La paradoja de Russell
Según la Wikipedia una paradoja es:
Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es lo opuesto a lo que uno considera cierto.
Hay muchos tipos de paradojas, clasificadas según varios aspectos, pero no me voy a extender en este tema ya que no es el objetivo del post (aquí podéis ver información sobre esas clasificaciones).
Lo que nos ocupa es una Antinomia. Es una de las paradojas más famosas de la historia de las Matemáticas , ya que durante un tiempo hizo temblar a la teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor, y es conocida como La Paradoja de Russell en honor a su creador: Bertrand Russell.
Vamos a explicar un poco de qué va este tema:
Consideremos el conjunto cuyos elementos son todas las sillas del mundo. Evidentemente el propio conjunto no es una silla y por tanto se tiene que el conjunto en sí no es un elemento de sí mismo. Los conjuntos que cumplan esa condición (que no sean elementos del propio conjunto) se denominan conjuntos normales.
Y diréis: no parece que hay conjuntos que se contengan a sí mismos como elemento. Pues sí se pueden definir. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de todos los objetos matemáticos se tiene que el propio conjunto es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo. O el conjunto de todas las cosas que no son sillas. Se ve claramente que el conjunto no es una silla, y por tanto es un elemento de sí mismo. A estos conjuntos (los que se contienen a sí mismos como elementos) los llamaremos conjuntos singulares. Y, evidentemente, estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que podamos forma es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.
Bueno, dicho esto vamos al meollo del asunto: consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos normales que se pueden formar. Llamemos a ese conjunto M (por llamarlo de alguna forma). Ahora, si M es normal estará en M, por ser M el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero a la vez, por ser M normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento (según la definición de conjunto normal), y por tanto M no pertenece a M. Uhmmm…qué extraño, ¿no?.
Supongamos ahora la otra opción posible: si M es singular entonces M no pertenece a M. Pero en este caso M no es un elemento de sí mismo, es decir, cumple al definición de conjunto normal, y por tanto M es normal, es decir, M pertenece a M.
Dios, ¡¡qué locura!!. Si M pertenece a M podemos demostrar que M no pertenece a M, y viceversa. He aquí la paradoja.
En esta web podéis encontrar otro ejemplo usando obras de artes que puede ayudar a entender algo mejor el tema.
Bueno, y ahora surge un problema bastante más importante de lo que uno puede creer: teniendo en cuenta que todas las Matemáticas se basan en la teoría de conjuntos y podemos encontrar en ella una paradoja de estas dimensiones…¿cómo se sostiene todo?. Pues sencillo. Bueno, sencillo no, pero se sostiene. Los lógicos llegaron a la conclusión que para la teoría de conjuntos en la que están basadas las Matemáticas los conjuntos singulares simplemente no pueden existir. Más tarde llegaron los axiomas de Zermelo-Fraenkel y consiguieron asentar definitivamente el tema (bueno, igual no tan definitivamente, ya que el axioma de elección ha dado y sigue dando mucho que hablar, pero bueno, ese es otro tema). Vamos, que por ahora podemos estar tranquilos, las cosas siguen funcionando.
(Enlace a la paradoja de Russell en la Wikipedia)
Lek | 11 de Agosto de 2006 | 16:55
Vaya, no sabía que las matemáticas directamente estaban construídas sobre una mentira de forma tan evidente xDDDDD
Esto me recuerda el caso de la sucesión infinita de:
1 + 1 - 1 + 1 - 1…
que según cómo la acotes el resultado debería ser 1 ó 0…
Si me acuerdo el fin de semana, os mando un correo con el texto sacado, si os interesa
^DiAmOnD^ | 11 de Agosto de 2006 | 17:07
Nah, una sucesión como otra cualquiera. Si cogemos un subconjunto finito de sus elementos depende de como sea la suma de ellos cambia, evidentemente. Simplemente tiene dos sucesiones parciales que convergen a números distintos, y por tanto la sucesión no tiene límite.
Manda manda, todas las contribuciones son bienvenidas
neok | 11 de Agosto de 2006 | 18:23
A mí me ha recordado a la paradoja de los conjuntos de los números enteros y naturales, que pareciendo en principio que hay más números enteros que naturales se puede demostrar que los dos conjuntos son idénticos, tienen infinitos números y ningún infinito es más grande que otro.
Espero haberme explicado bien.
^DiAmOnD^ | 11 de Agosto de 2006 | 19:32
Si no me equivoco te refieres a la hipótesis del continuo, formulada precisamente por Cantor, y que dice algo así como que entre el cardinal (número de elementos) de N (números naturales) y el cardinal de R (números reales) no hay ninguno. De ahí podemos deducir que, en cuestión de infinitos, los números naturales y los números enteros tienen el mismo número de elementos. Algo que atenta contra el sentido común pero matemáticamente cierto.
mimetist | 11 de Agosto de 2006 | 20:22
Esto de la hipótesis del contínuo ni me sonaba (qué vergüenza xD)
Pensaba que la demostración de la igual cardinalidad entre N (naturales) y Z (enteros) era la constructivista que vemos en primero, que consiste en asignar a cada natural un número entero, así:
1 -> 0
2 -> 1
3 -> -1
4 -> 2
5 -> -2
…
Y así hasta el infinito y más allá. Haciendo una construcción como esa podemos ver que todo x (no importa cuan grande sea) que pertenezca a Z tiene asignado un número natural. Por tanto “tienen el mismo número de elementos” (infinito numerable).
Por cierto, para los que no lo sepan, la cantidad de números pares es igual a la cantidad de números pares más la de los impares. Algo muy curioso y, aparentemente, paradójico.
^DiAmOnD^ | 11 de Agosto de 2006 | 20:49
Venga, vamos a debatir
:
En realidad la construcción de los números enteros a partir de los naturales que se suele ver en los primeros cursos no es así (al menos la que yo vi). Es una aplicación biyectiva entre Z y el conjunto cociente que surge de NxN sobre la siguiente relación de equivalencia:
Dos pares de elementos (a,b) y (c,d) están relacionados si a + d = b + c
Como la aplicación es biyectiva el cardinal del primer conjunto es igual al del segundo. Y como en álgebra transfinita se tiene que:
Cardinal de NxN = Cardinal de N + Cardinal de N = Cardinal de N
tenemos que el cardinal de Z es igual al cardinal de N.
Además, como a partir de ZxZ* (Z* es Z sin el cero) podemos construir Q (números racionales), tenemos que el cardinal de Q es igual al de Z, y por tanto igual al de N.
Por cierto, como curiosidad comentar que el cardinal de N se denomina aleph 0 (y por tanto también el de Z y el de Q). Y el cardinal de R se denomina aleph 1
mimetist | 11 de Agosto de 2006 | 21:18
En Álgebra Básica sí vimos una demostración basada en clases de equivalencia, pero en Análisis de Variable Real vimos todas estas “demostraciones” como te las he contado.
Fui tan tonto que me compré el libro del profesor y la construcción que hace para demostrar que N y Q (los racionales) también tienen el mismo cardinal es así (literalmente):
“El mismo criterio permite establecer también una biyección entre Q y N:
0/1 -> 1
1/1 -> 2
-1/1 -> 3
1/2 -> 4
…
y esto es lo verdaderamente significativo. Para conjuntos infinitos, la definición de tener el mismo número de elementos (mismo cardinal) es que se puede etablecer una biyección entre ellos.”
(del libro “Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático” de Miguel de Guzmán y Baldomero Rubio… éste último era mi profesor).
Lo curioso es que para ser un libro de primer curso y estar entre las 20 primeras páginas del primer tema (de un tema de 60), habla de “biyección” pero no se explica lo que esto significa, como tampoco se explican inyectividad o sobreyectividad.
Lo mejor es que justo debajo de esto está la demostración de la irracionalidad de la raíz de dos xD me encanta!!!
neok | 11 de Agosto de 2006 | 21:44
mimetist a mí me contaron el mismo rollo que acabas de decir, y es justamente a esa demostración a la que me refería. Lo bueno de todo es que Diamond nos ha metido en un tema todavía más profundo y más complicado e inentendible para mí. :S
mimetist | 11 de Agosto de 2006 | 21:53
No creas, lo que dice Diamond es exactamente lo mismo sólo que de un modo formal y “cambiando” la regla de equivalencia.
“Nuestro método” (para el ejemplo de la cardinalidad de los pares) se puede formalizar usando la relación (que no es de equivalencia, sino de orden):
a R b => b = 2*a (la R significa “relacionado con”)
De este modo se crea una biyección entre N y el conjunto de los números pares… lo que nos asegura que tienen el mismo cardinal.
Popolous | 11 de Agosto de 2006 | 22:29
¿Soy el único que se ha perdido?
, la verdad es que hasta cierto punto, entiendo lo que queréis decir, pero todavía me queda muuuucho para entender todo eso al 100 :$
Popolous | 12 de Agosto de 2006 | 0:26
Vale, ya releyendo un poco más las cosas y aplicando un poco el sentido común entiendo lo que quiere decir ^Diamond^.
En el razonamiento de mimetist, ahí sí que me pierdo porque ni idea de las relaciones (ni de orden, ni de equivalencia, ni nada…hombre sexuales sí
)…
Tendremos que estudiar un poco más
M4ZT3R | 5 de Octubre de 2006 | 1:36
wow,.,.tema profundo y casi insondable para mi.,.,en lo que quede pensando es :tambien es una paradoja el hecho de que el conjunto vacio es cerrado y abierto a la vez?? alguien me puede dezir??
^DiAmOnD^ | 5 de Octubre de 2006 | 1:44
M4ZT3R no, eso no es una paradoja. Me explico:
Una topología es un conjunto de elementos denominados abiertos que cumplen ciertas propiedades. Con ella podemos definir lo que se llama espacio topológico que está formado por un cierto conjunto, digamos E, y una topología asociada a ese conjunto. Para que un cierto conjunto de elementos sea una topología debe contener al vacío (es una de las condiciones de la definición), y por tanto el conjunto vacío es abierto. Pero también debe contener al total, en nuestro caso E.
Por otro lado se dice que A subconjunto de E es cerrado si su complementario E\A (E menos A) es abierto. Como E menos el vacío es el propio E tenemos que E menos el vacío es abierto, y por tanto el vacío es cerrado.
Uniendo las dos cosas tenemos que el conjunto vacío es abierto y cerrado a la vez.
Espero haberme explicado bien. Si no es así no tienes más que comentarlo
Jorge | 14 de Octubre de 2006 | 19:32
Epa! Hola Diamond, tú debes tener al menos un doctorado en matemáticas. Aunq mi rollo es otro tema, me gusta leer sobre estos asuntos q aquí se exponen tan didácticamente. Abrazos.
^DiAmOnD^ | 14 de Octubre de 2006 | 21:03
Lo que tú digas Jorge
Palau | 26 de Octubre de 2006 | 22:23
Alguien me podria decir como podria explicar la paradoja de Russel de manera matemática para que lo entienda una clase de chavales de 16 años ?
^DiAmOnD^ | 26 de Octubre de 2006 | 22:44
Palau pues la verdad es que lo que pides no parece ser algo sencillo.
No sé, yo igual comenzaría con algún ejemplo no matemático (lo de las sillas o lo de las obras de arte del enlace que puse en el post) y cuando más o menos eso esté entendido comenzaría a meter matemáticas asociándolas con esos ejemplos.
Meter directamente matemáticas para explicar esta paradoja a chicos de 16 años igual no es la mejor opción ya que probablemente no entiendan mucho.
Si al final lo haces cuéntanos qué tal te ha ido
Junior | 2 de Febrero de 2007 | 5:58
es igual el cardinal de Z al cardinal de N????
porfavor responder a
junior_jf16@hotmail.com
si es lo mas pronto mejor
^DiAmOnD^ | 2 de Febrero de 2007 | 13:18
Junior sí
Tati | 11 de Febrero de 2007 | 18:31
Hola DiAmOnD! Una pregunta, es cierto que un conjunto A distianto de R(reales)y del Vacío no puede ser abierto ni cerrado a la vez. Si es cierto cómo lo demuestro????
Gracias.
^DiAmOnD^ | 12 de Febrero de 2007 | 2:19
Tati depende de la topología que tomes en R. Si, como pienso, consideramos la topología usual sí es cierto que los únicos subconjuntos de R que son abiertos y cerrados son R y el vacío. Ahora mismo no tengo la demostración a mano. Mándanos un mail y cuando la encuentre te la mando.
Saludos