La representación fractal de la conjetura de Collatz

La conjetura de Collatz es uno de esos resultados atrayentes para muchos (me incluyo entre ellos) por tener un enunciado simple a la par que original. Un enunciado donde se describe una operación sencilla de realizar, convirtiendo esto a la conjetura en algo fácil de comprobar para cantidades pequeñas, que además tiene ese regusto a hecho difícil de demostrar en el caso general.

Los fractales también tienen esa capacidad de encandilar a cualquiera que le de dedique al tema unos minutos de atención. Porque no me negaréis que los fractales tipo el fractal de Fibonacci, que Mati nos cedió amablemente hace unos días, o los fractales tipo el conjunto de Mandelbrot, rezuman belleza por los cuatro costados.

En esta ocasión nos vamos a quedar con estos últimos, los fractales tipo el conjunto de Mandelbrot. Y los vamos a relacionar con la conjetura de Collatz. ¿Cómo? Enseguida lo veréis.

La idea de los fractales tipo Mandelbrot es representar, generalmente en color negro, los puntos del plano complejo cuya órbita generada por un método iterativo es convergente. También se suelen representar los puntos cuyas órbitas son divergentes, dando distintos colores en función de la velocidad a la que divergen. Por ejemplo, para el conjunto de Mandelbrot el método iterativo es:

\begin{matrix} z_0=0 \\z_{n+1}=z_n^2+c \end{matrix}

Los números complejos c para los cuales la órbita generada por ese método iterativo es convergente pertenecen al conjunto de Mandelbrot. No me extiendo más con esto, ya que está explicado en este post. Lo que sí quiero es dejaros de nuevo una imagen del conjunto de Mandelbrot que seguro habréis visto muchos:

Conjunto de Mandelbrot

¿Cómo relacionar esto con la conjetura de Collatz? A mí no se me había ocurrido hasta que hace unos días vi este post en el blog Rhapsody in Numbers, donde explican una forma de hacerlo. Y eso es lo que voy a hacer yo: explicaros cómo representar en un fractal la conjetura de Collatz.

Recordemos que la conjetura de Collatz dice lo siguiente:

Tomemos un número entero positivo k. Si es par lo dividimos entre 2 y si es impar lo multiplicamos por 3 y le restamos 1. Continuemos realizando las mismas operaciones con los resultados obtenidos en cada paso. Entonces toda sucesión de resultados terminará en la secuencia 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1, que a partir de ahí se repetirá indefinidamente.

La frase en negrita es la propia conjetura: no se sabe si eso es cierto para todo entero positivo. El carácter especial de la misma, junto con que todavía no se haya resuelto, hace que con cierta regularidad aparezcan intentos de demostración, como éste que comentamos en Gaussianos a mediados del año pasado.

Bien dejemos todo esto para fijarnos en algo que seguro muchos de vosotros ya habréis apreciado: las operaciones que pide realizar la conjetura de Collatz son un método iterativo, en el que el valor inicial será un número entero positivo en cada caso. Para cada número entero positivo se generaría una órbita (esto es, una secuencia de resultados generada por la sucesiva aplicación de las operaciones de Collatz), por lo que podríamos representar los números para los cuales la órbita llega a 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 (que serían las convergentes). Esto tiene el problema de que no se sabe qué ocurre con las órbitas de todos los números enteros positivos (ya que la conjetura no está resuelta). Pero tiene uno mayor: el conjunto de puntos que quedaría dibujado no tendría demasiado interés, ya que simplemente serían puntos aislados (en los enteros positivos cuya órbita llegue a 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1).

Por ello vamos a intentar generalizar un poco las operaciones Collatz. En principio, la que podríamos llamar función de Collatz es la siguiente:

f(x)= \begin{cases} x/2 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo par} \\  3x+1 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo impar}  \end{cases}

El problema que tiene esta función es que está definida solamente en los enteros positivos. La idea es intentar extender esta función a todos los números complejos, es decir, buscar una función definida en todo el plano complejo tal que en los números enteros positivos coincida con ésta. Una posibilidad es la siguiente:

g(x)= \begin{cases} x/2 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo par} \\  3x+1 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo impar} \\  0 & \mbox{, para cualquier otro } x \in \mathbb{C}  \end{cases}

Esta función g(x) está definida para todo el plano complejo \mathbb{C} y además coincide con f(x) en los enteros positivos. Cumple las condiciones que hemos pedido antes, pero no nos va a servir. ¿Por qué? Si os fijáis, la función no es derivable en los enteros positivos, de hecho no es ni continua, y la verdad es que lo interesante sería que una candidata a función de Collatz se comportara bien en el sentido de la derivabilidad. Por ello vamos a construir una función, que llamaremos C(x), que cumpla lo anterior (definida en todo el plano complejo e igual que f(x) en los enteros positivos) y que además sea derivable en todo punto.


Comenzamos definiendo dos funciones que usaremos en el desarrollo. Son \chi _p (x), que valdrá 1 si x es par y 0 si x es impar, y \chi _i (x), que valdrá 1 si x es impar y 0 si x es par. Entonces la función que buscamos podría tener la siguiente expresión:

C(x)=\chi _p (x) \; \cfrac{x}{2} + \chi _i (x) \; (3x+1)

Si las funciones \chi _p y \chi _i fueran derivables, ya tendríamos que C(x) también lo es (por ser una combinación de sumas y productos de funciones derivables). Por tanto, tenemos que encontrar una manera de definir estas funciones para que sean derivables en todo número complejo.

Pero eso es sencillo. Basta tomar

\chi _p(x)=\cfrac{1+(-1)^x}{2} y \chi _i (x)=\cfrac{1-(-1)^x}{2}

para que las dos estén definidas en todo número complejo, sean derivables también en todo complejo y además cumplan las condiciones pedidas en su definición inicial. Por tanto, nuestra función C(x) realizaría su función con los enteros positivos, y además estaría definida en todo el plano complejo y sería derivable en él. Escribiendo z en vez de x, como es habitual al trabajar con complejos, nuestra función quedaría así:

C(z)= \cfrac{1+(-1)^z}{2} \; \cfrac{z}{2} + \cfrac{1-(-1)^z}{2} \; (3z+1)

Por otra parte, estaréis de acuerdo conmigo en que operar con el término (-1)^z no es demasiado cómodo. Bien, pues lo vamos a cambiar por \cos{ (\pi z)}, que tiene exactamente ese valor en los números enteros (que en realidad son los que más nos interesan) y es mucho más amigable. Con todo esto, y después de unos sencillos cálculos, llegamos a que nuestra función de Collatz va a ser la siguiente:

C(z)=\cfrac{1}{4} \, (2+7z-(2+5z)\cos{(\pi z)})


Esta es la función con la que vamos a trabajar, la función C: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} definida por:

C(z)=\cfrac{1}{4} \, (2+7z-(2+5z)\cos{(\pi z)})

Es evidente que la función es continua y derivable en todo \mathbb{C} y además en los enteros positivos coincide con f(x), que es lo que queríamos para que nuestra función pudiera llamarse función de Collatz.

Vamos, por fin, a utilizar nuestra función de Collatz como método iterativo. Es decir, calculamos la órbita de cada número complejo bajo la función C(x) y representamos de negro los puntos cuya órbita sea convergente. Nos queda la siguiente representación, denominada fractal de Collatz:

Se ve un conjunto central, alrededor de z=0, de puntos cuya órbita es convergente, y después se aprecian ramificaciones en varias direcciones. También destaca algo que era esperable: alrededor de cada número entero nos aparece un pequeño conjunto de puntos que pertenecen al fractal de Collatz.

Vamos a darle un poco de color, tipo del fractal de Mandelbrot que os enseñaba antes. Nos quedaría algo así:

Precioso, ¿verdad?

Pero, ¿es un fractal en el sentido del conjunto de Mandelbrot? Pues eso parece. Analizando la imagen anterior vemos que tiene ciertas similitudes al fractal de Mandelbrot, pero además si hacemos zoom en varias partes (principalmente en las cercanas al borde del conjunto) encontraremos autosimilitud como se encuentra en el conjunto M. Por ejemplo, aquí tenemos una imagen después de hacer zoom cerca del borde del conjunto central:

Y aquí en el punto (2,0), donde se aprecia cierta autosimilitud con el propio conjunto central:

Esto es lo que obtenemos al hacer zoom varias veces cerca del punto (-4,0):

Y esto al adentrarnos algo más alrededor del punto (1,0):

Y podríamos seguir acercándonos al borde del conjunto, obteniendo en todo momento preciosas imágenes autosimilares a partes del conjunto inicial. Os dejo a vosotros que continuéis esa tarea hasta donde la curiosidad os quiera llevar.

Como podéis ver, este fractal de Collatz, como la mayoría de los fractales de su tipo, es un mundo donde a cada paso nos encontramos con algo nuevo a la vez que conocido. Una auténtica maravilla de la geometría que el señor Mandelbrot nos terminó de enseñar.


Las imágenes están hechas con Ultra Fractal, introduciendo manualmente la función C(z) y modificando algunos parámetros para que los dibujos queden mejor.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. ¡Muy bueno! Me pregunto si esta representación visual será útil para sugerir estrategias de demostración de la conjetura…

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  2. Buen post pero hay un error, es con la conjetura de Collatz: si es impar debe ser multiplicarlo por 3 y luego SUMARLE 1, el caso mas pequeño para mi contraejemplo es la secuencia del 20, veamos :
    20,10,5,14,7,20,10,5, etc…me suena a recursion 🙂
    saludos!

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  3. Marcos, la verdad es que lo veo complicado. Pero bueno, nunca se sabe :).

    Luis Felipe, cierto, se me coló un “restar” por un “sumar” en el enunciado de la conjetura, aunque después está todo bien. Lo cambio ahora mismo. Gracias por el aviso 🙂

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  4. si no te preocupes pero creo que también lo he visto en el post de la conjetura y en el post de lo que Gaussianos quiere públicar en el 2012 🙂

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  5. Si el fractal de Collatz es conexo, como lo es el de Mandelbrot (es decir, todos lo puntos del conjunto están unidos por puntos del conjunto, no hay “islas”), y visto que es simétrico respecto al eje x, se puede decir que dados dos números enteros que convergen, todos los intermedios también convergen. ¿Me equivoco?
    No sirve para demostrar la conjetura, pero bueno, algo aporta.
    Gracias.

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  6. La verdad es que el fractal es precioso… ¡Voy a probar el programa, a ver!

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  7. Buena entrada y bonito fractal, a ver si alguien se anima y vemos una versión 3-D.

    Javier, pues sí, algo aporta. Y quien sabe, tal vez la demostración de la conjetura consista en probar que este fractal es conexo, pues está claro que demostrar eso implicaría Collatz.

    Edito: Ops, no, no está tan claro. Pero aún así podría ser un paso importante.

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  8. Me temo que una de las cosas que gaussianos querría publicar en el 2012 no va a ser posible, como es hallar un contraejemplo a la conjetura de Collatz. ; más bien , todo lo contrario, creo que la conjetura es válida.
    He hallado el hilo central de la demostración, pero soy un total analfabeta en programas informáticos, que es lo que se necesita para hacer la demostración.
    Si hay voluntarios visitantes de este blog que se le midan al reto y si ^DiAmOnD^ coopera, con mucho gusto estoy dispuesto a revelar el hilo central de la demostración. Podría ser este blog el primero en anunciar la demostración.
    Gracias.

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  9. Qué bárbaros recientemente ha sido un deleite leer Gaussianos por que se está publicando cada joya que bueno 🙂 sin palabras (en especial una aplauso para el post de clausura complemento y este), más haya del corte divulgativo de cualquier artículo estos últimos me han puesto verdaderamente a reflexionar sobre la belleza. Felicidades ^DiAmOnD^

    Son preciosas las imagenés voy a probar el programa a ver que tal me va.

    Por cierto a mi me parece muy interesante eso de probar que el fractal es conexo globalmente para mostrar la conjetura de Collatz sé que suena muy ambiguo y poco claro pero no sé igual podría funcionar ¿Hay alguna razón por la que no sería viable? lo digo por ignorante me gustaría saber la respuesta.

    Esperemos que este año se publique la veracidad o un contraejemplo de la conjetura (no quiero morir sin saberlo apuesto a que vostros tampoco). por cierto… ¿a que te refieres Jonas ? no entendí que quieres decir con que se necesita un programa informático para culminar la demostración :S no me suena eso

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  10. Hola a todos.

    En primer lugar felicitar a Diamond por este magnífico post, que además de ser tan interesante como es habitual, a mi me ha parecido precioso.

    Por otro lado me gustaría intentar aportar algo a la demostración de la validez de la conjetura, aunque mi nivel matemático dista mucho de ser suficiente para aportar, pero si analizando el código del programa, tal y como comenta Jonas Castillo Toloza, se puede llegar a alguna conclusión útil, me apunto a echar una mano, o al menos intentarlo.

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  11. sive, si se demostrase que el conjunto es simplemente conexo, la conjetura sería cierta.

    Al ser simplemente conexo (y simétrico respecto al eje horizontal), o toda la recta real pertenece al conjunto, o hay un n a partir del cual ningún punto de la recta pertenece al conjunto. Para ver que esto último no es posible, supongamos que fuera cierto:

    Esto es tanto n como n+1 no pertenecerían al conjunto y serían contraejemplos de la conjetura.

    Sin embargo si n es par, el siguiente término de la sucesión sería n/2 que sí pertenece al conjunto, con lo que n no puede ser par.
    Si n es impar, n+1 es par y el siguiente término de la sucesión sería (n+1)/2 que es menor que n con lo que de nuevo pertenecería al conjunto.

    De esto se deduce que si el conjunto es simplemente conexo, la conjetura es cierta.

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  12. Cierto AM no cai en la simetría con respecto el eje X, y me monté una película con ramas que tocaban el eje X por arriba y por debajo alternativamente… no sé si me explico.

    Pero sí, la simetría da al traste con esa posibilidad.

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  13. ¡Qué “C A S”ualidad!
    Aparece un post de Jonas “C A S”tillo Toloza que parece tener “C A S”i la demostración de la conjetura y unas horas después otro de “C A S” ofreciéndole colaboración.

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  14. Por cierto ¿Cual es el criterio de convergencia-divergencia? en los números enteros es fácil: llegas a 1. Pero en los complejos no lo veo. He revisado el artículo y no lo encuentro.
    No puede ser el mismo que el de Mandelbrot, que es divergente si |z| > 2.

    Gracias AM por puntualizar que el conjunto debe ser “simplemente” conexo. No caí en ello en su momento. Y muy buena la extensión no sólo para los enteros menores que uno dado, sino para todos.

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  15. Javier, cierto, no aparece explícitamente en el artículo. De hecho he cometido un error en el término utilizado (tenía la idea buena en la cabeza, pero utilicé la palabra errónea). No es convergente, sino acotada lo que debería decir el texto. Es decir, el fractal de Collatz es el conjunto de puntos del plano complejo que generan una secuencia acotada por iteración mediante la función de Collatz.

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  16. ¿cómo se sabe que genera una secuencia acotada para un z inicial dado? dicho de otra manera ¿cual es el criterio para pintar negro o blanco en el primer dibujo?

    ¿es ese criterio que |z|<=4 (en cualquier iteración)? es acotado para los naturales, que es donde aplica la conjetura. Pero no se si es una acotación válida para el resto del conjunto.

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  17. Perdonar mi ignorancia, ¿cómo dibujais estos fractales tan bonitos?.
    Por otra parte, esta conjetura es conocida también como la secuencia de la lluvia o algo así.
    Un saludo.-

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