La paradoja de Banach-Tarski

Vamos primero con un enunciado de la paradoja:

Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

Paradoja de Banach-Tarski

De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol

Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

32 Comentarios

  1. La verdad es que la demostración es muy muy engorrosa, pero también bastante simple por ser constructiva…

    Sin embargo me surge la duda, casi metafísica:
    Si consideramos como cierta la Teoría de Cuerdas, con sus dimensiones espaciales “enrolladas”, y también que pudiésemos dividir una esfera desde un punto exterior a las tres dimensiones espaciales más una de las enrolladas… en teoría sí podríamos dividir dicha esfera de tal manera que en el mundo tridimensional obtuviésemos las piezas de dos esferas de igual volumen a la primera.

    (Por supuesto considerando los conjuntos resultantes de la división a través de la dimensión enrollada como no-medibles)

    xD

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  2. Me he acordado de la cuadratura del círculo, no sé porqué… Por cierto que sería un juguete estupendo una esfera que se construyera por partes y de la que se pudieran sacar 2 esferas iguales en tamaño montando las piezas de otra forma.

    Forraos 😛

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  3. ¿El recíproco es cierto?

    ¿Se pueden coger 2 esferas de igual volumen, trocearlas y llegar a una sola del tamaño de un de ellas?

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  4. Increible; me encantaria ver una demostración porque realmente no em imagino cómo se podria demostrar eso.

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  5. mimetist eres un rallao :P.

    Lek la cuadratura del círculo…todo se andará :D.

    wallace echa un ojo al enlace de Carlos ivorra que hay al final del post.

    dramey pues supongo que en principio sí. Al ser la demostración constructiva debería ser cierto el recíproco. Aunque ahora mismo no lo tengo 100% seguro.

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  6. A ver si me acuerdo de buscarlo en un libro que tengo por ahí y te mando un mail para que pongas tu ciencia 😉

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  7. La verdad es que es de las paradojas que te dejan más “pillao” hasta que logras entender el tema de los conjuntos no medibles.

    Aparte de eso… bueno, el axioma de la elección siempre ha creado controversia pero en general está aceptado así que se da por correcto el resultado y punto. Ahora sólo hace falta encontrar una manera de dividir los billetes de 500€ en conjuntos no medibles.

    PD: no creo que el método de Mimetist funcione, entre las hipótesis del teorema creo que se incluye que estás en R^n y no en universo con dimensiones enrolladas así que no se hasta que punto es aplicable en el Mundo Real

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  8. Y ahí va la pregunta del ingeniero:
    ¿Este resultado tiene alguna aplicación en nuestro mundo físico?

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  9. Vaya, yo ingenierilmente entiendo que las dos esferas están huecas por dentro, y que las dos masas juntas son iguales a la original.

    Es como si en vez de una esfera tuvieramos 1 vaso de agua (congelada), cortas por aquí, giras por allá y te quedan dos vasos ‘llenos’, pero una vez descongelados quedan más vacíos.

    No sé, es una suposición. De hecho en el enunciado no se dice que las dos esferas tengan todo el volumen, creo que se refiere sólo a la superfície.

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  10. A ver, es que quizas hay una confusion de notacion.
    Ciertamente, tal como dice juanmah, por lo natural una esfera es solo la superficie.

    Si ese fuera el caso, el resultado, aunque seguiria siendo sorprendente, no lo seria tanto porque los conjuntos tendrian medida 0 (por lo tanto, dudo que se pueda hacer ya que serian medibles)

    Pero por lo que yo se la “paradoja” habla de bolas (no se si abiertas o cerradas)

    Y en cuanto al que preguntaba sobre la utilidad, no es que tenga mucha en el mundo real. Aunque como dice Papá Oso, sera cuestion de dividir billetes de 500 en cojuntos no medibles.
    Pero la verdad es que la “paradoja” la descubrieron quisiendo dar a entender que el axioma de la eleccion es un absurdo porque permite cosas como esta.
    Aun asi, el axioma se siguio aceptando (bueno, siguio habiendo controversia al respecto)

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  11. Perfecto como siempre 🙂
    Almenos ahora ya me hago una idea de cual es el inconveniente. Aunque me queda mucho por aprender espero algún día comprender estas cosas.

    No se si tiene mucho sentido pero ¿se podría dividir mediante cortes (y claro, no me vale trocear completamente la esfera) una esfera de modo que al aplicar movimientos rígidos consigamos dos esferas iguales pero huecas, es decir, aparentemente idénticas por fuera a la original?.

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  12. Pues no estoy seguro pero una vez me pareció escuchar en una conferencia que el recíproco no es cierto, pero ahora mismo no sabría decir por qué…

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  13. A mi me resulta más sorprendente que nada la última conclusión de la que hablas: “Podemos tomar una esfera del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera del tamaño del Sol”

    O sea… que tenemos una esfera del tamaño de un átomo, o menor aun, tan pequeña como queramos, y dividiéndola en trozos y juntándolos mas tarde podemos conseguir una esfera del tamaño de mil jillones de galaxias???

    Jopeta tu, en algún punto del camino estos matematicos perdieron la chaveta…

    No se supone que las mates deben de tener alguna similitud con el mundo fisico?? no se supone que el mundo esta escrito en lenguaje matematico??? entonces… que se hace con estos resultados????? CREO QUE ME ESTOY VOLVIENDO LOCO!!!!

    Saludos

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  14. En respuesta a las preguntas de Teodorikus:

    1) Si puedes hacerlo, de ahí que la paradoja de Banach-Tarsk (y por lo tanto el axioma de la elección) sean unos resultados tan controvertidos.

    2) No, no tienen porqué tener ninguna relación.

    3) No, se supone que los físicos han encontrado unos modelos matemáticos que se ajustan suficientemente bien a la realidad como para predecir algunas cosas. Punto.

    4) Se los clasifica de curiosidad y se los estudia para llegar a otros resultados que quizás tengan más aplicación real.

    PD: La mayor parte de los grandes lógicos de todos los tiempos se volvió loco en un momento u otro de su vida. Tranquilo. 😉

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  15. Respecto a lo que se preguntaba por aquí, si la cuadratura del círculo es posible, la respuesta es que sí.
    La respuesta es no si se pretende hacer una construcción con regla y compás, pero es que sí si la pregunta es “¿Puede tomarse un círculo, dividirse en un número finito de partes y reorganizarlas para formar un cuadrado?”.
    Echad un vistazo a la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_circle-squaring_problem

    Respecto a la utilidad de este teorema y el de banach-tarski: Nada es útil en matemáticas, aparte de sumar. Al menos no hasta que empieza a serlo. Toda el álgebra utilizada en criptografía fue un trasto inútil hasta que dejó de serlo.

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  16. Una cosa más: no es la superficie lo que se trocea y se reordena para dar lugar a las nuevas esferas. Son esferas completas. Los conjuntos en los que se parten son imposibles siquiera de visualizar.
    La mejor explicación de lo que va esta paradoja la leí en no recuerdo qué libro {si alguien me lo pide, lo busco}. Me suena que de Ian Stewart.
    Para hacernos una idea de lo raras que llegan a ser las mates: sabemos que hay funciones continuas que tienen “picos” en algunos puntos, es decir, no derivables. Pues también hay funciones continuas en todos los puntos de un intervalo y derivables en ninguno. Chocante, eh. A ver quién es el guapo que la dibuja 🙂

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  17. Bueno, vaya lío con que si es uan esfera hueca o llena… en los dos links dice claramente que es una esfera llena, y por tanto al escribir el post te has colado un poco con la notación, ya que S2 (ejem, el dos debería ser un superíndice) hace referencia a la superficie de la esfera. De hecho, el 2 hace referencia precisamente a la dimensión que tiene.
    Esto de las notaciones varia de unos sitios a otros, pero creo que lo de S2 esta bastante generalizado.

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  18. josé ángel madrid gómez, el libro es “Hacia el infinito”. Cuando leí este post me acordé del capítulo de la cuadratura del círculo. Lo he mirado ayer y mi sorpresa fue reencontrarme con este teorema.

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  19. Es incorrecto decir que la paradoja es constructiva, pues ya el uso del Axioma de Elección le quita toda su “constructividad”. De todas formas, un muy buen artículo 🙂

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  20. NO se puede realizar en el mundo REAL debido a las limitaciones impuestas por la TEORIA ATOMICA 🙂 asi como que en algunos casos on seran medibles o tendran medida 0 a pesar de estar ‘llenos’ de algo

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  21. Justo el jueves me comentaron en Bases de la Matemática que el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección; si el de elección es controvertido, ¡RECURRAMOS AL LEMA!

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