La razón matemática de la no existencia de un mapa perfecto de la Tierra

Hablábamos el otro día sobre si se podía construir un mapa perfecto de la Tierra, y acabamos concluyendo que no, que no se puede construir un mapa plano perfecto de nuestro planeta. Si recordáis (y si no podéis hacer click en el enlace anterior), llegamos a dicha conclusión razonando que una transformación de una esfera en un plano debe conservar la suma de los ángulos de los triángulos y viendo que en realidad eso no ocurre (los ángulos de un triángulo plano suman 180º y los de un triángulo esférico suman más de 180º).

Este argumento del triángulo esférico es correcto, y descarta la existencia de un mapa plano perfecto de la Tierra. Pero parece que se puede ahondar mucho más en esta cuestión, que hay ideas matemáticas más profundas que nos pueden ayudar a comprender por qué no existe tal mapa. Y así es, las hay. En lo que sigue vamos a intentar explicarlas.

En primera instancia, si pensamos en la razón por la que no se puede proyectar una esfera en un plano de manera perfecta, lo que se nos podría ocurrir es que la esfera es curvada y el plano no lo es. Bueno, como comienzo no está mal, pero se queda algo cojo. ¿Por qué? Muy sencillo: un cilindro también se curva, pero puede desarrollarse de forma plana haciéndole un corte paralelo a su eje y desenrollándolo:

Y no es la única superficie curvada que puede desarrollarse en un plano. Por ejemplo, un cono también es desarrollable en un plano:

Y en ambos casos las propiedades métricas de las superficies se mantienen en su desarrollo. Por tanto, esto de que la esfera está curvada y el plano no lo está parece que no es definitivo, ya que hay superficies “curvadas” que sí pueden desarrollarse en un plano. Tiene que haber algo más…

…y ese “algo más” es, grosso modo, que no todas las superficies “curvadas” se curvan igual. Podemos considerar “curvadas” tanto a una esfera como a un cilindro, pero su forma de curvarse, su curvatura, no será la misma.

Ups, ya ha aparecido un “palabro”: curvatura. ¿Qué es esto de la curvatura? Pues es algo así como una medida de la forma de curvarse que tiene nuestra superficie. ¿Cómo medir esto? Pues para ello hay que tener cuenta algunos conceptos, como el plano tangente a la superficie en un punto y el vector normal a la misma en ese punto

Muy en general, para saber algo sobre la curvatura de la superficie en un punto necesitaríamos saber cómo varían el plano tangente y el vector normal a la superficie en dicho punto.

El estudio de esta curvatura en un punto P de la superficie se puede hacer de la siguiente forma:

Tomamos todos los planos que pasar por el punto P y contienen al vector normal y consideramos la intersección de cada uno de esos planos con nuestra superficie. Esas intersecciones son curvas, y cada una de ellas tendrá su curvatura. Nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura y las llamamos, respectivamente, k_1(P) y k_2(P). Estas curvaturas se denominan curvaturas principales.

A partir de estas curvaturas principales podemos definir dos curvaturas de la superficie en cada punto P de la misma:

  • La curvatura de Gauss, K=k_1(P) \cdot k_2(P), que mide cómo se curva la superficie en sí misma (pertenece a la geometría intrínseca de la superficie).
  • La curvatura media, H=\cfrac{k_1(P)+k_2(P)}{2}, que mide cómo se curva la superficie en el espacio en el que se encuentra (pertenece a la geometría extrínseca de la superficie).

Como ya habréis intuido, nos interesa la curvatura de Gauss.

Después de esta introducción vamos con lo importante. En 1827, en su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss demostró que la curvatura de Gauss es, como decíamos antes, intrínseca a la superficie. O, lo que es lo mismo, que depende únicamente de las propiedades métricas de la superficie. Este resultado es conocido como teorema egregium de Gauss.

¿Qué significa todo esto? Pues que lo que Gauss demostró fue que la curvatura de Gauss no varía bajo isometrías locales. Esto es, que si existe una isometría entre dos superficies, entonces necesariamente ambas superficies deben tener la misma curvatura de Gauss.

¿Qué ocurre en el caso que nos ocupa? Recordemos que queríamos ver si existía una isometría entre la esfera y el plano. Por el teorema egregium de Gauss, para que dicha isometría exista necesariamente las curvaturas de Gauss de ambas superficies deben ser igual. Pero (como ya apuntó tonibueno en este comentario) resulta que en este caso son distintas: la curvatura de Gauss del plano es cero y la curvatura de Gauss de la esfera es siempre distinta de cero, concretamente igual a 1 \over r^2, si r es el radio de la esfera. Por tanto no hay isometrías entre la esfera y el plano, y en consecuencia no existe el mapa perfecto.


Espero que esta explicación “un poco más matemática” os haya ayudado a comprender mejor por qué no existe ese mapa plano perfecto de nuestro planeta, que podríamos resumir muy a grandes rasgos en que la geometría propia de la esfera es demasiado distinta a la geometría propia del plano en lo que se refiere a la forma que tienen de curvarse.


Fuente principal: El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. El gran teorema Egregium de Gauss… Me acuerdo de él cada vez que me como una pizza 🙂

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  2. ¿Podría decir que si “r” es muy grande entonces su curvatura de gauss tendería a cero y por tanto lo puedo asemejar al plano?

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  3. De hecho, existe una interpretación intuitiva sencilla.

    Dado que la curvatura de Gauss es un producto de dos curvaturas principales, solamente puede ser nula si al menos una de las dos curvaturas principales es nula. Ésto se traduce en que al menos una de las curvas generadas al cortar la superficie con los planos que contienen a la normal debe ser una recta, como sucede obviamente en un cono o un cilindro.

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  4. Que interesante!
    Entonces un hiperboloide de revolución, que se forma con una recta ( generatriz ) dando vueltas entorno a un eje no paralelo y que no lo intersecta, tendrá curvatura de gauss nula y por tanto es desarrollable en un plano.
    No me imagino como doblar un trozo de papel para hacer un hiperboloide de revolución al modo a como construimos un cono, pero debe haberlo, no?

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  5. Hola Don Mostrenco: en tiempos actuales en que la matemática ha llegado a niveles de extrema sofisticación, toda atingencia sencilla pero no banal es bien recibida. Y aunque el tema aquí tratado no entra al nivel a que me refiero y sin embargo de no conocerlo bien, creo que puedo decir que tu comentario me parece muy “agradable”. Toda simplificación es actualmente bien recibida en matemáticas y así por ejemplo sucedió con el trabajo de Bombieri haciendo más “accesible” el extraordinario trabajo de Faltings sobre la célebre Conjetura de Mordell. Y sería también sumamente celebrada una imaginada demostración “elemental” del Último Teorema de Fermat, la misma que, según muchos, no está probado que sea imposible (la historiadora y matemática francesa Catherine Goldstein afirmó sobre esto que “la leyenda sigue en pie”).

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  6. Es más, Cartesiano Caótico, el Teorema de Minding da una especie de recíproco al Teorema Egregium,

    Si dos superficies tienen la misma curvatura de Gauss constante, entonces son localmente isométricas.

    Por tanto, cualquier superficie reglada (por cada punto pasa una línea recta) como el hiperboloide que mencionas es localmente isométrica a un plano.

    Ojo, dice que las superficies son localmente isométricas, no isométricas. Una isometría es una isometría local que es difeomorfismo.

    Por ejemplo en el caso del cilindro y el plano, ambos son localmente isométricos, pero no isométricos, ya que no son difeomorfos (uno es simplemente conexo y el otro no), pero el cilindro menos una generatriz y el plano sí son isométricos.

    Por tanto, lo que mencionas con el hiperboloide no se puede hacer tal y como creo que dices. Pequeñas porciones del hiperboloide se deforman a un plano sin variar las longitudes de las curvas (isometría local).

    Pero el plano entero en el hiperboloide de manera isométrica no se puede construir (no son difeomorfos).

    Otra cosa es meterte en temas de cocientes…

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  7. A mi se me había ourrido lo de las superficies regladas (reconozco que la única que conozco es el hiperboloide de revolución). Está claro que puesto que en todo punto de esa superficie pasa una recta que está incluida en la superficie, la curvatura es nula en la dirección de esa recta.

    Lo que me preguntaba es qué forma tiene la isometría (local, de acuerdo). Las fórmulas, vaya, que nos la muestran. Supongo que será parecido al como se hace con el cilindro: hacer corresponder las rectas de la generatriz con un eje cartesiano cualquiera del plano y los círculos perpendiculares a esas rectas con un trozo del otro. No sé cómo se traduce eso al caso del hiperboloide de revolución.

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  8. Pasar de un hiperboloide de revolución a un plano yo lo veo de la siguiente manera. Bueno, lo explico al revés que al final es lo mismo.

    Pasamos de un plano a un cilindro.
    Cogemos el cilindro por los extremos abiertos y los hacemos girar en dirección contraria uno respecto al otro.
    Con un papel no se puede hacer, pero con un par de aros unidas con cañitas de cubata si.
    Creo que en el IKEA hay unas lámparas hechas así (con varillas de hierro, no cañitas)

    Lo que no me imagino es hacerlo con un punto de sella…

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  9. Sí, así sale el hiperboloide, pero no parece que sea la manera de construir la isometría.

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  10. Mmmm el hiperboloide de revolución no tiene curvatura de Gauss nula.

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  11. Bueno, de esto lo que saco es que:

    Si (una superficie tiene curvatura de Gauss no nula) \Rightarrow (no es desarrollable en un plano)

    ó lo que es lo mismo

    Si (una superficie es desarrollable en un plano) \Rightarrow (tiene curvatura de Gauss nula)

    Es decir, se trata de una condición necesaria pero no suficiente, por lo que si un hiperboloide de revolución tiene curvatura de Gauss nula, no significa que sea desarrollable. Puede serlo o puede no serlo.

    Por otro lado, Maestrillo, no tiene curvatura de Gauss nula?

    En cuanto al método del cilindro retorcido, es evidente que no conserva ningún ángulo, en cuanto giras las circunferencias deformas todo. Con un papel no lo puedes hacer porque es rígido, pero con varillas “articuladas” se puede porque están “artículadas”.

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  12. Lo local y lo global en matemáticas, mencionado aquí por Tonibueno, podría ser materia de un muy bonito post de Gaussianos, –si es que no lo ha hecho ya anteriormente–, muy ilustrativo y motivador para los estudiantes laboriosos a quienes, dicho sea de paso, no debería desanimar en ninguna ocasión la aparición de teoremas o términos que vean por primera vez (“palabros”, dice Gaussianos con animus jocandi, bien recibido por quien esto escribe y por todos los lectores supongo) ya que éstos, afortunadamente, pueden ser vistos para una primera información en Google.

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  13. Cartesiano Caótico, si por desarrollable entiendes lo que entendía Gauss en su tiempo, es decir, que sean localmente isométricas, entonces sí es suficiente si la curvatura de Gauss es la misma constante. Ésto es el Teorema de Minding que he comentado.

    Si dos superficies tienen la misma curvatura de Gauss constante entonces son localmente isométricas. Es decir, en el caso de superficies con curvatura de Gauss nula, localmente son isométricas.

    El problema es desarrollar un hiperboloide en un plano de manera global. Obviamente no se puede hacer porque ni siquiera son difeomorfas.

    El Teorema lo que dice es que pequeñas porciones, como pasa con el cilindro, son isométricas a abiertos de un plano. Otra cosa es que se pueda pegar y hacer una construcción ‘global’.

    Pero es condición también suficiente que tengan la misma curvatura de Gauss constante.

    Estas cosas tienen sus limitaciones. Por ejemplo, la rigidez de la esfera nos dice que cualquier isometría local entre una esfera y otra superficie conexa obliga a la segunda a ser otra esfera, del mismo radio obviamente que la primera.

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  14. Leyendo el primer comentario que puse, hay obviamente una errata importante.

    No toda superficie reglada tiene, ni muchísimo menos, curvatura de Gauss nula. Lo que sí pasa es que la curvatura de Gauss es menor o igual que cero. Pero en la vida eso implica que la superficie tenga curvatura de Gauss nula (piénsese en el helicoide).

    Si por un punto de una superficie pasa una línea recta entonces la curvatura en ese punto es menor o igual que cero.

    Ha sido un lapsus grandísimo y bastante gordo, sorry si he podido liar a alguien con ese comentario desafortunado.

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  15. Estoy de acuerdo con Cartesiano Caótico:

    A. La curvatura del hiperboloide creo que es nula.

    B. Aún así no existe una isometría local que transforme un hiperboloide en plano… ¿Cómo es posible si ambos tienen idéntica curvatura de Gauss? Pues porque la implicación sólo es válida en un sentido: “si Existe isometría local entonces ambas superficies tienen la misma curvatura de Gauss” pero en general no es cierto que si tienen la misma curvatura deba existir una isometría.

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  16. De hecho, el hiperboloide de revolución tiene curvatura negativa. Más aún, no es constante. Despues de plantearme lo de la forma concreta de la isometría (local) respecto a cierto sistema de coordenadas, me entraron dudas y fui a Wolfram-alpha. Las dudas venían porque la dirección de la recta no parece ser ni un máximo ni un mínimo en la curvatura.

    La cosa está clara:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=hyperboloid

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  17. Ah, vale. Ya entiendo. Aunque la recta tenga curvatura cero no es la curvatura mínima (yo pensaba que cero era la mínima curvatura posible, pero no… si era la mínima cumplía todas las condiciones y la curvatura total sería cero), ya que hay una curvatura de intersección con un plano que es negativa. Si el eje de rotación de la generatriz es el eje z (que coincide con el eje elegido en Wolfram Alpha) para cada punto habrá un plano formado por ese punto y el eje cuya intersección con el hiperbolide es una hipérbola… cóncava… y al ser cóncava la curvatura de dicha curva es negativa.
    Por otro lado, cero tampoco es la curvatura máxima. Para cada punto P hay un plano horizontal (z = constante = z del punto P) que contiene a dicho punto y cuya intersección con el hiperboloide es exactamente una circunferencia de radio no nulo. La curvatura de una circunferencia es su radio.

    Dicho de otra forma, en el hiperboloide todos los puntos son tipo “silla de montar”, es decir, que presentan concavidad en una dirección y convexidad en otra dirección.
    De hecho, hay una dirección en la que no hay concavidad ni convexidad ya que sale curvatura cero, la dirección de la recta generatriz.

    Con esto queda demostrado que la curvatura de Gauss, que el producto de la mínima por la máxima es un número negativo multiplicado por uno positivo, ambos no nulos, así que será un número negativo (que coincide con lo que muestra Wolfram Alpha).

    Dado que no es nula nunca podrá existir una isometría local con el plano (y si no entendí mal si no existe la local mucho menos la global).

    En general, creo que una superficie reglada (generada a partir de una recta generatriz) tendrá curvatura de Gauss nula si y sólo si es sólo convexa (o sólo cóncava) o plana pero no presenta puntos de tipo silla de montar (que son cóncavos y convexos según la dirección elegida).

    Y lo que dije del recíproco creo que también me equivoqué, ya que releyendo el hilo vi lo del Teorema de Minding que implicaría que si la curvatura es nula siempre existirá un isomorfismo local.

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  18. Vaya, creo que podria firmar lo que ha dicho Acido, he cometido el mismo error 🙂

    El hiperboloide tiene direcciones en las que su curvatura es nula, pero la curvatura de Gauss no es nula. Yo también pensé en el mínimo y máximo en valor absoluto.

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  19. Bueno, corrijo un error que cometí: la curvatura de una circunferencia no es el radio sino el inverso del radio: 1 / r (en todo caso, curvatura positiva, convexo… para darle un bexo xD)

    (por esto la curvatura de Gauss de una esfera es K = 1 / R^2 … ya que en la esfera en cada una de 2 direcciones principales se obtiene como intersección una circunferencia de radio R: 1/ R * 1/R = 1/R^2)

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  20. Una interpretación muy geométrica de la curvatura de Gauss es la siguiente:

    Tomemos un punto p en una superficie M. Pensemos como ejemplos concretos en la esfera, el plano y un punto de silla (como un hiperboloide). Dado un disco D pequeño en la superficie M que contiene al punto p (el disco puede ser curvo, es simplemente un entorno de p en M), tenemos definido un vector normal. Es decir, a cada punto q del disco D le asociamos su vector normal, n(q). El vector n(q) tiene norma unidad y es perpendicular al plano tangente a M en q. De hecho nos define una función n: D -> S^2, donde S^2 es la esfera unidad x^2 + y^2 + z^2=1. La región n(D) en la esfera es la colección de todos los vectores normales a puntos en D. Denotamos el area del disco D por A(D) y el area de la región n(D) por A(n(D)). Entonces la caracterización de la curvatura de Gauss en el punto p es la siguiente:

    K(p) es el límite del cociente A(n(D))/A(D) cuando el area de D tiende a cero.

    Es decir, según nos vamos fijando en entornos D más y más pequeños cerca de p, la curvatura de Gauss nos da una medida de la distorsión del area con respecto al vector normal cerca de p. En cierto sentido mide precisamente cuanto varía este vector. De alguna manera uno podría esperar que refleja algún aspecto de la curvatura, sin embargo lo genial es que mide precisamente lo mismo que la curvatura de Gauss.

    Ahora, con los ejemplos que tenemos en mente: el plano, la esfera y el punto de silla, nos damos cuenta de que funciona! 🙂

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    Por otra parte decir que en general, detectar cuando una superficie tiene curvatura de gauss positiva es sencillo. Pues si K>0, entonces cerca de cada punto p, toda la superficie nos queda en un mismo lado respecto al plano tangente a p. Detectar K=0 es más complicado. Que haya una recta que pase por el punto no es suficiente. Sin embargo si lo es con la siguiente condición:

    Si por un punto p pasa una recta contenida en la superficie, Y ADEMÁS cerca de p toda la superficie nos queda del mismo lado respecto al plano tangente a p, ENTONCES K(p)=0.

    Dicho de otro modo, nos tenemos que asegurar de que la curvatura cero que le corresponde a esa recta, es en efecto o bien una curvatura máxima o bien una curvatura mínima.

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    Quizá lo más mágico de la curvatura de Gauss es que es un invariante intrínseco definido extrínsecamente. Esto si que es un palabro muy feo, así que me explico. La curvatura de Gauss se define observando la forma en la que la superficie se curva cerca de un punto RESPECTO AL ESPACIO AMBIENTE EUCLIDEO. Medimos la curvatura de curvas con respecto al vector normal a la superficie. Es una definición que hace uso esencial del ambiente en el que vive la superficie. Sin embargo la curvatura de Gauss es un invariante, puesto que es preservada por isometrías. Esto quiere decir que no depende de la relación con el espacio ambiente, que es una cantidad que realmente le pertenece a la superficie en si misma y no a su posición relativa a un vector normal… Explicar la forma matemática en la que estas cosas cobran sentido real es entrar en terreno más técnico. En todo caso, esta propiedad de la curvatura de Gauss es sin duda mágica.

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    Por cierto, genial la entrada! Estos son aspectos geométricos muy profundos, explicados con enorme claridad. Es un gustazo disfrutar la enorme elegancia y sencillez con la que se presentan los artículos en Gaussianos. Fantásico.

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  21. (es interesante comparar la curvatura de Gauss con la curvatura media, que NO es preservada por isometrías. La curvatura media no le pertence realmente a la superficie, si no a su posición relativa al espacio ambiente)

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  22. “la superficie se curva cerca de un punto RESPECTO AL ESPACIO AMBIENTE EUCLIDEO”
    ¿Tiene que ser euclídeo?

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  23. Francesc, la cosa es que para las superficies que estamos aquí mencionando tenemos siempre en cuenta que están embebidas en el espacio euclídeo.

    ¿Qué quiere decir ésto? Bueno, si te paras a pensar calcular la curvatura de Gauss se reduce a hacer unas cuentas sobre la diferencial del normal a la superficie. Y esta aplicación diferencial está definida en el plano tangente en el punto a la superficie.

    Y para calcular la curvatura de Gauss “basta” calcular los símbolos de Christoffel. Y para calcular los símbolos de Christoffel hace falta la primera forma fundamental del plano tangente. Y aquí es la clave de que estén embebidas en el espacio euclídeo.

    La primera forma fundamental es la métrica heredada del espacio, el producto escalar usual.

    Es decir, que para calcular la curvatura de Gauss tal y como lo hacemos estamos usando esta métrica inducida por el espacio euclídeo.

    Lo que tú planteas es algo más complejo.

    Tómate una superficie, pero no superficie embebidas, sino 2-variedades inmersas en una variedad Riemanniana.

    Entonces la inmersión induce una métrica ‘estandar’ en el espacio tangente en cada punto de la 2-variedad.

    Según en qué variedad Riemanniana veas tu 2-variedad inmersa, heredará una métrica u otra, cambiando la curvatura de la variedad.

    No sé si la pregunta iba por este camino o si te he resuelto alguna duda.

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