La prueba de Fermat

Introducción

Quien conozca un poco la vida y, sobre todo, la obra de Pierre de Fermat (los lectores más antiguos de Gaussianos seguro que están en este grupo de personas) sabrá que, entre otras cosas, no solía publicar ni comunicar a sus colegas las demostraciones de los resultados que descubría. Es evidente que no podía haber demostración de que todos los números de Fermat son primos ya que no es cierto; y es bastante probable que la demostración que Fermat dice tener en su anotación en el margen del libro de Diofanto sobre el denominado último teorema de Fermat fuera errónea, si es que existía. El caso es que, quitando estos dos problemas, Fermat no publicó las demostraciones de sus resultados. Sin embargo, en las anotaciones que dejó y que fueron recopiladas por su hijo después de su muerte se encontró una demostración rigurosa de uno de sus resultados. Esta es la historia que nos ocupa hoy: La prueba de Fermat.

Teorema

El resultado que vamos a probar es el siguiente:

El área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros no puede ser un cuadrado

Esto es, en notación simbólica, no existe una terna pitagórica x^2 + y^2 = z^2 tal que \frac{1}{2} xy es un cuadrado (según lo que vimos en este post sobre ternas pitagóricas x e y no pueden ser ambos impares por lo que xy es par y en consecuencia \frac{1}{2} xy es un entero).

Demostración

Como ya vimos en este artículo, la fórmula más general de las ternas pitagóricas es x=(2pq)d, y=(p^2-q^2)d y z=(p^2+q^2)d, con p y q enteros positivos primos relativos de paridad opuesta con p > q y d un entero positivo. El problema es hacer que \frac{1}{2} xy = pq(p^2 - q^2)d^2 sea un cuadrado. Esto es posible si y sólo si pq(p^2 - q^2) es un cuadrado. Pero como p y q son primos relativos entonces ambos deben ser primos relativos con p^2 - q^2. Por tanto pq(p^2 - q^2) es un cuadrado si y sólo si p, q y p^2 - q^2 son todos cuadrados. En otras palabras, un triángulo cuya área es un cuadrado nos lleva a un par de enteros primos relativos p y q de paridad opuesta tal que p, q y p^2 - q^2 son todos cuadrados. Como p y q son cuadrados, entonces p^2 - q^2 es la diferencia de dos potencias cuartas. Además, p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) es una descomposición de p^2 - q^2 en factores primos relativos entre si, ya que cada factor que tuvieran en comúnp - q y p + q también sería un factor común de (p - q) + (p + q) = 2p y de (p + q) - (p - q) = 2q y por tanto, como p y q son primos relativos, el posible factor sólo podría ser 2 ó 1. Pero p y q tiene paridad opuesta y por tanto p - q y p + q son ambos impares. En consecuencia 2 no puede ser un factor común de los dos y en consecuencia son primos relativos. Entonces suponer que p^2 - q^2 es un cuadrado implica que p - q y p + q sean ambos cuadrados.

A partir de este hecho supongamos que p + q = r^2 y p - q = s^2. En su exposición Fermat dice que r puede ser escrito de la forma r = u + v, donde uno de los dos es un cuadrado y el otro es el doble de un cuadrado, y que además u y v son los catetos de un triángulo rectángulo, es decir, u^2 + v^2 es también un cuadrado. Fermat dice que el segundo hecho es consecuencia del primero pero no da ninguna indicación para demostrar el primero, simplemente dice que él lo ha probado fácilmente. En este artículo vamos a dar una demostración de los dos hechos, aunque no se sabe si la manera en que se va a hacer está relacionada con la idea que tenía Fermat.

Como p y q son de paridad opuesta, p + q = r^2 y p - q = s^2 son ambos impares y por tanto r y s son ambos impares. Además, r y s son primos relativos porque, como se vio antes, p - q y p + q son primos relativos. Ahora definimos dos enteros positivos así:

u=\cfrac{r-s}{2},v=\cfrac{r+s}{2}

Entonces u y v son primos relativos, ya que cualquier factor común de u y v lo sería de su suma, u + v = r, y de su diferencia, v - u = s, pero hemos visto que r y s son primos relativos. Además:

uv=\cfrac{r^2-s^2}{4}=\cfrac{(p+q)-(p-q)}{4}=\cfrac{q}{2}

Ya que q es un cuadrado, \frac{1}{2}q puede ser un entero sólo si es un entero par. Por tanto \frac{1}{2}uv = \frac{1}{4}q será un entero y, como es cociente de cuadrados, será un cuadrado. Ahora, u o v debe ser par (porque la mitad de su producto es un entero), pero no pueden serlo ambos a la vez (porque son primos relativos). Pero la mitad del par y el impar son primos relativos, y su producto \frac{1}{2}uv es un cuadrado. Por tanto los factores son cuadrados, y entonces el par es dos veces un cuadrado y el impar es un cuadrado. Así r = u + v es una expresión de r como suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado, como queríamos demostrar. Además:

u^2+v^2=\cfrac{r^2-2rs+s^2}{4}+\cfrac{r^2+2rs+s^2}{4}=\cfrac{r^2+s^2}{2}=\cfrac{(p+q)+(p-q)}{2}=p

Como teníamos que p era un cuadrado se tiene que u^2 + v^2 es un cuadrado.

El resto de la demostración es sencillo a partir de aquí. La terna pitagórica con lados u y v es primitiva, porque u y v son primos relativos. Entonces es de la forma 2PQ, P^2 - Q^2 y P^2 + Q^2, donde P y Q son primos relativos de paridad opuesta y P > Q.

Como \frac{1}{2}uv = PQ(P^2 - Q^2) es un cuadrado, se sigue como antes que P, Q, P - Q y P + Q son todos cuadrados. Pero:

P+Q \le (P+Q)PQ(P-Q) = \cfrac{1}{2}uv = \cfrac{q}{4} < q < p + q

y el proceso puede ser repetido indefinidamente obteniendo al final una secuencia infinita y decreciente de enteros positivos con esas propiedades. Por el método del descenso infinito esto es imposible, y en consecuencia es imposible encontrar un triángulo pitagórico cuya área sea un cuadrado.

Conclusión

Teniendo en cuenta, como ya dijimos al principio, las reticencias de Fermat a dar a conocer las demostraciones de sus resultados esta demostración cobra aún más valor histórico. Exceptuando el punto oscuro comentado (la parte que Fermat deja sin demostrar) la demostración es suya.

Por otro lado con este artículo tenemos la oportunidad de ver otro ejemplo de la potencia que tiene el método del descenso infinito para demostrar ciertos tipos de resultados. Teniendo en cuenta lo poco conocido y lo poco usado que es este método no nos viene nada mal como posible herramienta para otros problemas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Curiosamente, aquí también Fermat menciona la estrechez del margen. Termina su prueba de la siguiente forma:

    “…Pero esto es imposible, porque no hay una infinitud de enteros positivos menores que uno dado. El margen es demasiado estrecho para la demostración completa y todos sus desarrollos.”

    Por otro lado parece que hay indicios de que Fibonacci demostró el resultado.

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  2. Felicidades Diamond por este asunto tan interesante. El resultado podría leerse del modo siguiente: “No existen triángulos rectángulos con lados enteros cuya área sea un cuadrado”. No obstante, la importancia del resultado es que abre el camino a una prueba del célebre teorema de Fermat para el caso n=4

    La cita que indica fede aparece en una carta a Huygens: “Si el área de un triángulo rectángulo con lados enteros fuera un cuadrado, entonces debería haber otro menor con la misma propiedad y así sucesivamente, lo que es imposible…explicarlo haría este discurso demasiado largo” [el reto de Fermat, Ángel del Río Mateos, Ed. Nivola, pag. 53] (Fermat entiende que un triángulo es menor que otro si tal propiedad se da con sus hipotenusas)

    Fede estoy interesado en una referencia en la que diga que fibonacci tenía una demostración del resultado. ¿Podrías indicar algo al respecto?

    La demostración del teorema de Fermat para n=4 puede verse en “Elementary Number theory” de David Burton, donde se da un prueba simplificada de que la ecuación x^4+y^4=z^2 no tiene soluciones no triviales. Esto implica que la ecuación de Fermat x^4+y^4=z^4 tampoco las tiene.

    Por otro lado el camino seguido por Fermat con los triángulos es más curioso (y arduo). Hace unos meses estuve analizando este asunto hasta llegar al teorema de Fermat, dando los siguientes pasos:

    Teorema 1: No existen triángulos rectángulos con lados naturales cuya área sea un cuadrado perfecto.

    Lema: Si los catetos de un triángulo rectángulo son cuadrados perfectos, entonces su área es el doble de un cuadrado perfecto.

    Teorema 2: No existen triángulos rectángulos de lados enteros cuya área sea el doble de un cuadrado perfecto.

    Corolario 1: No existen triángulos rectángulos de lados cuadrados perfectos.

    Corolario 2: No existen números enteros no nulos tales que x^4+y^4=z^2

    Corolario 3 [Teorema de Fermat, n=4] No existen números enteros no nulos tales que x^4+y^4=z^4

    Claramente los pasos no obvios aquí son los teoremas 1 (ya demostrado por Diamond) y el teorema 2. Con el permiso de Diamond y para alargar algo más la discusión propongo que demostremos el teorema 2 y así tener una prueba completa del teorema de Fermat para n=4.

    Ya hablaremos del teorema de fermat para n=3

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  3. Lo lamento ^DiAmOnD^, pero tengo que poner la puntillita (deformación profesional, seguro que te suena, :D). Donde dice “x e y no pueden ser ambos impares y por tanto xy es un entero” debe decir “x e y no pueden ser ambos impares y por tanto xy es par”.

    Aparte, en el enunciado del teorema, debes pedir que los lados del triángulo sean enteros (positivos) o naturales, como apunta Domingo H.A., por que si no: http://img141.imageshack.us/my.php?image=fermatph6.jpg

    En cuanto a un triangulo de misma area que un rectángulo (i.e. doble de un cuadrado, :)) tiene pinta de que bastaría ajustar la demostración anterior, para lo que habría que distinguir muchos casos: o bien 2p,\ q\ y\ p^2-q^2 son cuadrados, o bien p,\ 2q\ y\ p^2-q^2 son cuadrados, o bien p,\ q\ y\ 2(p^2-q^2) son cuadrados y seguir distinguiendo hasta aplicar el criterio de Fermat. ¿Pinta bien, verdad?

    P.D.: ¿no se pueden poner imágenes? lo he intentado con algunos comandos pero no lo ha cogido, una pena..

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  4. para demostrar el “teorema 2: No existen triángulos rectángulos de lados enteros cuya área sea el doble de un cuadrado perfecto” no hace falta distinguir casos (¿hay algo peor que la enumeración de muchos casos en una demostración?), aunque se haga en la línea del teorema 1 …

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  5. Domingo, la cita que puse no es de la carta a Huygens, sino de la copia de Fermat de la edición de Bachet de Diofanto, que es donde Fermat da su demostración. (nota en el margen al problema 20 añadido por Bachet al libro VI).
    He traducido la cita de: Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol 2, pag 616. También dice ahí que Fermat comentó el asunto en varias cartas, y parece que la primera vez que menciona que el problema es imposible es en una carta a Pascal de 1654.

    En ese libro dice (pag 617) que Leibniz en 1678 probó que el área no es un cuadrado llegando, como en el post, a que p, q, p-q, p+q serían cuadrados y concluyendo que entonces p-q, p, p+q son cuadrados en progresión arímetica cuya diferencia comun es un cuadrado, “lo que es absurdo”. (Palabras de Leibniz, comillas de Dickson).

    Esto me ha llevado al capitulo de los ‘numeros congruentes’ , donde dice que Fibonacci llamó ‘congruum’ al número que añadido y restado al mismo cuadrado, da en los dos casos cuadrados y que (pag 462):

    “Leonardo (Fibonacci) afirmó que ningún cuadrado puede ser un número congruente. Esta proposición es de especial importancia histórica porque implica que el área de un triángulo rectángulo racional nunca es un cuadrado y que la diferencia de dos bicuadrados no es un cuadrado. Leonardo afirmó sin prueba el lema de que si un número congruente fuese cuadrado exístirían enteros a,b para los cuales a:b = a+b:a-b “.

    Que \dfrac{a}{b} = \dfrac{a+b}{a-b}  es imposible (para a, b, enteros) es la proposición 18 del Liber quadratorum (1225) de Leonardo.
    La demostración de esto es fácil.

    Pero todavía no he demostrado el lema de Fibonacci: si un congruum fuese cuadrado exístirían enteros a,b para los cuales a:b = a+b:a-b “….

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  6. Je je, tienes razón Domingo, también tiene pinta de que se pueda hacer aplicando astutamente el teorema 1 (pero la “pinta” engaña). A veces no queda mas remedio que distinguir muchos casos, esperemos que este no sea el caso.

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  7. Acho gracias por la puntillita. Con lectores como vosotros hay que estar atento hasta en el más mínimo detalle. Me gusta :).

    Y sí, cierto, hay que poner que los lados tienen que ser números enteros. No lo puse porque teniendo en cuenta quién es quien plantea y demuestra el resultado se sabe que hablaba de números enteros. Pero vamos, lo pongo y así está todo más claro.

    Ánimo con el Teorema 2 de Domingo.

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  8. Ha pasado un tiempo y sería conveniente poner aquí una demostración del teorema de Fermat para n=4. Hay un modo más simple y directo de demostrarlo en comparación con la vía que vamos a seguir, pero esta vía es la que conecta con el tema que se propone aquí.

    Habíamos puesto una serie de teoremas, lemas y corolarios que conducen al teorema de Fermat, y cuyos únicos pasos no fáciles eran el teorema 1 (indicado por Diamond) y el teorema 2, que ahora vamos a probar.

    Teorema 2: No existen triángulos rectángulos de lados enteros cuya área sea el doble de un cuadrado perfecto.

    Demostración. Sea un triángulo rectángulo de catetos a y b, e hipotenusa c, cumpliendo que su área

    \cfrac{ab}{2}=2\cdot K^2, para cierta constante K.

    1º) Si p es primo y p|a,b,c, entonces el triángulo que se obtiene de dividir los lados del anterior entre p también es rectángulo y es fácil ver que su área también es el doble de un cuadrado (ver que p debe dividir al área del cuadrado original).

    2º) Vamos a asumir entonces que mcd(a,b,c)=1 (terna pitagórica primitiva). Entonces podemos suponer sin pérdida de generalidad que

    a=2pq,\;b=p^2-q^2, \;c=p^2+q^2 con p\succ q\succ 0, mcd(p,q)=1 y p\not\equiv q (2).

    Ya que a\cdot b=(2K)^2, con mcd(a,b)=1, sigue que tanto a como b deben ser cuadrados. Así, ya que a=2pq es cuadrado, con mcd(p,q)=1, debe ser que

    \{p,q\}=\{x^2,2\cdot y^2\}, para ciertos enteros x,y. La idea consiste en ver que p=x^2 y q=2y^2. Veamos que en efecto es así.

    Ya que b es impar y b=p^2-q^2=(p+q)(p-q)=(x^2+2y^2)(x^2-2y^2), se deduce que x es impar, y que mcd(p+q,p-q)=1.

    Puesto que b=(p+q)(p-q) es cuadrado, con mcd(p+q,p-q)=1, se deduce que ambos p+q, p-q son cuadrados. En definitiva, podemos poner:

    pq=2(xy)^2,\;p+q=u^2, \;p-q=v^2 para ciertos enteros u,v impares y primos entre sí. Por tanto, mcd(u+v,u-v)=2.

    Con lo anterior vemos entonces que p=\cfrac{u^2+v^2}{2} es impar. Por tanto debe ser entonces que

    p=x^2 y q=2y^2.

    Entonces, 4y^2=2q=(u+v)(u-v), con mcd(u+v,u-v)=2. En consecuencia, u+v=2r^2 y u-v=2s^2, para ciertos enteros r,s. Finalmente, obtenemos

    x^2=p=\cfrac{u^2+v^2}{2}=\cfrac{(u+v)^2+(u-v)^2}{4}=r^4+s^4.

    En definitiva, acabamos de construir un triángulo rectángulo de catetos r^2, s^2 e hipotenusa x=\sqrt{p}\prec p^2+q^2=c , y cuya área es igual al doble de un cuadrado perfecto (esto es por aplicación del lema previo, ya que los catetos son cuadrados perfectos!).

    Esto completa la prueba del teorema 2 por el método del descenso sobre la longitud de la hipotenusa.

    Espero que se entienda. Un saludo.

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  9. Este blog bien merece contener la demostración del teorema de Fermat para el caso n=3 (no existen soluciones enteras para la ecuación x^3+y^3=z^3, tales que x\cdot y\cdot z \neq 0). Sin embargo, la prueba más elemental que conozco (y que proviene de las ideas propias de Gauss) requiere una buena base algebraica (dominios de factorización única, elementos primos e irreducibles en un anillo,…) ¿Alguien tiene ganas?

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  10. Ufff Domingo, me parece que eso es un tema complicado. A mí me encantaría, soy un enamorado de Fermat, pero no sé yo.

    Si eso coméntame algo por mail y vemos si lo hacemos.

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