Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

50 Comentarios

  1. Como le oí yo decir una vez a un conferenciante:

    “Una paradoja es la verdad agarrandonos del cuello y sacudiendonos para ver si así le prestamos un poco de atención.”

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  2. Es cierto. Si Dios existiera, podría cear una piedra tan grande que ni él mismo podría levantar… Paradójico, no? Salvo que no existiera…

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  3. Pues claro Jime, pero eso solo, si Dios pensara limitadamente como nosotros.
    Dios puede crear una piedra que no puede lavantar, y la puede levantar al mismo tiempo.
    Esfuerzate un poco en buscarlo =).

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  4. ante el comentario de CLAUDIO hay 2 frases que se me vienen a la cabeza

    Tras cada puerta que abre el hombre está el Creador

    La ciencia sin religión, esta ciega, y la religión sin ciencia, esta coja.

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  5. La ciencia no necesita no necesita hipótesis infalsables para nada.

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  6. Os dejo una pregunta-respuesta sacada de una conferencia sobre el Teorema de incompletitud de Gödel ofrecida por un Catedrático de Álgebra de la US y sacerdote.

    Pregunta: La afirmación “Dios existe” ¿es indecidible?
    Respuesta: Defíname rigurosamente el concepto DIOS y yo le diré si es decidible o no. Preguntarse por la existencia de Dios es equivalente a preguntarse por la existencia de la Belleza o el Amor.

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  7. Que gran persona Miguel de Guzman, uno de los grandes matematicos de españa del que me congratulo haber sido un alumno. DEP

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  8. no se que puedo decir ante lo que afirma esteban lopez, bueno esteban por que dices que la ciencia sin religion esta ciega , si la ciencia no necesita de dios

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  9. La ciencia es hija de la filosofia y esta de las preguntas que nunca se pueden resolver; cuya unica respuesta “factible” es la busqueda de un dios(es)para esplicar los sucesos que aun no puede explicar la Ciencia y dado que la ciencia parte de Axiomas (Teorema de incomplitud) y esto no tienen bases es necesaria una explicacion para aceptar estos axiomas por ende se necesita la busqueda de un dios(es)

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  10. Qué tendrán que ver los teoremas de incompletitud con Dios…

    Pero si hasta la implicaciones puramente matemáticas de dichos teoremas están sujetas a vivas discusiones.

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  11. La existencia de un dios si que es una pregunta que “nunca” se puede contestar, así como una respuesta fácil a aquellas preguntas que no sabemos “de momento” constestar.
    Personalmente, me cuesta mucho menos creer y asumir los elementos de Euclides (parte de las bases de la ciencia) que los discursos de un “profeta/mesias” (parte de las bases de una creencia en un dios).

    Volviendo al tema, las paradojas nos ayudan a poner en duda lo que creemos y a liberarnos de esas ataduras para poder evolucionar.

    Saludos.

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  12. El axioma de elección es fundamental para probar la veracidad de la paradoja de Banach-Tarski http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

    Ya que estamos en plan místico-filosófico, ¿Qué opináis de la similitud que se suele hacer entre esta “verdad matemática” y el “milagro de la multiplicación de los panes y los peces”?

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  13. Oalaizquierda,

    ¿Podrías escribir un poco más acerca de la \emph{similitud} que mencionas? Tiene tiempo que busco información al respecto.

    Gracias de antemano.

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  14. Señores: para los que hablan sobre Dios, yo digo lo siguiente (un poco de todo lo que pienso): si creen que es necesaria la explicación de la existencia de uno o varios dioses para fundamentaciones matemáticas entonces primero deben conocer el campo de la filosofía (madre de todas las ciencias) para después poder hablar de los nros.
    En este caso, todos sabemos que “Dios” (y lo pongo entre comillas porque me refiero al Dios que cada uno concibe) es perfecto y por lo tanto es uno solo, no puede haber + de 1 Dios, porque la perfección es única, si hubiese 2 dioses ya dejarían de ser perfectos, por lo que tampoco serían dioses, ¿me explico?. La existencia de un ser superior es necesaria para fundamentar las demás existencias todas (reales y nominales) así también como las creaciones del hombre. ahhh, otra cosa…las matemáticas son creaciones humanas y por lo tanto imperfectas….y es un tema un poco alejado de la existencia de Dios. Los nros. como entidades propias y únicas son factiblemente demostrables desde el punto de vista humano porque no son creaciones naturales sino inventos creados por el hombre, así como el resto de las ciencias. Uno de los pocos enlaces entre las fundamentaciones lógicas sobre las matemáticas y el resto de las ciencias y Dios es que el conocimiento existe gracias a que Dios lo hace posible en nosotros. Sin las potancias del alma (inteligencia y voluntad, filosóficamente hablando)el hombre no sería hombre sino animal, por lo que todas sus creaciones ya no existirían.
    Entonces quedamnos en que:
    1)Hay UN SÓLO DIOS.
    2)La perfección lo puede todo, sino dejaría de ser perfección.
    3) La matemática es una materia bastante asintotada, pues es ciencia creada por el hombre y por lo tanto, imperfecta.
    Con respecto a si Dios puede crear una piedra que después no pueda levantar….no estaríamos hablando de una limitación existente, sino que la frase “no pueda hacerlo” es una creación imaginativa dudosa del hombre que no encuadra en los atributos divinos; además, el no hacer no es una imperfección en sí misma y por lo tanto Dios seguiría siendo Dios, perfecto. Dios crea la piedra y el hombre inventa una frase bastante hipotética a la cual no puede responder (porque es una frase de tipo pregunta-respuesta) ya que su capacidad de razonamiento es limitada (al margen de que está científicamente demostrado -imperfectamente, por supuesto- de que el ser humano usa tan sólo un 5 por ciento de su cerebro).
    Y con respecto a la pregunta de si Dios existe, si es o no indecidible. Es decidible desde el punto de vista negativo, filosofía negativa o como quieran llamarlo. Porque se puede hablar negativamente de Dios para poder afirmar enfáticamente por varios caminos deductivos que Dios existe. Pero no se puede hablar positivamente de Dios (y menos de su existencia) porque su concepto es inabarcable para nuetro limitado conocimiento.

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  15. Quisiera saber, Isabel, si también estás de acuerdo con esta frase:
    “Los buenos cristianos deben cuidarse de los matemáticos y de todos los que acostumbran a hacer profecías aun cuando estas profecías se cumplan, pues existe el peligro de que hayan pactado con el diablo para obnubilar el espíritu y hundir a los hombres en el infierno”.
    San Agustín

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  16. Ejercicio de Lógica:

    La existencia de un ser superior es necesaria para fundamentar las demás existencias.
    La ciencia fundamenta las demás existencias.

    \therefore No es necesaria la existencia de un ser superior.

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  17. No, no estoy de acuerdo con la cita de San Agustín. Desconozco el contexto del cual fue extraída la frase, pero sin dudas es otra de sus tantas suposiciones erróneas. Desde un comienzo San Agustín queda un poco manchado por haber formado parte del neoplatonismo, aunque reconozco que fue un hombre inteligente en algunas ocasiones.
    Por empezar, San Agustín está separando a los hombres en dos sectores: por un lado a los “buenos cristianos” y por el otro a los matemáticos. De ser así, está haciendo una marcada distinción entre las actividades de los hombres. En el campo de la filosofía ha quedado demostrado claramente desde Aristóteles que no debe haber distinción en cuanto a la calidad de los hombres sino en cuanto a sus funciones, ya que es necesario que no todos los seres humanos se dediquen a las mismas actividades, puesto que si así ocurriera, no habría equilibrio en la sociedad. San Agustín se equivoca enormemente en discriminar a los matemáticos pues los juzga por ser matemáticos y no los concibe como “buenos cristianos”, pero lo más probable es que lo haya pensado desde un punto de vista demasiado parcial. Además, ¿no es obvio que un matemático pueda ser, a la vez, un “buen cristiano”? Por supuesto que sí, es más, no hace falta no ser matemático para ser un “buen cristiano” y no hace falta ser matemático para no ser un “buen cristiano”.
    Por otra parte, San Agustín marca a las profecías como una existencia negativa, punto de vista refutable según el lugar desde el que se piense. Es entendible que este filósofo conciba a las profecías como malas puesto que desde lo religioso (filosofía y religión no estaban separadas en su cabeza) cualquier profecía puede ser tomada como fetichismo o algo por el estilo y por lo tanto iría en contra de Dios. Pero si tomamos la palabra profecía con un enfoque más exegético, no es más que una suposición de lo que se cree que va a pasar, puede ser tomado como una especie de pensamiento hacia el futuro o una proyección para el mismo, cosa que tampoco vendría a ser pecado desde el punto de vista religioso porque no es malo pensar en el porvenir. Pero recordemos que en el siglo 4 las sociedades estaban plagadas de paganismo y los curas hacían lo que podían.
    Por otra parte, un buen matemático sería juzgado por sus “predicciones numéricas”, por llamarlas de alguna manera, cosa totalmente desligada a un posible pacto con el diablo…¿qué tiene que ver el diablo con los números y las profecías numéricas de un hombre?…¡no lo va a tentar a hacer más cuentas!
    No, en verdad, estoy totalmente en desacuerdo con San Agustín y creo que es una hipérbole de su parte el comentario citado. Hay mucho más fundamento para explicar mi desacuerdo pero creo que con esto alcanza. Recordemos que hasta los más grandes intelectuales (queda exento San Agustín) también presentan contradicciones.

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  18. Comentario para “Acho”:
    Escribiste que no es necesaria la existencia de un ser superior. Dos líneas más arriba pusiste que sí lo es. En el renglón de abajo indicaste que la ciencia fundamenta lo mismo que el ser superior. Entonces estás diciendo que ciencia y ser superior es la misma cosa. Y además te estás contradiciendo porque primero afirmás su existencia y después la negás.

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  19. Isabel, los dos primeros renglones son premisas y el último la conclusión.
    Si la existencia del ser superior es necesaria para explicar nuestra experiencia (necesaria pero no suficiente) pero ya se explica mediante la ciencia, se concluye que dicha existencia no es necesaria. No se está contradiciendo la premisa, contradecirla sería decir que no es necesaria la existencia del ser superior para explicar nuestra existencia.
    Igual se ve mejor si añadimos una palabra y dejamos el ejercicio como sigue:
    \bulletLa creencia en la existencia de un ser superior es necesaria para fundamentar las demás existencias.
    \bulletLa ciencia fundamenta las demás existencias.
    \therefore No es necesaria la creencia en la existencia de un ser superior.

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  20. Isabel Allende, me parece que la palabra que mejor encajaría en la frase de San Agustín es “numerólogo”, en lugar de “matemático”.

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  21. Puede ser que mi comentario haya sido una hipérbole, como Ud. dice. Pues dá la casualidad que en el momento de escribirlo estaba dibujando una hipérbola.

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  22. eh…a los q conversan sobre dios…el q escribio lo d las premisas…la existencia del ser superior no se explica desde la ciencia porq dios es + q la ciencia, entonces como algo + pequeño (la ciencia) va a explicar algo + grande (el ser superior). porlotanto la existencia del ser superior sí es necesaria, lo q no sera necesario es la creencia en él (como ya pusiste).

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  23. T*, no entiendo la lógica del argumento que das. Y… en ningún momento dije que la existencia de dicho ser se explique desde la ciencia. Por otro lado, no es demostrable su existencia, luego (esto si es una conclusión) se reduce a una cuestión de creer o no creer y esto es una cuestión personal.

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  24. Yo creo que estan dificil probar que Dios existe como lo es probar lo contrario. Alguien tiene una prueba científica o categórica de la afirmación de que Dios no existe ?. Y no vale decir que No existe porque no se ha probado su existencia …

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  25. Fácil, dios crearía una piedra cuyo valor fuera infinito mas uno, me explico:

    si dios es infinito, crearía una piedra con valor infinito + 1, siendo que la piedra es superior a la capacidad “infinita” de dios, en teoría dios no podría levantarla, sin embargo, al ser dios infinito, le es posible, es decir, infinito entre infinito + 1 = infinito

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  26. ¡No puedes hablar en serio! ¡\infty +1 no existe!, ¡ni siquiera \infty es un número!

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  27. Por supuesto que infinito no es un numero… si ni siquiera conoces el valor “infinito” y sus respectivas acepciones en las matemáticas, pues no creo que puedas refutarme, te invito a que investigues acerca de los infinitos teóricos, matemáticos y posibles, y luego nos leemos, saludos!!

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  28. Lo siento pero sigues hablando sin sentido, no existe eso que nombras “valor infinito”. Y si infinito no es un número, no se puede sumar a un número ni dividir! ¿¡¿cómo, entonces, pretendes que funcione tu argumento?!?

    ¿”Infinitos teoricos, matemáticos y posibles”? De verdad que me sigue costando pensar que hablas en serio.. Si necesitas clases de mates, haces bien en visitar Gaussianos..

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  29. Icabot, ¿A que clase de infinito te refieres? ¿A un infinito potencial (\infty)? Entonces cualquier infinito en acto (\forall i\in \mathbb{N},\ \aleph_i) sería mayor que Dios.

    Y si te refieres a un concreto \aleph_n entonces \aleph_{n+1} será mayor.

    O si te refieres al ordinal \omega tenemos \omega+1

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  30. Tengo dos comentarios:
    el primero es para acho del 26 de junio: yo tampoco estoy de acuerdo con tu “ejercicio de logica”, pues ningun conjunto de premisas y conclusion puede ser considerado un pensamiento valido ni siquiera una estructura de pensamiento mientras no se demuestre la autencicidad de lo que se afirma, lo que en tu caso, la afirmacion no es valida.
    Para los que hablan sobre la piedra: coincid con un comentario que alguien puso por ahi y no recuerdo quien fue: no es que dios no pueda levantar una piedra que el mismo creo, simplemente que el que no cree algo que despues no pueda levantar forma parte de sus no atributos, y sus no atributos no son defectos, por lo que dios sigue siendo perfecto y lo puede todo.
    ah…y otra cosa: infinito + 1 es infinito, no me jodan. La representacion simbolica de numeros extremadamente extensos es el infinito (basicamente y entre otras cosas), y dios no es infinito, pues ese concepto fue creado por el hombre.

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  31. Venga, si partimos de que la lógica no es válida no se que haces en este blog Arg

    Por cierto, alguien/algo que todo lo pueda y sea perfecto, debe tener todos los atributos, lo que conviertiría un no-atributo en un defecto..

    … Y perdón por joder… pero ¡\infty +1 no es \infty! ¡No está definido! Y si aun así eliges creer lo que afirmas, esto si que está probado, pero claro, sin pensar en la lógica como herramienta válida de argumentación todo es posible.

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  32. Por favor! infinito más uno es infinito. El infinito es una representación extensiva de nros y más una unidad sigue siendo una representación extensiva, aunq en una unidad mayor, pero se simboliza de la misma forma.
    Acho, ¿quién dijo que un conjunto de premisas y conclusión es lógica? yo no dije eso, entonces no dije que la lógica no es válida, dije que tu conjunto de “premisas y conclusion” no es valida porque se basa en un argumento conceptualmente incorrecto, por lo q la conclusion es incorrecta. Premisas y conclusion puede ser lógica depende a lo q llamas tú l-o-g-i-c-a. Premisas y conclusión, para mi son estructuras sobre las cuales una persona se apoya para intentar pensar desde un punto de vista filosofico, y que crean perspectivas falseables (y eso, no es logica).
    Y el no atributo, querido cibernético, es no atributo para los humanos, por llamarlo de alguna manera, para indicar la no existencia de lo que consideramos defectos. Prq el no tener,no necesariamente es no poder, por ejemplo: dios no tiene defectos. Alguien diría: “si dios no puede tener defectos entonces no es dios porq n-o – p-u-e-d-e tener defectos”. Y no es q no pueda es q simplemente no los tiene, y eso no signifIca q sea imperfecto, sino q carace de imperfección. Y q carezca de imperfeccion no es una falta de algo, sino una definicion de lo q no es como definición antitética porq no podemos decir lo q realmente es xq es inabarcable.
    Así q venga, el concepto de la palabra atributo es humano.
    Así q venga, la lógica es valida si es lógica y no ilogica. Y pos eso estoy en este blog, amigo.
    Y sÍ jodes, SI DICES Q INFINITO + 1 NO ES INFINITO Y LUEGO DICES Q NO ESTA DEFINIDO, ENTONCES SI NO ESTA DEFINIDO TAMPOCO PUEDES REFUTAR LA AFIRMACION, PORQ NO SABES SI ES VERDADERA O FALSA ¡CAISTE BIEN EN ESA AMIGO!

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  33. MUY BUENO ESTA TU ESPACIO, NUNCA VI ALGO PARECIDO. ME ENCANTÓ. ¿QUÉ OPINAS SOBRE EL INFINITO, TÚ? ME INTERESARÍA SABER.

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  34. Pues al contrario que Cantor, yo todavía mantengo una visión un tanto ingenua sobre el infinito. Por ejemplo, yo creo que los números pares son la mitad de los números naturales y que la otra mitad son los impares.

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  35. Vaya, Omar-P, me sorprende que mantengas esa visión, con lo que se ha hablado de infinitos en este blog.

    Para mí el concepto clave para comprenderlo está en “la correspondencia uno a uno”. Es decir, si para cada elemento de un conjunto soy capaz de encontrar otro elemento en el segundo conjunto entonces el segundo conjunto es al menos tan ‘grande’ como el primero.
    Aceptado esto, apliquémoslo al caso de los ‘números naturales vs. números pares’ por ejemplo: 1-2, 2-4, 3-6, etc., es decir, para cada natural puedo encontrar un número par, por lo tanto ‘hay al menos tantos números pares como naturales’.
    Parece atentar contra la intuición pero es lo que pasa al tratar con conjuntos infinitos.

    Los conjuntos infinitos que se pueden poner en “correspondencia uno a uno” con los números naturales (y recorriendo todos los elementos de conjunto) son infinitos numerables y se puede demostrar que tanto los enteros como los racionales con conjuntos infinitos numerables.

    Llegados a este punto cabe preguntarse si los números reales son numerables y es aquí donde Cantor demuestra que no, es decir, no es posible asignar un número natural a cada número real y recorrer todos los números reales, por lo tanto los reales forman un conjunto infinito de ‘orden superior’ al de los naturales, no son numerables. Este hecho me resultó fascinante en su momento y de hecho está considerado como uno de los grandes hitos de las matemáticas. Curiosamente la demostración es muy sencilla y puede encontrarse fácilmente en la red (algún día debería de aparecer en Gaussianos, lanzo al aire la propuesta, jeje).

    Un saludo.

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  36. Si Asier, conozco ese argumento, pero veamos también el siguiente:
    ¿Que ocurre si contamos los números pares que hay, por ejemplo, entre los primeros 10 números naturales? Encontramos que son 5, es decir, la mitad. Si ahora extendemos nuestro límite otras 10 unidades, hasta el número 20, encontramos que los números pares siguen siendo la mitad. Podemos repetir el paso anterior infinitas veces. La proporción entre números pares y números naturales nunca cambiará.

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  37. Lo que dices se puede reflejar como 2\aleph_0=\aleph_0.

    Voy a poner otro ejemplo.
    Sea el conjunto A=\{a_0,a_1,a_2,\dots\}.
    Definimos ahora b_i=a_{2i}.
    Claramente \{a_0,a_2,a_4,\dots\}=\{b_0,b_1,b_2,\dots\}
    Y como son iguales, la cantidad de elementos en ambos es la misma, y lo mismo con las cantidades de índices.

    El problema que tienes es por comparar un conjunto con uno de sus subconjuntos. Cuando comparas conjuntos disjuntos lo único que puedes hacer es construir funciones inyectivas de uno en otro. Por ello se define
    |A|\leq|B|\equiv\exists f:A\rightarrow B inyectiva

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  38. Omar-P, tu argumento vale solamente para conjuntos finitos y el error consiste en extenderlo a conjuntos infinitos, donde, digamos, las cosas no funcionan igual. El infinito no se puede tratar como número. Exponiéndolo de manera burda, estás razonando así: si tengo n números naturales, \displaystyle \cfrac{n}{2} son pares, por lo tanto si tengo \infty números naturales entonces \displaystyle \cfrac{\infty}{2} son pares, y consideras que \displaystyle \cfrac{\infty}{2} < \infty, cuando ‘sabemos’, de manera muy burda, repito, que \displaystyle \cfrac{\infty}{2} = \infty, es decir, en los conjuntos numerables no hay infinitos mayores o menores, son infinitos o no lo son y si son infinitos entonces tienen el mismo número (infinito) de elementos que los números naturales. ¿Te ha convencido?

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  39. Aún no, Asier. Por un lado las cuentas que tú mencionas yo nunca las hice. Por otro lado, en mi argumento vemos que el paso 2 se repite indefinidamente. No se trata de una situación en donde se llegue a un final. No está relacionado con números finitos. Además, si la cantidad de elementos de un conjunto infinito no es un número determinado, ¿como se puede afirmar que su número es exactamente igual a la de otro conjunto?.

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  40. Lo que se quiere es disponer de una noción para comparar conjuntos cualesquiera que en los conjuntos finitos se comporte de la manera usual.

    Cantor simplemente usó funciones inyectivas de uno en otro, consiguiendo una clasificación de los conjuntos infinitos.

    Además, la idea de asociar cada elemento de un conjunto con un elemento de otro conjunto es más sencilla que la de contarlos, y diría que hasta un niño pequeño que no sabe contar es lo que haría para saber donde hay más caramelos. Así que me parece la extensión más lógica para los conjuntos infinitos.

    ¿Qué harías si no para ver cuál de los siguientes conjuntos es más “grande”?
    \{0,2,4,6,8,\dots\}
    \{a,b,aa,ab,bb,aaa,aab,abb,bbb,aaaa,aaab,aabb,abbb,bbbb,\dots\}

    Con todo esto me he acordado de Tio Petros
    http://tiopetrus.blogia.com/2003/101401-aleph.php

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  41. Omar, la aplicación f: \mathbb{N} \longrightarrow 2 \mathbb{N} de los números naturales en los números pares siguiente:

    f(n)=2n

    es biyectiva. Por tanto hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de \mathbb{N} y los de 2 \mathbb{N}. En consecuencia hay tantos números naturales como números pares.

    Los conjuntos infinitos cuyos elementos son numerables tienen todos el mismo cardinal.

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  42. DiAmOnD, Asier, Naka Cristo, entiendo el tema de la correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos. Eso es algo que me resulta elemental y fácil de entender. Lo no que veo es la relación directa entre ello y la conclusión de que la cantidad de números en ambos conjuntos es la misma. Uno puede preguntarse por ejemplo cuál es ese número, entonces se responderá que es infinito. Pero sabemos que el infinito no es un número. A primera vista parece haber cierta contradicción en ello.
    Para aquél que le interese el tema les dejo una página sobre la vida de Cantor y sobre sus investigaciones.

    http://ar.geocities.com/paginadeprueba2005/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm

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  43. jeje, muy divertida la comunicación entre Acho y Arg. ¿se conocen o es sólo en este blog? ¡muy divertido!

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  44. Nop, no nos conocemos. Creemos conocernos por nuestras opiniones en el blog pero parece que ambos somos personas vanidosas. Como dijo mi amigo Paul Valery alguna vez: “En una discusión no es una tesis lo que se defiende sino la vanidad de querer tener la razón”. Y por lo visto, la mía sobrepasa a la de Acho…

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  45. jaja, oigan…acho y arg tienen una conversación bastante buena, no tienen un blog o algo así amigos? al menos eso espero 😉

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