Poncelet en el “Traité….”, nro 269, dice “esta propiedad, debida a Monge,..”.
En cambio Chasles en el “Aperçu…”, pag 293, dice “esta bella propiedad del círculo, que Fuss atribuye a d’Alembert,..”. Pero esto no es exacto, porque lo que Fuss dice es que le dijeron que se decía que se atribuía a d’Alembert…

Mi conclusión es que es de Monge, hasta donde podemos saber.

sergi, ¡qué buena la construcción!

El único motivo de la atribución a d’Alembert parece que es la siguiente frase de Fuss de 1799, en Nova Acta Ac. Sci. Imp. Petroplitanae, tomo XIV (1805):

“Hace ya varios años que un joven francés. empleado entonces en el Cuerpo Imperial de Cadetes de Tierra, me habló de un teorema de geometría que, en el tiempo en que estaba aún en Paris en la Escuela Real militar, tuvo alguna celebridad y que se pretendía que había provenido de Mr. d’Alembert”.

llevad la construcción hasta el último paso (tecla >>|) y moved el centro de cualquiera de las cirmcumferencias

un saludo y enhorabuena por vuestro trabajo

Sean los tres centros de las circunferencias y tomemos el triángulo que definen. De las seis tangentes exteriores a las circunferencias, consideremos ahora las tres que no cortan a este triángulo. Estas tangentes se cortan dos a dos en . Vemos que las rectas , , son las bisectrices del triángulo de vértices , y por tanto concurren (en su incentro). Según el Teorema de Desargues obtenemos directamente que las intersecciones de y , y , y están en un línea. Pero estos puntos son precisamente los del enunciado del problema.

^DiAmOnD^ supongo que lo de “pasar a tres dimensiones” es una forma disfrazada de usar geometria proyectiva, no?

Como curiosidad, el resultado es cierto en algo mas de generalidad, permitiendo mezclas de tangentes interiores y exteriores. La generalizacion consiste en darles a las circunferencias una orientacion (horaria u antihoraria) y trazar las tangentes que “respetan esa orientacion” (las exteriores si dos circunferencias tienen la misma orientacion, las interiores si tienen orientacion opuesta). Los tres puntos de interseccion que se obtienen siguen estando alineados.

1) “La composición de homotecias de distinto centro y radios no inversos vuelve a ser una homotecia cuyo radio es el producto de los radios de las homotecias originales.”

Esta es una propiedad conocida que, aunque no es difícil de probar, es algo molesta de escribir pues requiere liarse un poco con semejanza de triángulos y usar el Teorema de Desargues para probar que el centro de la composición de las homotecias está bien definido.

2) Aplicando esto a nuestro caso se deduce que el centro de la composición debe ser precisamente , el punto de corte de las tangentes exteriores a .

Para ver esto, sabemos por 1) que , para cierto centro , es decir

Pero es que como son homotéticas a través de , para los puntos de dichas circunferencias se verifica que

.

Restando estas dos últimas ecuaciones se llega a que:

, es decir .

3) Finalmente faltó probar que el centro de la composición de dos homotecias está en línea con los centros de las homotecias originales.

A través de : .
A través de : .

Luego:

.

Como se obtiene de por , se tiene que

,

y esto equivale a poner , que nos dice que los tres centros están alineados.