La razón por la que el último teorema de Fermat escapó de las garras de Lamé

La historia del último teorema de Fermat (UTF), ese resultado que estuvo más de 300 años sin demostrar desde la propuesta vacilona del propio Fermat hasta que Wiles le hincó el diente, está repleta de intentos de demostración de todo tipo, algunos de ellos serios y otros bastante ingenuos. A mediados del siglo XIX uno de ellos estuvo a punto de hacer que el UTF clavara la rodilla en el suelo, cual vencido en una batalla, pero una propiedad relacionada con la factorización de ciertos números echó al traste dicha prueba. El protagonista fue Gabriel Lamé y su intento de demostración del UTF es uno de los más conocidos de entre los que fracasaron.

Gabriel LaméGabriel Lamé fue un matemático francés del siglo XIX conocido por su teoría general de las coordenadas curvilíneas y por su análisis sobre la complejidad del algoritmo de Euclides, que Ricardo nos cuenta tan bien en este post, además de por sus estudios sobre el UTF.

Lamé fue el primero en demostrar el caso n=7 del UTF, es decir, fue el primero en demostrar que no existen enteros positivos x,y,z tal que x^7+y^7=z^7.

Pero Lamé no se quedó ahí. El 1 de marzo de 1847 anunció a la Academia de Ciencias de París que había demostrado el UTF en su forma general. La idea de Lamé era utilizar los números complejos para convertir la suma en un producto y utilizar después ciertas propiedades de la factorización. Veamos cómo sería esta cuestión para n=2.

Con n=2, el conjunto que tendríamos sería el de los enteros gaussianos:

\mathbb{Z} \lbrack i \rbrack=\lbrace x+iy; \; x,y \in \mathbb{Z} \rbrace

Imaginemos que queremos encontrar ternas pitagóricas, es decir, ternas de números enteros positivos (x,y,z) tales que

x^2+y^2=z^2

En este conjunto x^2+y^2 se puede escribir también como (x+yi) \cdot (x-yi), por lo que la expresión anterior quedaría como

(x+yi) \cdot (x-yi)=z^2

Ahora, el conjunto de los enteros gaussianos es lo que denomina un Dominio de Factorización Única (DFU), lo que significa que todo entero gaussianos puede descomponerse de forma única como producto de sus factores primos (salvo el orden de colocación). Una de las consecuencias de este hecho es que si el producto de dos enteros gaussianos primos entre sí da como resultado un cuadrado, entonces esos dos enteros gaussianos deben ser cada uno de ellos un cuadrado.

Si nos ceñimos a ternas pitagóricas primitivas, que son las que cumplen que (x,y,z) no tienen factores comunes, entonces los enteros gaussianos x+yi y x-yi tampoco tendrán factores comunes. Por tanto, en este caso se tendrá que los dos son igual a un entero gaussiano al cuadrado. En particular:

x+yi=(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2-b^2+2abi

De donde, igualando partes reales y partes imaginarias, obtenemos lo siguiente:

\begin{matrix} x=a^2-b^2 \\ y=2ab \end{matrix}

que es precisamente la forma de generar ternas pitagóricas primitivas que aparece en los Elementos de Euclides y en este post.

Volvamos a nuestra historia. En aquella época ya se conocía que demostrado el caso n=4 del UTF solamente quedaba demostrarlo para exponente p primo. Lo que hizo Lamé es aplicar la misma idea que hemos comentado para las ternas pitagóricas a la ecuación x^p+y^p=z^p, con p primo. En este caso, la parte izquierda de la igualdad se convertía en un producto de factores que contenían las raíces p-ésimas de la unidad, esto es, las p soluciones de la ecuación m^p-1=0 (m número complejo), que se denotan por 1, \zeta, \zeta ^2, \ldots , \zeta ^{p-1}. Así podía reescribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

x^p+y^p=(x+y) \; (x+ \zeta y) \; (x+\zeta ^2 y) \ldots (x+ \zeta ^{p-1} y)=z^p

Con esto ya tenía un problema más o menos parecido al anterior.

El paso siguiente de su demostración fue la clave. En él consideraba los números de la forma

a_0+a_1 \zeta +a_2 \zeta ^2+ \ldots + a_{p-2} \zeta ^{p-2}

denominados números ciclotómicos. Con estos números también se pueden realizar las operaciones habituales de suma y multiplicación, y también se puede hablar de divisibilidad y números primos.

A partir de aquí Lamé siguió de una forma más o menos parecida a la que hemos comentado antes sobre los enteros gaussianos demostrando así el UTF. ¿Demostrando el UTF? No, por desgracia no. Un tal Joseph Liouville, que estaba en la sala escuchando la explicación de Lamé, preguntó lo siguiente:

¿Está demostrado que la factorización en el conjunto de los números ciclotómicos es única?

Y ahí se derrumbó todo. Sin ese detalle la demostración era incorrecta, no servía. Lamé reconoció que no había demostrado ese punto, pero que estaba en ello y tenía confianza en poder hacerlo pronto…

…pero la realidad es que no lo hizo, ni podría haberlo hecho porque en ese conjunto de números la factorización no es única. Fue el matemático alemán Ernst Kummer quien, unos meses después, comunicó a Lamé este hecho, tirando definitivamente a la basura el intento de demostración de Lamé.

¿Estaba todo perdido? Pues no, todo no. El propio Kummer ideó una especie de arreglo, que consistía en introducir un nuevo tipo de números complejos: los llamados números complejos ideales. Pero esto ya es otra historia…


Fuentes:

  • El enigma de Fermat, de Albert Violant.
  • Gabriel Lamé en la Wikipedia en español (de donde también he tomado la foto).

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. ¡Buen artículo! De hecho, dado que Fermat había trabajado en dominios de factorización única similares a los de los enteros gaussianos, es bastante plausible imaginar que la “demostración maravillosa” de Fermat era en realidad la misma demostración fallida de Lamé, y que en realidad el detalle de la unicidad de la factorización se le pasó por alto.

    Por cierto, y ya que estamos con el tema, existe otra famosa conjetura (la conjetura ABC) a partir de la cual se puede demostrar el teorema de Fermat en unas pocas líneas. Aunque no se sabe cómo demostrar la conjetura ABC para enteros, es relativamente sencillo demostrarla para polinomios (con coeficientes en un cuerpo) por lo que tenemos un “Teorema de Fermat para polinomios” que sí se puede demostrar de manera elemental (tan elemental que se la ponemos como ejercicio a nuestros alumnos de segundo de carrera aquí donde yo trabajo).

    Si le interesa al personal, puedo escribir una colaboración sobre el tema.

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  2. Pues sí, siempre son interesantes este tipo de cosas. Vengoroso, escríbase esa colaboración :).

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  3. Vengoroso, yo también te animo a que si tu tiempo lo permite escribas tal colaboración. Me gustaría resolver una duda al respecto de que la conjetura ABC (para enteros) implique el Último Teorema de Fermat (UTF).

    Ante mi desconocimiento, buscando en la web veo que se ha probado que la conjetura ABC implica el UTF para exponentes suficientemente grandes (Dorian Goldfeld). Además, he visto que, para cada n\geq 4, la conjetura ABC implica la existencia de a lo sumo un número finito de contraejemplos al UTF:

    http://en.wikipedia.org/wiki/User:Lenthe/abc_conjecture_%28draft%29#Relation_to_Fermat.27s_Last_Theorem

    De tu comentario anterior, he entendido que habría una prueba completa (y breve) del UTF a partir de la conjetura ABC. ¿Conoces alguna referencia al respecto?

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  4. vengoroso, por favor, claro que interesa. Sería magnífico que prepararas una colaboración sobre el tema. Y si haces otra mostrando la relación entre la conjetura ABC y el UTF, como comenta M, sería ya la releche :).

    Si al final te animas envíamelas al mail del blog (creo que lo tienes, pero por si acaso está en la sección Contacto).

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  5. M la demostración de UTF a partir de ABC a la que me refería es efectivamente para exponentes “grandes”, pero (usando una formulación un poco particular de ABC) “grandes” significa >=6, por lo que sólo habría que probar independientemente los casos 3, 4 y 5.

    Ando liado toda esta semana, pero el viernes me pongo al tema 😀

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