte es igual a la segunda, y no solo una parte de la segunda es igual a la primera.

    Me estoy liando.

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  4. Sí, te estás liando tú y me estás liando a mí :P . Pero creo que te he entendido. Vamos a ver:

    Justo en lo que dices está el error: ¿por qué si a un lado de la igualdad tenemos S en el otro lado sólo hay una parte que es S? ¿Qué característica tiene S para que ocurra eso?. Cuando sepas eso lo habrás resuelto.

    A ver si alguien echa una mano a neok, que con los exámenes está algo espeso :P .

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  5. Joer, voy a ver si ahora que me he despejado un rato del ordenador puedo explicarme mejor.

    Tenemos:

    S = 1 + 2 + 4 + 8 + … = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …)

    Y tú intentas hacer esto:

    S = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …) = 1 + S

    Básicamente el error está en que la S = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …) y tú no puedes sustituir el factor común por S, ya que te estás olvidando de el 1 + … que siendo está una sucesión a infinito daría infintos unos más que te olvidas.

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  6. Los exámenes te están matando. Te pongo otro ejemplo:

    x = a + b
    x = 1 + 2·(a + b)

    Por tanto:

    x = 1 + 2·x

    Cierto, ¿verdad?

    Pues esto es lo mismo. Primero digo que

    S = 1 + 2 + 4 + 8 + …

    Y luego operando llego a que

    S = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + …)

    Por tanto, si te fijas, lo de dentro del paréntesis de la segunda expresión es exactamente la S de la primera, y en ese caso tengo todo el derecho del mundo para sustituirlo.

    El error no está ahí, te lo aseguro. Como los papelitos de las bolsas de patatas: Sigue buscando :P .

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  7. infinito=1+infinito=2*infinito=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2…. (infinitas veces)

    y es que no se debe mezclar la aritmética de números finitos y números infinitos con las reglas cumunes

    (espero no haberme pasado de listillo y que esa sea la razón)

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  8. Diamond tu ejemplo es un poco raro, porque son completamente cosas distintas, tú tienes todo el derecho de sustituir (a + b) por x, pero no tienes el derecho a decir que x = 1 + 2·x, argumentando que (a + b) es x, ya que x = 1 + 2·(a + b).

    Vamos que una sería x1 y otra x2, son cosas distintas porque las igualdades son distintas, en el otro caso es lo mismo porque tu no puedes decir que una parte de la igualdad es igual que el total del resultado de S en una igualdad anterior, porque esa S ya vale lo que hay en la siguiente igualdad. (Aquí me he vuelto a volver loco)

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  9. Ote tiene la razón. En otras palabras, el problema está en:

    S = 1 + 2·S —> (Despejando) —> S = -1

    La primera “ecuación” es cierta, pero ese despeje es ilegal, porque 2·S – S no es lo mismo que S, porque S es infinito y no un número. La diferencia entre dos infinitos es indeterminada (esto porque a infinito yo le puedo sumar una constante y sigue siendo infinito).

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  10. ¡¡Por fin se acabaron los problemas de sueño de neok!!

    ote y homero te han desvelado el secreto. El fallo está en que S es infinito. Los cálculos que yo realicé (la sustitución que a ti no te cuadra) son perfectamente ciertos. La forma de despejar S es válida siempre que S tenga un valor numérico. Pero no es el caso. Ahí está el fallo: la suma infinita de todos esos números vale infinito.

    No lo pienses mucho, que tienes exámenes :) .

    Saludos :)

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  11. Vaya, llego tarde para intentar resolver el problema :P . La verdad que bastante curioso el temita.

    A mí lo que me está matando es el trabajo y la venta de muebles… :S Pero bueno, cosas como estas ayudan a despejarse.

    Saludos :D

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  12. Señores, no tienen ustedes NI IDEA

    Déjense de infinitos que no saben de lo que están hablando. Lo único que supongo que tienen claro es el concepto de finito.

    Pues bien, sólo se puede “sacar factor común” de un número FINITO de sumandos.

    Lo demás es análisis de series, cosa en la que -creo- no están demasiado puestos…

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  13. jmprus ese era precisamente el fallo que pretendía que la gente encontrara: que no se puede sacar factor común de un número infinito de sumandos. En este comentario lo puedes ver.

    Por otro lado suponer que no tenemos ni idea de infinitos ni de teoría de series numérias es mucho suponer por tu parte.

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  14. Lo diré en vuestro lenguaje para que lo entendáis, aunque le esté pegando una patada al diccionario de las matemáticas…

    Una cosa es que S “sea infinito” y otra que tenga “infinitos sumandos”. Contraejemplo:
    S = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2^n

    De todas formas, la definición de S ya es incorrecta porque nadie me asegura que exista, como es el caso… Y que nadie me diga que es “infinito” que yo no conozco ese número :)

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  15. Muchas veces intento dejar un poco de lado algún que otro detalle que pueda complicar el tema más de la cuenta. Igual a veces me paso y me dejo demasiadas cosas. Puede que en este post sea ese el caso. Fallo mío.

    De todas formas creo que podías haber comenzado como has terminado tu segundo comentario en vez de insultando a la gente. El objetivo del post sólo era mostrar algo curioso para que la gente pensara un poquitín, no dar un curso de series numéricas.

    Y, evidentemente, yo tampoco conozco el número “infinito” :)

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  16. Aqui nadie ha insultado a nadie… que poca guasa tienen algunos. Ale a la biblioteca ;)

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  17. jmprus normalmente yo, o no contestaría a comentarios como el tuyo (tipo troll que quiere guerra) o sencillamente lo borraría y te pondría directamente en la lista de spam.

    Pero aquí, mi amigo diamond quizá tenga más educación que yo o sencillamente prefiera intentar explicar las cosas antes de dar por hecho que se trata de un troll.

    Así que en principio no has insultado a nadie, aunque a mí no me hace gracia que llegue uno y me diga no tienes ni idea sin aportar unos argumentos serios y viendo en su breve explicación que no se ha leído el post, así que la próxima vez leete el post e intenta ser constructivo y no destructivo.

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  18. Perdón si entendí mal, pero eso de “no se puede sacar factor común de un número infinito de sumandos”, es cierto?

    Ummm, tal vez recuerde mal, pero no se demostraba la convergencia de algunas series sacando factores comunes, por ejemplo las series geométricas

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  19. kaizen, si una serie con término general An es convergente entonces la serie cuyo término general es cAn con c constante lo es también. Y su límite es precisamente cA sonde A es el límite de la original.
    Si queremos llamar a eso “sacar factor común”… pues vale :)

    neok tú deja de ver tanto david el gnomo y cógete un buen libro de análisis

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  20. Pues ese es el tema: que nuestra serie no converge. Por eso en este caso no podemos sacar factor común. Yo dije que en teoría ese paso está bien hecho suponiendo que S era un número, lo que significaría que la serie converge. Ese era el fallo, nada más.

    Y no es cuestión de tener más o menos guasa hombre, sólo que creemos que comenzar diciendo que aquí nadie tiene ni idea, que no estamos nada puesto en no se qué tema o que nos cojamos un libro de no se qué cosa no es la mejor manera de refutar un argumento.

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  21. Madre mía, que paciencia teneis… yo ya le habría puesto a parir xD

    ¡Qué mal educado!

    Yo creo que el post está escrito con todo el rigor que se necesita en un blog. Quien quiera aprender más seriamente no puede depender de un blog, como tampoco puede depender de un libro de análisis (al menos no sólo de uno).

    jmprus debería ver más David el Gnomo, para que se le bajasen los humos y entendiese de una vez por todas lo que es un troll.

    Y a partir de ahora: Don’t Feed the Troll.

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  22. jmprus: Pues a mi me parece que el único figura eres tú. y un poco triste tambien eres, por cierto. lastima que pienses que tu caracter avinagrado sea “humor”. Cero constructivo absoluto y además denotas fustración.
    Lo bueno es que realzas a aquellos que te toleran e intentan explicar las cosas sin ir de listos.

    jmprus=SPAM. NO MORE TROLLS.

    Diamond: Enhorabuena por el blog. lo acabo de añadir a mis bookmarks.

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  23. Comentario editado por neok

    Lo siento jmprus pero esto se ha acabado, aquí no se insulta a nadie aunque sea en términos tan pequeños.

    Has sido baneado

    Y para los demás, por favor:

    Don’t feed the troll

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  24. Una bonita y conocida historia de ajedrez y un interesantísimo acertijo matemático. Me encanta este blog.

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  25. Pienso que es bastante sencillo el fallo del razonamiento final.

    Se sabe que la suma dada es una serie infinita que diverge, se va al infinito, es decir, S es una tendencia, no un número, y no se pueden resolver ecuaciones con tendencias. Resolver la ecuación S=1+2S (intentarlo) sería equivalente a resolver la pseudo-ecuación infinito=1+2*infinito, que es lo mismo que infinito=1+infinito…y sencillamente no puedo restar infinito en ambos lados, pues infinito-infinito es una indeterminación. Listo ^_^

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  26. Yo pienso que el problema viene en que SI es un numero finito, porque el tablero de ajedrez tiene 64 cuadros.
    La igualdad es errónea porque al sacar el factor común, la S que tenemos antes de la igualdad se refiere a los 64 cuadros, mientras que la nueva ya no es elevada a 64, sino a 63, lo que invalida dicha igualdad.
    Creo yo…

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  27. Aunque, demasiado tarde x años xD quiero comentar. Solo se trata de factorizar el resto de numeros y no es infinito ya que te dan un ultimo valor que deberia de 2^63 y dicho valor es representado por ese, y al factorisar dicho calculo no deberia variar ya que 1+2… 2^63 no hay lateracion ya que solo es una suma de numeros doblando su cantidad n.n

    Mejor otro problema cuanto es 2+2 si 2equivale a 1 e.e xD

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  28. al sacar factor comun de s1 ,s2 no tendra el mismo resultado de la suma(1+2+3..)que s1 por tanto no seran iguales por lo tanto la ecuacion tiene dos incognitas y no solo una, ahi es donde se equivocan o talvez yo estoy dejando pasar algo..,

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