La paradoja de Russell

Según la Wikipedia una paradoja es:

Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es lo opuesto a lo que uno considera cierto.

Hay muchos tipos de paradojas, clasificadas según varios aspectos, pero no me voy a extender en este tema ya que no es el objetivo del post (aquí podéis ver información sobre esas clasificaciones).

Lo que nos ocupa es una Antinomia. Es una de las paradojas más famosas de la historia de las Matemáticas , ya que durante un tiempo hizo temblar a la teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor, y es conocida como La Paradoja de Russell en honor a su creador: Bertrand Russell.

Vamos a explicar un poco de qué va este tema:

Consideremos el conjunto cuyos elementos son todas las sillas del mundo. Evidentemente el propio conjunto no es una silla y por tanto se tiene que el conjunto en sí no es un elemento de sí mismo. Los conjuntos que cumplan esa condición (que no sean elementos del propio conjunto) se denominan conjuntos normales.

Y diréis: no parece que hay conjuntos que se contengan a sí mismos como elemento. Pues sí se pueden definir. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de todos los objetos matemáticos se tiene que el propio conjunto es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo. O el conjunto de todas las cosas que no son sillas. Se ve claramente que el conjunto no es una silla, y por tanto es un elemento de sí mismo. A estos conjuntos (los que se contienen a sí mismos como elementos) los llamaremos conjuntos singulares. Y, evidentemente, estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que podamos forma es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.

Bueno, dicho esto vamos al meollo del asunto: consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos normales que se pueden formar. Llamemos a ese conjunto M (por llamarlo de alguna forma). Ahora, si M es normal estará en M, por ser M el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero a la vez, por ser M normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento (según la definición de conjunto normal), y por tanto M no pertenece a M. Uhmmm…qué extraño, ¿no?.

Supongamos ahora la otra opción posible: si M es singular entonces M no pertenece a M. Pero en este caso M no es un elemento de sí mismo, es decir, cumple al definición de conjunto normal, y por tanto M es normal, es decir, M pertenece a M.

Dios, ¡¡qué locura!!. Si M pertenece a M podemos demostrar que M no pertenece a M, y viceversa. He aquí la paradoja.

En esta web podéis encontrar otro ejemplo usando obras de artes que puede ayudar a entender algo mejor el tema.

Bueno, y ahora surge un problema bastante más importante de lo que uno puede creer: teniendo en cuenta que todas las Matemáticas se basan en la teoría de conjuntos y podemos encontrar en ella una paradoja de estas dimensiones…¿cómo se sostiene todo?. Pues sencillo. Bueno, sencillo no, pero se sostiene. Los lógicos llegaron a la conclusión que para la teoría de conjuntos en la que están basadas las Matemáticas los conjuntos singulares simplemente no pueden existir. Más tarde llegaron los axiomas de Zermelo-Fraenkel y consiguieron asentar definitivamente el tema (bueno, igual no tan definitivamente, ya que el axioma de elección ha dado y sigue dando mucho que hablar, pero bueno, ese es otro tema). Vamos, que por ahora podemos estar tranquilos, las cosas siguen funcionando.

(Enlace a la paradoja de Russell en la Wikipedia)

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

60 Comentarios

  1. Vaya, no sabía que las matemáticas directamente estaban construídas sobre una mentira de forma tan evidente xDDDDD

    Esto me recuerda el caso de la sucesión infinita de:
    1 + 1 – 1 + 1 – 1…
    que según cómo la acotes el resultado debería ser 1 ó 0…

    Si me acuerdo el fin de semana, os mando un correo con el texto sacado, si os interesa

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  2. Nah, una sucesión como otra cualquiera. Si cogemos un subconjunto finito de sus elementos depende de como sea la suma de ellos cambia, evidentemente. Simplemente tiene dos sucesiones parciales que convergen a números distintos, y por tanto la sucesión no tiene límite.

    Manda manda, todas las contribuciones son bienvenidas :)

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    • si no tiene limite desconoces a que numero convergen a la fuerza

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      • Solo se puede decir qure tiene lmite superior 1 y limite inferior -1

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  3. A mí me ha recordado a la paradoja de los conjuntos de los números enteros y naturales, que pareciendo en principio que hay más números enteros que naturales se puede demostrar que los dos conjuntos son idénticos, tienen infinitos números y ningún infinito es más grande que otro.

    Espero haberme explicado bien. ;)

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  4. Si no me equivoco te refieres a la hipótesis del continuo, formulada precisamente por Cantor, y que dice algo así como que entre el cardinal (número de elementos) de N (números naturales) y el cardinal de R (números reales) no hay ninguno. De ahí podemos deducir que, en cuestión de infinitos, los números naturales y los números enteros tienen el mismo número de elementos. Algo que atenta contra el sentido común pero matemáticamente cierto.

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    • he leído en la wikipedia…. espera … “De hecho, Cantor demostró que el conjunto de los números reales tenía “más elementos” que los números enteros (si bien ninguno de los dos conjuntos es finito, ambos diferían en su grado de “infinidad”). El número de elementos del la recta real se representó como alef”

      https://es.wikipedia.org/wiki/Álef_(cardinales)

      esto es lo que dice “Aleph”, no exactamente lo que tu has puesto…. ambos se diferencian en su grado de infinitud)

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  5. Esto de la hipótesis del contínuo ni me sonaba (qué vergüenza xD)

    Pensaba que la demostración de la igual cardinalidad entre N (naturales) y Z (enteros) era la constructivista que vemos en primero, que consiste en asignar a cada natural un número entero, así:

    1 -> 0
    2 -> 1
    3 -> -1
    4 -> 2
    5 -> -2

    Y así hasta el infinito y más allá. Haciendo una construcción como esa podemos ver que todo x (no importa cuan grande sea) que pertenezca a Z tiene asignado un número natural. Por tanto “tienen el mismo número de elementos” (infinito numerable).

    Por cierto, para los que no lo sepan, la cantidad de números pares es igual a la cantidad de números pares más la de los impares. Algo muy curioso y, aparentemente, paradójico.

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  6. Venga, vamos a debatir :P :

    En realidad la construcción de los números enteros a partir de los naturales que se suele ver en los primeros cursos no es así (al menos la que yo vi). Es una aplicación biyectiva entre Z y el conjunto cociente que surge de NxN sobre la siguiente relación de equivalencia:

    Dos pares de elementos (a,b) y (c,d) están relacionados si a + d = b + c

    Como la aplicación es biyectiva el cardinal del primer conjunto es igual al del segundo. Y como en álgebra transfinita se tiene que:

    Cardinal de NxN = Cardinal de N + Cardinal de N = Cardinal de N

    tenemos que el cardinal de Z es igual al cardinal de N.

    Además, como a partir de ZxZ* (Z* es Z sin el cero) podemos construir Q (números racionales), tenemos que el cardinal de Q es igual al de Z, y por tanto igual al de N.

    Por cierto, como curiosidad comentar que el cardinal de N se denomina aleph 0 (y por tanto también el de Z y el de Q). Y el cardinal de R se denomina aleph 1

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  7. En Álgebra Básica sí vimos una demostración basada en clases de equivalencia, pero en Análisis de Variable Real vimos todas estas “demostraciones” como te las he contado.

    Fui tan tonto que me compré el libro del profesor y la construcción que hace para demostrar que N y Q (los racionales) también tienen el mismo cardinal es así (literalmente):
    “El mismo criterio permite establecer también una biyección entre Q y N:

    0/1 -> 1
    1/1 -> 2
    -1/1 -> 3
    1/2 -> 4

    y esto es lo verdaderamente significativo. Para conjuntos infinitos, la definición de tener el mismo número de elementos (mismo cardinal) es que se puede etablecer una biyección entre ellos.”

    (del libro “Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático” de Miguel de Guzmán y Baldomero Rubio… éste último era mi profesor).

    Lo curioso es que para ser un libro de primer curso y estar entre las 20 primeras páginas del primer tema (de un tema de 60), habla de “biyección” pero no se explica lo que esto significa, como tampoco se explican inyectividad o sobreyectividad.

    Lo mejor es que justo debajo de esto está la demostración de la irracionalidad de la raíz de dos xD me encanta!!!

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  8. mimetist a mí me contaron el mismo rollo que acabas de decir, y es justamente a esa demostración a la que me refería. Lo bueno de todo es que Diamond nos ha metido en un tema todavía más profundo y más complicado e inentendible para mí. :S

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  9. No creas, lo que dice Diamond es exactamente lo mismo sólo que de un modo formal y “cambiando” la regla de equivalencia.

    “Nuestro método” (para el ejemplo de la cardinalidad de los pares) se puede formalizar usando la relación (que no es de equivalencia, sino de orden):

    a R b => b = 2*a (la R significa “relacionado con”)

    De este modo se crea una biyección entre N y el conjunto de los números pares… lo que nos asegura que tienen el mismo cardinal. :D

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  10. ¿Soy el único que se ha perdido? :P , la verdad es que hasta cierto punto, entiendo lo que queréis decir, pero todavía me queda muuuucho para entender todo eso al 100 :$

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  11. Vale, ya releyendo un poco más las cosas y aplicando un poco el sentido común entiendo lo que quiere decir ^Diamond^.

    En el razonamiento de mimetist, ahí sí que me pierdo porque ni idea de las relaciones (ni de orden, ni de equivalencia, ni nada…hombre sexuales sí :P )…

    Tendremos que estudiar un poco más :D

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  12. wow,.,.tema profundo y casi insondable para mi.,.,en lo que quede pensando es :tambien es una paradoja el hecho de que el conjunto vacio es cerrado y abierto a la vez?? alguien me puede dezir??

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    • debería llamarse El Conjunto Vacio en mayusculas para que se cumpla esa condición (y y no o)

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  13. M4ZT3R no, eso no es una paradoja. Me explico:

    Una topología es un conjunto de elementos denominados abiertos que cumplen ciertas propiedades. Con ella podemos definir lo que se llama espacio topológico que está formado por un cierto conjunto, digamos E, y una topología asociada a ese conjunto. Para que un cierto conjunto de elementos sea una topología debe contener al vacío (es una de las condiciones de la definición), y por tanto el conjunto vacío es abierto. Pero también debe contener al total, en nuestro caso E.

    Por otro lado se dice que A subconjunto de E es cerrado si su complementario E\A (E menos A) es abierto. Como E menos el vacío es el propio E tenemos que E menos el vacío es abierto, y por tanto el vacío es cerrado.

    Uniendo las dos cosas tenemos que el conjunto vacío es abierto y cerrado a la vez.

    Espero haberme explicado bien. Si no es así no tienes más que comentarlo :)

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  14. Epa! Hola Diamond, tú debes tener al menos un doctorado en matemáticas. Aunq mi rollo es otro tema, me gusta leer sobre estos asuntos q aquí se exponen tan didácticamente. Abrazos.

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  15. Alguien me podria decir como podria explicar la paradoja de Russel de manera matemática para que lo entienda una clase de chavales de 16 años ?

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  16. Palau pues la verdad es que lo que pides no parece ser algo sencillo.

    No sé, yo igual comenzaría con algún ejemplo no matemático (lo de las sillas o lo de las obras de arte del enlace que puse en el post) y cuando más o menos eso esté entendido comenzaría a meter matemáticas asociándolas con esos ejemplos.

    Meter directamente matemáticas para explicar esta paradoja a chicos de 16 años igual no es la mejor opción ya que probablemente no entiendan mucho.

    Si al final lo haces cuéntanos qué tal te ha ido :)

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  17. Hola DiAmOnD! Una pregunta, es cierto que un conjunto A distianto de R(reales)y del Vacío no puede ser abierto ni cerrado a la vez. Si es cierto cómo lo demuestro????
    Gracias.

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  18. Tati depende de la topología que tomes en R. Si, como pienso, consideramos la topología usual sí es cierto que los únicos subconjuntos de R que son abiertos y cerrados son R y el vacío. Ahora mismo no tengo la demostración a mano. Mándanos un mail y cuando la encuentre te la mando.

    Saludos 🙂

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        • en “ningun” tiempo el espacio es infinito.
          perdona soy muy simple por que realmente apenas se sumar y restar pero escribí esto y estaba tan convencido de que era correcto que hice que me expulsaran de por vida de la wikipedia. aquí dais más libertad.
          Por favor agradecería algun comentario sobre mis comentarios. gracias.

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          • Yo solo se lo que oí que el tiempo era finito.
            y que el espacio… no se si es que no lo sabían … ????
            pero creo que eso explica lo que he dicho.
            la pregunta estaría en preguntarse, que yo no lo se, si alguna vez no ha habido El tiempo.
            (en las sumas y las restas me equivoco)

          • mi padre dice bromeando muchas veces “discúlpeme pero es que no tengo tiempo” cuando lo que realmente quieres decir es que no tiene dinero 😀

          • … “se puede considerar infinito al espacio infinito”
            se puede considerar infinito al espacio sin limites.
            o se puede considerar infinito al espacio sin el limite del tiempo.
            eso es evidente, es tan evidente que para el hombre no tiene sentido y por lo tanto busca ponerle limites.

          • perdón le doy la razón al que dice en el enlace posterior relacionado con ustedes sobre si las matemáticas es una invención o descubrimiento.
            Si yo he llegado a la conclusión que las matemáticas se descubren, después de leer artículos sobre la universalidad de las matemáticas.

            “¿Se inventan las propiedades de la función zeta de Riemann o se descubren? ¿Se inventarán las herramientas para demostrar la hipótesis de Riemann o se descubrirán? Mi opinión es que la sensación que tiene el matemático es que se descubren, pero que le gustaría que se inventaran para poder patentarlas.”

            este sobre descubrimiento o invención de las matemáticas (Naukas):

            http://francis.naukas.com/2014/07/26/las-matematicas-se-inventan-o-se-descubren/

            este sobre la universalidad de las matemáticas:
            http://www.abc.com.py/edicion-impresa/locales/las-matematicas-el-idioma-universal-451222.html

            si fuera una invención pienso que serías un mal matemático

  19. No hace falta mucha demostración. R con la topología usual es conexo, lo que significa que no existen conjuntos abiertos y cerrados a la vez salvo el vacío y el propio R. Así que como demostración valdría probar que R con la topología usual es conexo, lo que no debe de ser muy difícil.

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    • Caos determinista[editar]
      El caos determinista comprende una serie de fenómenos encontrados en la teoría de sistemas dinámicos, la teoría de ecuaciones diferenciales y la mecánica clásica. En términos generales el caos determinista da lugar a trayectorias asociadas a la evolución temporal de forma muy irregular y aparentemente azarosa que sin embargo son totalmente deterministas, a diferencia del azar genuino. La irregularidad de las trayectorias está asociada a la imposibilidad práctica de predecir la evolución futura del sistema, aunque esta evolución sea totalmente determinista.

      Definición de caos y atractores[editar]
      No hay una definición universal sobre el caos, pero hay tres ingredientes en los que todos los científicos están de acuerdo:

      Movimiento oscilante. Las trayectorias no se ajustan a un punto fijo, órbita periódica u órbita cuasiperiódica cuando
      t

      ∞t\rightarrow \infty .
      Determinismo. El sistema no es azaroso sino determinista. El comportamiento irregular surge de la no linealidad. Por eso se define como determinista.
      Sensibilidad a las condiciones. Las trayectorias que comienzan cerca, con el tiempo se separan exponencialmente. Es decir, condiciones iniciales muy similares acaban dando lugar a comportamientos diferentes pasado un tiempo suficientemente largo.
      Los sistemas caóticos típicamente se caracterizan por ser modelizables mediante un sistema dinámico que posee un atractor. Para definir propiamente un atractor hay que recurrir a tecnicismos, y es difícil dar una idea intuitiva sin ellos. En una primera aproximación puede decirse que un atractor es un conjunto en el que todas las trayectorias cercanas convergen. Los puntos fijos y círculos límite son un ejemplo de ello. Al igual que en la definición del caos, hay 3 ingredientes universales:

      Cualquier trayectoria que esté en un atractor, estará en él para
      t

      ∞t\rightarrow \infty .
      Atraen un conjunto de condiciones iniciales. El conjunto lo componen las condiciones iniciales de su trayectoria que acabe en el atractor cuando
      t

      ∞t\rightarrow \infty .
      No existen condiciones iniciales que satisfagan las dos reglas anteriores.
      Dentro de los atractores se define como atractor extraño o caótico cuando el atractor exhibe dependencia sensible con las condiciones iniciales.

      https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos

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      • “Propiedades
        En un espacio métrico o topológico X, el conjunto vacío y X son abiertos y cerrados a la vez. Si el espacio es conexo, estos dos son los únicos conjuntos cerrados y abiertos a la vez.
        La unión de cualquier número de conjuntos abiertos es abierta.
        La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta.”
        https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_abierto&action=edit&section=7

        Definición
        Sea X un conjunto no vacío y T una familia de subconjuntos de X. T es una topología en X si cumple los siguientes axiomas.

        X y el conjunto vacío {} están en T.
        La intersección de un número finito de miembros de T está en T.
        La unión de cualquier número de elementos de T está en T.
        Con estas precisiones, al par (X,T) se denomina espacio topológico y a los miembros de T se los nombra abiertos en el espacio topológico (X,T). Ver el libro Topología de un pool de autores de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense.4

        Esto generaliza la definición métrica del espacio: si se comienza con un espacio métrico y define conjuntos abiertos como antes, entonces la familia de todos los conjuntos abiertos formará una topología en el espacio métrico. Cada espacio métrico es por lo tanto de una manera natural un espacio topológico. (Hay sin embargo espacios topológicos que no son espacios métricos).
        https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_abierto&action=edit&section=6
        (Espacios topológicos)
        https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_abierto&action=edit&section=5

        todo el articulo de la wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_abierto#Propiedades

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  20. Medida de Hausdorff:
La medida exterior s-dimensional de Hausdorff del conjunto F se define como el valor:
{{ecuación|
    \mathcal{H}^s (F) = \displaystyle \lim_{\delta \rightarrow 0} \mathcal{H}^s_{\delta} (F)
Es fácil ver que \mathcal{H}^ses una medida exterior, así que, por el [[Teorema de Carathéodory]], la restricción de\mathcal{H}^sa los conjuntos [[Teoría de la medida|\mathcal{H}^s-medibles]] es de hecho una medida, llamada ”’medida s-dimensional de Hausdorff’”.
    https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensión_de_Hausdorff-Besicovitch
    La dimensión de Hausdorff se define como:

     \text{dim}_H(F) := \sup \{s: \mathcal{H}^s (F) = \infty \} :=  \inf \{s: \mathcal{H}^s (F) = 0\}
    https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensión_de_Hausdorff-Besicovitch
    La paradoja de Russell y el Universo se parecen puesto que es el limite lo que hace que alberga el conjunto de todos los conjuntos y además por ese motivo tiende a infinito y el limite del espacio es el tiempo y la velocidad de la luz es por autonomasia la medida del espacio. y ¿que tiene que ver esto y con el partícula de Higgs con el conjunto de Mandelbrot? pues no hay nada más que observarlo hay espacios en los que parece que se sale de lo que llamaríamos el conjunto principal y a su vez tienen la misma forma que el conjunto principal.
    El conjunto vacío es único ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos:
    {{teorema|1=Dos conjuntos sin elementos son iguales.}}
    Esto justifica hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». Además, el conjunto vacío posee ciertas propiedades:
    {{teorema|1=
    *El único [[subconjunto]] del conjunto vacío es él mismo:
     A \subseteq \varnothing \; \text{ solo si } \; A = \varnothing
    *El número de elementos o [[número cardinal|cardinal]] del conjunto vacío es cero:
     | \varnothing | = 0
    :En particular, el conjunto vacío es un [[conjunto finito]].
    }}
    Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:
    {{teorema|1=Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como «ser mortal» o «ser un número primo»). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.}}
    Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en {{unicode|∅}} es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en {{unicode|∅}}», y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como el [[elemento neutro|cero]] en las operaciones del [[álgebra de conjuntos]]:
    {{teorema|1=*Para todo conjunto {{math|”A”}}, el conjunto vacío es subconjunto de {{math|”A”}}:
    \varnothing \subseteq A
    *Para todo conjunto {{math|”A”}}, la [[unión de conjuntos|unión]] de {{math|”A”}} con el conjunto vacío es {{math|”A”}}:
    A \cup \varnothing = A
    *Para todo conjunto {{math|”A”}}, la [[intersección de conjuntos|intersección]] de {{math|”A”}} con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:
    A \cap \varnothing = \varnothing
    *Para todo conjunto {{math|”A”}}, el [[producto cartesiano]] de {{math|”A”}} y el conjunto vacío es vacío:
    A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing
    https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo
    https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot

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    • soy Scanner74 se han apropiado de esta conclusión a la que llego yo en la wikipedia, soy el que ha escrito esto, y cuantas cosas han quitado mi apodo, como lo que dije de los sistemas operativos e internet que ahora se están viendo en los colapsos que tienen ahora gran parte de las empresas de USA sobre todo

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  21. perdón un ultimo comentario, una pluralidad de singularidades es una pluralidad. y a su vez es una singularidad, parece todo absurdo pero todo se ve en el comentario anterior.

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    • el caso mas extremo de pluralidad de singularidades y por eso genera esa paradoja es el conjunto vacio que se define por la dimensión de Hausdorff

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  22. muchísimas gracias gaussianos por fin despues de dos años lo he explicado con claridad

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  23. “Los lógicos llegaron a la conclusión que para la teoría de conjuntos en la que están basadas las Matemáticas los conjuntos singulares simplemente no pueden existir.”

    1º están equivocados, el único que tiene pleno derecho a ser considerado singular es el vacio.
    2º se pueden considerar singularidad a una puralidad de singularidades.
    3º no he leído el axioma posterior. ( Zermelo-Fraenkel)

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  24. Yo creo que estaría tan ocupado afeitando a tantas personas que no tendría tiempo de afeitarse a si mismo, cuando fuera a afeitarse (en la paradoja del barbero)

    (“Hace muchos años, en un lejano reino, había pocas personas que su oficio fuera ser barbero. Para solucionar el problema, el rey dictaminó que los barberos solo podían afeitar a las personas que no podían afeitarse por sí mismas.

    Uno de esos barberos, era el único en su comarca y le entró la siguiente duda: “Como barbero no puedo afeitar al barbero de mi comarca, que soy yo, porque entonces podría afeitarme a mí mismo. Pero entonces, algún barbero debe de afeitarme, pero como soy el único que hay, entonces no me puedo afeitar”.)

    si la población va creciendo y tiende a infinito, el barbero nunca podrá afeitarse a si mismo, siempre llegará alguien más por afeitar.

    TODO DEPENDE DE SI LA POBLACION TIENDE A INFINITA O NO

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    • además si el numero de personas con barba es finito el rey le quitará el titulo de barbero si se afeita a si mismo por lo tanto ya no será barbero y no habrá barberos y 1º podrá afeitarse a si mismo y 2º todos los demás también.

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  25. Antonio Escohotado tiene un libro que se llama “CAOS Y ORDEN” a lo mejor tiene que ver con eso verdad?
    yo lo leí y influyo mucho en mi, pero ya lo tengo olvidado, lo regale a una asociación.
    Es uno de los 100 pensadores del siglo XX

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  26. https://es.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

    Reductio ad absurdum

    “La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento muy empleado en demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.

    Supóngase que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera.

    Por ejemplo considérese la proposición “no existe un número racional mínimo mayor que cero”. En una reducción al absurdo se comenzaría por asumir lo contrario: existe un número racional mínimo mayor que cero: r0.

    Ahora establézcase x = r0/2. Por lo tanto x es un número racional mayor que cero, y x es menor que r0. Eso es absurdo, pues contradice la hipótesis de partida de que r0 era el número racional mínimo. Por lo tanto se debe concluir que la proposición asumida como cierta: «hay un número racional mínimo mayor que cero» es falsa.

    No es inusual utilizar este tipo de razonamientos con proposiciones como la enunciada, acerca de la inexistencia de cierto elemento matemático. Se supone que ese elemento existe y se prueba que eso conduce a una contradicción. Por lo tanto ese objeto no existe. De esta manera se puede probar que la raíz cuadrada de 2 es irracional.”

    lo he puesto sin más sin profundizar que conlleva con relación a la paradoja de Russell

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  27. https://es.wikipedia.org/wiki/Argumento_ad_ignorantiam

    Argumento ad ignorantiam

    “En lógica, un argumento ad ignorantiam, o argumentum ad ignorantiam, también conocido como llamada a la ignorancia, es una falacia que consiste en sostener la verdad (o falsedad) de una proposición alegando que no existe prueba de lo contrario, o bien alegando la incapacidad o la negativa de un oponente a presentar pruebas convincentes de lo contrario.1 Quienes argumentan de esta manera no basan su argumento en el conocimiento, sino en la ignorancia, en la falta de conocimiento.1 Esta impaciencia con la ambigüedad suele criticarse con la frase: «la ausencia de prueba no es prueba de ausencia»;2 es decir, se comete esta falacia cuando se infiere la verdad o falsedad de una proposición basándose en la ignorancia existente sobre ella.”

    POR LO TANTO CREO QUE CUALQUIER PERSONA

    “En palabras de G. H. Hardy: “La Reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la Matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida”.

    https://es.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

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  28. POR LO TANTO MI RESPUESTA SERÍA QUE LO DESCONOZCO LA VERDAD O FALSEDAD DE LA PARADOJA DE RUSSELL

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  29. HAY QUE VER LO QUE HAY QUE HACER PARA DEMOSTRAR QUE UNO ES UN IGNORANTE.
    cuando cojo esta paradoja es como si se me fuera la vida en ello, que horror, despues tendré hasta pesadillas.

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  30. ¿y si sacamos a Russell de su tumba y le sacamos la verdad a hostias? 😀

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  31. si con mi locura pudiera hacer una contribución a las matemáticas no duden de que no cesaría en ello, pero visto el poco caso que me hace todo el mundo. mejor dejarlo.

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  32. hola, acabo de descubrir todo lo que pasa con la paradoja de Russell:
    ya lo puse en matemáticas digitales: “hay dos tipos de personas, las que puedes agrupar dentro de uno de esos dos tipos y las que no”?

    Según el principio de universalidad (digo yo…me imagino), el Todo tiene que cumplir con las dos condiciones es decir que este dentro de uno de esos dos tipos y (en vez de o) no por eso es tendente a infinito y vacio. porque el universo se está expandiendo, cada vez se crean más “cosas” y por eso cumple las dos condiciones.

    un saludo ¿que os parece mi respuesta?

    añadido:

    “Sin embargo, hacia fines del siglo XIX esta situación comenzó a cambiar, proceso que eventualmente culminó, a fines del siglo XIX y comienzo del XX, en la llamada crisis de los fundamentos:12 13 14 15 16 17 “La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada “crisis de los fundamentos de las matemáticas”, que sucedió en el siglo XIX. Dicha “crisis” se originó principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos.”18

    Esa situación ha sido resumida de la siguiente manera19

    “Hasta bien entrado el siglo XIX, la geometría era universalmente considerada la rama más firme del conocimiento…. La Geometría era, simplemente, el estudio de las propiedades del espacio. Estas se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana.
    Durante el siglo XIX sucedieron “varios desastres que iban a cambiar completamente esta situación. El primero fue el descubrimiento de geometrías no euclídeas, al que inmediatamente siguió otro desastre mayor: el desarrollo del análisis por caminos contrarios a la intuición geométrica (curvas que llenan el espacio, funciones continuas no diferenciables, etc) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del único fundamento que hasta entonces tenían las Matemáticas: la intuición geométrica. Esto era una auténtica catástrofe puesto que en algún sentido implicaba la pérdida de la certeza, no solo en la Matemática sino en todo el conocimiento humano.
    Se pensó entonces buscar otra “base segura” para fundamentar las Matemáticas, y así Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el análisis -el continuo- a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a estar en orden, pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuición de contar y así los números enteros serían la nueva base segura para todo el edificio matemático… (ver programa de Hilbert).
    Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matemática iba a ser llevado un paso más lejos por Frege, quien comenzó un ambicioso programa para basar las Matemáticas en la Lógica -a través de la Aritmética. Este fue el punto de partida de la escuela logicista que más tarde seria continuada por Russell y Whitehead. La idea logicista consistía en demostrar que la Matemática clásica era parte de la lógica, de modo que una vez culminado su programa podría asegurarse que la Matemática estaba libre de contradicción al menos en la misma medida que la propia lógica.
    Sin embargo, ya en ese momento se habían hecho unos descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matemática sin fundamentos seguros. En efecto, la construcción del continuo a partir de la Aritmética se basaba en la Teoría de Conjuntos de Cantor (ver hipótesis del continuo), que también había sido utilizada por Frege en sus fundamentación de la Aritmética. Pero la teoría de Cantor, y en particular su hipótesis básica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su definición: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento”, que puede ser traducida por “cualquier condición determina un conjunto”, iba a revelarse inconsistente.”
    Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista20 (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el fenomenalismo de Husserl21 ). Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas22 lo que dio origen a otras escuelas, tanto derivadas de las anteriores23 como de otras percepciones básicas -por ejemplo, del empirismo. Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo24 25 26″

    Referencia : https://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_las_matemáticas

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  33. muchas gracias Aleph 😀 he buscado la definición:
    https://es.wikipedia.org/wiki/Álef_(cardinales)

    Me parece de lo más interesantísimo, a demás a despejado algunas dudas que tenía y está muy bien explicado, muy sencillo. Eres un Fenómeno.
    Tiene además relación con este tema (Cantor) y muchas otras cuestiones matemáticas.

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  34. por cierto se me ocurre una pregunta interesante sobre lo de la invención y el descubrimiento, también puede resultar paradójico, 😀

    la piedra filosofal que transforma cualquier metal en oro…
    ¿que valdría más el oro o el método para crear la piedra filosofal? 😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀 😀

    SIN CONTAR QUE SIRVE COMO ELIXIR DE LA VIDA

    ES una tontería el método para crear la piedra filosofal. está claro

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    • estaría mejor preguntado ¿que vale más la piedra filosofal o el método para crearla? es la misma respuesta , el método.

      Quiero pedir disculpas al que lleve esta pagina por que creo que me he pasado 3 pueblos con mis comentarios, voy sobraó como para no tener que escribir más en tres años

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  35. por eso las patentes valen más que para lo que sirven. (si no estoy equivocado)

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  36. dimensiones del universo tiempo x espacio tiempo (infinito (o tendente a el)) espacio (vacio)

    ? = infinito x vacio

    1/infinito = vacio

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