La paradoja del polítopo irracional

Comencemos por el principio: ¿qué es un polítopo? Bien, un polítopo es la generalización a dimensión n de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro. Esto es, por ejemplo un pentágono es un 2-polítopo y un dodecaedro es un 3-polítopo.

PentágonoTomemos un pentágono regular, polígono con 5 vértices y cinco lados iguales donde los ángulos formados por dos lados consecutivos son iguales. Dibujemos esta figura en un plano, con sus ejes de coordenadas, intentando que cada uno de los vértices de nuestro pentágono regular caiga en un punto cuyas coordenadas sean números racionales. Después de varios intentos seguro que pensáis que debe ser muy complicado…Bueno, de hecho es imposible. ¿La razón? Pues la relación del número áureo \phi (que es un número irracional) con el pentágono regular.

Imaginemos ahora que movemos un poco los vértices de nuestro pentágono regular hasta colocarlos en puntos con coordenadas racionales. Nuestro pentágono dejaría de ser un polígono regular, pero bien es cierto que seguiría siendo un pentágono que, ahora sí, tendría todos sus vértices en puntos cuyas coordenadas son números racionales.

DodecaedroTomemos ahora un dodecaedro, poliedro regular que aparece en la imagen de la derecha. Queremos colocarlo en el espacio tridimensional de tal forma que todos sus vértices, los 20 que tiene, caigan en puntos con coordenadas racionales. Pero la situación es parecida a la anterior, no se puede. Ahora, exactamente igual que en el caso del pentágono, podemos mover las caras del dodecaedro regular de tal forma que todos los vértices caigan en puntos con coordenadas racionales. Igual que antes, el poliedro dejaría de ser regular, pero conseguiríamos nuestro objetivo.

Bien, pues el hecho paradójico que os quiero comentar hoy es que hay casos en los que no se puede conseguir lo explicado arriba, es decir, se pueden construir polítopos convexos tales que nunca podrán tener sus vértices en puntos con coordenadas racionales por mucho que movamos sus vértices o sus caras. ¿Ein? Venga ya, si parece evidente que con una mínima perturbación de los vértices que tengan coordenadas irracionales los podemos colocar todos en puntos con coordenadas racionales…Pues no, en general no se puede hacer eso.

Antes de seguir quiero aclarar que hasta dimensión 3 sí se puede hacer. Es decir, podemos modificar la posición de los vértices de cualquier polígono convexo del plano y de cualquier poliedro convexo del espacio tridimensional para que todos sus vértices tengan coordenadas racionales. Pero en dimensiones superiores esto, en general, no ocurre. De hecho se pueden construir explícitamente polítopos en dimensiones superiores que cumple que no se pueden modificar sus vértices para que todos tengan coordenadas racionales.

Este resultado se debe a Micha Perles, quien lo demostró en los años 60 (del siglo XX, evidentemente). Al parecer la construcción de Perles mediante la cual demostró el resultado es algo complicada, por lo que Günter M. Ziegler nos proporciona una construcción más simple en su trabajo Non-rational configurations, polytopes and surfaces, paper en el cual se puede encontrar alguna cosa más. Vale la pena que le echéis un vistazo.

Cada día estoy más convencido de que las dimensiones superiores a 3 son una fuente inagotable de hechos que atentan contra nuestra intuición…Aunque en este caso hasta la dimensión 3 se ve salpicada (aunque en este caso habría que prescindir de la convexidad). Os recomiendo leer el paper.


Encontré este curioso tema en este post de Ars Mathematica.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Uhm… mi primer impulso ha sido sorprenderme también (y mucho, yo diría que la sorpresa ha sido “adrenalítico”), pero creo que pensando un poco más no lo es tanto (no quiero ser aguafiestas).

    Por ejemplo, en R_{2} podemos mover cada vértice de un polígono a cualquier punto interior al trapecio isósceles (con base infinita) que está formado por la base menor que une los vértices anterior y posterior y los extremos que son las prolongaciones de las aristas anterior y posterior (a aquellas a las que pertenece el vértice “móvil”) con total independencia de los demás vértices.

    Sin embargo en R_{3} únicamente se puede hacer con los vértices de una pirámide, pues ya con un cubo, no podemos mover únicamente un vértice, tenemos que “ajustar varios”, pues las caras a las que pertenece el vértice dejarían de ser planas.

    Como no soy capaz de “ver” estas relaciones en dimensiones mayores que 3, únicamente puedo pensar que, en dimensiones superiores, la restricciones de las caras son mucho mayores y ello llegue a afectar a todos los vértices.

    Sería genial poder ver alguna explicación (más sencilla que la de Günter) de este hecho.

    Por supuesto, me ha parecido fantástica, son de esas entradas que te hacen pensar. 🙂

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  2. ¿Pasaría lo mismo si utilizamos, por ejemplo, un hexágono en vez de un pentágono?

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  3. Muy buena descripción.
    Supongo que el problema está en que en dimensión 2 “solo” tienes que ajustar 2 puntos por lado: los 2 vértices que determinan cada arista.
    Sin embargo, al saltar a dimensión 3, son 5 vértices que determinan cada cara.

    Y claro, por dos puntos distintos siempre pasa una recta, pero por 5 puntos distintos no ha de pasar necesariamente algún plano…

    Confome avanzamos en dimensión, la cosa se complica.

    Muy buen artículo; junto con el de la medida de las esferas n-dimensionales, te hace pensar bastante en las propiedades que se mantienen (o cambian) a través de las dimensiones (siempre me ha molado eso de que la circunferencia no es simplemente conexa pero la esfera sí).

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  4. Particualmente me fascinan los resultados que dependen de la dimensión. Por ejemplo, en este trabajo se da una relación entre armonicidad y propiedad de valor valor medio que se verifica en \mathbb{C}^{n}, n\leq 11, y que no se verifica si n\geq 12.

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