La paradoja de la banda esférica

Tal y como vimos en el artículo dedicado a la la paradoja de Russell, según la Wikipedia:

Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es lo opuesto a lo que uno considera cierto.

En Gaussianos ya hemos visto algunos artículos sobre paradojas (al final adjunto enlaces a algunos de ellos).

En este artículo vamos a comentar otra paradoja, es decir, otro hecho que atenta contra la intuición. Vamos con el enunciado de la paradoja de la banda esférica:

Supongamos que disponemos de una esfera un millón de veces mayor que nuestro planeta. Y supongamos que la tenemos rodeada con una cuerda por su ecuador. Tomemos esa cuerda y aumentemos un metro su longitud. Volvamos a rodear la esfera de tal forma que la cuerda se eleve la misma distancia a lo largo de la misma. ¿Podríamos pasar un papel por ese hueco? ¿Podría deslizarse por él un mechero (unos 8 cm)?

En principio es probable que la mayoría de la gente diga que el hueco que se produciría sería tan pequeño que ni siquiera se podría pasar por él una hoja de papel.

Pero hay más:

Supongamos que ahora disponemos de una canica esférica rodeada por un hilo por su ecuador. Realicemos la misma operación: alarguemos un metro la longitud del hilo y volvamos a rodear la canica para que la separación entre ella y el hilo sea la misma. ¿Podremos pasar ahora una hoja de papel? ¿Y el mechero? ¿Y el mando a distancia de mi televisor (25 cm)?

Ahora es probable que la mayoría de la gente crea que se podría pasar el papel, el mechero y hasta el mando a distancia.

La paradoja consiste en que la separación que se produce en los dos casos es exactamente la misma. Es decir, que esta separación es independiente del radio de la esfera en cuestión. Vamos a verlo:

Supongamos que tenemos una esfera de radio R (vamos a suponer que la unidad de medida son metros). Como la cuerda pasa por el ecuador forma una circunferencia que también tiene radio R. La longitud de esta circunferencia es por tanto L=2 \pi R. Aumentemos la longitud en un metro. Tenemos por tanto una circunferencia de radio R+r, siendo r la distancia a la que queda la circunferencia nueva de la esfera inicial. La longitud de esta circunferencia es ahora L^\prime=2 \pi (R+r). Pero también podemos expresar esta longitud así: L^\prime=L+1 (recordad que la nueva longitud es la antigua aumentada en un metro). Igualando tenemos que L+1=2 \pi (R+r). Sustituimos L por su valor:

2 \pi R +1 =2 \pi (R+r)

Operamos:

2 \pi R +1 =2 \pi R + 2 \pi r

Simplificando obtenemos:

1=2 \pi r

Como podéis ver el radio de la esfera incial, R, ha desaparecido de la expresión. Por tanto no influye en el cálculo final. Despejamos r:

r= \cfrac{1}{2 \pi}

O lo que es lo mismo:

r=0,15915494 \ldots

Esto es, el radio aumenta 16 cm. Por tanto el hueco que queda entre la esfera y la circunferencia formada por la cuerda alargada un metro es de unos 16 cm independientemente del radio de la esfera inicial. Por tanto podemos meter una hoja de papel, un mechero pero no el mando a distancia sea cual sea el tamaño de la esfera de la que partimos.

¿Qué pensabais vosotros antes de ver la solución? ¿Alguien se anima a probarlo en la realidad?

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. Increible!
    Había oído algo de esa paradoja pero desde luego estos ejemplos la ilustran perfectamente!

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  2. Sigo sin imaginarme cómo añadiendo un metro al hilo que rodea una canica, sólo aumenta 16cms el radio de la circunferencia … ¡brujería! Jejeje

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  3. A no ser que el mando tenga forma de cubo, yo creo que si que entraría 😉 Es broma.

    Es cierto lo de la paradoja, cuando alguna vez lo he comentado con mis alumnos no terminan de creérselo, así que hemos terminado cogiendo una cuerda y haciendo la prueba. Aunque lo ven no todos terminan de creérselo y siguen pensado que hay gato encerrado.

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  4. No, no faltan. La longitud (L) es 2πR, luego tenemos que L=2πR. Si se le añade un metro, tendremos que L’=L+1, o sea 2πR+1. 2π(R+1) nos daría la longitud de una circunferencia de radio R+1, que no es el caso.

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  5. La verdad es que es impresionante. Lo he acabado de ver imaginando la relación entre esos 16 centímetros y el radio de un planeta inmenso y comparando con la misma relación respecto a una canica.

    Por cierto que la paradoja hace uso de un recurso lingüístico y psicológico, nada matemático: proporcionar una cantidad inicial (el grosor de una hoja de papel). Es común que una vez dada una aproximación inicial los siguientes cálculos giren en torno a ella.

    Un saludo.

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  6. Esta paradoja fue un problema en una de las maratones de problemas que se organizan en mi facultad (Facultad de matemáticas y estadística). En ese problema en particular, y para darle un toque friki que me encanta, cambié el enunciado y la esfera pasó a ser una Estrella de la Muerte y la cuerda un lazo para ofrecerla de regalo al Emperador.

    Lo cierto es que, la primera vez que lo calculé a mano, es sorprendente que el resultado sea independiente del radio de la esfera, y que la separación siempre sea de casi 16cm. Pero ahí está.

    Un saludo.

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  7. Si lo pensamos desde otro punto vista, en sentido inverso, no hay paradoja. Es decir: si el radio de una esfera aumenta 16 cm, ¿cuánto aumenta la longitud de su circunferencia máxima? Pues, 2 * Pi * 0,16 = 1 metro, sin importan cuál sea el radio de la esfera. Así ya salen las cuentas y no hay paradoja.

    El origen de la “paradoja” es, como apuntan en otro comentario, por la forma de plantearlo: una esfera enorme frente a una canica; nuestro cerebro, tan limitado a veces, se centra en esa diferencia de tamaña y cree que el resto debe seguir la misma proporción.

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  8. OMG! No nos lo podíamos creer, ni yo ni mi compañero de curro, así que aprovechando un rato libre lo acabamos de comprobar usando para ello cable, una papelera, un vaso y cinta métrica… Y la verdad, es la leche… Sigo pensando que para verificarlo de forma más exhaustiva tendría que probar con un contenedor de vidrio, pero no tengo la sensación de que sea necesario… 😉

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  9. Están confundidos. Están creyendo que la paradoja es la verdad y que la verdad es una paradoja.

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  10. Perdón, están en lo cierto. La paradoja es muy buena. La longitud de la circunferencia es proporcional al radio. Lo que es muy diferente en ambos casos es la razón de radios.

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  11. Alguien tiene que demostrarlo en youtube con por ejemplo una canica y una bola de fútbol.

    Yo tampoco me lo creía y lo he tenido que comprobar! Y aún me cuesta de creer.

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  12. La verdad es que no es ninguna paradoja. El problema es que aquí está explicado bastante mal. Veamos:

    Supongamos una esfera con un radio r. Su ecuador medirá por tanto 2πr. Si aumentamos en 1 metro la nueva circunferencia tendrá una longitud 2πr+1, esta circunferencia tendrá una longitud 2πR. Igualando tenemos que 2πr+1=2πR. O lo que es lo mismo 2πr+1=2π(r+1/2π)=2πR, de donde se obtiene directamente que el nuevo radio R es: R=r+1/2π

    Esta expresión es independiente del radio inicial r.

    Creo que esta demostración es algo mejor.

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  13. Perdón, voy a poner todo esto más bonito.

    La longitud inicial es: L_i=2 \pi r
    La longitud final es: L_f= L_i+1=2 \pi r + 1 o lo que es lo mismo L_f= 2 \pi \left( r + \frac{1}{2 \pi} \right) = 2 \pi R y por tanto el radio final tras añadirle una unidad es R=r+ \frac{1}{2 \pi}.

    Por tanto el aumento de radio (es decir cuánto se separa de la cuerda inicial) es independiente del radio inicial con el que se parta, siempre aumenta en \frac{1}{2 \pi}

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  14. Tienes razón, el infinito no es un numero que pertenezca a los reales y por tanto no se le puede aplicar las leyes fundamentales de la aritmética. Gracias por la observación. 🙂

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